円周率について語り合おう【π】

**１３２人目の素数さん** · 2012/01/15(日) 12:53:56.58

lim_[n→∞]n*cos(90-180/n)=π

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 00:27:23.80

>>381
√2+√3を使う規則性のあるπの公式
π = (2/3)/(a/p^2 - (1/2)^3*(a+28)/p^10 + ((1*3)/(2*4))^3*(a+56)/p^18 - ((1*3*5)/(2*4*6))^3*(a+84)/p^26 + ...),
p=√2+√3, a=7-2√6

**あぼーん** · NG

あぼーん

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 03:57:25.26

円周率が3.05以上であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 08:40:28.05

単位円に内接する正８角形の半周の長さを求める。

(1,0) と (0,1) の間にある頂点を (x,y) とすると
　x=y>0, xx+yy=1　より　(x,y)=(1/√2, 1/√2) となる。

一辺の長さは
　L = √{(1/2) + (1-1/√2)^2} = √(2-√2),
ところで
　99^2 - 2･70^2 = 1　より　√2 < 99/70,
　4･70･41 - 107^2 = 31　より　41/70 > (107/140)^2,
したがって
π > 4L
　= 4√(2-√2)
　> 4√(2 - 99/70)
　= 4√(41/70)
　> 4(107/140)
　= 107/35
　= 3 + 2/35
　> 3.05

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 09:54:28.80

正解っすね。他の解き方としては三角関数を用いたり、ルート2の近似値を直接用いて解く方法もあったり。

これは有名なので知ってるかもしれないんですが、円周率が3.14であった最後の年に東大で出された受験問題。
円周率を3とした文科省への抗議とされてる有名な問題。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 14:18:16.20

抗議したの誰だろうね。
変な人だね。
初めは概略だけにして、徐々に詳しく…というのが常道だと思うけどな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/11(火) 16:05:10.04

行列が終わる年にも、まさかの大問2つまるごと行列だったりしてるから、東大は不満を試験にぶつけてくるw

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 02:02:17.42

今知ったんだけど行列なくなったんか
高校レベルの行列って数式の表記の話でしかないし、削る程のものでもないと思うんだけどな

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 03:35:30.61

行列が消えて複素数平面が１５年ぶりくらいに復活。
複素数平面はかなりえげつないので、行列のままなら受験生がかなりラクなんやけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 18:24:10.71

>>389
東大, 2003年理系, 大問６
http://www.youtube.com/watch?v=e5aTDC8tgwM 05:32,
http://www.youtube.com/watch?v=sxpC4y5VMkI 03:41,

(大意)　前は17分以上かかってたけど…

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 19:03:35.54

単位円に内接する８角形の半周の長さを求める。
　(1,0)　(12/17, 12/17)　(0,1)　(-12/17, 12/17)　(-1,0)
に頂点があるとする。
一辺の長さは
　L = √{(12/17)^2 + (1-12/17)^2} = 13/17,

一方、
　2･(12/17)^2 = 288/289 < 1,
∴　頂点および辺は、円周上または内側にある。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4 L
　= 4･(13/17)
　= 52/17
　= 3 + 1/17
　= 3.0588…

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 20:15:58.49

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1442160154
のベストアンサーにあります。
　mbi1510 さん
　2010/6/13　0:54

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1372371693
の「その他の回答」
　mie******** さん
　2011/9/30　16:28
もほとんど同じ方法と思います。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/13(木) 14:18:54.92

単位円に内接する12角形の半周の長さを求める。
　A(1,0)　B(41/48, 1/2)　C(1/2, 41/48)　D(0,1)
に頂点があるとする。
辺の長さは
　AB = CD = (1/48)√(7^2 + 24^2) = 25/48,
　BC = (41/48 - 1/2)√2 = 17/(24√2) > 1/2,
ここで
17^2 - 2･12^2 = 1,　17 > 12√2　を使った。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4AB + 2BC
　> 25/12 + 1
　= 3 + 1/12
　= 3.0833…

もう秋田？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/20(木) 22:17:03.22

Ln(640320^3+744+196884/(-(640320^3+744))+21493760/(-(640320^3+744))^2)/sqrt(163)
=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494

https://hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1621516129/1

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:17:13.44

>>398の式は微妙に間違っているらしい
正しくは
ln(640320^3+744+196884/(-640320)^3+(744*196884+21493760)/(-640320)^(3*2))/sqrt(163)

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:32:02.45

>>330
>>332-335
結局q^2の所で使う係数を間違えていたから精度が上がらなかったのでしょう。
ムーンシャインとかj-不変量の係数をそのまま突っ込んでも駄目で項を増やしていくと
複雑な計算が必要になってくるようです。

A178449 - OEIS:
https://oeis.org/A178449

↑に係数が乗ってるけど、どうやって計算しているかはよく分からん

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:34:35.39

>>399
とりあえずごちゃごちゃしているのでシンプル？に
ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6)/163^0.5

更に精度を上げると
ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6-180592706130/640320^9)/163^0.5

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:38:36.69

さらにもっと精度を上げると
pi-ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6-180592706130/640320^9+217940004309743/640320^12)/163^0.5

q^3以上計算はかなり重たくなってきます

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 04:46:09.40

Log[((3+√5)(√5+√7)(√7+√11)(√11+3)/(4√2))^12-24]/√385
=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058...

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613029064/92

Conjecture:
π = Log[k - 24 - 276/k - 8672/k^2 - 344658/k^3 -...]/√385,
k = ((3+√5)(√5+√7)(√7+√11)(√11+3)/(4√2))^12

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 12:59:32.78

>>351
1年以上経っても変わっていないな。
誰か新たに計算しているのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 02:31:02.14

>>402
なんか精度の挙動がおかしいと思たら
https://oeis.org/A178449
は近似で求めた係数で√163にしか使えない(4次以上が誤り)

q-展開からきちんと求めた係数は以下の通り

[1,744,-196884,167975456,-180592706130,
217940004309744,-282054965806724344,
382591095354251539392,-536797252082856840544683,
772598111838972001258770120,
-1134346327935015067651297762308,
1692324738742597705005194275401888,
-2558136060792026773012451913035887538,
3909566534059719280565543662082528637552,
-6030806348626044568366137322595811547663800,
9377648421379464305085605549750143357652168640,
-14683413510495912973021347501907744913788055440950]

この修正した係数をa[n]とすると
Log[640320^3 + 744 + Σ[n=1,15] a[n]/640320^(3n)]/√163
で誤差が10^(-244)以下

Log[t + 744 + Σ[n=1,15] a[n]/t^n]/√1435,
t = (108 (2+√5)^10 (9559+2212√5+1315√41+425√205)^2 - 12)^3
で誤差が10^(-827)以下になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 06:17:54.98

ちょっと強引なπの1000桁近似をしてみた

近似1(j-invariant, ε<10^(-1055)):
Log[t+744-196884/t+167975456/t^2-180592706130/t^3+217940004309744/t^4-282054965806724344/t^5+382591095354251539392/t^6-536797252082856840544683/t^7+772598111838972001258770120/t^8]/√6307,
t = (27 (4+√17)^16 (1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2 - 12)^3

近似2(eta function, ε<10^(-1109)):
Log[u+24-276/u+8672/u^2-344658/u^3+15390480/u^4-737293560/u^5+37026698304/u^6-1923581395371/u^7+102518730258488/u^8-5573961072647172/u^9+307952836032412512/u^10-17239165406937117618/u^11+975709822658417655696/u^12]/√3502,
u = (2 (a+√(a^2-1))^2 (b+√(b^2-1))^2 (c+√(c^2-1)) (d+√(d^2-1)))^6,
a = (23+4√34)/2, b = (19√2+7√17)/2, c = 429+304√2, d = (627+442√2)/2

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 12:13:11.46

おおすごい

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 04:10:26.28

ただのメモ
e^π-π+1/(1111+(1/(11+((1/√2)))))=20.000000000001214

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 07:56:52.18

単なるメモ
e^π - π + 1/1111 = 20.000000069198476667

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 18:11:27.73

>>397
単位円に内接する16角形の半周の長さを求める。
　A(1,0)　B(12/13, 5/13)　C(9/13, 9/13)　D(5/13,12/13)　E(0,1)
に頂点があるとする。
辺の長さは
　AB = DE = (1/13)√(1^2 + 5^2) = (1/13)√26 > (1/13)(203/40),
　BC = CD = (1/13)√(3^2+4^2) = 5/13,

ここで
　13^2 - 2･9^2 = 7,　26・40^2 - 203^2 = 391　を使った。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4AB + 4BC
　> (4/13)(5 + 203/40)
　= (4/13)(13･31/40)
　= 3.10

あきたこまち

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 23:23:04.65

∴　円周率の近似値は 3.0 ではなく 3.1 だ。　　>>390

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 23:59:13.83

>>410
ちょっと変わった解答を２つ

１．
正五角形の辺と対角線の比は黄金比φなので sin18°=(1/2)/φ=(√5-1)/4
したがって
π > (半径1の円に内接する正10角形の辺の長さの和)/2
= 10sin18°= (5/2)(√5-1) > (5/2)(2.23-1) = 3.075

２．
半径1の円の1/12円弧の長さは弧長の定義より
∫[0,1/2]√((√(1-x^2))'^2+1)dx = ∫[0,1/2]1/√(1-x^2)dx
ここで
(1-x^2)(1+(1/2)x^2)^2 = 1-(3/4)x^4-(1/4)x^6 < 1
より
1/√(1-x^2) > 1+(1/2)x^2
したがって
π = 半径1の円の1/2円弧の長さ = 6∫[0,1/2]1/√(1-x^2)dx
> 6∫[0,1/2](1+(1/2)x^2)dx = 6(1/2+(1/6)(1/2)^3) = 25/8 = 3.125

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 18:33:29.43

ちょっと変わった解答（π>3.05の証明）の続き

3．(不完全18角形近似)
sinθ = 25/144, 0<θ<π/6
を満たすθを評価する
sin(3θ) = 3sinθ-4(sinθ)^3 = 373175/746496 < 1/2
より
3θ < π/6
したがって
π > 18θ > 18sinθ = 25/8 = 3.125

4．(変形マチンの公式)
sinα = 5/13, tanβ = 1/239, 0<α<π/2, 0<β<π/2
を満たすα,βを評価する
tanα = (5/13)/√(1-(5/13)^2) = 5/12,
tan2α = 2(5/12)/(1-(5/12)^2) = 120/119,
tan(2α-β) = (120/119-1/239)/(1+(120/119)(1/239)) = 1
より
2α-β=π/4
したがって
π = 4(2α-β) > 4(2sinα-tanβ) = 4(10/13 - 1/239) > 3.06

5．(少し精度の良い解答)
0 < ∫[0,1] x^6 (1-x)^4/(1+x^2) dx
= ∫[0,1](-4+4x^2-4x^4+5x^6-4x^7+x^8 + 4/(1+x^2))dx
= -1979/630 + π
より
π > 1979/630 > 3.1412

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/25(火) 04:13:20.37

6.　(B.C.Carlson　*)
　θ > 3/(1/sinθ + 1/sinθ + 1/tanθ) = 3sinθ/(1+1+cosθ),
を使う。　　　　　　　　← 牛刀
　sin(π/4) = 1/√2,　　cos(π/4) = 1/√2,
を入れれば
　π > 12/(2√2 + 1) = 12{(2√2 - 1)/7} = 3.13445

　sin(π/6) = 1/2,　　cos(π/6) = (1/2)√3,
を入れれば
　π > 18/(4+√3) = 18{(4-√3)/13} = 3.14023

　sin(π/12) = √{[1-cos(π/6)]/2} = (√3 - 1)/√8,
　cos(π/12) = √{[1+cos(π/6)]/2} = (√3 + 1)/√8,
を入れれば
　π > 36 (√3 -1)/(1 + 4√2 + √3)
　　= 36 {(-14 -22√2 -√3 +26√6)/193}
　　= 3.14151

*)　相加平均, 相乗平均は θより大きく(Snellius-Huygens)、
　調和平均はθより小さい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/25(火) 14:42:40.63

10進数じゃなくて他の数え方だったら有理数になったりしないかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 11:55:28.55

7. (オイラー積)

マクローリン展開
　sinθ = θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - ……
と
オイラーの無限乗積表示
　sinθ = θ Π[k=1,∞] {1 - (θ/kπ)^2}
　　　　= θ - (θ^3)/(ππ) Σ[k=1,∞] 1/k^2 + ……
の θ^3 の係数を比べて
　1/3! = 1/(ππ) Σ[k=1,∞] 1/k^2,

∴　ππ/6 = Σ[k=1,∞] 1/k^2
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/k^2
　　> 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/(k(k+1))
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] {1/k - 1/(k+1)}
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/4
　　= (1/6)(29/3)
　　> (1/6)(961/100)
　　= (1/6)(31/10)^2,

∴　π > 31/10 = 3.1

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 20:45:23.11

>>415
πに限らず、有理数か無理数かは基数（何進法か）に依存しないよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 21:38:20.86

それじゃ面白くない。七進無理数とかニ進無理数とかあるとおもろいのに

**ジョア** · 2021/05/26(水) 21:45:49.81

http://oeis.org/A217575
http://oeis.org/A217571
http://oeis.org/A217570

　　/) ／　／
( @ @ )／
ヽ▽ノ神と交信して数列を教えてもらった。
∪▼∪ 世紀の大発見だぜ。
∪∪ それから円周率が3.14じゃないと聞いた。東日本大震災3.11もPiらしいよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 23:30:11.40

何進数かに依存する数に興味があるなら
レピュニットとかを調べてみては？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 00:44:27.36

>>417
そうなんだ初めて知った
でも基数の意味を考えてみると何進数でも有理数無理数の結果が変わらないのは当然だな
どう証明すればいいかは分からんけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 05:34:59.51

>>419
　floor(sqrt(n)) = m
とおくと
　n - mm は {0,1,2,…,2m} のいずれか。
これを組分けして
　{0, 1, …, m-3}　　　　… A217570
　{m-2, m-1}　　　　　… A217571
　{m, m+1, …, 2m-1}　　… A217575
　{2m}

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/28(金) 03:28:54.17

円周率をπ 3.16...をτ 6.28...に変更した方が良いと主張するものがいるが、

sum_(k=0)^∞ ((-1)^k x^(1 + 2 k))/((1 + 2 k)!) = 0 x = 0,±π,±2π,±3π...
ζ(2) = π^2/6
Γ(1/2) = (π)^0.5

やっぱπ 3.16..の法が良いわ。
τ 6.28..だと2πが計算でよく出てくるけど少し単純になるという以外は変更する理由はないな

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/29(土) 09:38:05.24

т と τ をつなげば少し短くなる (π) という以外は変更する理由はないな…

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/26(土) 08:51:51.40

バーゼル問題
　Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4,

(略解)
まず半径 R = n/π の円周に内接する正n角形を描く。
頂点 P_k　　(k=1,2,…,n)
隣あう頂点をむすぶ弧の中央に点Aをとる。
中心角　∠AOP_k = (2k-1)/R,　　　(k=1,2,…,n)
弦　　　AP_k = 2R sin((k-1/2)/R)
その(-2)乗の和は
　Σ[k=1,n] 1/(APk)^2 = (π^2)/4　　… (*)
n→∞ とすれば
　Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4
　(終)

(*) を示す所がチョト難しい。
nを2倍したとき、逆ピタゴラスの定理で AP_k が次々と求まることを
活用するのがミソ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/26(土) 08:52:56.28

(参考動画)

Stardy-河野玄斗
http://www.youtube.com/watch?v=91CDe6bwby8 20:35

タマキ/環耀
http://www.youtube.com/watch?v=4hhyR0-xCtw 33:03

元動画　3Blue1Brown
http://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls 19:03

(文献)
"Summing inverse squares by Euclidean geometry"
Johan Waestlund 2010/Dec/08
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/27(日) 03:39:26.32

θ = (k-1/2)π/(2n)　として

1/{R sin(2θ)}^2 = 1/(2R sinθ cosθ)^2
　= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}/(2R sinθ cosθ)^2
　= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R cosθ)^2
　= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R sin(θ+π/2))^2,

逆ピタゴラスを使ってこれを図形的に示した。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/28(月) 03:59:25.18

f(θ) = 3/(sinθ)^4 - 2/(sinθ)^2
として半角公式を使うと
f(θ) = (1/16){f(θ/2) + f(π/2-θ/2)}
これを繰り返して
8 = f(π/4) = (1/16^n)Σ[k=1,n] f(π(2k-1)/2^(n+2))
ここでn→∞とすると
π^4/96 = Σ[k=1,∞] 1/(2k-1)^4
したがって
ζ(4) = (π^4/96)/(1-1/2^4) = π^4/90

この証明も初等幾何に置き換えられるはず

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/15(木) 01:54:36.21

π/4 = Π[p:odd prime](p/(p-(-1)^((p-1)/2)))
= (3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(4*4*8*12*12*16*20*24*…) (Euler)

π/2 = Π[n=1,∞]((2n)^2/((2n-1)(2n+1)))
= (2*2*4*4*6*6*8*8*…)/(1*3*3*5*5*7*7*9*…) (Wallis)

π/(4√3) = Π[p:prime](p/(p+(-1)^(p mod 3)))
= (2*3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(3*4*6*6*12*12*18*18*24*…)

2π/√3 = Π[p:prime](p/(p-(-1)^(p mod 3)))
= (2*3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(1*2*4*8*10*14*16*20*22*…)

2π/(3√3) = Π[n=1,∞]((3n)^2/((3n-1)(3n+1)))
= (3*3*6*6*9*9*12*12*…)/(2*4*5*7*8*10*11*13*…)

π/3 = Π[n=1,∞]((6n)^2/((6n-1)(6n+1)))
= (6*6*12*12*18*18*24*24*…)/(5*7*11*13*17*19*23*25*…)

π(1+√5)/10 = Π[n=1,∞]((10n)^2/((10n-1)(10n+1)))
= (10*10*20*20*30*30*40*40*…)/(9*11*19*21*29*31*39*41*…)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/21(水) 15:09:59.16

円周率は50兆桁までしかないのかよ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/21(水) 21:42:08.37

実際のところ、3で十分だろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/22(木) 15:05:27.15

>>431
あなたは正６角形が円に見えますか

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/22(木) 15:08:26.76

見えませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/22(木) 16:35:01.25

せめて正８角形以上にしてくれないと

昔の東大受験生

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/23(金) 17:20:35.85

暇に任せて、正2^n角形の週長を求めて極限が2牌になることを確かめたが
これ高校生の範囲かな
例の sin x /x -> 1 は証明は別にして数３辺りでは習うの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/26(月) 07:13:46.70

x=3/φ=1.8541 のとき x^x=π

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/26(月) 10:44:45.06

円周率の公式を発見した
π=(360/θ*(√(2-2*√((COS2θ+1)/2))))/2

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/28(水) 08:49:46.00

>>436
証明か解説かどこかにあったら教えてくださいませんか
よろしく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/02(月) 17:56:49.28

いろんな重要な函数の特殊値がπを与えるという話はたくさん見たが
>>436　は見たことない俺は未熟者か

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/02(月) 20:34:44.48

近いだけでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/03(火) 01:49:36.72

π^2/6 - Σ[n=1,10000] 1/n^2 = 0.0000999950001666666663333333357...
π^4/90 - Σ[n=1,10000] 1/n^4 = 0.0000000000003332833366666666500000002222222172222223888888812111115777777416...

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/03(火) 02:45:05.65

√(π/log10)Σ[n=-10,10] 10^(-(πn/log10)^2)
= 1.200200002000000200000000200000000002000000000000200000000000000
200000000000000002000000000000000000200000000000000000000
200000000000000000000002000000000000000000000000200000000000000000000000000
2000000000000000000000000000...

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/08(日) 12:01:27.99

>>441
正の奇数mに関して以下の連分数が成り立つ
π^2/6 - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^2 = 2/(m + 1/(3m + 2^4/(5m + 3^4/(7m + 4^4/(9m + ...)))))

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 13:26:38.05

>>243
(π^4)/90 = ζ(4) = 1.0823232337 = (97 + 9/22)/90,

　　　　　　　　　兄さん兄さん兄さん…

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 14:13:41.40

>>443
連分数展開式の続き
ζ(3) - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^3 = 2/(m^2+1 - 4/(3m^2+2^4-1^4 - 4*2^6/(5m^2+3^4-2^4 - 4*3^6/(7m^2+4^4-3^4 - 4*4^6/(9m^2+5^4-4^4 - ...)))))

m=1の場合:
π^2/6 = 2/(1 + 1/(3 + 2^4/(5 + 3^4/(7 + 4^4/(9 + ...))))),
ζ(3) = 2/(1+1 - 4/(3+2^4-1^4 - 4*2^6/(5+3^4-2^4 - 4*3^6/(7+4^4-3^4 - 4*4^6/(9+5^4-4^4 - ...)))))

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/10(火) 07:40:00.99

>>441
まとめ
π^2/6 - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^2 = 2P[m], m:odd
π^2/8 - Σ[n=1,m/2] 1/(2n-1)^2 = (1/2)P[m], m:even
ここで
P[m] = 1/(m + 1/(3m + 2^4/(5m + 3^4/(7m + 4^4/(9m + ...)))))

ζ(3) - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^3 = 2Q[m], m:odd
7ζ(3)/8 - Σ[n=1,m/2] 1/(2n-1)^3 = (1/4)Q[m], m:even
ここで
Q[m] = 1/(m^2+1 - 4/(3m^2+2^4-1^4 - 4*2^6/(5m^2+3^4-2^4 - 4*3^6/(7m^2+4^4-3^4 - 4*4^6/(9m^2+5^4-4^4 - ...)))))

ζ(4)以降がうまく示せない

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/10(火) 19:16:59.00

>>240 >>243
近似式を作ってみた

97^(272/1087) = 3.14159265426...
166^(335/1496) = 3.141592653314...
(35 + 8716/44629)^(271/843) = 3.1415926535897932381736...
(410508 + 757/3675)^(189/2134) = 3.141592653589793238462561...

>>442
類似式
√(π/log10)Σ[n=0,10] 10^(-(π(n+1/2)/log10)^2)
= 0.4000999990000000999999999000000000009999999999999
000000000000000999999999999999990000000000000000000999999999999999999999
000000000000000000000009999999999999999999999999000000000000000000000000000...

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 18:38:27.82

{x^(3/2) - 1}^2 - x^2 = 11,
(x^3 - x^2 - 10)^2 - 4x^3 = 0,

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 03:16:20.82

>>240
π^3 = √(31^2 + 12/31 + 2/31^2)
　= 31 + 6/31^2 + 1/31^3 - 18/31^5 + ････
　= 31 + 187/31^3,
π = (31 + 187/31^3)^(1/3) = 3.14159267

>>409
e^π - π + 9/10000 = 19.99999997919

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 12:44:48.41

円周率62兆8000億桁計算、世界記録更新スイス研究チーム
https://www.afpbb.com/articles/-/3361996

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 12:47:44.27

このページはまだ円周率62兆桁で書き換えられていないな
https://www.afpbb.com/articles/-/3361996

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 12:48:21.67

>>451
リンク間違えた
http://www.numberworld.org/y-cruncher/

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 12:53:09.53

富岳の研究者も検証に参加するんだろうか？
そうなると検証にかかった計算時間が気になるな。
下記は50兆桁での情報。計算に303日、検証では17.2時間とか。

January 29, 2020 January 29, 2020 Blog Timothy Mullican Pi 50,000,000,000,000
Compute: 303 days

Verify: 17.2 hours

Validation File

4 x Intel Xeon E7-4880 v2 @ 2.5 GHz

315 GB

48 Hard Drives

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:03:29.91

円周率を62兆8000億桁まで計算して世界記録を更新したコンピューターのスペックとは？
https://gigazine.net/news/20210818-davis-pi-62-trillion/

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:12:15.88

NASAでは円周率を何桁まで使っているのか？
https://gigazine.net/news/20201004-nasa-pi-calculation/
＞「存在し得る最大のサイズ、宇宙の大きさで考えてみましょう。宇宙の半径は約460億光年あります。もし半径460億光年の円の円周を、最も単純な原子である水素原子の直径0.1ナノメートルほどの誤差しか生じないよう正確に計算するには、円周率は何桁が必要でしょうか？」とレイマン氏は問いかけます。

＞レイマン氏によると、答えは「小数点以下39桁か40桁が必要」だとのこと。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:37:25.05

1年半かかって、50兆桁、22.8兆桁更新、62.8兆桁になったとか。

ということは予測では来年中あたりに100兆桁とかかな？
素直に計算時にもスパコンを使えばもっと早いだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:41:34.38

みんなy-cruncherを使っていて、
スパコン用redhatlinuxみたいに機種ごとにバージョンリビジョン管理、
つまり計算者ごとにバージョン管理されていて、
それで順番にやっているんだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:48:20.76

62兆8318億5307万1796桁

10^62831853071796

・・・結構でかい値だなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/19(木) 14:49:07.46

円周率を62兆8000億桁まで計算して世界記録を更新したコンピューターのスペックとは？
https://gigazine.net/news/20210818-davis-pi-62-trillion/

＞DAViSで使われたコンピューターには、32コア・64スレッド・周波数2.9GHz・バースト周波数3.4GHzで・L3キャッシュ128MBのAMD EPYC 7542が2基と、
＞1TBのRAMが搭載されており、
＞さらにOSはUbuntu 20.04がインストールされているとのこと。
＞また、円周率の計算プログラムには、Googleやマリカン氏が世界記録を更新した時にも使われたy-cruncherが使用されました。

＞DAViSは「SSDは時間経過とともに性能が低下する」という判断から、16TBの容量を持つ7200RPMのHDDが38台搭載したJBODを使用。
＞これはメモリが非常に高価であることを考慮したためで、38台のうち34台はスワップ領域に使われており、データストレージ自体は510TBだそうです。

AMD EPYC 7542 ×2 合計64コア
1TBメインメモリ
Ubuntu 20.04
y-cruncher
16TB7200RPMHDD38台(608TB)JBOD

次(来年情報開示めど？)はこのスペックを超えないといけないわけだ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/20(金) 16:15:46.72

　チャチだな、

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/20(金) 17:19:50.78

今のEPYCだと×1で64コアかな？

次の計算に使われるのはEPYC 7763で2チップ128コア256スレッドとかなのかもな。

計算に時間がかかるので、今現在で最新の条件で計算を開始しても、
結果はやはり1年後とかになるんだろうな。

世界最高スパコンとかは円周率の計算に使わないよな？
他にも使う必要があるからとか理由はたくさんあるだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/21(土) 02:45:35.01

>世界最高スパコンとかは円周率の計算に使わないよな？
バブル時代では普通に世界最速のスパコン使って日米で記録競争をしていた
理由はスパコンのハードとソフトのバグを発見するためだったらしいが
一部のシミュレーション屋さんからは顰蹙を買っていた

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/01(水) 01:42:30.37

22/7から始まる公式
π = 32Σ[n=0,∞] (165+902n+1533n^2+820n^3) (4n)! (4n+4)! / ((-4)^n (8n+8)!)
「面白い問題おしえて～な 38問目」 - 57 より

初項のみで
π ≒ 22/7 (=3.14285)
初項とn=1の和で
π ≒ 47171/15015 (=3.14159174)

1項足すごとに1/1024ずつ精度がよくなる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 09:41:24.65

>>419
　3.11 = Pi = (99/100)π
∴　π = 311/99 = 3 + 14/99 = 3.141414

他にも
　π = 3 + (√2)/10 = 3.141421

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 10:10:45.84

>>240
　π = (31 + 6/31^2)^{1/3} = 3.14159153
　π = (31^2 + 12/31)^{1/6} = 3.14159151

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/26(火) 21:11:00.47

>>449
X=π^3　とおくと
　X^3 - 31 X^2 - 6 = 0,
　X = {31 + [31^3 +81 +9√(2･31^3 + 81)]^(1/3) + [31^3 +81 -9√(2･31^3 +81]^(1/3)} /3
　　= 31.0062409821

　X^(1/3) = 3.141591448

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/07(火) 20:34:17.32

富士通のFEFSストレージを使えるシステムがあれば、
1TB毎秒で書き込みできるらしい。
最大8EBまでらしく、最大容量を34時間で書き込み可能らしい。

円周率の計算は、ストレージの容量と速度がネックになって、計算時間がかかっていると思われる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/07(火) 21:04:01.65

＞「FEFS」はオープンソース・ソフトウェア「Lustre」をベースに、独自機能を追加。「Lustre」の約1～3倍となる

とあり、Lustre(ラスター)の限界が8EBなので8EBが限界となっているようである。
ちなみに>>459にあるように、62兆桁で608TB(18TBHDD38台)必要だったとなっているらしい。
なので8EBだと13000倍桁程度記録可能なようだ。62兆×13000桁である。

検証作業に富岳などのスパコンが使われているようだが、
ストレージ容量の限界が一般PCやサーバでは厳しいようで、
計算速度の格差が顕著である。

FEFSがどんなシステムに接続できるか分からないが、
少なくともPrimeHPC FX1000で使えるようだ。
風の噂ではストレージだけで8EBで70億円程度であるようだ。
スパコン自体を最低構成すると1億数千万円らしい。

どこかがこういったシステムで円周率を計算すると、
検証用システムを8EBより大きく作らないといけないはず。

なので、ぜひやるべきである。

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/07(火) 21:08:09.14

現在の円周率の計算はすでに始まっているはずで、
その結果は100兆桁程度と目される
(現在の普及品のHDDの最大容量は18TBのままで、試作品付近を使って増えても24TBとかだろう。)。
結果が出るのは来年あたりだろう。

その次くらいで、8EBに挑戦してもらいたいものである。

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/07(火) 21:40:48.27

また風の噂だが、NANDメモリらしい。
1TB/sという基準も越さないといけない可能性がある。

ここはまだ未解決問題である。

日本国内ではNECくらいしか他にスパコンを作っていないわけだが、
NECあたりはどう考えるんだろうな？
作って売らないといけないし、撤退されたら国としては困るし。
国内1社だけでは問題があるはず。
あとキオクシア。サムスンにNANDメモリの価格・最大容量等で勝っていない。
その結果NANDメモリはサムスンなどを使っているようであり、
ここは問題である。

容量を増やしたい理由は、2テトレーション6の計算結果の全体を格納するストレージが欲しいという理由である。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 10:46:06.67

＞ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式
＞BBP公式は、先行する桁を計算せずにπ の十六進法のn桁目（つまり π の二進数の4n桁目）を直接求めるスピゴット・アルゴリズム（英語版）を与える。

１６進法表示で可能なのはどういう性質が理由なんだろ？他の進法では不可能なことは証明されてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/22(日) 10:14:28.25

62831853071796桁の値ってのは、
10^10^14の範囲内に相当。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/10(金) 18:15:48.31

Googleが100兆桁の円周率計算に成功、2019年以来2度目の世界記録を樹立
https://news.yahoo.co.jp/articles/4808eb1cea78ca1069c5ff79f3878b34a97ac53d

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/10(金) 18:19:33.83

http://www.numberworld.org/y-cruncher/
June 8, 2022 March 21, 2022 Emma Haruka Iwao Pi 100,000,000,000,000
Compute: 158 days
Verify: 12.6 hours
Validation File
128 vCPU Intel Ice Lake (GCP)
864 GB
663 TB storage

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/11(土) 18:01:39.61

class number 8で最大のChudnovsky-type公式

1/π = (12/√(-c^3))Σ[n=0,∞] (6n)!(a + b n)/((3n)!(n!)^3 c^(3n)),
a = (4+√17)^25(
15(10706172588588797811207632964+316246973541710028622817919√17+
1470575343675026487245288512√53+43447274721676141401070816√901)+
32(215831966344869226218118439+429880202247658638391278237√17+
29631605640593798570229213√53+59052272333799198669129544√901)√((27+4√53)/7)),
b = 126(4+√17)^25(
375(528821905988138292054309876+102455141235366220322349627√17+
72639171112096946188240640√53+14073321233034045099041408√901)+
1664(33621971227940718361362137+10208280417257981599588416√17+
4618307493516795625377339√53+1402221324056339034797002√901)√((27+4√53)/7)),
c = 12-27(4+√17)^16(1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+
(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2

これは1項足すごとに105桁増える

**John Titor** · 2022/06/19(日) 13:55:39.16

円周率の求め方
2^1*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^1)+1))
2^2*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^2)+1))
2^3*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^3)+1))
2^4*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^4)+1))
2^5*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^5)+1))
2^6*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^6)+1))
2^7*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^7)+1))
2^8*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^8)+1))
2^9*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^9)+1))
2^10*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^10)+1))
2^11*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^11)+1))
2^12*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^12)+1))
2^13*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^13)+1))
2^14*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^14)+1))
2^15*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^15)+1))
・
・
・

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/21(火) 17:49:17.27

πの計算式でarctan公式は有名だけどarcsin公式は聞いたことがないので強引に作ってみた
・π/2 = 6 arcsin(1/4) + arcsin(7/128)
・π/6 = 4 arcsin(1/7) - arcsin(239/4802)
ここに
arcsin(x) = x + (1/2)x^3/3 + (1/2)(3/4)x^5/5 + (1/2)(3/4)(5/6)x^7/7 +...

これ以上きれいな形にはならないみたい

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/22(水) 15:28:43.97

＞*√(2-2*√
なんか連続で描かれると、ゲシュタルト崩壊してくるな

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/24(日) 23:24:01.97

円周率はすでに10兆桁以上算出されているそうだが、いまだに割り切れない。直径も円周も限りがあり、円周率もどこかで終わりが来るはずたが...

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/25(月) 23:13:22.91

πは円のいち一回転

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/14(金) 11:15:01.21

>>479
＞円周率もどこかで終わりが来るはずたが...

いや円周率は永遠に近似が続くから、終わりは来ないよ。
その原因は、直線と曲線の長さの比を求めようとしているから。

曲線はいくら拡大して見ても曲線であり、直線とはならない。
比べることができない曲線と直線の比を求めようとすると、
曲線を微小区間に分解して、直線とみなした上で比べる他無い。

しかしそれはあくまでも近似でしかない。
そこでさらなる微小区間に分解して比べる。
しかしそれも近似でしか無い。

現在のコンピューターによる円周率を求める競争は、
この微小区間を無限に小さくする競争でしかない。

曲線はどこまで微小区間に分解してみても、
直線にはならないのだから、当然だといえる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/14(金) 20:19:58.78

π進法なら　円周率=10

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/15(土) 12:38:16.22

World's Fastest Supercomputer Can't Run a Day Without Failure
https://www.tomshardware.com/news/worlds-fastest-supercomputer-cant-run-a-day-without-failure

> Mean time between failure on a system this size is hours;
> it's not days."

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/19(水) 10:30:26.76

ふつうのＭ進法による数字の表現は、Ｍが自然数の場合には
数字として0からＭ－１までのものを使う。
しかし、1進法ではあまりうまく行かない。
1（10進数）＝1（1進数）
2（10進数）＝11（1進数）
3（10進数）＝111（1進数）
。。。。
だが、0（10進数）をあらわすときには、””（1進数）と空なる表記が
必要になるが、空文字列を書くことは出来ない。しかたがないので
λ（1進数）と表すかあるいはλの代わりに0を使って0（1進数）と表さざるを
えないのではないだろうか。

演習問題
　なんとかして0進数表現を考えることはできるか？（配点5点）

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/20(木) 17:44:00.91

演習問題（配点、各5点）
1．
nが2以上の偶数である場合に、平面上で
　x^n + y^n = 1
で表される曲線の長さを求めよ。

2．
またnが奇数の場合に、平面上の第一象限（座標の値が負で無い領域）で
x^n + y^n = 1
で表される曲線の長さを求めよ。

3．
a が正の実数である場合に、平面上の第一象限で
　x^a + y^a = 1
で表される曲線の長さを求めよ。