Ｘ_α を利用せずに直接 Ａ_α を定めるのも有りか。

0と1のみを値としてとる無限数列αを
　α = {α_1, α_2, ････, α_k, ･････} とする。
これに対して もう一つの無限数列α' を次のようにおく。
　α ' = { α1 ⋮ α1, α2 ⋮ α1, α2, α3 ⋮ ････ }
すなわち
　α'_k = α_(k - (1/2)･[ (√(8k-7)-1)/2]･[(√(8k-7)+1)/2] )
とおく。　[ x ] はガウスの床函数
　各α_k は α'中に無限回現れる。

　α≠β　ならば　α_k ≠ β_k なる自然数k が存在し、
　α'_L≠β'_L なる自然数Lが無数にあるので
　α' 〜 β' ではない。 　　　>>217

そこで
　Ａ_α = { x∈R | (xの小数部の2進法表示) 〜 α' }
とおこう。