>>1
背理法による。
まず、n,p,q を自然数とし、2n 次式を
　f(x) = (1/n!){x(p-qx)}^n,
とおく。
　0 < f(x) ≦ (1/n!)(pp/4q)^n 　(0<x<p/q)
だから、
　0 < a_n = ∫[0,p/q] f(x)sin(x)dx
　　< ∫[0,p/q] f(x)dx
　　< (1/n!)(p/q)(pp/4q)^n
　　→　0　　(n→∞)
nが十分大きければ、a_n は整数でない。
ところで、
　f(0), f '(0), f "(0), ････, f(p/q), f'(p/q), f "(p/q), ････
はすべて整数である。
　F(x) = f(x) - f "(x) + f ""(x) - ･････
とおけば、
　f(x) = F(x) + F "(x),
　a_n = ∫[0, p/q] f(x)sin(x)dx
　　　= ∫[0, p/q] {F(x) + F "(x)}sin(x)dx
　　　= [ -F(x)cos(x) + F '(x)sin(x) ](x=0,p/q)
　　　= F(0) + F(p/q) + F'(p/q)sin(p/q),
上に述べたことから、F(0) と F(p/q) は整数である。
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ここで、背理法の仮定から、π=p/q となる自然数 p,q をとる。
そうすれば sin(p/q) = sinπ = 0 だから、
　a_n = F(0) + F(π) = (整数),
となって矛盾が生じる。

数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982)　p.80.