フーリエ変換・ラプラス変換
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
>>55
時系列データの周波数分解能が合ってないため。
株価時系列データとかほぼ周期性ない
離散フーリエで綺麗に表現可能なのは周波数分解能の整数倍の波形だけだよ。
分数波長は縞々スペクトルの原因になる。 あとExcelはふFFTすると-ω〜+ωの範囲ではなく、何故か0〜2ωの範囲で表示される。 >>428
鼻の両穴に指突っ込んでみな
新しい世界に会えるよ >>430
耳栓しながら鼻の両穴に指突っ込んでみな
マジ卍目が飛び出すよ (1) 0<h<2π のとき
(h/2) + Σ[n=1,∞] sin(nh)/n = π/2,
を示せ。
(2) ∫[0,∞] sin(x)/x dx = π/2,
を台形公式を使って求めた。
刻み幅がh (0<h<2π) のときの誤差を求めよ。
(参考)
数ゼミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983)
p.154 (1)
(h/2)i + Σ[n=1,∞] (1/n)e^{inh}
= (h/2)i + Σ[n=1,∞] (1/n)(e^{ih})^n
= (h/2)i - log(1 - e^{ih}) ← マクローリン
= - log(e^{-ih/2} - e^{ih/2})
= - log((-2i)sin(h/2))
= - log(-i) − log(2sin(h/2))
= (π/2)i - log(2sin(h/2)),
虚数部をとる。
右辺のhが消えるのがミソ。 p>0 とする。
∫[0,∞] e^{(-p+i)x} dx
= [ 1/(-p+i) e^{(-p+i)x} ](x=0,∞)
= 1/(p-i)
= (p+i)/(pp+1),
虚数部をとると
∫[0,∞] e^{-px} sin(x) dx = 1/(1+pp),
pで積分すると
∫[0,∞] (1 - e^{-px}) sin(x)/x dx = arctan(p),
p→∞ として
∫[0,∞] sin(x)/x dx = π/2,
高木貞治:「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第3章§35.[例3] p.115
第4章§48.[例4] p.168-169 おまいらメリン変換やスティルチェス変換は知っていますか? 〔問題570〕
I = ∫[0,∞] e^(-x)/{1 + cos(x)^2} dx
を求めよ。
[分かスレ464.570] c = (√2 -1)^2 = 0.171572875 とおく。
1 + cc = 6c,
1 + cos(x)^2 = {3 + cos(2x)}/2 = [1+c・e^(i2x)] [1+c・e^(-i2x)] /4c,
を使ってフーリエ級数に展開すると
1/{1+cos(x)^2} = 4c/{[1+c・e^(i2x)] [1+c・e^(-i2x)]}
= -(1/√2) + (√2)[1+c・cos(2x)] / {[1+c・e^(i2x)] [1+c・e^(-i2x)]}
= (1/√2){-1 + 1/[1+c・exp(i2x)] + 1/[1+c・exp(-i2x)]}
= (√2){1/2 + Σ[k=1,∞] (-c)^k・cos(2kx)},
次に
∫[0,∞] e^(-x)・cos(2kx) dx = Re{ ∫[0,∞] e^((-1+2ki)x) dx }
= Re{ 1/(1-2ki) }
= 1/(1+4kk),
を使うと
I = ∫[0,∞] e^(-x)/{1+cos(x)^2} dx
= (√2){1/2 + Σ[k=1,∞] (-c)^k /(1+4kk)}
= (√2)(1/2 - 0.03270745983925)
= 0.6608514478911
[分かスレ464.573] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています