円周率について語り合おう【π】
lim_[n→∞]n*cos(90-180/n)=π せめて正8角形以上にしてくれないと 昔の東大受験生 暇に任せて、正2^n角形の週長を求めて極限が2牌になることを確かめたが これ高校生の範囲かな 例の sin x /x -> 1 は証明は別にして数3辺りでは習うの? 円周率の公式を発見した π=(360/θ*(√(2-2*√((COS2θ+1)/2))))/2 >>436 証明か解説かどこかにあったら教えてくださいませんか よろしく いろんな重要な函数の特殊値がπを与えるという話はたくさん見たが >>436 は見たことない俺は未熟者か π^2/6 - Σ[n=1,10000] 1/n^2 = 0.0000999950001666666663333333357... π^4/90 - Σ[n=1,10000] 1/n^4 = 0.0000000000003332833366666666500000002222222172222223888888812111115777777416... √(π/log10)Σ[n=-10,10] 10^(-(πn/log10)^2) = 1.200200002000000200000000200000000002000000000000200000000000000 200000000000000002000000000000000000200000000000000000000 200000000000000000000002000000000000000000000000200000000000000000000000000 2000000000000000000000000000... >>441 正の奇数mに関して以下の連分数が成り立つ π^2/6 - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^2 = 2/(m + 1/(3m + 2^4/(5m + 3^4/(7m + 4^4/(9m + ...))))) >>243 (π^4)/90 = ζ(4) = 1.0823232337 = (97 + 9/22)/90, 兄さん兄さん兄さん… >>443 連分数展開式の続き ζ(3) - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^3 = 2/(m^2+1 - 4/(3m^2+2^4-1^4 - 4*2^6/(5m^2+3^4-2^4 - 4*3^6/(7m^2+4^4-3^4 - 4*4^6/(9m^2+5^4-4^4 - ...))))) m=1の場合: π^2/6 = 2/(1 + 1/(3 + 2^4/(5 + 3^4/(7 + 4^4/(9 + ...))))), ζ(3) = 2/(1+1 - 4/(3+2^4-1^4 - 4*2^6/(5+3^4-2^4 - 4*3^6/(7+4^4-3^4 - 4*4^6/(9+5^4-4^4 - ...))))) >>441 まとめ π^2/6 - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^2 = 2P[m], m:odd π^2/8 - Σ[n=1,m/2] 1/(2n-1)^2 = (1/2)P[m], m:even ここで P[m] = 1/(m + 1/(3m + 2^4/(5m + 3^4/(7m + 4^4/(9m + ...))))) ζ(3) - Σ[n=1,(m-1)/2] 1/n^3 = 2Q[m], m:odd 7ζ(3)/8 - Σ[n=1,m/2] 1/(2n-1)^3 = (1/4)Q[m], m:even ここで Q[m] = 1/(m^2+1 - 4/(3m^2+2^4-1^4 - 4*2^6/(5m^2+3^4-2^4 - 4*3^6/(7m^2+4^4-3^4 - 4*4^6/(9m^2+5^4-4^4 - ...))))) ζ(4)以降がうまく示せない >>240 >>243 近似式を作ってみた 97^(272/1087) = 3.14159265426... 166^(335/1496) = 3.141592653314... (35 + 8716/44629)^(271/843) = 3.1415926535897932381736... (410508 + 757/3675)^(189/2134) = 3.141592653589793238462561... >>442 類似式 √(π/log10)Σ[n=0,10] 10^(-(π(n+1/2)/log10)^2) = 0.4000999990000000999999999000000000009999999999999 000000000000000999999999999999990000000000000000000999999999999999999999 000000000000000000000009999999999999999999999999000000000000000000000000000... {x^(3/2) - 1}^2 - x^2 = 11, (x^3 - x^2 - 10)^2 - 4x^3 = 0, >>240 π^3 = √(31^2 + 12/31 + 2/31^2) = 31 + 6/31^2 + 1/31^3 - 18/31^5 + ・・・・ = 31 + 187/31^3, π = (31 + 187/31^3)^(1/3) = 3.14159267 >>409 e^π - π + 9/10000 = 19.99999997919 富岳の研究者も検証に参加するんだろうか? そうなると検証にかかった計算時間が気になるな。 下記は50兆桁での情報。計算に303日、検証では17.2時間とか。 January 29, 2020 January 29, 2020 Blog Timothy Mullican Pi 50,000,000,000,000 Compute: 303 days Verify: 17.2 hours Validation File 4 x Intel Xeon E7-4880 v2 @ 2.5 GHz 315 GB 48 Hard Drives NASAでは円周率を何桁まで使っているのか? https://gigazine.net/news/20201004-nasa-pi-calculation/ >「存在し得る最大のサイズ、宇宙の大きさで考えてみましょう。宇宙の半径は約460億光年あります。もし半径460億光年の円の円周を、最も単純な原子である水素原子の直径0.1ナノメートルほどの誤差しか生じないよう正確に計算するには、円周率は何桁が必要でしょうか?」とレイマン氏は問いかけます。 >レイマン氏によると、答えは「小数点以下39桁か40桁が必要」だとのこと。 1年半かかって、50兆桁、22.8兆桁更新、62.8兆桁になったとか。 ということは予測では来年中あたりに100兆桁とかかな? 素直に計算時にもスパコンを使えばもっと早いだろうな。 みんなy-cruncherを使っていて、 スパコン用redhatlinuxみたいに機種ごとにバージョンリビジョン管理、 つまり計算者ごとにバージョン管理されていて、 それで順番にやっているんだろうな。 62兆8318億5307万1796桁 10^62831853071796 ・・・結構でかい値だなw 円周率を62兆8000億桁まで計算して世界記録を更新したコンピューターのスペックとは? https://gigazine.net/news/20210818-davis-pi-62-trillion/ >DAViSで使われたコンピューターには、32コア・64スレッド・周波数2.9GHz・バースト周波数3.4GHzで・L3キャッシュ128MBのAMD EPYC 7542が2基と、 >1TBのRAMが搭載されており、 >さらにOSはUbuntu 20.04がインストールされているとのこと。 >また、円周率の計算プログラムには、Googleやマリカン氏が世界記録を更新した時にも使われたy-cruncherが使用されました。 >DAViSは「SSDは時間経過とともに性能が低下する」という判断から、16TBの容量を持つ7200RPMのHDDが38台搭載したJBODを使用。 >これはメモリが非常に高価であることを考慮したためで、38台のうち34台はスワップ領域に使われており、データストレージ自体は510TBだそうです。 AMD EPYC 7542 ×2 合計64コア 1TBメインメモリ Ubuntu 20.04 y-cruncher 16TB7200RPMHDD38台(608TB)JBOD 次(来年情報開示めど?)はこのスペックを超えないといけないわけだ。 今のEPYCだと×1で64コアかな? 次の計算に使われるのはEPYC 7763で2チップ128コア256スレッドとかなのかもな。 計算に時間がかかるので、今現在で最新の条件で計算を開始しても、 結果はやはり1年後とかになるんだろうな。 世界最高スパコンとかは円周率の計算に使わないよな? 他にも使う必要があるからとか理由はたくさんあるだろう。 >世界最高スパコンとかは円周率の計算に使わないよな? バブル時代では普通に世界最速のスパコン使って日米で記録競争をしていた 理由はスパコンのハードとソフトのバグを発見するためだったらしいが 一部のシミュレーション屋さんからは顰蹙を買っていた 22/7から始まる公式 π = 32Σ[n=0,∞] (165+902n+1533n^2+820n^3) (4n)! (4n+4)! / ((-4)^n (8n+8)!) 「面白い問題おしえて〜な 38問目」 - 57 より 初項のみで π ≒ 22/7 (=3.14285) 初項とn=1の和で π ≒ 47171/15015 (=3.14159174) 1項足すごとに1/1024ずつ精度がよくなる >>419 3.11 = Pi = (99/100)π ∴ π = 311/99 = 3 + 14/99 = 3.141414 他にも π = 3 + (√2)/10 = 3.141421 >>240 π = (31 + 6/31^2)^{1/3} = 3.14159153 π = (31^2 + 12/31)^{1/6} = 3.14159151 >>449 X=π^3 とおくと X^3 - 31 X^2 - 6 = 0, X = {31 + [31^3 +81 +9√(2・31^3 + 81)]^(1/3) + [31^3 +81 -9√(2・31^3 +81]^(1/3)} /3 = 31.0062409821 X^(1/3) = 3.141591448 富士通のFEFSストレージを使えるシステムがあれば、 1TB毎秒で書き込みできるらしい。 最大8EBまでらしく、最大容量を34時間で書き込み可能らしい。 円周率の計算は、ストレージの容量と速度がネックになって、計算時間がかかっていると思われる。 >「FEFS」はオープンソース・ソフトウェア「Lustre」をベースに、独自機能を追加。「Lustre」の約1〜3倍となる とあり、Lustre(ラスター)の限界が8EBなので8EBが限界となっているようである。 ちなみに>>459 にあるように、62兆桁で608TB(18TBHDD38台)必要だったとなっているらしい。 なので8EBだと13000倍桁程度記録可能なようだ。62兆×13000桁である。 検証作業に富岳などのスパコンが使われているようだが、 ストレージ容量の限界が一般PCやサーバでは厳しいようで、 計算速度の格差が顕著である。 FEFSがどんなシステムに接続できるか分からないが、 少なくともPrimeHPC FX1000で使えるようだ。 風の噂ではストレージだけで8EBで70億円程度であるようだ。 スパコン自体を最低構成すると1億数千万円らしい。 どこかがこういったシステムで円周率を計算すると、 検証用システムを8EBより大きく作らないといけないはず。 なので、ぜひやるべきである。 現在の円周率の計算はすでに始まっているはずで、 その結果は100兆桁程度と目される (現在の普及品のHDDの最大容量は18TBのままで、試作品付近を使って増えても24TBとかだろう。)。 結果が出るのは来年あたりだろう。 その次くらいで、8EBに挑戦してもらいたいものである。 また風の噂だが、NANDメモリらしい。 1TB/sという基準も越さないといけない可能性がある。 ここはまだ未解決問題である。 日本国内ではNECくらいしか他にスパコンを作っていないわけだが、 NECあたりはどう考えるんだろうな? 作って売らないといけないし、撤退されたら国としては困るし。 国内1社だけでは問題があるはず。 あとキオクシア。サムスンにNANDメモリの価格・最大容量等で勝っていない。 その結果NANDメモリはサムスンなどを使っているようであり、 ここは問題である。 容量を増やしたい理由は、2テトレーション6の計算結果の全体を格納するストレージが欲しいという理由である。 >ベイリー=ボールウェイン=プラウフの公式 >BBP公式は、 先行する桁を計算せずにπ の十六進法のn桁目(つまり π の二進数の4n桁目)を直接求めるスピゴット・アルゴリズム(英語版)を与える。 16進法表示で可能なのはどういう性質が理由なんだろ?他の進法では不可能なことは証明されてるの? 62831853071796桁の値ってのは、 10^10^14の範囲内に相当。 http://www.numberworld.org/y-cruncher/ June 8, 2022 March 21, 2022 Emma Haruka Iwao Pi 100,000,000,000,000 Compute: 158 days Verify: 12.6 hours Validation File 128 vCPU Intel Ice Lake (GCP) 864 GB 663 TB storage class number 8で最大のChudnovsky-type公式 1/π = (12/√(-c^3))Σ[n=0,∞] (6n)!(a + b n)/((3n)!(n!)^3 c^(3n)), a = (4+√17)^25( 15(10706172588588797811207632964+316246973541710028622817919√17+ 1470575343675026487245288512√53+43447274721676141401070816√901)+ 32(215831966344869226218118439+429880202247658638391278237√17+ 29631605640593798570229213√53+59052272333799198669129544√901)√((27+4√53)/7)), b = 126(4+√17)^25( 375(528821905988138292054309876+102455141235366220322349627√17+ 72639171112096946188240640√53+14073321233034045099041408√901)+ 1664(33621971227940718361362137+10208280417257981599588416√17+ 4618307493516795625377339√53+1402221324056339034797002√901)√((27+4√53)/7)), c = 12-27(4+√17)^16(1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+ (564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2 これは1項足すごとに105桁増える 円周率の求め方 2^1*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^1)+1)) 2^2*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^2)+1)) 2^3*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^3)+1)) 2^4*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^4)+1)) 2^5*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^5)+1)) 2^6*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^6)+1)) 2^7*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^7)+1)) 2^8*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^8)+1)) 2^9*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^9)+1)) 2^10*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^10)+1)) 2^11*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^11)+1)) 2^12*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^12)+1)) 2^13*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^13)+1)) 2^14*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^14)+1)) 2^15*√(2-2*√(1/2*(cos(360°/2^15)+1)) ・ ・ ・ πの計算式でarctan公式は有名だけどarcsin公式は聞いたことがないので強引に作ってみた ・π/2 = 6 arcsin(1/4) + arcsin(7/128) ・π/6 = 4 arcsin(1/7) - arcsin(239/4802) ここに arcsin(x) = x + (1/2)x^3/3 + (1/2)(3/4)x^5/5 + (1/2)(3/4)(5/6)x^7/7 +... これ以上きれいな形にはならないみたい >*√(2-2*√ なんか連続で描かれると、ゲシュタルト崩壊してくるな 円周率はすでに10兆桁以上算出されているそうだが、いまだに割り切れない。直径も円周も限りがあり、円周率もどこかで終わりが来るはずたが... >>479 >円周率もどこかで終わりが来るはずたが... いや円周率は永遠に近似が続くから、終わりは来ないよ。 その原因は、直線と曲線の長さの比を求めようとしているから。 曲線はいくら拡大して見ても曲線であり、直線とはならない。 比べることができない曲線と直線の比を求めようとすると、 曲線を微小区間に分解して、直線とみなした上で比べる他無い。 しかしそれはあくまでも近似でしかない。 そこでさらなる微小区間に分解して比べる。 しかしそれも近似でしか無い。 現在のコンピューターによる円周率を求める競争は、 この微小区間を無限に小さくする競争でしかない。 曲線はどこまで微小区間に分解してみても、 直線にはならないのだから、当然だといえる。 World's Fastest Supercomputer Can't Run a Day Without Failure https://www.tomshardware.com/news/worlds-fastest-supercomputer-cant-run-a-day-without-failure > Mean time between failure on a system this size is hours; > it's not days." ふつうのM進法による数字の表現は、Mが自然数の場合には 数字として0からM−1までのものを使う。 しかし、1進法ではあまりうまく行かない。 1(10進数)=1(1進数) 2(10進数)=11(1進数) 3(10進数)=111(1進数) 。。。。 だが、0(10進数)をあらわすときには、””(1進数)と空なる表記が 必要になるが、空文字列を書くことは出来ない。しかたがないので λ(1進数)と表すかあるいはλの代わりに0を使って0(1進数)と表さざるを えないのではないだろうか。 演習問題 なんとかして0進数表現を考えることはできるか?(配点5点) 演習問題(配点、各5点) 1. nが2以上の偶数である場合に、平面上で x^n + y^n = 1 で表される曲線の長さを求めよ。 2. またnが奇数の場合に、平面上の第一象限(座標の値が負で無い領域)で x^n + y^n = 1 で表される曲線の長さを求めよ。 3. a が正の実数である場合に、平面上の第一象限で x^a + y^a = 1 で表される曲線の長さを求めよ。 0進数表現と言うと0の冪和で表すわけだが 0^0 = 1, 0^1 = 0 しか使えんから表せるのは 0 と 1 のみ 他の数は 1+1+1 とか書くしかないわな 新たな無限小数ではない円周率を発見するために直径以外の線を考えてみたが 線分ではない接戦というものしか思いつかなかったので諦めた 半径と円周の4分の1どちらが長いか知っているか? 考えたことあるか? 常識か? >>488 考えたことはなかったが 答えはすぐ出せた >>489 自分で言ったんだが直径より円周の半分の方が明らかに長いんだから当たり前だろ >>直径より円周の半分の方が明らかに長いんだから当たり前だろ 円周率<4たから当たり前だといってもよいのではないか? 「円周率=3だから当たり前」 という答えなら「気は確かか?」だろうが。 いや、扇形の弧の長さの方が短くなる時が来るな この極限値を求められないか? 理学部数学科(卒)の三角関数の積分余裕でわかりますの俺より数学の理解力が遥かに高い天才たち >>492 「気は確かですか?」と言ってほしいわけ? 兆芯、最大32コアのサーバー向けx86プロセッサ「開勝KH-40000」 https://pc.watch.impress.co.jp/docs/news/1452583.html 対中半導体包囲網の動きにより、中国も半導体に力が入りつつあるな。 結局、米国などは追い抜かれてしまうのではなかろうか? 日本は論外か。 台湾が中国によって呑み込まれたら、その後どうなるかなぁ。 火薬は如何にして見いだされたのだろうか? 偶然なんだろうかなぁ?2つのものを混ぜるというのなら 偶然はありえるが、3つのもの(硝石、硫黄、木炭)の粉が 偶然にきめ細かい粉として混ざることが起こるとすれば、 それは漢方薬として調合していて、という位の可能性しか 思い浮かばない。 古代中国人は「火薬」なるものを求めた末に9世紀ついにそれを発明した、 というわけではありません。中国の人々、特に権力や栄華を極めた帝王たちが、 現世の栄華を未来永劫我がものにしようと「不老長寿」を求めたことに そのきっかけがあります。 有名な話に「秦の始皇帝と徐福」の伝説があります。 秦の始皇帝が不老不死を求めて、数千人の童男童女を徐福に託し 東シナ海に船を出したという話です。 始皇帝のみならず漢の武帝も不老長寿の薬草を探させようと 仙山を目指して人を送りますが、いずれも失敗に終わりそのような場所が 見つかることはありませんでした。そこで探しに行くのはあきらめ、 神仙の術を身につけた方術士たち(方士・道士とも)に 不老長寿の薬を作らせることにしたのですが、こうしたことを数百年続けた結果、 中国の古代薬学や古代化学は意図せずして大きく発展し、 その結果として「火薬の発明」が待っていたのでした。 錬丹術に情熱を注いだ古代中国人 硫黄と木炭の粉であれば、敵をいぶし出すために、毒ガス兵器として 発見されていてもおかしくない。そこに硝石を付け加えるという ところが、何から来たのかだ。中国には天然の硝石がとれるところが あったのだろうか。 >>501 古代中国人は「火薬」なるものを求めた末に9世紀ついにそれを発明した、 というわけではありません。中国の人々、特に権力や栄華を極めた帝王たちが、 現世の栄華を未来永劫我がものにしようと「不老長寿」を求めたことに そのきっかけがあります。 有名な話に「秦の始皇帝と徐福」の伝説があります。 秦の始皇帝が不老不死を求めて、数千人の童男童女を徐福に託し 東シナ海に船を出したという話です。 始皇帝のみならず漢の武帝も不老長寿の薬草を探させようと 仙山を目指して人を送りますが、いずれも失敗に終わりそのような場所が 見つかることはありませんでした。そこで探しに行くのはあきらめ、 神仙の術を身につけた方術士たち(方士・道士とも)に 不老長寿の薬を作らせることにしたのですが、こうしたことを数百年続けた結果、 中国の古代薬学や古代化学は意図せずして大きく発展し、 その結果として「火薬の発明」が待っていたのでした。 錬丹術に情熱を注いだ古代中国人 円の面積の算出は無理である 見よ!あの2つの○○を スターリングの公式にπが現れる意味について 一席ぶてる方はいますか >>509 女神さまに教えてもらったというπ^4≒2143/22の初等幾何による説明も次の文献にありますね (√43/6 - √(3/5))^(-1) ≒ 3.141594 (√67/6 - 19/√330)^(-1) ≒ 3.14159266 (√163/6 - 181/√10005)^(-1) ≒ 3.1415926535898 (√235/6 - √3(4+7√5)/√(22(15-2√5)))^(-1) ≒ 3.14159265358979324 ・・・ 代数的数で近似するときπよりも1/πの方がきれいな式になるようです >> 508 eも出てくるし、ガンマ関数の積とsinの関係もあるし、いっぱいあるでしょ 円周率(π)は、無限に続く小数であり、どのような有限桁数の数字を足しても、完全に割り切ることはできません。つまり、円周率によって割り切ることができるような整数は存在しません。 ただし、円周率に関するいくつかの特定の数学的関係式が存在するため、円周率と特定の数値の積や商が整数になることがあります。例えば、以下のような式が挙げられます。 ・sin(π/6) = 1/2:ここで、π/6は30度を表し、sin(π/6)は正弦の値を表します。この式を変形すると、2とπの積が整数になります。すなわち、2πは整数になります。 ・π^2 = 9.86960440109...:ここで、9.86960440109...は整数ではありませんが、π^2と10の積をとると整数になります。すなわち、π^2×10=98.6960440109...は整数になります。 しかし、これらの式は、円周率に対する特定の関係式に基づいており、円周率自体が完全に割り切ることができる数ではありません。 円周率は無限に続く小数であり、有限桁数の数字で完全に表現することはできません。しかし、円周率に対して特定の操作を行うことで、円周率を変形することは可能です。 例えば、円周率を有理数で表現することはできませんが、円周率を連分数として表現することができます。また、円周率に対してフーリエ級数展開を行うこともできます。 さらに、円周率の値を計算するアルゴリズムには、いくつかの方法が存在します。代表的なものとして、アルキメデス法やマチンの公式などがあります。これらのアルゴリズムを用いることで、円周率の値を有限の桁数で表現することができます。 つまり、円周率自体は変形できないものですが、円周率に対して特定の操作を行うことで、円周率を変形することができます。 これらの数学的関係式において、円周率と特定の数値の積や商が整数になることは、厳密な数学的証明に基づいています。そのため、これらの式は近似値ではなく、正確な値を表します。 ただし、円周率自体が無限に続く小数であるため、円周率を含む式によって得られた値が整数になる場合でも、その値を有限桁数で表現することは近似値になります。例えば、π^2×10=98.6960440109...という式で得られた値は、有限桁数で表現した場合には近似値になります。 したがって、数学的関係式によって得られた値は正確な値であり、円周率自体が無限に続く小数であるため、その値を有限桁数で表現する場合には近似値になることがあります。 >>484 1進法は0しか使えんだろ 0進法は何も使えん、テレパシーか? (86+(3991680/1468457)^(93^(1/3)))^(1/(93^(1/3)))=3.141592.... π^(93^(1/3))-e^(93^(1/3))≒87 e^(93^(1/3))-π^(93^(1/3))≒-87 より導出 a = 93^{1/3} = 4.530654896… とおく。 π^a - e^a = 86.000018881… 3991680/1468457 = 2.7182818428… 271801/99990 = 2.71828182818… 2721/1001 = 2.7182817183 (86+(3991680/1468457)^a)^{1/a} = 3.141592589… 93という数についてD=-4・93のときQ(√D)の類数が4でシンプルな4次代数的数近似 3036/(759√93 - 3112√3 - 963) = 3.141592653637... が得られる D=-4・793のとき類数は8で8次代数的数近似 131208/(11(2982√793 - 9399√13 - 3119√61) - 3√(2753883894+131778050√793)) = 3.14159265358979323846264338327950289234... が得られる 虚二次体の類数リスト mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html π = 3 + (g/2)*(√2)/10 ≒ 3 + (1 + α/2π)*(√2)/10 = 3 + 1.001161409732888*(√2)/10, ここに α = 1/137.03599909583 (微細構造定数) free Lepton の g/2 値 electron 1.0011596521813 muon 1.001165921 tau ? かな。 高校数学の質問スレ_Part432 - 859 π = 3 + (g/2)*(√2)/10 ≒ 3 + (1 + α/2π)*(√2)/10 = 3 + 1.001161409732888*(√2)/10, ここに α = 1/137.03599909583 (微細構造定数) free Lepton の g/2 値 electron 1.0011596521813 muon 1.001165921 tau ? かな。 高校数学の質問スレ_Part432 - 859 (π - 2)^8 + (π - 8/3)^8 + (8/3)^8 = 10(2^8), ∴ π = 3.1416 >>528 虚二次体の判別式が D=-4n (nは1より大きい奇数)のとき R = [1 - 3/(π√n) - 24Σ[k=1,∞] k/(exp(2πk√n)-1)]/[1 - 24Σ[k=1,∞] (2k-1)/(exp(π(2k-1)√n)+1)] は代数的数(次数はQ(√D)の類数)になりπの近似は π ≒ 3/((1-R)√n) になる(ラマヌジャン 1914) ラマヌジャンはn=25を評価し有名な近似 π ≒ 9/5+√(9/5) を得て、ボールウェイン兄弟はn=93を評価して >>524 の近似を得た このような近似は無数にできて、近似式でなくて等式(ラマヌジャン・佐藤級数)を 得ることも可能 en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan-Sato_series >>484 0進数と言うからには数字は使えんな 数値を書くのに使うのは数字と小数点だから残りは小数点しかない 小数点を並べて適当に表現すれば? read.cgi ver 07.5.4 2024/05/19 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる