フーリエ変換・ラプラス変換
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(1) 0<h<2π のとき
(h/2) + Σ[n=1,∞] sin(nh)/n = π/2,
を示せ。
(2) ∫[0,∞] sin(x)/x dx = π/2,
を台形公式を使って求めた。
刻み幅がh (0<h<2π) のときの誤差を求めよ。
(参考)
数ゼミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983)
p.154 (1)
(h/2)i + Σ[n=1,∞] (1/n)e^{inh}
= (h/2)i + Σ[n=1,∞] (1/n)(e^{ih})^n
= (h/2)i - log(1 - e^{ih}) ← マクローリン
= - log(e^{-ih/2} - e^{ih/2})
= - log((-2i)sin(h/2))
= - log(-i) − log(2sin(h/2))
= (π/2)i - log(2sin(h/2)),
虚数部をとる。
右辺のhが消えるのがミソ。 p>0 とする。
∫[0,∞] e^{(-p+i)x} dx
= [ 1/(-p+i) e^{(-p+i)x} ](x=0,∞)
= 1/(p-i)
= (p+i)/(pp+1),
虚数部をとると
∫[0,∞] e^{-px} sin(x) dx = 1/(1+pp),
pで積分すると
∫[0,∞] (1 - e^{-px}) sin(x)/x dx = arctan(p),
p→∞ として
∫[0,∞] sin(x)/x dx = π/2,
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第3章§35.［例3] p.115
第4章§48．[例4] p.168-169 おまいらメリン変換やスティルチェス変換は知っていますか？ 〔問題570〕
I = ∫[0,∞] e^(-x)/{1 + cos(x)^2} dx
を求めよ。
[分かスレ４６４．570] c = (√2 -1)^2 = 0.171572875 とおく。
1 + cc = 6c,
1 + cos(x)^2 = {3 + cos(2x)}/2 = [1+c･e^(i2x)] [1+c･e^(-i2x)] /4c,
を使ってフーリエ級数に展開すると
1/{1+cos(x)^2} = 4c/{[1+c･e^(i2x)] [1+c･e^(-i2x)]}
= -(1/√2) + (√2)[1+c･cos(2x)] / {[1+c･e^(i2x)] [1+c･e^(-i2x)]}
= (1/√2){-1 + 1/[1+c･exp(i2x)] + 1/[1+c･exp(-i2x)]}
= (√2){1/2 + Σ[k=1,∞] (-c)^k･cos(2kx)},
次に
∫[0,∞] e^(-x)･cos(2kx) dx = Re{ ∫[0,∞] e^((-1+2ki)x) dx }
= Re{ 1/(1-2ki) }
= 1/(1+4kk),
を使うと
I = ∫[0,∞] e^(-x)/{1+cos(x)^2} dx
= (√2){1/2 + Σ[k=1,∞] (-c)^k /(1+4kk)}
= (√2)(1/2 - 0.03270745983925)
= 0.6608514478911
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