円周率について語り合おう【π】

**１３２人目の素数さん** · 2017/10/18(水) 15:55:23.82

>>17

640320^3 + 744 = 262537412640768744

e^(π√163）= 262537412640768743.99999999999925007259719818568887935

e^{(π√163)/3｝= 640320.0000000006048637350490160394717418188185394757714857

高橋秀俊「"163"の不思議」
　数セミ、１４巻、10号、日本評論社（1975/Oct)
　数セミ増刊「数の世界」p.157-161（1982/Sep)

**１３２人目の素数さん** · 2017/10/18(水) 16:19:45.30

>>202

e+π+π = 9.0014671356386
e^π-π = 19.9990999791895
e^π+π+e = 29.0005671148281

e^6 - π^5 - π^4 = 0.000017673451232109

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/10/23(月) 22:23:18.96

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/10/23(月) 22:23:42.54

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/10/23(月) 22:24:04.36

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/10/23(月) 22:24:20.97

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/10/23(月) 22:24:38.66

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/10/23(月) 22:24:54.68

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**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 19:16:15.45

円周率が割りきれないのはきちんとしたからくりがあって
始発の数値と終着の数値を繋げる１ピースを数式にはめこむだけでいいのに
円の端と端をいくら近付けたところで
繋げるつもりがないなら何したって無駄

99を極限まで100に近付けても、100にするつもりがないなら99,999…にしかならないでしょ
円周率も同じで円にする１ピースをはめこむ意思がないと円周率は円にならないよ

粘土で線を作った場合、その線で円を作るためには線と端と端を近付けることではなく結合させること

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 22:47:10.58

【難問】0=π-πや1=π/πの式などを合成して次にあるπの式の誤差を求めよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/250px-Pi-unrolled-720.gif

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 22:48:23.89

age

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 22:51:51.63

【難問】0=π-πや1=π/πの式などを合成して次にあるπの式の誤差が無い事を証明せよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/250px-Pi-unrolled-720.gif

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 15:58:56.98

〔e とπの超対称性不等式〕
　π > 3 > e,
　(e+π+π)/3 > 3 > (eππ)^(1/3),

なぜeやπは様々な性質を持つのか？ - 013, 017

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 00:58:50.91

>>233
(eππ)^(1/3) = 3 - 1/(50π),

π = 4(√6 - √2) - 1 = 3.141104722

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 01:47:33.96

>>202
　e^e - π/e = 13.99853489168834247185

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 10:02:17.51

>>1
なんで余弦で表示するんだ？
正弦を使えばもっと簡潔にひょうげんできるじゃん

Π（パイ）＝ｌｉｍ[ｎ→∞]　n　×　ｓｉｎ（１８０°　÷　ｎ）

学術 · 2018/11/24(土) 10:45:45.69

円周率が固定観念になっちゃいけない、星や時代によって円周率は違うから。
全くの球体なんてないし、球自体が不思議な厳密にはそろわない図形なんだよね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 05:33:52.39

[eとπの微妙な関係]

(e^(10π)+744)/(2927+1323√5)^3 = 215.999999999999999999978…

(e^(20π)+744)/(2+9*(1201+537√5+5^(1/4)*(1607+719√5)/2)^2)^3
= 215.999999999999999999999999999999999999999999999988…

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/03(月) 17:02:04.45

>>238

e^{(√163)π/3} = 640320 + 6.04863735049×10^{-10},

e^{(√163)π} = 640320^3 + 744 -7.499274028×10^{-13},

640320 = (2^6) 3･5･23･29,

「なぜeやπは様々な性質を持つのか？」　053-056

数セミ増刊「数の世界」日本評論社（1982)
　高橋秀俊「"163"の不思議」　p.157-161

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/06(木) 02:53:59.67

>>239
　>>217にもある。

ついでに
π = (10 - 3/23)^{1/2} = 3.1415864
π = (10 -130/997)^{1/2} = 3.14159336
π = (31 + 1/159)^{1/3} = 3.14159308
π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.14159265
π = (306 + 5/254)^{1/5} = 3.1415926541
π = [(31^2) + 374/(31^2)]^{1/6} = 3.141592645

「πって本当に無理数なの？」 - 171,172

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 00:41:53.10

>>18
S = x + 2Σ[n=1,∞] sin(nx)/n
　= π　(0<x<π)
　= -π　(-π<x<0)

奇数項の和
S_o = 2Σ[m=0,∞] sin((2m+1)x)/(2m+1)
偶数項の和（n=0も含む)
S_e = x + 2Σ[m=1,∞] sin(2mx)/(2m),
は等しい。
　S_o = S_e = S/2,

ついでに
(π/4)|x| + Σ[m=0,∞] cos((2m+1)x)/(2m+1)^2 = ππ/8　　(|x|<π)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 00:46:50.02

>>48
　x^4･(1-x)^4 /(1+xx) = x^6 -4x^5 +5x^4 -4x^2 +4 -4/(1+xx),
.
∫[0,1] x^4･(1-x)^4 /(1+xx) dx
　= [ (1/7)x^7 -(2/3)x^6 +x^5 -(4/3)x^3 +4x -4arctan(x) ](x=0,1)
　= 22/7 - π,
.
.
.
>>50
　x^4･(1-x)^8 /(1+xx) = x^10 -8x^9 +27x^8 -48x^7 +43x^6 -8x^5 -15x^4 +16x^2 -16 +16/(1+xx),
.
∫[0,1] (1/4)x^4･(1-x)^8 /(1+xx) dx
　= (1/4)[ (1/11)x^11 -(4/5)x^10 +3x^9 -6x^8 +(43/7)x^7 -(4/3)x^6 -3x^5 +(16/3)x^3 -16x +16arctan(x) ](x=0,1)
　= π - 2419/770,

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/07(金) 02:41:42.68

>>240

π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.1415926525
は大昔に S.Ramanujan が発見してますた。

他にも色々あります。
π= (63/25)[1 + 10/(7+15√5)] = 3.1415926538
π = (99^2)/(2206√2) = 3.141592730

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/08(土) 03:19:42.61

>>238 (上)

e^{10π/3} / (2927+1323√5) = 6 - 3.37940×10^{-11},

(e^{10π/3} + 248･e^{-20π/3}) / (2927+1323√5) = 6 - 1.27627×10^{-23},

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/08(土) 05:01:35.80

(e^{2π√190} + 744) / (12+108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)^3
　= 1 - 1.168664×10^{-70}

(e^{(2π√190)/3} + 248･e^{-2(2π√190)/3}) / (12+108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)
　= 1 - 2.447924×10^{-72}

e^{2π√N} の N は 163, 190, 193, 232, 253 … と続くようです。

なぜeやπは様々な性質を持つのか？ -061

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 23:57:31.41

>>245
e^(2π√N), N=190の場合に対応する
πの公式(厳密な式)を作ってみた

1/π = √(760*(1-(12/α)^3)) Σ[n=0,∞] (6n)!*(β+n)/((3n)!(n!)^3*α^(3n))
ここで
α=12+108*(1+√2)^12*(154+210√2+144√5+41√10)^2,
β=(852020366870471-395185702196000√2+75149192062748√5-84038529457275√10)/16925656058141292

この公式はn=0項目でπと32桁一致し、1項加えるごとに約35桁ずつ増える

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 04:43:31.22

>>238
(e^{10π/3} + 248･e^{-20π/3})/(2927+1323√5) = 6 - 1.2762708×10^{-23},

(e^{20π/3} + 248･e^{-40π/3})/(2 +9[1201+537√5 +5^{1/4}･(1607+719√5)/2]^2) = 6 - 6.5828772×10^{-51}

>>239
　e^{(√163)π/3} -248･e^{-2(√163)π/3} = 640320 - 3.8311867×10^{-26}

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 12:16:20.11

πの公式(N=253):

1/π = 2√(253*(1-(12/a)^3)) Σ[n=0,∞] (6n)!*(b+n)/((3n)!(n!)^3*a^(3n))
ここで
a = 12+(27/16)*(3+√11)^10*(470530+117549√11+15*(9181+838√11)√23),
b = (135768074392841107-32707446943866240√11+1875*(-78714146177804+16717935852863*√11)/√23)/1818228027142880892

この公式は1項加えるごとに約40桁増える

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/13(木) 00:28:14.12

πの公式(N=400):

1/π = 40√(1-(12/A)^3) Σ[n=0,∞] (6n)!*(B+n)/((3n)!(n!)^3*A^(3n))
ここで
A = (3/2)*(2+√5)^13*(869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)*(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10)),
B = (10/151706805578559)*(1480534452621+37543365334√2-169393026952√5-69939075619√10-2*5^(1/4)*(148486354235+7499787468√2+53215164243√5-1977920683√10))

この公式は1項足すごとに約52桁増加する
この性能はChudnovskyの公式よりも桁数/項数比で3.7倍大きい
しかし根号が多く含まれるので計算に向くかどうかは不明

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/24(月) 00:41:05.53

>>248
定数aはもう少し簡単な形になって
a = 12+27*(9+2√23)*(191469+57730√11+7*(5688+1715√11)√23)^2
この因数分解は一意ではなくもっと簡単に表されるかもしれません

>>245
163と190の間に177があります
(e^(2π√177)+744)/((23+3√59)^5*(24587023+11657412√3+2634179√59+1851252√177)^3)
= 13500 - 6.56*10^(-64)

2から256までの整数のうちe^(2π√N)がほとんど整数または根号を含む有理数になるNは
少なくとも
{2から25までの整数,27,28,30から34までの整数,
36,37,39,40,42,43,45,46,48,49,52,55,57,58,
60,63,64,67,70,72,73,78,82,85,88,93,97,
100,102,112,130,133,142,148,163,177,190,193,232,253}

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/25(火) 00:47:24.42

新しいπの公式見つけた(N=760):

1/π = 4√(190*(1-(12/p)^3)) Σ[n=0,∞] (6n)!*(q+n)/((3n)!(n!)^3*p^(3n))
ここで
p = 6*(2+√5)^15*(92210562874930+72942820661700√2+46133090462261√5+29159540310024√10+9*(2346786457760+1856794307075√2+1177625294626√5+744442212212√10)√19),
q = (38*(168850305099411513534741603514-65584148987153268032666270500√2+7540774496057908735892220904√5-17937625574963862951981217275√10)
-(453911230872051456086681856600-253947186186349584616653907250√2-22230644754209419107315374416√5+45689905770524967041148178125 √10)√19)/95410768893023153163385247146614

この公式はQ(√k,√l,√m)上の級数となるタイプで、1項あたり約72桁増加する

ちなみに (e^(4π√190)+744)/p^3 = 1 - 6.93*10^(-146)

この先は N=772, 793, 862, 928, 1012 と続くが、多くの場合多重根号が付くようです

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/07(月) 03:15:24.44

α = (10 -π^2 -1/π^2)/4 = 0．0072686 = 1/137．578

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/14(月) 05:00:53.78

祖沖之が錬金術師だったら

約率　(Ti)/(N)
密率　355/(Nh)

と言ったかも。
なお、355番元素は未発見。

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/14(月) 23:36:09.56

>>18
フーリエ級数展開
　θ= -2Σ[n=1,∞] (-1)^n sin(nθ)/n,　　( |θ| <π)
θ=π-1 とおいて 1 を移項すると
　π = 1 - 2Σ[n=1,∞] (-1)^n sin(n(π-1))/n = 1 + 2Σ[n=1,∞] sin(n)/n ･･･ (1)
θ=π-2 とおいて 2 を移項すると
　π = 2 - 4Σ[n=1,∞] (-1)^n sin(n(π-2))/2n = 2 + 4Σ[n=1,∞] sin(2n)/2n ････ (2)
2･(1) - (2) より
π = 4Σ[n=0,∞] sin(2n+1)/(2n+1),

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/15(火) 02:25:12.58

>>254
積分と和が一致する例
∫(0,∞) x^5/(e^(2πx)-1) dx = Σ[n=1,∞] n^5/(e^(2πn)-1) = 1/504 (ラマヌジャン)

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/15(火) 03:14:05.93

積分と和が一致する例のつづき

kを正の整数として
∫(0,∞) (sin x/x)^k dx = 1/2 + Σ[n=1,∞] (sin n/n)^k dx

aを√-1の整数倍でない数として
∫(-∞,∞) (sin√(x^2+a^2))/√(x^2+a^2) dx = Σ[n=-∞,∞] (sin√(n^2+a^2))/√(n^2+a^2) = π BesselJ(0,a)

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/15(火) 07:39:36.34

>>256
すまない、kは1≦k≦6<2πの整数に訂正し和のdxは要らない

等式の続き:
∫(0,∞) sin x/(x(x^2-π^2)) dx = -1/(2π^2) + Σ[n=1,∞] sin n/(n(n^2-π^2)) = -1/π,
∫(0,∞) sin x/(x(x^2-π^2)(x^2-(3π)^2)) dx = 1/(2π^2(3π)^2) + Σ[n=1,∞] sin n/(n(n^2-π^2)(n^2-(3π)^2)) = 1/(9π^3),
∫(0,∞) sin x/(x(x^2-π^2)(x^2-(3π)^2)(x^2-(5π)^2)) dx = -1/(2π^2(3π)^2(5π)^2) + Σ[n=1,∞] sin n/(n(n^2-π^2)(n^2-(3π)^2)(n^2-(5π)^2)) = -1/(225π^5),
……

**１３２人目の素数さん** · 2019/01/29(火) 17:39:59.81

円周率の小数点以下762桁目から”9”が6回連続で現れるファインマン・ポイント。
100,000,000桁までの円周率で、同じ数字が六回連続する箇所が数回出てくる。
それどころか、“1234567”も数回出てくるし、“1010101”は2回、
“23571113”（素数を6個並べた数字）は2回、“31415926”が1回出てくる。
もし、1グーゴル桁まで計算出来たらな、0が100回並ぶ箇所があるのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/01(金) 09:51:13.08

y = (x/π)^2 とおく。

部分分数分解で
1/{(y-1^2)(y-3^2)････(y-(2k-1)^2)}
= (-1)^k {1/[(2k-1)!!]^2 + (1/4)^(k-1)･yΣ[j=1,k] (-1)^j /((2j-1)･(k-j)!(k+j-1)![y-(2j-1)^2]) }

1/{x(x^2-π^2)(x^2-(3π)^2)････[x^2-((2k-1)π)^2]}
= (-1/π^2)^k {1/(((2k-1)!!)^2･ｘ) + (1/4)^(k-1)･xΣ[j=1,k] (-1)^j /{(2j-1)･(k-j)!(k+j-1)![x^2-（(2j-1)π)^2]}

∫[0,∞] sin(x)･x/(x^2 - (Lπ)^2) dx = (π/2)(-1)^L,
特に∫[0,∞] sin(x)/x dx = π/2,

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/01(金) 19:23:26.28

円周率を求める公式ばっかで円周率について語ってはいない。あほ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/02(土) 10:42:11.78

アホ（亜父）は南を向いて座った。アホ（亜父）とは范増のことである。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　･････司馬遷「史記」（項羽本紀「鴻門之会」）

項王、項伯東嚮坐；　亜父南嚮坐 ─ 亜父者，范増也；　沛公北嚮坐；　張良西嚮侍。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/02(土) 22:56:58.47

初めてこれを読んだとき、４人が大黒柱の４面に背を向けて座るのかとオモタが････

いくら戦国時代でも、やっぱり対面して座るんだろうなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/03(日) 11:13:39.56

>>259
部分分数分解で
1/{(y-b_1)(y-b_2)････(y-b_k)}
= 1/{Π[j=1,k] (y-b_j)}
= Σ[j=1,k] 1/{(y-b_j)Π[i=1,k (但しjを除く)] (b_j-b_i)}

*　y≒b_j における主要項を考える。(留数)

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/09(土) 08:26:41.91

で、8ギガバイトのメモリーのパソコンで円周率10億桁を数分で計算できる昨今だが、
自然数の二乗の逆数の和が　なんで　円周率の2乗／６になるの？
N88BASICでプログラムを組んで10億回ループさせたが、なかなか収束しない。
今度はBASICコンパイラで100億回ループさせようかな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/13(水) 22:00:35.58

>>264
級数を解析的に求める常套手段：
・Σf(n) の計算は g(z)=f(z)π/tan(πz) と置いてg(z)の留数を解析せよ
・Σ(-1)^n f(n) の計算は g(z)=f(z)π/sin(πz) と置いてg(z)の留数を解析せよ
が複素関数論の演習問題などでよく知られている

Σ1/n^2 のとき g(z)=π/(z^2 tan(πz))と置くと
g(z)の極はz=0,±1,±2,±3,...にあり、留数はそれぞれ-π^2/3,1/1^2,1/2^2,1/3^2,...
積分路をN+1/2-(N+1/2)i,N+1/2+(N+1/2)i,-N-1/2+(N+1/2)i,-N-1/2-(N+1/2)i
を頂点とする正方形にとると留数定理より
(1/(2πi))∫g(z)dz = -π^2/3 + 2Σ[n=1,N] 1/n^2
が成り立ち、N→∞とすると∫|g(z)||dz|=O(1/N)→0
従って
Σ[n=1,∞] 1/n^2 = π^2/6

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/13(水) 22:03:36.98

級数を数値的に求める常套手段 --- オイラー・マクローリンの公式：
Σ[n=1,∞]f(n) = Σ[n=1,N-1]f(n) + ∫(N,∞)f(x)dx + (1/2)f(N) - Σ[k=1,M] B_{2k} f^(2k-1)(N)/(2k)! - R_{M,N}
ただしB_0=1, B_n=-Σ[k=0,n-1](n!/(k!(n+1-k)!))B_kで定義されるベルヌーイ数で
この公式の後の和はM→∞で収束するとは限らないが(漸近級数)、
M,Nを適切に大きく取ることで剰余項R_{M,N}を非常に小さくできる

Σ[n=1,∞] 1/n^2 のとき M=10, N=10と置いてオイラーの時代に戻った気分で手計算してみると
Σ[n=1,9]1/n^2 + ∫(10,∞)1/x^2 dx + (1/2)1/10^2 - Σ[k=1,10] B_{2k} (-(2k)!/10^(2k+1))/(2k)!
= 9778141/6350400 + 1/10 + 1/200 - (-1613404548290414275767377/9699690000000000000000000000)
= 1.644934066848226436417…
となって π^2/6 と20桁一致する

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/18(月) 22:20:17.44

YOUTUBEでバーゼル問題を解説している動画があったが、
解説者や、オイラーって本当に天才だな。正直に言う。さっぱりわからん。
https://www.youtube.com/watch?v=liwyGHRr9dk

**１３２人目の素数さん** · 2019/02/18(月) 22:33:10.07

>>267
リーマンゼータ関数と関数等式ってところでおっぱいとリーマンゼータ関数の関係について語っていて面白いですよ。谷間のとことが難しいらしいです。

2019/03/03(日) 11:58:10.22

【超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪者の実名と住所を公開】
①井口・千明（東京都葛飾区青戸６－２３－１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
　低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
②宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸２０２）
※色黒で醜く太っている醜悪黒豚宇野壽倫／低学歴で人間性が醜いだけでなく今後の人生でもう二度と女とセックスをすることができないほど容姿が醜悪である
③色川高志（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志はyoutubeの視聴回数を勝手に短時間に何百何千時には何万回と増やしたり高評価・低評価の数字を一人でいくつも増やしたり減らしたりなどの
　youtubeの正常な運営を脅かし信頼性を損なわせるような犯罪的業務妨害行為を行っています
※色川高志は現在、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください

【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４－８５５５
東京都葛飾区立石５－１３－１
℡０３－３６９５－１１１１

④清水（東京都葛飾区青戸６－２３－１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆　☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
　清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
⑤高添・沼田（東京都葛飾区青戸６－２６－６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
⑥高橋（東京都葛飾区青戸６－２３－２３）
※高橋母は夫婦の夜の営み亀甲縛り食い込み緊縛プレイの最中に高橋親父にどさくさに紛れて首を絞められて殺されそうになったことがある
⑦長木義明（東京都葛飾区青戸６－２３－２０） ※日曜日になると風俗店に行っている

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/14(木) 15:53:10.33

おめ

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/14(木) 23:09:26.93

Emma Haruka Iwao smashes pi world record with Google help
By Zoe Kleinman
Technology reporter, BBC News
https://www.bbc.com/news/technology-47524760

Google、円周率計算31兆桁達成　世界記録更新
2019年03月14日 19時56分公開
https://www.itmedia.co.jp/news/articles/1903/14/news148.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/14(木) 23:14:19.46

Emma Haruka Iwao　@Yuryu
Neutral Good with Lawful Evil traits / Developer Advocate for Google Cloud Platform / Software engineer, gamer, queer, and feminist / Tweets are my own
https://twitter.com/Yuryu
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/17(日) 02:28:15.40

31兆桁って数字に意味あんの？

良くわからんけど
円周率が直径と円周の比なら
宇宙と同じ大きさの円があったとしてその直径を1としたとき
1/10＾31兆とか素粒子以下の長さにならないの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/17(日) 03:08:36.19

宇宙の地平線まで行って戻る時に誤差を水素原子程度に抑えるには小数点以下40桁程度わかってれば十分らしい

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/18(月) 09:45:47.85

円周率をアルファベット26文字、空白一文字、区切り,.;：の四種類
合計31進数にしたときに神からのメッセージが現れるかも？

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/19(火) 18:14:21.58

ζ(2x)の結果はπを含みます
xが大きくなればなるほど計算は大変になりますが正確に値が出せます
ζ(20)(Σ[1/x^22,x,1,n)ではnがn=1で六桁、n=2で12桁ほど求まります

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/21(木) 01:03:12.47

tfAAKAVSFXE

ヒトモドキゴキブリvカスネズミのネトウヨ自殺しろの

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 00:02:50.60

355/113で十分な近似値
113分の355、113355でとっても覚えやすいのよ奥さぁん

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 07:58:00.62

でもそれじゃはやぶさは地球に戻れなかった

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 08:16:08.00

へー、はやぶさは円週率を使ってるんだ。へーー

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 08:26:01.23

>>280
ちなみに15桁使用だそうだ

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 08:42:12.72

なんだそれだけ？　じゃ、なんのために、スパコン使って何万桁も求めてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 08:47:21.02

宇宙の地平線まで行って戻るのに水素原子程度の誤差に収めるには小数点以下40桁程度で十分だそうだから実用面での要請でないのは間違いない

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 09:11:35.42

>>283
>宇宙の地平線まで行って戻る
そなことできるの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 09:36:32.64

>>284
もちろん計算上の話

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 10:03:30.99

宇宙の地平線なんてわかってないでしょ。どうやって計算するんでしょうかね？　お釈迦さまもびっくりだわ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 10:38:54.74

観測できてるギリギリのことを比喩表現で地平線と呼んだだけなのになんかキリキリしとる鈍い奴が居よる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 10:56:27.45

>>287
>観測できてるギリギリのこと
フーーん。君、詳しいのね。もっと教えて。

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 12:09:44.65

138億光年や465億光年ってのは単なる観測限界で果てではないよね
それより遠いと光速超えて膨張しているからこっち側に光が届かず観測できないだけ
ボイド構造を見たらごく一部なのが誰でも分かるはず

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/30(土) 12:50:02.39

https://pi.delivery/

πの31兆桁の値は一応公開してるんだな
無料版だと100桁ずつしか見られんが

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/29(月) 20:02:35.02

>>202 の続き

(5)　e□e□e□e□e = 6.9994167561…
(6)　e□π□e□π□e = 48.999667…

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1542555999/090,092,099

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/30(火) 04:29:42.84

>>291 の続き

γ = 0.5772156649････　をオイラーの定数とする。

(7)　e□e□γ□γ = 13.99983････
(8)　e□π□e□γ = 20.99962････
(9)　e□e□e□π□γ = 15.00035････
(10)　e□e□e□π□γ = 28.000040････
(11)　e□π□π□π□e□γ = 71.999996････
(12)　π□π□γ□π□γ□e = 9.000001････
(13)　π□γ□γ□e□π = 4.00019････

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/01(水) 04:00:18.69

>>292 の続き

(14)　π□π□γ□π□γ□e = 16.000039835677
(15)　π□π□π□γ□e□e = 23.000001617056
------------------------------
　e ≒ 19/7,　π ≒ 22/7,　γ ≒ 4/7
から１次の関係式
　e + π + π = 9.0014671356　　= (1)
　3e - 2γ = 7.000414156
　3π + γ = 10.00199363
　π - e + γ = 1.00052649

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1542555999/102-104

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/05(日) 18:09:01.72

>>293 の続き
　3e - 2γ = 7.000414156　　　　　　　　　= 2 [(7)-(9)] + (1)
　3π + γ = 10.00199363　　　　　　　　　= (9) - (7) + (1)
　π - e + γ = 1.00052649　　　　　　　　= (9) - (7)
　-π + 4e - 3γ = 5.999887665542　　　= 3 [(7)-(9)] + (1)
　-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522　　= 11 [(7)-(9)] + 4･(1)
　-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177　　= 14 [(7)-(9)] + 5･(1)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1542555999/109

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/05(日) 19:44:15.13

>>276

>.>276
　　　Σ[x=1,n] 1/x^20
n=1,　1.0
n=2,　1.000000953674316406
n=3,　1.000000953961113605
n=4,　1.000000953962023100
　　　　　･････
n=∞　1.000000953962033873 = ζ(20) = (7･283･617)/(10･22!) (2π)^20,

　　　Σ[x=1,n] 1/x^22
n=1,　1.0
n=2,　1.0000002384185791015
n=3,　1.000000238450445457
n=4,　1.000000238450502300
　　　　　･････
n=∞　1.000000238450502728 = ζ(22) = 22(131･593)/24!　(2π)^22,

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/09(木) 02:59:06.06

πは中間子です。

　種　類　　　　　中間子（ゲージボゾン)
　　　　　　　　　　　π±　　　　　　　　　π°
　---------------------------------------------------------------
　電　荷　　　　　　　±e　　　　　　　　　　　0
　クォーク組成　　π+ = ud~, π- = u~d,　　π°= (uu~-dd~)/√2,
　質　量　　　　　139.5700×10^6 [eV]　　　134.9764×10^6 [eV]
　寿　命　　　　　2.603×10^(-8) [s]　　　　8.4×10^(-17) [s]
　スピン　　　　　　　0　　　　　　　　　　　　　0　　　　(スカラーボゾン)
　アイソスピン　　　　1　　　　　　　　　　　　　1

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1331723086/180

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/09(木) 03:02:37.28

πは（芳香族）有機化合物中の電子軌道です。

・C-2p軌道(2p_z)が重なって生じる。

・原子同士の場合、σ結合の60%ぐらいしか安定化しない。（エチレン）
　　∵　電子雲が平行なのでσ結合よりも重なりＳが小さい。

・Cの数が多いときは平面状に広がって非局在化する。このため（超高圧でない場合）エネルギー的に有利。
　　例：グラフェン、グラファイト

・面対称性により、σ軌道や内殻軌道と直交している。
　クーロン積分・交換積分など低次の積分は０である。
　また、内殻軌道（1s,2s）とのエネルギー差もかなり大きい。
　このため孤立性が強く、π電子だけを考慮する近似が可能。（ヒュッケル法）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1331723086/181

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/15(水) 02:01:47.30

>>48
　22/7 = 3.142857　　(アルキメデス)

>>50
　2419/770 = 3.14155844

>>278
　355/113 = 3.141592920　　(祖沖之)

103993/33102 と 104348/33215 を「平均」すれば
　208341/66317 = 3.14159265347

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/15(水) 02:17:04.10

>>298
103993/33102 (3個) と 104348/33215 (5個) を「平均」すれば
　833719/265381 = 3.141592653581
　　　　　　￣￣￣　　　　　　　￣￣￣

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/16(木) 02:17:44.33

>>298
103993/33102 (4個) と 104348/33215 (7個) を「平均」すれば
　1146408/364913 = 3.1415926535914

連分数表示
　3 + 1･1/{6 + 3･3/[6 + 5･5/(6 + 7･7/(6 + ････))]}

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/17(金) 19:22:54.03

>>293
e ≒ 193/71,　π ≒ 223/71，γ ≒ 41/71

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/18(土) 07:55:52.65

〔問題〕
　10 - 7/48 < 6ζ(2) < (√2 + √3)^2　を示せ。

ただし　ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ････ = Σ[k=1,∞] 1/kk　である。

〔系〕
　3.139134 < √{6ζ(2)} < √2 + √3 = 3.146264

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/18(土) 07:59:44.78

右
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/kk
　< 49/36 + Σ[k=4,∞] 1/(kk-1/4)
　= 49/36 + Σ[k=4,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
　= 5/6 + 19/36 + 2/7
　= (5 + 205/42) /6,

∴　6ζ(2) < 5 + 205/42 < 5 + 44/9 < 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,

　6 - (22/9)^2 = 2/81 > 0　より　√6 > 22/9,

左
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk
　= 2 - Σ[k=1,∞] {2/(2k-1) -2/(2k+1) -1/kk}
　= 2 - Σ[k=1,∞] {4/(4kk-1) - 1/kk}
　= 2 - Σ[k=1,∞] 1/{(4kk-1)kk}
　= 2 - 1/3 - 1/60 - 1/315 - Σ[k=4,∞] 1/{(4kk-1)kk}
　> 2 - 89/252 - (1/63)Σ[k=4,∞] 1/kk
　= 2 - 89/252 - (1/63){ζ(2) - 49/36},

∴　6ζ(2) > 10 - 7/48 = 9.854167

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/19(日) 12:31:26.13

〔問題〕
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
を示せ。
　(バーゼル問題に関連)

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/19(日) 12:37:46.03

>>304
マクローリン展開
　Σ[k=1,∞] (1/k)x^(k-1) = -(1/x)log(1-x),
より
　Σ[k=1,∞] 1/(kk･2^k) = -∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx,
　Σ[k=1,∞] {1/kk - 1/(kk･2^k)} = -∫[1/2～1] (1/y)log(1-y) dy,
辺々引く。
　ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
　= -∫[1/2～1] log(1-y)/y dy + ∫[0～1/2] (1/x)log(x) dx,
　= -∫[0～1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx
　= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
　= (log 1/2)^2
　= (log 2)^2
　= 0.4804530139182

http://club.informatix.co.jp/?p=3326

数列総合スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1290234907/203-205

オイラーの贈物スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1417406099/244ｰ247

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/19(日) 12:58:04.89

・オイラーの贈物スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1417406099/244-247

・不等式スレ１０
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1545137227/103-104

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/17(月) 11:59:59.75

飯森裕次郎は神奈川・川崎市出身!駒澤大学卒で円周率おじさんだった
https://koku-byakunews.com/archives/30124

円周率ヲタクは犯罪者になると叩かれる日も近いなw

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/17(月) 12:24:36.67

円周率ヲタって普段から円周率の十六進法でのある桁の値をBBPアルゴリズムで暗算していたとかかな

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/17(月) 15:25:54.68

１１進法かも

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/17(月) 15:36:14.65

60進数でしょ

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 05:15:47.47

>>307 >>308
「円周率は3.05より大きいことを証明せよ。（2003）東京大学」

――「 I． Y．」を名乗るフェイスブックのタイムラインに掲載される、手書きの「過去問」の一節だ。
比較的直近に記されたものらしく、（中略）メモ用紙に、解答までぎっちり書き込まれている。

http://www.j-cast.com/2019/06/17360206.html

円周率ヲタクでも無さそう。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 11:55:30.89

円周率の355/113の近似が精度高いのはπを連分数にしたときに大きな数字がすぐに出るためらしい
なるほど。逆に黄金比は連分数は全部１だから分数近似精度が一番悪い無理数

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 14:39:00.77

円周率の正則連分数表示を求めるのってどうやればいいの？
もちろん先に小数を求めてからやるのは無しでπの性質から導く方法が知りたい。
書いてある本とかでも有り難い。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 15:16:32.48

http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/pi2002.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 15:21:40.40

もし>>313へのレスならありがとう。
今ガラケーから見てるんであとでじっくり確認します。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 15:50:06.02

pi^4の連分数展開もでっかい数字が出てくるからラマヌジャンの近似も精度高い
(2143/22)^(1/4)＝3.1415926525..
https://www.wolframalpha.com/input/?i=ContinuedFraction%5BPi%5E4%5D

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 15:55:45.81

(31)^(1/3)=3.1413...
(4930/159)^(1/3)=3.141593...

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/19(水) 20:01:34.67

円周率を11進法で計算していたコンピューターが
1857万桁のところで異変を感知し、その部分を画面に表示し始めた
その表示は0と1のみしか登場せず、ある一定の区間ごとにに折り返され、
0と1によってある図形が浮かび上がった…

0000000011111100000000
0000011110000111100000
0001110000000000111000
0011000000000000001100
0110000000000000000110
1000000000000000000001
1000000000000000000001
0110000000000000000110
0011000000000000001100
0001110000000000111000
0000011110000111100000
0000000011111100000000

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/20(木) 05:04:25.88

↑
コンタクト　レンズ

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/20(木) 20:49:45.63

ネイピア数
640320^(3/163^0.5pi)=2.718281828459045

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 02:15:56.24

Log(640320^3)/163^0.5=3.14159265358979

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 02:28:20.64

>>320を少し分かりやすく
ネイピア数
(640320^3)^1/(pi*163^0.5))=2.718281828459045

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 02:30:18.05

「おいらの贈り物」　～人類の至宝　　e^(π√163) = 640320^3 + 744　を学ぶ～

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 02:34:13.99

(640320^3)^1/(pi*163^0.5)=2.718281828459045

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 02:36:47.71

より高い精度
円周率
Log(640320^3+744)/163^0.5=3.141592653589793238462643383279
ネイピア数
(640320^3+744)^1/(pi*163^0.5)=2.718281828459045235360287471352

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 04:25:43.26

π≒2^9≒3.1411
e≒163/(3*4*5)≒2.7166

163(π-e)≒68.9996644963
((2^9)-(163^2/(3*4*5)))≒69.18333...

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 09:45:02.77

2^9=512　

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 14:24:33.71

53760=512(7!!)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 15:39:49.53

>>321
Log(640320^3)/163^0.5≒3.141592653589793

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 03:22:27.71

e^(pi163^0.5)+0.00000000000075≒640320^3-744
の
0.00000000000075の誤差部分はモンストラス・ムーンシャインというやつです。
j(τ)=1/q+744+196884p+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4
つまり
e^(pi163^0.5)+196884/(e^(pi163^0.5))≒640320^3-744
と評価されます。21493760q^2以降の部分はかなり計算精度が高くないと正確に
求まらないので省略しています。

楕円関数、モジュラー関数、虚二次体、ヘーグナー数、j関数、モンスター群、
モンストラス・ムーンシャインと訳の判らないものがいっぱい出てきます。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/06/22(土) 03:59:48.97

芯径10㎜の感熱紙の芯に糸巻いて切って一周分の長さ測ったらわ。

31.4㎜ぐらいになるはず。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 04:06:36.89

訂正
e^(pi163^0.5)+0.00000000000075≒640320^3-744
の
0.00000000000075の誤差部分はモンストラス・ムーンシャインというやつです。
j(τ)=1/q+744+196884p+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4
つまり
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))≒640320^3-744
と評価されます。21493760q^2以降の部分を追加するとこうなります。
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))-21493760/(-e^(pi163^0.5))^2-864299970/(-e^(pi163^0.5))^3
-20245856256/(-e^(pi163^0.5))^4+333202640600/(-e^(pi163^0.5))^5

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 05:17:54.80

e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))≒640320^3+744=262537412640768744
e^(pi67^0.5)-196884/(-e^(pi67^0.5))≒5280^3+744=147197952744
e^(pi43^0.5)-196884/(-e^(pi43^0.5))≒960^3+744=884736744
e^(pi19^0.5)-196884/(-e^(pi19^0.5))≒96^3+744=885480
e^(pi11^0.5)-196884/(-e^(pi11^0.5))≒32^3+744=33512

e^(pi7^0.5)-196884/(-e^(pi7^0.5))-21493760/(-e^(pi7^0.5))^2-864299970/(-e^(pi7^0.5))^3 -20245856256/(-e^(pi7^0.5))^4-333202640600/(-e^(pi7^0.5))^5-4252023300096/(-e^(pi7^0.5))^6≒15^3+744=4119
e^(pi3^0.5)-196884/(-e^(pi3^0.5))-21493760/(-e^(pi3^0.5))^2-864299970/(-e^(pi3^0.5))^3 -20245856256/(-e^(pi3^0.5))^4-333202640600/(-e^(pi3^0.5))^5-4252023300096/(-e^(pi3^0.5))^6≒0^3+744=744

j(τ)=1/q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4+333202640600q^5+4252023300096q^6+44656994071935q^7+401490886656000q^8+3176440229784420q^9+22567393309593600q^10+…

j関数
http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 05:38:31.38

再訂正
e^(pi163^0.5)+0.00000000000075≒640320^3+744
の
0.00000000000075の誤差部分はモンストラス・ムーンシャインというやつです。
j(τ)=1/q+744+196884p+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4
つまり
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))≒640320^3-744
と評価されます。21493760q^2以降の部分を追加するとこうなります。
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))-21493760/(-e^(pi163^0.5))^2-864299970/(-e^(pi163^0.5))^3
-20245856256/(-e^(pi163^0.5))^4+333202640600/(-e^(pi163^0.5))^5

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 05:39:22.64

再再訂正
e^(pi163^0.5)+0.00000000000075≒640320^3+744
の
0.00000000000075の誤差部分はモンストラス・ムーンシャインというやつです。
j(τ)=1/q+744+196884p+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4
つまり
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))≒640320^3+744
と評価されます。21493760q^2以降の部分を追加するとこうなります。
e^(pi163^0.5)-196884/(-e^(pi163^0.5))-21493760/(-e^(pi163^0.5))^2-864299970/(-e^(pi163^0.5))^3
-20245856256/(-e^(pi163^0.5))^4+333202640600/(-e^(pi163^0.5))^5

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/22(土) 15:02:51.17

"分母が小さいにも関わらず考えている数にかなり近い"

有理数を作れるかが勝負なのです

314159265/100000000=3.14159265

355/113≒3.14159292

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/24(月) 03:34:40.31

118１３２人目の素数さん2019/06/22(土) 06:55:51.56ID:mnSGZhQY
π - e = 69/163

　円周率スレ【π】 - 326

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/24(月) 07:55:24.37

>>304 >>305
バーゼル問題について

藤田岳彦：数学セミナー, ５１(3), p.30-36 (2012/Mar)
　「リーマン・ゼータ関数の特殊値を確率論で求める」

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 16:31:45.94

円周率について語り合おう【π】
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/06/29(土) 23:49:38.74

314159265/99999999を約分してみる。
314159265/99999999
=104719755/33333333
=34906585/11111111

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 17:43:08.05

>>339
大数スレは↓ですよん。
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1395323240/

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 17:47:03.91

>>258
> 円周率の小数点以下762桁目から”9”が6回連続で現れるファインマン・ポイント。
　
これ”確率”で考えるとこの早い段階で見つかるのはレアやな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 00:32:56.69

3245
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 11:14:05.79

1415
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/08(木) 10:14:26.35

マクローリン
オッパイ
終。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 05:09:30.02

>>240 >>243 >>316 より

π^4 = 2143/22
　　= 100 - 3(19/22)
　　= 100 - 3(20/23) + 9/(22･23)
　　≒ 100 - 20(3/23) + (3/23)^2
　　= (10 - 3/23)^2,

π^2 ≒ 10 - 3/23 = 9.869565

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/14(土) 15:10:47.47

2020/03/14　15:09:26.5359

(公財)日本数学検定協会(数検)が「数学の日」制定(1997)

日本パイ協会の「パイの日」
http://www7a.biglobe.ne.jp/~pienohi/index.htm

A.アインシュタイン (1879/03/14～1955/04/18)

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/14(土) 15:15:29.53

演習ルツのひおめ

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/12(日) 20:12:04.73

なぜ2πが円一周なのか
なぜπでは半円にしかならないのか
それはおっぱいは２つで一つだからである
一つでは不完全だからである

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/17(金) 07:32:29.83

>>243
下の近似式はモジュラー関数に基づく公式
　1/π = {(2√2)/(99^2)}Σ[n=0,∞] (4n)!(1103+26390n)/{(4^n)(99^n) n!}^4
の初項から。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/21(火) 22:07:14.68

いつの間にか50兆桁まで出ていたのね。
http://www.numberworld.org/y-cruncher/

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/21(火) 22:19:15.44

Emma Haruka Iwao is a Japanese computer scientist
https://en.wikipedia.org/wiki/Emma_Haruka_Iwao

31.4兆桁出したGoogleの人抜かれちゃったのね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/21(火) 22:23:56.34

50兆桁出すのに303日もかかったらしいな。
https://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_π

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/21(火) 22:25:32.60

リンクがおかしかったのでもう一度
https://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/23(木) 04:00:47.24

https:/twitter.com/nami_twun2

ニホンザルヒトモドキを焼き殺せ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/02(土) 14:38:25.35

コンピューターの表示環境にもよるが、
ｎ（エヌ）とπ（パイ）が似ていてまぎらわしい。
なんとかしてほしい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/02(土) 17:01:40.84

ぱい п えぬ н ちがうじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/03(日) 06:40:26.16

π
ｎ
うちは違うな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/03(日) 11:00:18.35

Windows XPのパソコンで2ちゃんねるをしていた時代は、
パイがエヌみたいな形に表示されることはなかったのに。

誰だよ、「エヌにそっくりなパイ」を考案した奴は。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/03(日) 13:24:00.33

3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/04(月) 10:36:16.23

3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/14(日) 21:53:19.87

円周率で今計算されている数値で連続するｎ個の10^n個の順列すべてがあるっていう
条件を満たすｎの最大値ってどれくらいでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/28(日) 11:58:00.26

>>312
黄金比は　φ = √(π/1.2)　だから同じだよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 16:59:21.62

>>337
π - e = 69/163

π = 2･37･173/(163･25) = 12802/(163･25),　
e = 11･19･53/(163･25) = 11077/(163･25)　から。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 20:40:36.27

1からNまでの自然数から、無作為に二つを選ぶ、
二つが互いに素となる確率は
N→∞　とするとバーゼル問題の逆数です。　

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/12(日) 00:57:38.29

>>66
3.でなく30.では？1の位が必要。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/23(木) 00:11:29.48

4*(0.5!)^2

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/23(木) 16:10:21.66

22/7は円周率πに近い

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 22:28:53.23

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 20:21:27.06

(π/2 - 1)^8 + (4/3)^8 = 10
より
π = 2(1 + [10 - (4/3)^8]^{1/8}),
だから無理数。(8次の代数的数?)

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 19:54:00.11

　π = 3 + 0.1√2 = √(9 +0.6√2 +0.02),
とおく。
√2 の近似分数を「ペル方程式」を使って求める。
7^2 - 2・5^2 = -1　より
　√2 ≒ 7/5,
　p = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 7/50 = 3.14

10^2 - 2・7^2 = 2　より
　√2 ≒ 10/7,
　q = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 1/7 = 3.142857

{p,p,p,p, q,q,q,q,q} の相加平均、調和平均より
　π' = (4p+5q)/9 = 3 + 223/1575 = 3.1415873
　π” = 9/(4/p + 5/q) = 3 + 1401/9895 = 3.14158666

17^2 - 2・12^2 = 1　より
　√2 ≒ 17/12,
　π = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 17/120 = 3.1416667
　π = √(9 +0.6√2 +0.02)
　　≒ √(9 +0.85 +0.02) = √(9.87) = 3.1416556

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 03:31:46.02

　π^2 + (1/π)^2 = (π - 1/π)^2 + 2 ≒ 10,
　π - 1/π ≒ 2√2,
これを改良して
　π - 1/π + 1/(2π^4) = 2√2,

∴　π = 3.141603

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 13:28:00.47

　π^2 + (1/π)^2 = (π + 1/π)^2 - 2 ≒ 10,
　π ＋ 1/π ≒ 2√3,
これを改良して
　π + 1/π + 1/((√6)π^4) = 2√3,

∴　π = 3.1416016

また
π = √3 + √2 - (√3 + √2)/(4(√3)π^4),
1/π = √3 - √2 + (√3 - √2)/(4(√3)π^4),

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/11(水) 07:54:46.74

√3 = 1 + (1/2) 1.1^4 = 1.73205
√2 = 1 + 0.8^4
π = √3 + √2 = 2 + (1/2) 1.1^4 + 0.8^4 = 3.14165

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/11(月) 20:58:07.90

>>346
π^2 = (3 + 14/99)^2 = 9 + 28/33 + 1/50
　= 10 - 5/33 + 16/(23･33) = 10 - 3/23
　= 9.86956522

π^2 = (3 + 14/99)^2 = 9 + 28/33 + 1/50
　= 10 - 5/33 + 23/(33^2) = 10 - 142/(33^2)
　= 9.86960514

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/09(火) 01:38:02.38

>>363

φ = √(π/a)　より
π = aφ^2,
π - a - √(aπ) = 0,

0 = (π-a)^2 - aπ
　= π^2 - 3aπ + aa
　= (π - 3a/2)^2 - 5aa/4,

π = aφ^2 = (3+√5)a/2 = 1.8 + √1.8

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 07:16:48.92

>>373
下から2行目
　π = (√3 + √2) {1 - 1/(4√3･π^4)},
を4乗して
　π^4 = (√3 + √2)^4 {1 - 1/(√3･π^4)},
これを解いて
　{π/(√3 + √2)}^4 = (1 + √(1 - 196/√3 + 80√2))/2 = 0.994072927

∴　π = (0.994072927)^(1/4) * (√3 + √2)
　　　= 0.998514926 (√3 + √2)
　　　= 3.14159194

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 11:47:18.26

a = 0.00727079154　に対して
π = √(3-a) + √(2-a) = 3.141591246

1/π = √(3-a) - √(2-a) = 0.318310029
π + 1/π = 2√(3-a) = 3.459901275
π - 1/π = 2√(2-a) = 2.823281217

(a = 1 - exp(-α),
α = 0.00729735257 は Sommerfeld の微細構造定数)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 07:38:27.62

>>368 と π ≒ (20/9)√2 から
　π = (160/9)√2 - 22 = 3.14157444

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 00:34:35.06

　π ≒ (20/9)√2 = 3.1427
　π ≒ (64/27)(√2 - 4/45) = 3.14151
から
　π = (64/29){(77/72)√2 - 4/45} = 3.14159216

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 02:32:53.93

>>374
p = √3 + √2 = 3.14626437
π = p - (√2) /p^5 - √(2/3) /p^8 - … = 3.14159223

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/22(月) 11:17:29.31

(3 + √5)(√7 + √11) = 31.2194 > π^3,
(3 + √11)(√5 + √7) = 30.8366 < π^3,

π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3) - (√7)/2]^{1/6}
　= 3.141587

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 15:22:00.04

π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3)]^{1/6} - 8/(571√385)
　= 3.1415926518

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/24(水) 13:40:02.74

tan(1) < π/2.

(略証)
　1 = π/3 - δ,
　δ = 0.04719755
加法公式で
tan(1) = tan(π/3 - δ)
　= {tan(π/3) - tanδ}/{1 + tan(π/3)tanδ}
　= (√3 - tanδ)/{1 + (√3)tanδ}　　　
　< 3/(√3 + 4 tanδ)
　< 3/(√3 + 4 δ)
　< 3/(1.732 + 4・0.047)
　= 3 / 1.92
　= 25/16
　= 1.5625
　< π/2,

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 00:27:23.80

>>381
√2+√3を使う規則性のあるπの公式
π = (2/3)/(a/p^2 - (1/2)^3*(a+28)/p^10 + ((1*3)/(2*4))^3*(a+56)/p^18 - ((1*3*5)/(2*4*6))^3*(a+84)/p^26 + ...),
p=√2+√3, a=7-2√6

**あぼーん** · NG

あぼーん

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 03:57:25.26

円周率が3.05以上であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 08:40:28.05

単位円に内接する正８角形の半周の長さを求める。

(1,0) と (0,1) の間にある頂点を (x,y) とすると
　x=y>0, xx+yy=1　より　(x,y)=(1/√2, 1/√2) となる。

一辺の長さは
　L = √{(1/2) + (1-1/√2)^2} = √(2-√2),
ところで
　99^2 - 2･70^2 = 1　より　√2 < 99/70,
　4･70･41 - 107^2 = 31　より　41/70 > (107/140)^2,
したがって
π > 4L
　= 4√(2-√2)
　> 4√(2 - 99/70)
　= 4√(41/70)
　> 4(107/140)
　= 107/35
　= 3 + 2/35
　> 3.05

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 09:54:28.80

正解っすね。他の解き方としては三角関数を用いたり、ルート2の近似値を直接用いて解く方法もあったり。

これは有名なので知ってるかもしれないんですが、円周率が3.14であった最後の年に東大で出された受験問題。
円周率を3とした文科省への抗議とされてる有名な問題。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/10(月) 14:18:16.20

抗議したの誰だろうね。
変な人だね。
初めは概略だけにして、徐々に詳しく…というのが常道だと思うけどな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/11(火) 16:05:10.04

行列が終わる年にも、まさかの大問2つまるごと行列だったりしてるから、東大は不満を試験にぶつけてくるw

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 02:02:17.42

今知ったんだけど行列なくなったんか
高校レベルの行列って数式の表記の話でしかないし、削る程のものでもないと思うんだけどな

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 03:35:30.61

行列が消えて複素数平面が１５年ぶりくらいに復活。
複素数平面はかなりえげつないので、行列のままなら受験生がかなりラクなんやけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 18:24:10.71

>>389
東大, 2003年理系, 大問６
http://www.youtube.com/watch?v=e5aTDC8tgwM 05:32,
http://www.youtube.com/watch?v=sxpC4y5VMkI 03:41,

(大意)　前は17分以上かかってたけど…

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 19:03:35.54

単位円に内接する８角形の半周の長さを求める。
　(1,0)　(12/17, 12/17)　(0,1)　(-12/17, 12/17)　(-1,0)
に頂点があるとする。
一辺の長さは
　L = √{(12/17)^2 + (1-12/17)^2} = 13/17,

一方、
　2･(12/17)^2 = 288/289 < 1,
∴　頂点および辺は、円周上または内側にある。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4 L
　= 4･(13/17)
　= 52/17
　= 3 + 1/17
　= 3.0588…

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 20:15:58.49

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1442160154
のベストアンサーにあります。
　mbi1510 さん
　2010/6/13　0:54

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1372371693
の「その他の回答」
　mie******** さん
　2011/9/30　16:28
もほとんど同じ方法と思います。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/13(木) 14:18:54.92

単位円に内接する12角形の半周の長さを求める。
　A(1,0)　B(41/48, 1/2)　C(1/2, 41/48)　D(0,1)
に頂点があるとする。
辺の長さは
　AB = CD = (1/48)√(7^2 + 24^2) = 25/48,
　BC = (41/48 - 1/2)√2 = 17/(24√2) > 1/2,
ここで
17^2 - 2･12^2 = 1,　17 > 12√2　を使った。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4AB + 2BC
　> 25/12 + 1
　= 3 + 1/12
　= 3.0833…

もう秋田？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/20(木) 22:17:03.22

Ln(640320^3+744+196884/(-(640320^3+744))+21493760/(-(640320^3+744))^2)/sqrt(163)
=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494

https://hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1621516129/1

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:17:13.44

>>398の式は微妙に間違っているらしい
正しくは
ln(640320^3+744+196884/(-640320)^3+(744*196884+21493760)/(-640320)^(3*2))/sqrt(163)

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:32:02.45

>>330
>>332-335
結局q^2の所で使う係数を間違えていたから精度が上がらなかったのでしょう。
ムーンシャインとかj-不変量の係数をそのまま突っ込んでも駄目で項を増やしていくと
複雑な計算が必要になってくるようです。

A178449 - OEIS:
https://oeis.org/A178449

↑に係数が乗ってるけど、どうやって計算しているかはよく分からん

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:34:35.39

>>399
とりあえずごちゃごちゃしているのでシンプル？に
ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6)/163^0.5

更に精度を上げると
ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6-180592706130/640320^9)/163^0.5

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 03:38:36.69

さらにもっと精度を上げると
pi-ln(640320^3+744-196884/640320^3+167975456/640320^6-180592706130/640320^9+217940004309743/640320^12)/163^0.5

q^3以上計算はかなり重たくなってきます

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 04:46:09.40

Log[((3+√5)(√5+√7)(√7+√11)(√11+3)/(4√2))^12-24]/√385
=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058...

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613029064/92

Conjecture:
π = Log[k - 24 - 276/k - 8672/k^2 - 344658/k^3 -...]/√385,
k = ((3+√5)(√5+√7)(√7+√11)(√11+3)/(4√2))^12

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/21(金) 12:59:32.78

>>351
1年以上経っても変わっていないな。
誰か新たに計算しているのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 02:31:02.14

>>402
なんか精度の挙動がおかしいと思たら
https://oeis.org/A178449
は近似で求めた係数で√163にしか使えない(4次以上が誤り)

q-展開からきちんと求めた係数は以下の通り

[1,744,-196884,167975456,-180592706130,
217940004309744,-282054965806724344,
382591095354251539392,-536797252082856840544683,
772598111838972001258770120,
-1134346327935015067651297762308,
1692324738742597705005194275401888,
-2558136060792026773012451913035887538,
3909566534059719280565543662082528637552,
-6030806348626044568366137322595811547663800,
9377648421379464305085605549750143357652168640,
-14683413510495912973021347501907744913788055440950]

この修正した係数をa[n]とすると
Log[640320^3 + 744 + Σ[n=1,15] a[n]/640320^(3n)]/√163
で誤差が10^(-244)以下

Log[t + 744 + Σ[n=1,15] a[n]/t^n]/√1435,
t = (108 (2+√5)^10 (9559+2212√5+1315√41+425√205)^2 - 12)^3
で誤差が10^(-827)以下になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 06:17:54.98

ちょっと強引なπの1000桁近似をしてみた

近似1(j-invariant, ε<10^(-1055)):
Log[t+744-196884/t+167975456/t^2-180592706130/t^3+217940004309744/t^4-282054965806724344/t^5+382591095354251539392/t^6-536797252082856840544683/t^7+772598111838972001258770120/t^8]/√6307,
t = (27 (4+√17)^16 (1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2 - 12)^3

近似2(eta function, ε<10^(-1109)):
Log[u+24-276/u+8672/u^2-344658/u^3+15390480/u^4-737293560/u^5+37026698304/u^6-1923581395371/u^7+102518730258488/u^8-5573961072647172/u^9+307952836032412512/u^10-17239165406937117618/u^11+975709822658417655696/u^12]/√3502,
u = (2 (a+√(a^2-1))^2 (b+√(b^2-1))^2 (c+√(c^2-1)) (d+√(d^2-1)))^6,
a = (23+4√34)/2, b = (19√2+7√17)/2, c = 429+304√2, d = (627+442√2)/2

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 12:13:11.46

おおすごい

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 04:10:26.28

ただのメモ
e^π-π+1/(1111+(1/(11+((1/√2)))))=20.000000000001214

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 07:56:52.18

単なるメモ
e^π - π + 1/1111 = 20.000000069198476667

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 18:11:27.73

>>397
単位円に内接する16角形の半周の長さを求める。
　A(1,0)　B(12/13, 5/13)　C(9/13, 9/13)　D(5/13,12/13)　E(0,1)
に頂点があるとする。
辺の長さは
　AB = DE = (1/13)√(1^2 + 5^2) = (1/13)√26 > (1/13)(203/40),
　BC = CD = (1/13)√(3^2+4^2) = 5/13,

ここで
　13^2 - 2･9^2 = 7,　26・40^2 - 203^2 = 391　を使った。

凸な折れ線は、外側を通る曲線より短いから
π > 4AB + 4BC
　> (4/13)(5 + 203/40)
　= (4/13)(13･31/40)
　= 3.10

あきたこまち

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 23:23:04.65

∴　円周率の近似値は 3.0 ではなく 3.1 だ。　　>>390

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 23:59:13.83

>>410
ちょっと変わった解答を２つ

１．
正五角形の辺と対角線の比は黄金比φなので sin18°=(1/2)/φ=(√5-1)/4
したがって
π > (半径1の円に内接する正10角形の辺の長さの和)/2
= 10sin18°= (5/2)(√5-1) > (5/2)(2.23-1) = 3.075

２．
半径1の円の1/12円弧の長さは弧長の定義より
∫[0,1/2]√((√(1-x^2))'^2+1)dx = ∫[0,1/2]1/√(1-x^2)dx
ここで
(1-x^2)(1+(1/2)x^2)^2 = 1-(3/4)x^4-(1/4)x^6 < 1
より
1/√(1-x^2) > 1+(1/2)x^2
したがって
π = 半径1の円の1/2円弧の長さ = 6∫[0,1/2]1/√(1-x^2)dx
> 6∫[0,1/2](1+(1/2)x^2)dx = 6(1/2+(1/6)(1/2)^3) = 25/8 = 3.125

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 18:33:29.43

ちょっと変わった解答（π>3.05の証明）の続き

3．(不完全18角形近似)
sinθ = 25/144, 0<θ<π/6
を満たすθを評価する
sin(3θ) = 3sinθ-4(sinθ)^3 = 373175/746496 < 1/2
より
3θ < π/6
したがって
π > 18θ > 18sinθ = 25/8 = 3.125

4．(変形マチンの公式)
sinα = 5/13, tanβ = 1/239, 0<α<π/2, 0<β<π/2
を満たすα,βを評価する
tanα = (5/13)/√(1-(5/13)^2) = 5/12,
tan2α = 2(5/12)/(1-(5/12)^2) = 120/119,
tan(2α-β) = (120/119-1/239)/(1+(120/119)(1/239)) = 1
より
2α-β=π/4
したがって
π = 4(2α-β) > 4(2sinα-tanβ) = 4(10/13 - 1/239) > 3.06

5．(少し精度の良い解答)
0 < ∫[0,1] x^6 (1-x)^4/(1+x^2) dx
= ∫[0,1](-4+4x^2-4x^4+5x^6-4x^7+x^8 + 4/(1+x^2))dx
= -1979/630 + π
より
π > 1979/630 > 3.1412

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/25(火) 04:13:20.37

6.　(B.C.Carlson　*)
　θ > 3/(1/sinθ + 1/sinθ + 1/tanθ) = 3sinθ/(1+1+cosθ),
を使う。　　　　　　　　← 牛刀
　sin(π/4) = 1/√2,　　cos(π/4) = 1/√2,
を入れれば
　π > 12/(2√2 + 1) = 12{(2√2 - 1)/7} = 3.13445

　sin(π/6) = 1/2,　　cos(π/6) = (1/2)√3,
を入れれば
　π > 18/(4+√3) = 18{(4-√3)/13} = 3.14023

　sin(π/12) = √{[1-cos(π/6)]/2} = (√3 - 1)/√8,
　cos(π/12) = √{[1+cos(π/6)]/2} = (√3 + 1)/√8,
を入れれば
　π > 36 (√3 -1)/(1 + 4√2 + √3)
　　= 36 {(-14 -22√2 -√3 +26√6)/193}
　　= 3.14151

*)　相加平均, 相乗平均は θより大きく(Snellius-Huygens)、
　調和平均はθより小さい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/25(火) 14:42:40.63

10進数じゃなくて他の数え方だったら有理数になったりしないかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 11:55:28.55

7. (オイラー積)

マクローリン展開
　sinθ = θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - ……
と
オイラーの無限乗積表示
　sinθ = θ Π[k=1,∞] {1 - (θ/kπ)^2}
　　　　= θ - (θ^3)/(ππ) Σ[k=1,∞] 1/k^2 + ……
の θ^3 の係数を比べて
　1/3! = 1/(ππ) Σ[k=1,∞] 1/k^2,

∴　ππ/6 = Σ[k=1,∞] 1/k^2
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/k^2
　　> 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/(k(k+1))
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] {1/k - 1/(k+1)}
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/4
　　= (1/6)(29/3)
　　> (1/6)(961/100)
　　= (1/6)(31/10)^2,

∴　π > 31/10 = 3.1