πって本当に無理数なの?
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文科省なんて泣かせてしまえ。但しその方法ではアカンけどナ。
猫
>>1
文科省はπ=3でやろうとしてたから泣かないだろう
今だってπ=3.14だよ? 与えられた長さの半径を持つ円に対し、定規とコンパスによる有限回の操作でそれと同じ面積
の正方形を作図することができると信じたい いつか任意の角が三等分できる方法が見つかると信じてるわ __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
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πを解としてもつ有理数係数の代数方程式が存在するという信念を
未だに捨てていない。 1/(4n+1)-1/(4n+3)=2/(4n+1)(4n+3) __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/ 小平邦彦の「数学の学び方」って本に証明が載ってたな
ttp://www.amazon.co.jp/dp/4000055119
内容は>>11と同じ __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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他の人も人間味のある話が満載で面白いのに絶版なのな。
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| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
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| | | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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e^πi = -1 オイラーの式 → 2乗する
e^2πi = 1 自然対数 log をとる
log ( e^2πi ) = log ( 1 )
2πi = 0 よって、
π= 0 logは多価だから説明になってない
ちゃねらは馬鹿 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
/ /:::::; -‐''" `ーノ
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γ´⌒`ヽ
{i:i:i:i:i:i:i:i:}
( ´・ω・)
(:::O┬O
◎-ヽJ┴◎ >>56
うそ(ネタ)はうそ(ネタ)であると見抜ける人でないと・・・ __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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こいつが嫌がらせしか出来ないクズだという風評は事実のようだ。
生まれつき愚鈍で下司な非人乞食に劣る部落民の分際で、
己れが何か人並みの存在であるかの如くに勘違いし
のぼせ上がっていたことも証明されている。
数学はなに一つ知らぬ無知無学な卑賤の身でありながら今では一端の数学2chネラー気取り。
「世も末だ」と人々が嘆くのも至当と言えよう。
数学どころか小学生並みの基礎知識さえ持ちあわせぬ阿呆だ(例えば米国大統領の名前も知らぬ始末)。
その上、田舎訛りで「おいら野田さんとポッポのボボが見たいばい」と口走っては哄笑の的になっている不様さだとか。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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| l^,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
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irreducible polynomial 既約多項式
irregular non-regular お前の事 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/ え゛ーっ e = 2.7 + (1828/99990) ぢゃないのぉ? The numeric string314159265appears at the 70,326,148th decimal digit of e. 簡単にπ=無理数の説明をすると
『今のところ有理数という証明がされていない』
こういうことでしょ? 数学の文脈で=をbe動詞の意味で使うやつは漏れなく中学数学も覚束ないアホ >>1
背理法による。
まず、n,p,q を自然数とし、2n 次式を
f(x) = (1/n!){x(p-qx)}^n,
とおく。
0 < f(x) ≦ (1/n!)(pp/4q)^n (0<x<p/q)
だから、
0 < a_n = ∫[0,p/q] f(x)sin(x)dx
< ∫[0,p/q] f(x)dx
< (1/n!)(p/q)(pp/4q)^n
→ 0 (n→∞)
nが十分大きければ、a_n は整数でない。
ところで、
f(0), f '(0), f "(0), ・・・・, f(p/q), f'(p/q), f "(p/q), ・・・・
はすべて整数である。
F(x) = f(x) - f "(x) + f ""(x) - ・・・・・
とおけば、
f(x) = F(x) + F "(x),
a_n = ∫[0, p/q] f(x)sin(x)dx
= ∫[0, p/q] {F(x) + F "(x)}sin(x)dx
= [ -F(x)cos(x) + F '(x)sin(x) ](x=0,p/q)
= F(0) + F(p/q) + F'(p/q)sin(p/q),
上に述べたことから、F(0) と F(p/q) は整数である。
------------------------------------------------------------
ここで、背理法の仮定から、π=p/q となる自然数 p,q をとる。
そうすれば sin(p/q) = sinπ = 0 だから、
a_n = F(0) + F(π) = (整数),
となって矛盾が生じる。
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.80. πの超越性については
鹿野 健:数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社(1983)p.85-86
F.Lindemann(1882) の証明を A.Baker(1975) が簡単化したらしい。 >>83 訂正
a_n = ・・・・・・
= F(0) - F(p/q)cos(p/q) + F '(p/q)sin(p/q),
そうすれば sin(p/q) = sinπ = 0, cos(p/q) = cosπ = -1, だから、 e^(代数的数≠0) = (超越数),
e^(iπ) = -1,
を既知として、1行で証明せよ。 >>86
背理法でπが代数的だったと仮定するとiπも代数的だから -1 = e^(iπ) = (超越数)、となって矛盾を生じることから、πは代数的ではなく超越数だった。(73字) >>86
e^(代数的数≠0) = (超越数)、を用いてよいなら、πの超越性は明らか。 >>5
まだ確認出来てはいないが、π^πは超越数で無理数の筈。
例え有理数だったとしても、分子が1になることはない。
π^πみたいなのになると、バリバリの解析でもしないといけないんだよな。
お手製の武器では不十分だ。まだ武器がない。 >>5
>例え有理数だったとしても、分子が1になることはない。
って当然かw
あ〜、π^πは確実に無理数だわ(多分超越数)。
ただ、とんでもない証明になりそうだ。 〔リンデマンの定理〕(1882)
nは自然数、
α_1, α_2, ・・・・・, α_n, c_1, c_2, ・・・・・, c_n は代数的数、
α_1, α_2, ・・・・・, α_n は相異なる。
eはネイピア数(自然対数の底)、とする。このとき、
c_1・e^(α_1) + c_2・e^(α_2) + ・・・・・・ + c_n・e^(α_n) = 0
⇒ (c_1, c_2, ・・・・, c_n) = (0,0,・・・・・,0) >>86
〔系〕
α(≠0)が代数的ならば、e^α は超越数である。
(証明)
リンデマンの定理において、n=2, α_1 = 0, α_2 = α とすると、
1とe^α はQ上一次独立。 〔問題〕
θ(≠0)が代数的のとき、sinθ と cosθ は超越数か? 言葉の使い方間違ってたら悪い
どんな方法でも代数的に表せない数って存在すんの?
ある数が代数的に表せないことはどうやって証明すんの? >>97
うーん。例えば円周率とかだと
π/4=1-1/3+1/5-1/7+……
みたいな数とかで表せるらしいじゃん?
こういう感じに超越数でも何らかの形で代数的に表せるのかなぁって思って
数学詳しくないから教えてほしいんだ >>99
うーん。
うまく言えないけど
加算集合のように、自然数が1から無限まで(有限でもいいが)続いていくのと同じような形を要素として表せる数かな 現れる無限に続いていく数は規則的に並んだ数ね。規則的ってなに?と言われるかもしれんが >>101
>規則的ってなに?と言われるかもしれんが
それを定義しないと無意味 >>102
f(x)=の形で1番目の数から無限番目まで書ける数たちを規則的に並んでいる、とするのはどうだろう
フィボナッチ数列みたいに初期条件をつけるのもあり
無理数の集合は加算集合ではないのだからすべての実数が加算集合のもので表せるはずがないと言う人がいるかもしれんが
>>101の「規則」たちの集合が不可算集合になっていたり、>>98の「何らかの形で代数的に表せる」の「何らかの形」が不可算なのかもしれないのかなとも思ったり エスパーしたぞ
f:俺にとってきれいで規則的っぽい関数、広い意味での代数な感じ
{an}:俺にとってきれいで規則的っぽい数列、広い意味での代数な感じ
問:lim[n->∞]f(an) で表せない数って存在すんの? >>103
f(x)=(x=1のとき1, x=2のとき4, x=3のとき1, x=4のとき5, x=5のとき9, …)
のような「f(x)=の形」の(無限の長さの)規則はあり? >>107
だって初期条件で無限個を設定してしまったらf(x)が関数じゃなくなるじゃん
関数からはじき出される数の列を規則的であると言うことにする、ていう意味 >>109
それ嫌がらせ?普通の意味の関数だよ
僕の疑問に答えてよ まず、そういう疑問は脇に置いておいて
きちんとした数学の記述が出来るようになる練習をした方が良いよ
>>110
何らかの形で表せない関数って存在するの?
とか言われても「何らかって何だよ はっきりさせろ」としか言いようがない。
f(11365987.88913416451464652196.........=9871522649542.541026487973645
みたいに非可算個の全ての実数値について値を列挙するのを認めてしまうと
そういう風に表せない関数なんてある訳ない
ただそれもあんまりだから一応答えておくと、
10^10^1000000000文字以内とか、とにかく有限文字で定義できるような数は
定義の表現の数が可算個しかないのだから可算個しかない。
だから何かしら「定義できない」実数が存在することになる。
具体的に一つ挙げてみろ、というのはできない。
何故かは考えてみれば分かると思う。 >>111
「定義できない」実数は存在しなくなるんじゃないかと思っていたんだけど存在するのかぁ
加算文字で定義できる数は加算個ってことだよね
ありがとう 言葉間違ってたかもしれん
加算文字、加算個はたとえ無限文字、無限個になったとしても自然数の個数と同じ濃度の無限って意味ね 典型的な屑哲の頭の中を垣間見れた
やはり一度は数学的訓練を積んで厳密思考の雛型を知っておく必要があるわ
こんなこと言うと屑哲は「偏見に囚われて自由な発想が出来なくなる」などと反論するかもしれないが 1947 Ivan Morton Nivenが証明 remniscateの周長についても同様の証明で超越性がいえますか 大学入試まで、πを使った計算をやたらさせるくせに、
ほとんどの人は、πがどうやって割り出されたのかは知らない〜
自分も数学専攻じゃないから知らないよ。 >>125
その円周、割り出すのにπ&#10006;&#65039;直径という妙なコトになってるだろ その円周、割り出すのにπ×直径という妙なコトになってるだろ πを求めるのに、円周をその式使って計算するヤツなんかいねーよ。 あからさまに無理数やろな。
円に接する三角形に一つ足して四角形にして、というように角を増やしていくと、無限大角形になるとするよね。
すると極限として円に近づくやろ?
でも円そのものにはならん。
つまり、円と完全一致はせんやろ?
だから無理数やな。 131やけど、接するのは、内接でも外接でもどっちでもええよ。 世の中には背理法を使うと発狂する人たちがいるらしい。 背理法を使わない無理数性(超越数性)の証明ってどうやるの? >>144やけど、これだと確かに直観主義者にはウケ悪いだろうなとおもって。 >>84 >>86 >>87 >>88
π は x^4 -10x^2 +1 = 0 の根だから代数的数でつよん >>162
π - 1/π = 2√2,
π + 1/π = 2√3,
二乗して辺々たすと
π^2 + (1/π)^2 = 10,
だよな。 >>162
π は {(x+1)/8}^4 -4{(x+1)/8}^2 +1 = 0 の根だから代数的数ですよん
π = 4(√6 -√2) -1 = 3.1411047
π は {(5x-13)/8}^4 -70{(5x-13)/8}^2 -192{(5x-13)/8} +73 = 0 の根だから代数的数ですよん
π = {13 +8(2√6 -2√2 -√3)}/5 = 3.1416025 >>165
π = 4 (√6 -√2) - 1 = 3.1411047 = 16sin(π/12) - 1, >>162 >>164
x^4 -10x^2 +1 = 0
π = √2 + √3 = 3.146264
x^6 -10x^4 +x^2 +3 = 0
π = 3.141314
x^8 -10x^6 +x^4 +3x^2 -2 = 0
π = 3.141650
x^10 -10x^8 +x^6 +3x^4 -2x^2 +7/2 = 0
π = 3.1415907 x^11 - 1000(x+1)^4 = 0
π = 3.1416117 >>163
π + 1/π = (e^4)/10 - 2 = 3.459815 < 2√3,
π = 3.141495 π = (10 e^8)^(1/9) = 3.14159828 π = (10 - 3/23)^{1/2} = 3.1415864
π = (31 + 1/155)^{1/3} = 3.1415985
π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.14159265
π = (306 + 1/51)^{1/5} = 3.14159250 π = √(10 - 130/997) = 3.141593358
π = [(31^2) + 374/(31^2)]^{1/6} = 3.141592645 P = ln(640320^3 + 744)/√163
はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。
[x] はxを超えない整数とすると
N = Σ(n=1,∞) [ n・e^{(π√163)/3} ] / 5^n
は 10^9 桁以上の精度で整数200100と一致するが、整数ではない。
M >>1 とすると、
Q = ln(10)・((1/M)Σ(n=-∞,∞) 10^{-(n/M)^2})^2
はπと (πM/ln(10))^2 桁一致するが、πとは異なる。
「円周率について語り合おう【π】」- 017 >>162
πは x^5 - 97x - 9/7 = 0 の根だから代数的数ですよ?
π = 3.1415940
>>171
π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.1415926525
は大昔に S.Ramanujan が発見してます。
他にも色々あります。
π= (63/25)[1 + 10/(7+15√5)] = 3.1415926538
π = (99^2)/(2206√2) = 3.141592730 >>162 >>167
π^2 + 1/π^2 = 10 + 21/(22π) -23/(7π^2),
より
x^4 - 10x^2 - (21/22)x + (30/7) = 0,
π = 3.14159318 >>171
π^3 = 31 + 187/(31^3),
π = 3.1415926665
>>174
π = (99 - 5/π)^{1/4},
より
x^5 - 99x + 5 = 0,
π = 3.14158747 x^4 - 2(5-2α)x^2 + 1 = 0,
ここに α = 1/137.035999
π = 3.14157416・・・・ 祖沖之が錬金術師だったら
約率 (Ti)/(N)
蜜率 355/(Nh)
と言ったかも。
なお、355番元素は未発見。 >>98
フーリエ級数展開
π-θ = 2Σ[n=1,∞] sin(nθ)/n (0<θ<2π)
θ = π/2 とおくと
π/2 = 2Σ[n=1,∞] sin(nπ/2)/n = 2Σ[m=1,∞] (-1)^(m-1) /(2m-1), πは中間子です。
種 類 中間子(ゲージボゾン)
π± π°
---------------------------------------------------------------
電 荷 ±e 0
クォーク組成 π+ = ud~, π- = u~d, π°= (uu~-dd~)/√2,
質 量 139.5700×10^6 [eV] 134.9764×10^6 [eV]
寿 命 2.603×10^(-8) [s] 8.4×10^(-17) [s]
スピン 0 0 (スカラー ボゾン)
アイソスピン 1 1 πは(芳香族)有機化合物中の電子軌道です。
・C-2p軌道(2p_z)が重なって生じる。
・原子同士の場合、σ結合の60%ぐらいしか安定化しない。(エチレン)
∵ 電子雲が平行なのでσ結合よりも重なりSが小さい。
・Cの数が多いときは平面状に広がって非局在化する。このため(超高圧でない場合)エネルギー的に有利。
例:グラフェン、グラファイト
・面対称性により、σ軌道や内殻軌道と直交している。
クーロン積分・交換積分など低次の積分は0である。
このため孤立性が強く、π電子だけを考慮する近似が可能。(ヒュッケル近似) まとめ
22/7 = π + 1.264489E-3 (バビロニア)
223/71 = π - 7.47583E-4 (アルキメデス)
377/120 = π + 7.401308E-5 (プトレマイオス)
355/113 = π - 2.667642E-7 (祖沖之)
103993/33102 = π - 5.77891E-10
104348/33215 = π + 3.31628E-10
103993/33102 (1個) と 104348/33215 (2個) の「平均」
312689/99532 = π + 2.91434E-11
103993/33102 (3個) と 104348/33215 (5個) の「平均」
833719/265381 = π - 8.715467E-12
103993/33102 (4個) と 104348/33215 (7個) の「平均」
1146408/364913 = π - 1.61074E-12
・連分数表示
3 + 1・1/{6 + 3・3/[6 + 5・5/(6 + 7・7/(6 + ・・・・))]}
>>15
グレゴリー・ライプニッツ級数 4arctan(1) は収束が遅い。 〔問題〕
10 - 7/48 < 6ζ(2) < (√2 + √3)^2 を示せ。
ただし ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ・・・・ = Σ[k=1,∞] 1/kk である。
〔系〕
3.139134 < √{6ζ(2)} < √2 + √3 = 3.146264 右
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/kk
< 49/36 + Σ[k=4,∞] 1/(kk-1/4)
= 49/36 + Σ[k=4,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
= 5/6 + 19/36 + 2/7
= (5 + 205/42) /6,
∴ 6ζ(2) < 5 + 205/42 < 5 + 44/9 < 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
6 - (22/9)^2 = 2/81 > 0 より √6 > 22/9,
左
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk
= 2 - Σ[k=1,∞] {2/(2k-1) -2/(2k+1) -1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] {4/(4kk-1) - 1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] 1/{(4kk-1)kk}
= 2 - 1/3 - 1/60 - 1/315 - Σ[k=4,∞] 1/{(4kk-1)kk}
> 2 - 89/252 - (1/63)Σ[k=4,∞] 1/kk
= 2 - 89/252 - (1/63){ζ(2) - 49/36},
∴ 6ζ(2) > 10 - 7/48 = 9.854167 >>183 >>184
バーゼル問題
藤田岳彦: 数学セミナー, 51(3), p.30-36 (2012/Mar)
「リーマン・ゼータ関数の特殊値を確率論で求める」 >>171 >>174 より
π^4 = 97 + 9/22
= 100 - 3(19/22)
= 100 - 3(20/23) + 9/(22・23)
> 100 - 20(3/23) + (3/23)^2
= (10 - 3/23)^2,
π^2 ≒ 10 - 3/23 = 9.869565 大阪大学が2003年の問題でπは無理数であることの証明問題だしてっから。
高校数学レベルのお話ですよ。 平均」
833719/265381 = π - 8.715467E-12
103993/33102 (4個) と 104348/33215 (7個) の「平均」
1146408/364913 = π - 1.61074E-12
・連分数表示
3 + 1・1/{6 + 3・3/[6 + 5・5/(6 + 7・7/(6 + ・・・・))]} 2020/03/14 15:09:26.5359
(公財)日本数学検定協会(数検)が「数学の日」制定(1997)
日本パイ協会 の「パイの日」
http://www7a.biglobe.ne.jp/~pienohi/index.htm
A.アインシュタイン (1879/03/14〜1955/04/18) >>174
下の近似式はモジュラー関数による公式
1/π = {(2√2)/(99^2)}Σ[n=0,∞] (4n)!(1103+26390n)/{(4・99)^n・n!}^4
の初項から。 ニーベンの証明。大阪大学では2003年後期の数学で出題されている。 円を4等分して分離して平行四辺形の形みたいに合体させる。これを永久に繰り返して小さくしていっても弧の部分が永久にできるから絶対に無理数だろ 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ,
宿題が 3/10 = 30% でした!
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです!
https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>104
m→∞ のとき a_n (n>m)の存在する区間の幅が0に近づくような数列 {a_n} を考える。
(基本列 とか コーシー列 とか云うらしい。)
カントールはその極限をもって実数の定義とした。
(例)a_n により小数点下n桁まで決定する場合。 >>103
√(π/1.2) = 1.6180216 を利用して「Pibonacci数」を定義する。
P_1 = P_2 = 1,
P_{n+1} = {√(π/1.2) - √(1.2/π)}P_n + P_{n-1}
= 0.9999828706P_n + P_{n-1},
これに対する「ビネの公式」は
P_n = {(π/1.2)^(n/2) - (-1)^n・(1.2/π)^(n/2)}/{√(π/1.2) + √(1.2/π)}
= {(π/1.2)^(n/2) - (-1)^n・(1.2/π)^(n/2)}/2.236060317
・富士山麓オウムは災難 訂正
「ビネの公式」は
P_n = {(1 + 1/φ')・φ'^(n-1) - (-1)^n・(φ' - 1)・φ'^(1-n)}/(φ' + 1/φ')
= {(φ' +1)・φ'^(n-2) - (-1)^n・(1 - 1/φ')・φ'^(2-n)}/(φ' + 1/φ')
φ' = √(π/1.2) = 1.618021594
ですた。
・富士山麓オウムはサイナラ >>104
[定理12] 実数αに収束する有理数列が存在する。
高木:「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
附録I.無理数論、§6.極限、定理12、p.462-463 π - e = 69/163
π =512.08/163 = 12802/(163・25),
e = 443.08/163 = 11077/(163・25) から。 2645
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) (π/2 - 1)^8 + (4/3)^8 = 10
より
π = 2(1 + [10 - (4/3)^8]^{1/8}),
たしかに無理数。(8次の代数的数?) π = 3 + 0.1√2 = √(9 +0.6√2 +0.02),
とおく。
次に「ペル方程式」の解を使って、√2 を分数で近似する。
7^2 - 2・5^2 = -1 より
√2 ≒ 7/5,
p = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 7/50 = 3.14
10^2 - 2・7^2 = 2 より
√2 ≒ 10/7,
q = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 1/7 = 3.142857
{p,p,p,p, q,q,q,q,q} の相加平均、調和平均より
π' = (4p+5q)/9 = 3 + 223/1575 = 3.1415873
π" = 9/(4/p + 5/q) = 3 + 1401/9895 = 3.14158666
17^2 - 2・12^2 = 1 より
√2 ≒ 17/12,
π = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 17/120 = 3.1416667
π = √(9 +0.6√2 +0.02)
≒ √(9 +0.85 +0.02) = √(9.87) = 3.1416556 π^2 + (1/π)^2 = (π - 1/π)^2 + 2 ≒ 10,
π - 1/π ≒ 2√2,
これを改良して
π - 1/π + 1/(2π^4) = 2√2,
∴ π = 3.141603 π^2 + (1/π)^2 = (π + 1/π)^2 - 2 ≒ 10,
π + 1/π ≒ 2√3,
これを改良して
π + 1/π + 1/((√6)π^4) = 2√3,
∴ π = 3.1416016
また
π = √3 + √2 - (√3 + √2)/(4(√3)π^3),
1/π = √3 - √2 + (√3 - √2)/(4(√3)π^5), √3 = 1 + (1/2) 1.1^4 = 1.73205
√2 = 1 + 0.8^4
π = √3 + √2 = 2 + (1/2) 1.1^4 + 0.8^4 = 3.14165 個人的に…
無理数とは一生続くと考えられているが
無理数とは人間が解けないことにより勝手に
無理だと諦めた数字であるよって無理数は存在しない…(そう信じている!!) >>186
π^2 = (3 + 14/99)^2
= 9 + 28/33 + 1/50
= 10 - 5/33 + 16/(23・33)
= 10 - 3/23
= 9.86956522
π^2 = (3 + 14/99)^2
= 9 + 28/33 + 1/50
= 10 - 5/33 + 23/(33^2)
= 9.86960514 >>197
φ = √(π/a) より
π = aφ^2,
π - a - √(aπ) = 0,
0 = (π-a)^2 - aπ
= π^2 - 3aπ + aa
= (π - 3a/2)^2 - 5aa/4,
π = aφ^2 = (3+√5)a/2 = 1.8 + √1.8 >>206
下から2行目
π = (√3 + √2) {1 - 1/(4√3・π^4)},
を4乗して
π^4 = (√3 + √2)^4 {1 - 1/(√3・π^4)},
これを解いて
{π/(√3 + √2)}^4 = (1 + √(1 - 196/√3 + 80√2))/2 = 0.994072927
∴ π = (0.994072927)^(1/4) * (√3 + √2)
= 0.998514926 (√3 + √2)
= 3.14159194
最後の行は
1/π = (√3 - √2) {1 + 1/(4√3・π^4)}, a = 0.00727079154 に対して
π = √(3-a) + √(2-a) = 3.141591246
1/π = √(3-a) - √(2-a) = 0.318310029
π + 1/π = 2√(3-a) = 3.459901275
π - 1/π = 2√(2-a) = 2.823281217
(a = 1 - exp(-α),
α = 0.00729735257 は Sommerfeld の微細構造定数) π≒22/7 と π≒(20/9)√2 から
π = (160/9)√2 - 22 = 3.14157444 π ≒ (20/9)√2 = 3.1427
π ≒ (64/27)(√2 - 4/45) = 3.14151
から
π = (64/29){(77/72)√2 - 4/45} = 3.14159216 >>206
p = √3 + √2 = 3.14626437
π = p - (√2) /p^5 - √(2/3) /p^8 - … = 3.14159223 (3 + √5)(√7 + √11) = 31.2194 > π^3,
(3 + √11)(√5 + √7) = 30.8366 < π^3,
π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3) - (√7)/2]^{1/6}
= 3.141587 π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3)]^{1/6} - 8/(571√385)
= 3.1415926518 tan(1) < π/2.
(略証)
1 = π/3 - δ,
δ = 0.04719755
加法公式で
tan(1) = tan(π/3 - δ)
= {tan(π/3) - tanδ}/{1 + tan(π/3)tanδ}
= (√3 - tanδ)/{1 + (√3)tanδ}
< 3/(√3 + 4 tanδ)
< 3/(√3 + 4 δ)
< 3/(1.732 + 4・0.047)
= 3 / 1.92
= (5/4)^2
< π/2,
なお tan(π/4) = 1, >>196
√(π/1.2) = φ を利用して「円積問題」を解く。
半径rの円が与えられたとする。
(-r,0) (6r/5,0) を直径の両端とする円を描く。
y軸との交点は A(0,±L) L= r√(6/5),
B(L/2,0) とすると AB = (√5)/2・L
Bを中心とし、Aを通る円周を描く。
x軸との交点は C(Lφ,0)
OCを一辺とする正方形を描く。
その面積は与えられた円の面積にほぼ等しい。 >>174
(π^4)/90 = ζ(4) = 1.0823232337 = (97 + 9/22)/90,
兄さん兄さん兄さん… {x^(3/2) - 1}^2 - x^2 = 11,
(x^3 - x^2 - 10)^2 - 4x^3 = 0,
の解だから無理数だよ >>218
arctan(2/π)
= 2 arctan(2/[π + √(π^2 + 4)]) (← 半角)
< 2 arctan(π/[π^2 + 1 - 1/π^2])
< 2 arctan(0.291745)
< 2{0.291745 - (0.291745^3)/3 + (0.291745^5)/5} (←マクローリン)
< 0.567781
< (π/2) - 1,
∴ arctan(π/2) > 1,
∴ π/2 > tan(1).
*) √(π^2 + 4) > π + (2/π) - 2/(π^3), >>171
>>176
π = (31 + 6/31^2)^{1/3} = 3.14159153
π = (31^2 + 12/31)^{1/6} = 3.14159151 >>176
X=π^3 とおくと
X^4 - 31X^3 - 187 = 0,
X = 31.006273254
X^(1/3) = 3.141592538
(別解)
X^3 - 31X^2 -6 = 0,
X = {31 + [31^3 +81 +9√(2・31^3 + 81)]^(1/3) + [31^3 +81 -9√(2・31^3 +81]^(1/3)}/3
= 31.0062409821
X^(1/3) = 3.141591448 πの無理数性の新証明を見つけたら修士論文くらいにはなりますか? 円周率の新発見7π-21=0.9911485751285このあと1-0.9911485751285とやると0.0088514248715になる
あとはこれに円周率3.1415926535897を足し算していくと22で22.0000000000000になります不思議です 真円どころか楕円の面積すら
ゲロ四苦八苦してるじゃん 無理数であることがすぐわかるような有理近似列はないか ルート2を近似する連分数をとったら
もっといいのがあるかな ChatGPTに質問してみたら答えがわかるかもしれないな。 arctanが代数函数ではないことは零点を見れば明白だが
πの連分数展開からは代数性は明白ではない。
2次の無理数の特徴づけに類したものが必要であろう。 こういうことは成り立つか?
「循環をしない無限に続く連分数により与えられる数は無理数」? 有理数ではない、すなわち無理数というののは素朴に実感できるが
超越数というのは実感に訴えにくい
だから解析数論という分野があるんだろう 無理数というのを
有理数からの離れ具合で理解すれば
超越数は素朴に実感できる 有限状態オートマトンから生成される、小数展開の列が定める実数については
それが代数的無理数にはならないというようなことを(うろ覚えだが)
たしか、ファンデルポールテンという人が示したというような記憶がある。
でもどこに証明が載っているかを知らない。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています