円周率について語り合おう【π】

**１３２人目の素数さん** · 2012/01/15(日) 12:53:56.58

lim_[n→∞]n*cos(90-180/n)=π

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 05:17:54.80

e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))≒640320^3+744=262537412640768744
e^(pi67^0.5)-196884/(-e^(pi67^0.5))≒5280^3+744=147197952744
e^(pi43^0.5)-196884/(-e^(pi43^0.5))≒960^3+744=884736744
e^(pi19^0.5)-196884/(-e^(pi19^0.5))≒96^3+744=885480
e^(pi11^0.5)-196884/(-e^(pi11^0.5))≒32^3+744=33512

e^(pi7^0.5)-196884/(-e^(pi7^0.5))-21493760/(-e^(pi7^0.5))^2-864299970/(-e^(pi7^0.5))^3 -20245856256/(-e^(pi7^0.5))^4-333202640600/(-e^(pi7^0.5))^5-4252023300096/(-e^(pi7^0.5))^6≒15^3+744=4119
e^(pi3^0.5)-196884/(-e^(pi3^0.5))-21493760/(-e^(pi3^0.5))^2-864299970/(-e^(pi3^0.5))^3 -20245856256/(-e^(pi3^0.5))^4-333202640600/(-e^(pi3^0.5))^5-4252023300096/(-e^(pi3^0.5))^6≒0^3+744=744

j(τ)=1/q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4+333202640600q^5+4252023300096q^6+44656994071935q^7+401490886656000q^8+3176440229784420q^9+22567393309593600q^10+…

j関数
http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 05:38:31.38

再訂正
e^(pi163^0.5)+0.00000000000075≒640320^3+744
の
0.00000000000075の誤差部分はモンストラス・ムーンシャインというやつです。
j(τ)=1/q+744+196884p+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4
つまり
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))≒640320^3-744
と評価されます。21493760q^2以降の部分を追加するとこうなります。
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))-21493760/(-e^(pi163^0.5))^2-864299970/(-e^(pi163^0.5))^3
-20245856256/(-e^(pi163^0.5))^4+333202640600/(-e^(pi163^0.5))^5

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 05:39:22.64

再再訂正
e^(pi163^0.5)+0.00000000000075≒640320^3+744
の
0.00000000000075の誤差部分はモンストラス・ムーンシャインというやつです。
j(τ)=1/q+744+196884p+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4
つまり
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))≒640320^3+744
と評価されます。21493760q^2以降の部分を追加するとこうなります。
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))-21493760/(-e^(pi163^0.5))^2-864299970/(-e^(pi163^0.5))^3
-20245856256/(-e^(pi163^0.5))^4+333202640600/(-e^(pi163^0.5))^5

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 15:02:51.17

"分母が小さいにも関わらず考えている数にかなり近い"

有理数を作れるかが勝負なのです

314159265/100000000=3.14159265

355/113≒3.14159292

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/24(月) 03:34:40.31

118１３２人目の素数さん2019/06/22(土) 06:55:51.56ID:mnSGZhQY
π - e = 69/163

　円周率スレ【π】 - 326

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/24(月) 07:55:24.37

>>304 >>305
バーゼル問題について

藤田岳彦：数学セミナー, ５１(3), p.30-36 (2012/Mar)
　「リーマン・ゼータ関数の特殊値を確率論で求める」

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 16:31:45.94

円周率について語り合おう【π】
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/06/29(土) 23:49:38.74

314159265/99999999を約分してみる。
314159265/99999999
=104719755/33333333
=34906585/11111111

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 17:43:08.05

>>339
大数スレは↓ですよん。
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1395323240/

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 17:47:03.91

>>258
> 円周率の小数点以下762桁目から”9”が6回連続で現れるファインマン・ポイント。
　
これ”確率”で考えるとこの早い段階で見つかるのはレアやな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 00:32:56.69

3245
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

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https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 11:14:05.79

1415
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
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**１３２人目の素数さん** · 2019/08/08(木) 10:14:26.35

マクローリン
オッパイ
終。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 05:09:30.02

>>240 >>243 >>316 より

π^4 = 2143/22
　　= 100 - 3(19/22)
　　= 100 - 3(20/23) + 9/(22･23)
　　≒ 100 - 20(3/23) + (3/23)^2
　　= (10 - 3/23)^2,

π^2 ≒ 10 - 3/23 = 9.869565

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/14(土) 15:10:47.47

2020/03/14　15:09:26.5359

(公財)日本数学検定協会(数検)が「数学の日」制定(1997)

日本パイ協会の「パイの日」
http://www7a.biglobe.ne.jp/~pienohi/index.htm

A.アインシュタイン (1879/03/14～1955/04/18)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/14(土) 15:15:29.53

演習ルツのひおめ

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/12(日) 20:12:04.73

なぜ2πが円一周なのか
なぜπでは半円にしかならないのか
それはおっぱいは２つで一つだからである
一つでは不完全だからである

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/17(金) 07:32:29.83

>>243
下の近似式はモジュラー関数に基づく公式
　1/π = {(2√2)/(99^2)}Σ[n=0,∞] (4n)!(1103+26390n)/{(4^n)(99^n) n!}^4
の初項から。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/21(火) 22:07:14.68

いつの間にか50兆桁まで出ていたのね。
http://www.numberworld.org/y-cruncher/

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/21(火) 22:19:15.44

Emma Haruka Iwao is a Japanese computer scientist
https://en.wikipedia.org/wiki/Emma_Haruka_Iwao

31.4兆桁出したGoogleの人抜かれちゃったのね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/21(火) 22:23:56.34

50兆桁出すのに303日もかかったらしいな。
https://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_π

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/21(火) 22:25:32.60

リンクがおかしかったのでもう一度
https://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/23(木) 04:00:47.24

https:/twitter.com/nami_twun2

ニホンザルヒトモドキを焼き殺せ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/02(土) 14:38:25.35

コンピューターの表示環境にもよるが、
ｎ（エヌ）とπ（パイ）が似ていてまぎらわしい。
なんとかしてほしい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/02(土) 17:01:40.84

ぱい п えぬ н ちがうじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/03(日) 06:40:26.16

π
ｎ
うちは違うな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/03(日) 11:00:18.35

Windows XPのパソコンで2ちゃんねるをしていた時代は、
パイがエヌみたいな形に表示されることはなかったのに。

誰だよ、「エヌにそっくりなパイ」を考案した奴は。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/03(日) 13:24:00.33

3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/04(月) 10:36:16.23

3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/14(日) 21:53:19.87

円周率で今計算されている数値で連続するｎ個の10^n個の順列すべてがあるっていう
条件を満たすｎの最大値ってどれくらいでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/28(日) 11:58:00.26

>>312
黄金比は　φ = √(π/1.2)　だから同じだよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 16:59:21.62

>>337
π - e = 69/163

π = 2･37･173/(163･25) = 12802/(163･25),　
e = 11･19･53/(163･25) = 11077/(163･25)　から。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 20:40:36.27

1からNまでの自然数から、無作為に二つを選ぶ、
二つが互いに素となる確率は
N→∞　とするとバーゼル問題の逆数です。　

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/12(日) 00:57:38.29

>>66
3.でなく30.では？1の位が必要。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/23(木) 00:11:29.48

4*(0.5!)^2

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/23(木) 16:10:21.66

22/7は円周率πに近い

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 22:28:53.23

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 20:21:27.06

(π/2 - 1)^8 + (4/3)^8 = 10
より
π = 2(1 + [10 - (4/3)^8]^{1/8}),
だから無理数。(8次の代数的数?)

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 19:54:00.11

　π = 3 + 0.1√2 = √(9 +0.6√2 +0.02),
とおく。
√2 の近似分数を「ペル方程式」を使って求める。
7^2 - 2・5^2 = -1　より
　√2 ≒ 7/5,
　p = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 7/50 = 3.14

10^2 - 2・7^2 = 2　より
　√2 ≒ 10/7,
　q = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 1/7 = 3.142857

{p,p,p,p, q,q,q,q,q} の相加平均、調和平均より
　π' = (4p+5q)/9 = 3 + 223/1575 = 3.1415873
　π” = 9/(4/p + 5/q) = 3 + 1401/9895 = 3.14158666

17^2 - 2・12^2 = 1　より
　√2 ≒ 17/12,
　π = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 17/120 = 3.1416667
　π = √(9 +0.6√2 +0.02)
　　≒ √(9 +0.85 +0.02) = √(9.87) = 3.1416556

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 03:31:46.02

　π^2 + (1/π)^2 = (π - 1/π)^2 + 2 ≒ 10,
　π - 1/π ≒ 2√2,
これを改良して
　π - 1/π + 1/(2π^4) = 2√2,

∴　π = 3.141603

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 13:28:00.47

　π^2 + (1/π)^2 = (π + 1/π)^2 - 2 ≒ 10,
　π ＋ 1/π ≒ 2√3,
これを改良して
　π + 1/π + 1/((√6)π^4) = 2√3,

∴　π = 3.1416016

また
π = √3 + √2 - (√3 + √2)/(4(√3)π^4),
1/π = √3 - √2 + (√3 - √2)/(4(√3)π^4),

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/11(水) 07:54:46.74

√3 = 1 + (1/2) 1.1^4 = 1.73205
√2 = 1 + 0.8^4
π = √3 + √2 = 2 + (1/2) 1.1^4 + 0.8^4 = 3.14165

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/11(月) 20:58:07.90

>>346
π^2 = (3 + 14/99)^2 = 9 + 28/33 + 1/50
　= 10 - 5/33 + 16/(23･33) = 10 - 3/23
　= 9.86956522

π^2 = (3 + 14/99)^2 = 9 + 28/33 + 1/50
　= 10 - 5/33 + 23/(33^2) = 10 - 142/(33^2)
　= 9.86960514

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/09(火) 01:38:02.38

>>363

φ = √(π/a)　より
π = aφ^2,
π - a - √(aπ) = 0,

0 = (π-a)^2 - aπ
　= π^2 - 3aπ + aa
　= (π - 3a/2)^2 - 5aa/4,

π = aφ^2 = (3+√5)a/2 = 1.8 + √1.8

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 07:16:48.92

>>373
下から2行目
　π = (√3 + √2) {1 - 1/(4√3･π^4)},
を4乗して
　π^4 = (√3 + √2)^4 {1 - 1/(√3･π^4)},
これを解いて
　{π/(√3 + √2)}^4 = (1 + √(1 - 196/√3 + 80√2))/2 = 0.994072927

∴　π = (0.994072927)^(1/4) * (√3 + √2)
　　　= 0.998514926 (√3 + √2)
　　　= 3.14159194

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 11:47:18.26

a = 0.00727079154　に対して
π = √(3-a) + √(2-a) = 3.141591246

1/π = √(3-a) - √(2-a) = 0.318310029
π + 1/π = 2√(3-a) = 3.459901275
π - 1/π = 2√(2-a) = 2.823281217

(a = 1 - exp(-α),
α = 0.00729735257 は Sommerfeld の微細構造定数)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 07:38:27.62

>>368 と π ≒ (20/9)√2 から
　π = (160/9)√2 - 22 = 3.14157444

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 00:34:35.06

　π ≒ (20/9)√2 = 3.1427
　π ≒ (64/27)(√2 - 4/45) = 3.14151
から
　π = (64/29){(77/72)√2 - 4/45} = 3.14159216

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 02:32:53.93

>>374
p = √3 + √2 = 3.14626437
π = p - (√2) /p^5 - √(2/3) /p^8 - … = 3.14159223

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/22(月) 11:17:29.31

(3 + √5)(√7 + √11) = 31.2194 > π^3,
(3 + √11)(√5 + √7) = 30.8366 < π^3,

π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3) - (√7)/2]^{1/6}
　= 3.141587

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 15:22:00.04

π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3)]^{1/6} - 8/(571√385)
　= 3.1415926518

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/24(水) 13:40:02.74

tan(1) < π/2.

(略証)
　1 = π/3 - δ,
　δ = 0.04719755
加法公式で
tan(1) = tan(π/3 - δ)
　= {tan(π/3) - tanδ}/{1 + tan(π/3)tanδ}
　= (√3 - tanδ)/{1 + (√3)tanδ}　　　
　< 3/(√3 + 4 tanδ)
　< 3/(√3 + 4 δ)
　< 3/(1.732 + 4・0.047)
　= 3 / 1.92
　= 25/16
　= 1.5625
　< π/2,

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 00:27:23.80

>>381
√2+√3を使う規則性のあるπの公式
π = (2/3)/(a/p^2 - (1/2)^3*(a+28)/p^10 + ((1*3)/(2*4))^3*(a+56)/p^18 - ((1*3*5)/(2*4*6))^3*(a+84)/p^26 + ...),
p=√2+√3, a=7-2√6

**あぼーん** · NG

あぼーん

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 03:57:25.26

円周率が3.05以上であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 08:40:28.05

単位円に内接する正８角形の半周の長さを求める。

(1,0) と (0,1) の間にある頂点を (x,y) とすると
　x=y>0, xx+yy=1　より　(x,y)=(1/√2, 1/√2) となる。

一辺の長さは
　L = √{(1/2) + (1-1/√2)^2} = √(2-√2),
ところで
　99^2 - 2･70^2 = 1　より　√2 < 99/70,
　4･70･41 - 107^2 = 31　より　41/70 > (107/140)^2,
したがって
π > 4L
　= 4√(2-√2)
　> 4√(2 - 99/70)
　= 4√(41/70)
　> 4(107/140)
　= 107/35
　= 3 + 2/35
　> 3.05

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 09:54:28.80

正解っすね。他の解き方としては三角関数を用いたり、ルート2の近似値を直接用いて解く方法もあったり。

これは有名なので知ってるかもしれないんですが、円周率が3.14であった最後の年に東大で出された受験問題。
円周率を3とした文科省への抗議とされてる有名な問題。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 14:18:16.20

抗議したの誰だろうね。
変な人だね。
初めは概略だけにして、徐々に詳しく…というのが常道だと思うけどな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/11(火) 16:05:10.04

行列が終わる年にも、まさかの大問2つまるごと行列だったりしてるから、東大は不満を試験にぶつけてくるw

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 02:02:17.42

今知ったんだけど行列なくなったんか
高校レベルの行列って数式の表記の話でしかないし、削る程のものでもないと思うんだけどな

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 03:35:30.61

行列が消えて複素数平面が１５年ぶりくらいに復活。
複素数平面はかなりえげつないので、行列のままなら受験生がかなりラクなんやけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 18:24:10.71

>>389
東大, 2003年理系, 大問６
http://www.youtube.com/watch?v=e5aTDC8tgwM 05:32,
http://www.youtube.com/watch?v=sxpC4y5VMkI 03:41,

(大意)　前は17分以上かかってたけど…

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 19:03:35.54

単位円に内接する８角形の半周の長さを求める。
　(1,0)　(12/17, 12/17)　(0,1)　(-12/17, 12/17)　(-1,0)
に頂点があるとする。
一辺の長さは
　L = √{(12/17)^2 + (1-12/17)^2} = 13/17,

一方、
　2･(12/17)^2 = 288/289 < 1,
∴　頂点および辺は、円周上または内側にある。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4 L
　= 4･(13/17)
　= 52/17
　= 3 + 1/17
　= 3.0588…

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 20:15:58.49

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1442160154
のベストアンサーにあります。
　mbi1510 さん
　2010/6/13　0:54

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1372371693
の「その他の回答」
　mie******** さん
　2011/9/30　16:28
もほとんど同じ方法と思います。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/13(木) 14:18:54.92

単位円に内接する12角形の半周の長さを求める。
　A(1,0)　B(41/48, 1/2)　C(1/2, 41/48)　D(0,1)
に頂点があるとする。
辺の長さは
　AB = CD = (1/48)√(7^2 + 24^2) = 25/48,
　BC = (41/48 - 1/2)√2 = 17/(24√2) > 1/2,
ここで
17^2 - 2･12^2 = 1,　17 > 12√2　を使った。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4AB + 2BC
　> 25/12 + 1
　= 3 + 1/12
　= 3.0833…

もう秋田？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/20(木) 22:17:03.22

Ln(640320^3+744+196884/(-(640320^3+744))+21493760/(-(640320^3+744))^2)/sqrt(163)
=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494

https://hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1621516129/1

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:17:13.44

>>398の式は微妙に間違っているらしい
正しくは
ln(640320^3+744+196884/(-640320)^3+(744*196884+21493760)/(-640320)^(3*2))/sqrt(163)

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:32:02.45

>>330
>>332-335
結局q^2の所で使う係数を間違えていたから精度が上がらなかったのでしょう。
ムーンシャインとかj-不変量の係数をそのまま突っ込んでも駄目で項を増やしていくと
複雑な計算が必要になってくるようです。

A178449 - OEIS:
https://oeis.org/A178449

↑に係数が乗ってるけど、どうやって計算しているかはよく分からん

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:34:35.39

>>399
とりあえずごちゃごちゃしているのでシンプル？に
ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6)/163^0.5

更に精度を上げると
ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6-180592706130/640320^9)/163^0.5

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:38:36.69

さらにもっと精度を上げると
pi-ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6-180592706130/640320^9+217940004309743/640320^12)/163^0.5

q^3以上計算はかなり重たくなってきます

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 04:46:09.40

Log[((3+√5)(√5+√7)(√7+√11)(√11+3)/(4√2))^12-24]/√385
=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058...

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613029064/92

Conjecture:
π = Log[k - 24 - 276/k - 8672/k^2 - 344658/k^3 -...]/√385,
k = ((3+√5)(√5+√7)(√7+√11)(√11+3)/(4√2))^12

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 12:59:32.78

>>351
1年以上経っても変わっていないな。
誰か新たに計算しているのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 02:31:02.14

>>402
なんか精度の挙動がおかしいと思たら
https://oeis.org/A178449
は近似で求めた係数で√163にしか使えない(4次以上が誤り)

q-展開からきちんと求めた係数は以下の通り

[1,744,-196884,167975456,-180592706130,
217940004309744,-282054965806724344,
382591095354251539392,-536797252082856840544683,
772598111838972001258770120,
-1134346327935015067651297762308,
1692324738742597705005194275401888,
-2558136060792026773012451913035887538,
3909566534059719280565543662082528637552,
-6030806348626044568366137322595811547663800,
9377648421379464305085605549750143357652168640,
-14683413510495912973021347501907744913788055440950]

この修正した係数をa[n]とすると
Log[640320^3 + 744 + Σ[n=1,15] a[n]/640320^(3n)]/√163
で誤差が10^(-244)以下

Log[t + 744 + Σ[n=1,15] a[n]/t^n]/√1435,
t = (108 (2+√5)^10 (9559+2212√5+1315√41+425√205)^2 - 12)^3
で誤差が10^(-827)以下になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 06:17:54.98

ちょっと強引なπの1000桁近似をしてみた

近似1(j-invariant, ε<10^(-1055)):
Log[t+744-196884/t+167975456/t^2-180592706130/t^3+217940004309744/t^4-282054965806724344/t^5+382591095354251539392/t^6-536797252082856840544683/t^7+772598111838972001258770120/t^8]/√6307,
t = (27 (4+√17)^16 (1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2 - 12)^3

近似2(eta function, ε<10^(-1109)):
Log[u+24-276/u+8672/u^2-344658/u^3+15390480/u^4-737293560/u^5+37026698304/u^6-1923581395371/u^7+102518730258488/u^8-5573961072647172/u^9+307952836032412512/u^10-17239165406937117618/u^11+975709822658417655696/u^12]/√3502,
u = (2 (a+√(a^2-1))^2 (b+√(b^2-1))^2 (c+√(c^2-1)) (d+√(d^2-1)))^6,
a = (23+4√34)/2, b = (19√2+7√17)/2, c = 429+304√2, d = (627+442√2)/2

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 12:13:11.46

おおすごい

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 04:10:26.28

ただのメモ
e^π-π+1/(1111+(1/(11+((1/√2)))))=20.000000000001214

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 07:56:52.18

単なるメモ
e^π - π + 1/1111 = 20.000000069198476667

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 18:11:27.73

>>397
単位円に内接する16角形の半周の長さを求める。
　A(1,0)　B(12/13, 5/13)　C(9/13, 9/13)　D(5/13,12/13)　E(0,1)
に頂点があるとする。
辺の長さは
　AB = DE = (1/13)√(1^2 + 5^2) = (1/13)√26 > (1/13)(203/40),
　BC = CD = (1/13)√(3^2+4^2) = 5/13,

ここで
　13^2 - 2･9^2 = 7,　26・40^2 - 203^2 = 391　を使った。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4AB + 4BC
　> (4/13)(5 + 203/40)
　= (4/13)(13･31/40)
　= 3.10

あきたこまち

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 23:23:04.65

∴　円周率の近似値は 3.0 ではなく 3.1 だ。　　>>390

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 23:59:13.83

>>410
ちょっと変わった解答を２つ

１．
正五角形の辺と対角線の比は黄金比φなので sin18°=(1/2)/φ=(√5-1)/4
したがって
π > (半径1の円に内接する正10角形の辺の長さの和)/2
= 10sin18°= (5/2)(√5-1) > (5/2)(2.23-1) = 3.075

２．
半径1の円の1/12円弧の長さは弧長の定義より
∫[0,1/2]√((√(1-x^2))'^2+1)dx = ∫[0,1/2]1/√(1-x^2)dx
ここで
(1-x^2)(1+(1/2)x^2)^2 = 1-(3/4)x^4-(1/4)x^6 < 1
より
1/√(1-x^2) > 1+(1/2)x^2
したがって
π = 半径1の円の1/2円弧の長さ = 6∫[0,1/2]1/√(1-x^2)dx
> 6∫[0,1/2](1+(1/2)x^2)dx = 6(1/2+(1/6)(1/2)^3) = 25/8 = 3.125

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 18:33:29.43

ちょっと変わった解答（π>3.05の証明）の続き

3．(不完全18角形近似)
sinθ = 25/144, 0<θ<π/6
を満たすθを評価する
sin(3θ) = 3sinθ-4(sinθ)^3 = 373175/746496 < 1/2
より
3θ < π/6
したがって
π > 18θ > 18sinθ = 25/8 = 3.125

4．(変形マチンの公式)
sinα = 5/13, tanβ = 1/239, 0<α<π/2, 0<β<π/2
を満たすα,βを評価する
tanα = (5/13)/√(1-(5/13)^2) = 5/12,
tan2α = 2(5/12)/(1-(5/12)^2) = 120/119,
tan(2α-β) = (120/119-1/239)/(1+(120/119)(1/239)) = 1
より
2α-β=π/4
したがって
π = 4(2α-β) > 4(2sinα-tanβ) = 4(10/13 - 1/239) > 3.06

5．(少し精度の良い解答)
0 < ∫[0,1] x^6 (1-x)^4/(1+x^2) dx
= ∫[0,1](-4+4x^2-4x^4+5x^6-4x^7+x^8 + 4/(1+x^2))dx
= -1979/630 + π
より
π > 1979/630 > 3.1412

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/25(火) 04:13:20.37

6.　(B.C.Carlson　*)
　θ > 3/(1/sinθ + 1/sinθ + 1/tanθ) = 3sinθ/(1+1+cosθ),
を使う。　　　　　　　　← 牛刀
　sin(π/4) = 1/√2,　　cos(π/4) = 1/√2,
を入れれば
　π > 12/(2√2 + 1) = 12{(2√2 - 1)/7} = 3.13445

　sin(π/6) = 1/2,　　cos(π/6) = (1/2)√3,
を入れれば
　π > 18/(4+√3) = 18{(4-√3)/13} = 3.14023

　sin(π/12) = √{[1-cos(π/6)]/2} = (√3 - 1)/√8,
　cos(π/12) = √{[1+cos(π/6)]/2} = (√3 + 1)/√8,
を入れれば
　π > 36 (√3 -1)/(1 + 4√2 + √3)
　　= 36 {(-14 -22√2 -√3 +26√6)/193}
　　= 3.14151

*)　相加平均, 相乗平均は θより大きく(Snellius-Huygens)、
　調和平均はθより小さい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/25(火) 14:42:40.63

10進数じゃなくて他の数え方だったら有理数になったりしないかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 11:55:28.55

7. (オイラー積)

マクローリン展開
　sinθ = θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - ……
と
オイラーの無限乗積表示
　sinθ = θ Π[k=1,∞] {1 - (θ/kπ)^2}
　　　　= θ - (θ^3)/(ππ) Σ[k=1,∞] 1/k^2 + ……
の θ^3 の係数を比べて
　1/3! = 1/(ππ) Σ[k=1,∞] 1/k^2,

∴　ππ/6 = Σ[k=1,∞] 1/k^2
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/k^2
　　> 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/(k(k+1))
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] {1/k - 1/(k+1)}
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/4
　　= (1/6)(29/3)
　　> (1/6)(961/100)
　　= (1/6)(31/10)^2,

∴　π > 31/10 = 3.1

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 20:45:23.11

>>415
πに限らず、有理数か無理数かは基数（何進法か）に依存しないよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 21:38:20.86

それじゃ面白くない。七進無理数とかニ進無理数とかあるとおもろいのに

**ジョア** · 2021/05/26(水) 21:45:49.81

http://oeis.org/A217575
http://oeis.org/A217571
http://oeis.org/A217570

　　/) ／　／
( @ @ )／
ヽ▽ノ神と交信して数列を教えてもらった。
∪▼∪ 世紀の大発見だぜ。
∪∪ それから円周率が3.14じゃないと聞いた。東日本大震災3.11もPiらしいよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 23:30:11.40

何進数かに依存する数に興味があるなら
レピュニットとかを調べてみては？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 00:44:27.36

>>417
そうなんだ初めて知った
でも基数の意味を考えてみると何進数でも有理数無理数の結果が変わらないのは当然だな
どう証明すればいいかは分からんけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 05:34:59.51

>>419
　floor(sqrt(n)) = m
とおくと
　n - mm は {0,1,2,…,2m} のいずれか。
これを組分けして
　{0, 1, …, m-3}　　　　… A217570
　{m-2, m-1}　　　　　… A217571
　{m, m+1, …, 2m-1}　　… A217575
　{2m}

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/28(金) 03:28:54.17

円周率をπ 3.16...をτ 6.28...に変更した方が良いと主張するものがいるが、

sum_(k=0)^∞ ((-1)^k x^(1 + 2 k))/((1 + 2 k)!) = 0 x = 0,±π,±2π,±3π...
ζ(2) = π^2/6
Γ(1/2) = (π)^0.5

やっぱπ 3.16..の法が良いわ。
τ 6.28..だと2πが計算でよく出てくるけど少し単純になるという以外は変更する理由はないな

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/29(土) 09:38:05.24

т と τ をつなげば少し短くなる (π) という以外は変更する理由はないな…

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/26(土) 08:51:51.40

バーゼル問題
　Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4,

(略解)
まず半径 R = n/π の円周に内接する正n角形を描く。
頂点 P_k　　(k=1,2,…,n)
隣あう頂点をむすぶ弧の中央に点Aをとる。
中心角　∠AOP_k = (2k-1)/R,　　　(k=1,2,…,n)
弦　　　AP_k = 2R sin((k-1/2)/R)
その(-2)乗の和は
　Σ[k=1,n] 1/(APk)^2 = (π^2)/4　　… (*)
n→∞ とすれば
　Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4
　(終)

(*) を示す所がチョト難しい。
nを2倍したとき、逆ピタゴラスの定理で AP_k が次々と求まることを
活用するのがミソ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/26(土) 08:52:56.28

(参考動画)

Stardy-河野玄斗
http://www.youtube.com/watch?v=91CDe6bwby8 20:35

タマキ/環耀
http://www.youtube.com/watch?v=4hhyR0-xCtw 33:03

元動画　3Blue1Brown
http://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls 19:03

(文献)
"Summing inverse squares by Euclidean geometry"
Johan Waestlund 2010/Dec/08
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/27(日) 03:39:26.32

θ = (k-1/2)π/(2n)　として

1/{R sin(2θ)}^2 = 1/(2R sinθ cosθ)^2
　= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}/(2R sinθ cosθ)^2
　= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R cosθ)^2
　= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R sin(θ+π/2))^2,

逆ピタゴラスを使ってこれを図形的に示した。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/28(月) 03:59:25.18

f(θ) = 3/(sinθ)^4 - 2/(sinθ)^2
として半角公式を使うと
f(θ) = (1/16){f(θ/2) + f(π/2-θ/2)}
これを繰り返して
8 = f(π/4) = (1/16^n)Σ[k=1,n] f(π(2k-1)/2^(n+2))
ここでn→∞とすると
π^4/96 = Σ[k=1,∞] 1/(2k-1)^4
したがって
ζ(4) = (π^4/96)/(1-1/2^4) = π^4/90

この証明も初等幾何に置き換えられるはず

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/15(木) 01:54:36.21

π/4 = Π[p:odd prime](p/(p-(-1)^((p-1)/2)))
= (3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(4*4*8*12*12*16*20*24*…) (Euler)

π/2 = Π[n=1,∞]((2n)^2/((2n-1)(2n+1)))
= (2*2*4*4*6*6*8*8*…)/(1*3*3*5*5*7*7*9*…) (Wallis)

π/(4√3) = Π[p:prime](p/(p+(-1)^(p mod 3)))
= (2*3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(3*4*6*6*12*12*18*18*24*…)

2π/√3 = Π[p:prime](p/(p-(-1)^(p mod 3)))
= (2*3*5*7*11*13*17*19*23*…)/(1*2*4*8*10*14*16*20*22*…)

2π/(3√3) = Π[n=1,∞]((3n)^2/((3n-1)(3n+1)))
= (3*3*6*6*9*9*12*12*…)/(2*4*5*7*8*10*11*13*…)

π/3 = Π[n=1,∞]((6n)^2/((6n-1)(6n+1)))
= (6*6*12*12*18*18*24*24*…)/(5*7*11*13*17*19*23*25*…)

π(1+√5)/10 = Π[n=1,∞]((10n)^2/((10n-1)(10n+1)))
= (10*10*20*20*30*30*40*40*…)/(9*11*19*21*29*31*39*41*…)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/21(水) 15:09:59.16

円周率は50兆桁までしかないのかよ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/21(水) 21:42:08.37

実際のところ、3で十分だろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/22(木) 15:05:27.15

>>431
あなたは正６角形が円に見えますか