0001１３２人目の素数さん垢版
2010/11/20(土) 15:35:07数列の総合スレです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97
探検
数列 総合スレ
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数列の総合スレです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97
前スレは、こちら?
数列 総合スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1290234907/
後発子スレ
素数列の一般式（or 漸化式 ）を導出してもた [無断転載禁止]©2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1500795653/
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
を示せ。
http://club.informatix.co.jp/?p=3326
より
ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k) + 0 = -∫[1/2,1] (1/y)log(1-y) dy + ∫[0,1/2] (1/x)log(1-x) dx
= -∫[0,1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0,1/2] (1/x)log(1-x) dx
= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
= (log 1/2)^2
= (log 2)^2
= 0.4804530139182
￣￣￣￣
n : ππ/6 - (log 2)^2 - Σ[k=1,n] 2/(kk･2^k),
-------------------------------------
1 : 0.164481052930025011805312640319
2 : 0.039481052930025011805312640319
3 : 0.011703275152247234027534862542
4 : 0.003890775152247234027534862542
5 : 0.001390775152247234027534862542
6 : 0.000522719596691678471979306986
8 : 0.000081771733171270308714000864
10: 0.000014015174529295000072025555
12: 0.000002553568052596193827764765
14: 0.000000486141252919222447496682
16: 0.000000095664602257330086385570
18: 0.000000019318510201056324157368
20: 0.000000003983110182390725126897
22: 0.000000000835382647729628422375
24: 0.000000000177725328708994360301
26: 0.000000000038271621346926590331
28: 0.000000000008327779434721526777
30: 0.000000000001828577639082793101
35: 0.000000000000042688106883780200
40: 0.000000000000001034399096510427
45: 0.000000000000000025797445089155
50: 0.000000000000000000658296989653
55: 0.000000000000000000017115217852
60: 0.000000000000000000000451944884
65: 0.000000000000000000000012091489
70: 0.000000000000000000000000327147
75: 0.000000000000000000000000008938
80: 0.000000000000000000000000000246
85: 0.000000000000000000000000000007
バーゼル問題
藤田岳彦： 数学セミナー, ５１(3), p.30-36 (2012/Mar)
「リーマン・ゼータ関数の特殊値を確率論で求める」
自然数全体の集合をNとする。
α、β、････ は 1と2のみを値としてとる無限数列とする。
このとき、次を満足するようなNの無限部分集合 X_α、X_β、････ (⊆ N) を与えよ。
α≠β ⇒ (X_α ∩ X_β) は有限集合
αのk番目の値がα(k)のとき、X_αのn番目の値を
X_α(n) = Σ[k=1,n] {α(k)-1}p^k,
ここに p ∈ N-{1}
数学セミナー, ４９(2&5) エレ解 (2010/Feb&May)
実数全体の集合をRとする。
α、β、････ は 1と2のみを値としてとる無限数列とする。
このとき、次を満足するようなRの部分集合 A_α、A_β、････ (⊆ R) を与えよ。
a<b つまり (a,b)∈R ⇒ A_α ∩ (a,b) ≠ φ
α≠β ⇒ (A_α ∩ A_β) = φ (空集合)
各X_α(n)桁目が1、それ以外の桁は0、なる2進実数をとる。
h(α) = Σ[n=1,∞] 1/2^{X_α(n)} = Σ[k=1,∞] h_k(α)/2^k,
ある桁(k0)より下が h(α) と一致する実数全体をA_αとする。
A_α = { Σ[k=-m,∞] L(k)/2^k | ∃k0≧0 ; k≧k0 ⇒ L_k=h_k(α) }
各A_α (⊆R) の中に 開区間(a,b) に含まれる元がある。 (← 3) ）
Σ[α∈B] A_α (⊆R) → B は写像である。 (← 4) )
それは全射である。
L(x) = α (x∈A_α)
は全射である。
さらに 関数g: B→R で全射であるものが存在するならば
f(x) = g(L(x)) : R~→R
もまた全射である。
B = {1,2}^N は1と2のみを値としてとる無限数列の全体の集合。
R は実数の全体の集合。
関数g: B→R ですべての実数を値としてとるもの(全射)の例を挙げよ。
αの各項は 0 と 1 の値を持つとする。 (α∈{0,1}^N)
α = {α_1,α_2,α_3，･････,α_k, ････ }
ただし α_3 〜 α_(n+2) = 0, α_(n+3) = 1, n≧0
に対して
g(α) = (-1)^α1・2^{(-1)^α2・n}・{1.α_(n+4)α_(n+5)･･････}
とおく。
α_3 以下がすべて0の場合は ｇ(α)=0 とする。
(参考) IEEE-754
n=0 の場合は α_2 の値に依らず、ダブってしまい気分悪い？
しからば
g(α) = (-1)^α1・2^{(-1)^α_2・(n+1-α_2)}・{1.α_(n+4)α_(n+5)･･････}_2
IEEE-754 もそうなってた････
やっぱりダブるなあ。
A_α = { Σ[k=-m,∞] L_k /2^k | {k | L_k≠h_k(α)}は有限集合。}
と同じかな。
「α_k ≠ β_k なる自然数kは有限個」
という同値関係（α〜β）を設定すればいいのか
0と1のみを値としてとる無限数列αを
α = {α_1, α_2, ････, α_k, ･････} とする。
これに対して もう一つの無限数列α' を次のようにおく。
α ' = { α1 ⋮ α1, α2 ⋮ α1, α2, α3 ⋮ ････ }
すなわち
α'_k = α_(k - (1/2)･[ (√(8k-7)-1)/2]･[(√(8k-7)+1)/2] )
とおく。 [ x ] はガウスの床函数
各α_k は α'中に無限回現れる。
α≠β ならば α_k ≠ β_k なる自然数k が存在し、
α'_L≠β'_L なる自然数Lが無数にあるので
α' 〜 β' ではない。 >>217
そこで
Ａ_α = { x∈R | (xの小数部の2進法表示) 〜 α' }
とおこう。
h_k(α) はかなり疎になるね。
そういう意味では >>218 のような直接法がベターかも。
A_α は同値類で与える？
例えば十進展開したとき、小数第s(x)位は5、それ以降は4か6しか
出ない数xをしごろ数とか呼ぶ。
s(x)より上の桁がxと一致するしごろ数をまとめて A(x) とおく。
s(x)≠s(y) または s(x)より上の桁が異なれば A(x)∩A(y)=φ (disjoint)
一方、s(x)より下の桁を (1/10)^s(x)･Σ[k=1,∞] α_k･(1/10)^k
として α(x)∈B を定める。
全射g: B→R を持ってきて
f(x) = g(α(x))) (x：しごろ数)
= 0 (x：その他)
とおく。
(エレ解スレ３-430,432)
正の実数の集合 { x(n,t) | nは整数, tは非負整数 } において
x(n,t+1) = min[ x(n,t), x(n+1,t)+x(n+2,t) ]
(nは整数, tは非負整数)
が成り立つとします。
さらに条件 (1) (2) の一方が成り立つとき、ある整数Tが存在して
t≧T ⇒ x(n,t) = x(n,T)
となることを示してください。
(1) t=0 において、ある正の整数N が存在し、
任意の整数nに対して x(n+N,0) = x(n,0) が成り立つ。
(2) t=0 において、ある正の整数Nと、正の実数a,bが存在し、
n≧N ⇒ x(n,0) = a,
n≦-N ⇒ x(n,0) = b.
が成り立つ。
一方、s(x)より下の桁を (1/10)^s(x)･Σ[k=1,∞] (2α_k +２)(1/10)^k
として α(x)∈B を定める。
しごろ数xでは「4」「6」以外の桁は有限個であり、「5」の最下桁をs(x)とする。
s(x)より上の桁は可算無限個(〜N)あり、有理数の組(a,b)への全射がある。
s(x)より下の桁はBと同型(〜2^N)であり、Rへの全射gがある。
上も下も2種以上の数字が必要で、s(x)を決定するにはもう1種の数字(5)が必要。
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
作り方を教えて下さい！一応これは自分で作りました。
a[1]＝１２３４３ a[2]＝１５２３８６６８０
a[n+2]＝２４６９０a[n+1]−１５２３９９０２５a[n]
a[n]＝（n＋１２３４２）×１２３４５^(n-1)
a[1] = m-2,
a[2] = m(m-1),
漸化式 a[n+2] = 2m･a[n+1] - mm･a[n],
特性多項式 (t-m)^2,
特性根 m, (重根)
一般項 a[n] = (n+m-3)･m^(n-1),
この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。
ㅤㅤㅤㅤㅤ
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)−２(1/2＋1/4＋1/6＋…)
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)−(1＋1/2＋1/3＋…)
＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…
となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？
順序を変更すれば任意の値αに収束させることが可能
部分和S_n < α ならば未使用の正項を取り出してS_nに加え、
S_n > α ならば未使用の負項を取り出してS_nに加える。
正項ばかり取ると+∞に発散し、負項ばかり取ると-∞に発散するので
正項も負項も無数に含むはず。
∴ Nを十分大きくとれば
n>N ⇒ |S_n -α| < ε.
[分かスレ４５６脇.371-373,409]
なお、グレゴリー・ライプニッツ級数は
Gr[n] = 1 - 1/3 + 1/5 - ･･･ + (-1)^(n-1) /(2n-1)
→ π/4 (n→∞)
Gr[n] = (π/4) - (-1)^n･{1/(4n) - 1/(16n^3) + 5/(64n^5) - 61/(256n^7) + ････ }
Gr[n] = (π/4) - (-1)^n･{Σ[k=0,∞] E_2k /[4^(k+1)･n^(2k+1)]}
ただし E_2k はオイラー数。
http://oeis.org/A000364
a[n] = ∫[0,π/4] (tanθ)^(2n) dθ
= (-1)^n (π/4 - Gr[n])
= | π/4 - Gr[n] |
a[n] = ∫[0,1] x^(2n) /(1+xx) dx
= (-1)^n (π/4 - Gr[n])
= | π/4 - Gr[n] |,
b[n] = ∫[0,π/4] (tanθ)^(2n+1) dθ
= ∫[0,1] x^(2n+1)/(1+xx) dx
= (1/2)∫[0,1] y^n /(1+y) dy
とおく。
b[0] = [ (1/2)log(1+xx) ] = (1/2)log(2),
b[n] + b[n+1] = ∫[0,1] x^(2n+1) dx = (1/2)∫[0,1] y^n dx = 1/(2n+2),
が成り立つ。
このとき、交代調和級数
H[n] = 1 -1/2 +1/3 - ････ +(-1)^(n-1)･(1/n),
を用いて b[n] を表わせ。
= (1/2)| log(2) - H[n] |
nが大きいときは
b[n] = 1/(4n) -1/(8nn) +1/(16n^4) -1/(8n^6) +17/(32n^8) -31/(8n^10) + ････
= (1/2)Σ[k=1,∞］{ー(2^k -1)/k･B[k]} /(n^k),
ただし B[k] はベルヌーイ数。
B[0] = 1, B[1] = -1/2, B[2] = 1/6,
B[4] = -1/30, B[6] = 1/42, B[8] = -1/30,
正の実数の集合 { x(n,t) | n：整数、t：負でない整数 } において
x(n,t+1) = min[ x(n,t), x(n+1,t)+x(n+2,t) ]
(n：整数、t：負でない整数)
が成り立つとします。min[a,b] は a,bのうち大きくない方を表わします。
さらに条件(2)が成り立つとき、ある整数Tが存在して、
任意のnに対して ｔ≧T ならば x(n,t) = x(n,T)
となることを示してください。
・条件(2)
t=0 において、ある整数M<Nと 正の実数α,βが存在し、
n≧N ならば x(n,0)=α、n≦M ならば x(n,0)=β が成り立つ。
x(n,t) = x(n,0) = α,
n=N-1, t≧1 のとき
x(N-1,1) ≦ 2α,
x(N-1,t) = min[ x(N-1,t-1), 2α ] = ････ = x(N-1,1)
n=N-2, t≧2 のとき
x(N-2,2) ≦ x(N-1,1) + α
x(N-2,t) = min[ x(N-2,t-1), x(N-1,1)+α ] = ････ = x(N-2,2)
同様にして
n=N-k, t≧k のとき
x(N-k,t) = x(N-k,k)
n=M, t≧N-M のとき
x(M,t) = x(M,N-M)
n≦M-1 のとき、条件(2) と x(n,t)>0 より
x(n,t) = x(n,0) = β,
以上により T=N-M とおく。
任意のnに対して t≧T ならば x(n,t)=x(n,T)
・条件(1)
t=0 において、ある整数N≠0 が存在し、
任意のnに対して x(n+N,0) = x(n,0) が成り立つ。
> n≦M-1 のとき、条件(2) と x(n,t)>0 より
> x(n,t) = x(n,0) = β,
β がじゅうぶん大きいときは
右から左に侵食し続けます。
よって不成立。
x(N-k,t) = x(N-k,k) ≦ Ｆ(k+2)α
F() はフィボナッチ数。
じゅうぶん大きい k1 について
Ｆ(k1+2)α > β (アルキメデス)
となるので、
n≦N-k1 ならば x(n,t) = β
よって T=k1 とおいて成立。
a1 ≦ a2 ⇒ min{a1, b} ≦ min{a2, b}
b1 ≦ b2 ⇒ min{a, b1} ≦ min{a, b2}
(略証)
min{a1, b} = min{min{a1, a2}, b} = min{a1, a2, b} ≦ min{a2, b}
min{a, b1} = min{a, min{b1, b2}} = min{a, b1, b2} ≦ min{a, b2}
x(n,t+1) = min[ x(n,t), x(n+1,t)+x(n+2,t) ]
は x(n,t) x(n+1,t) x(n+2,t) について単調増加(非減少)
{ x(n,0) | nは整数} のうち最も小さい2つは変化しない。
他のnについては、それ以上。
n≧N ⇒ y(n,0)=α
M<n<N ⇒ y(n,0) = X0/2
n≦M ⇒ y(n,0)=β
y(n,t) も x(n,t) と同形の漸化式を満たす。
とすれば
y(n,t) ≦ x(n,t)
だろうな
y(n,t) = y(n,0) = α,
M+1≦n≦N-1 のとき
y(n,t) = y(n,0) = X0/2,
n=M のとき
y(M,0) = β
y(M,t) = y(M,1) = X0, (t≧1)
n=M-1, t≧2 のとき
y(M-1,0) = y(M-1,1) = β
y(M-1,t) = y(M-1,2) = min{β, (1/2)F_4 X0} (t≧2)
n=M-k, t≧k+1 のとき
y(M-k,t) = y(M-k,0) = β (0≦t≦k)
y(M-k,t) = y(M-k,k+1) = min{β, (1/2)F_{k+3} X0} (t≧k+1)
アルキメデスの原理から、じゅうぶん大きい整数ko に対して
(1/2)F_{ko+3} X0 ≧ β
n≦M-ko のとき
y(n,t) = y(n,0) = β (t≧0)
∴ y(n,t) = y(n,ko) (t≧ko)
∴ T = ko とおく。
F_k はフィボナッチ数
γ = min[ x(n,0) | N≧n>-M] > 0
n>-M ⇒ y(n,0) = γ,
n≦-M ⇒ y(n,0) = x(n,0) = β,
とすれば
y(n,0) ≦ x(n,0)
ここで >>242 (minの単調増加性) から
y(n,t) ≦ x(n,t) ････(ア)
だろうな。
さて
y(n,t) = γ (n>-M, t≧0)
y(n,t) = β (n=-M-k, 0≦t≦k)
y(n,t) = min[β, γ F_(k+3)] (n=-M-k, t>k)
F_k はフィボナッチ数。
じゅうぶん大きい ko について
β < γ F_(ko+3)
となる。(アルキメデスの原理)
n ≦ -M -ko では t≧0 で
y(n,t) = β ････(イ)
x(n,t) ≦ x(n,0) = β ････(ウ)
(ア)(イ)(ウ) から
x(n,t) = β
一方、n> -M -ko, では
t ≧ Max[N-n,0] ⇒ x(n,t) は不変
そこで T=M+N+ko とすれば題意をみたす。
最初の 10^n 個の素数のうち、どの位も1でないものの個数(n≧0)
1, 6, 54, 532, 4675, 34425, 262549, 2051466, 16831152,...
https://oeis.org/A091635
10^n 未満の素数のうち、どの位も1でないものの個数(n≧1)
4, 17, 101, 670, 4675, 34425, 262549, 2051466, 16312743,...
偶然見付けたんだが、なんで途中一致してんだろ？ 誤ってんのかな？
n, a(n), π(10^n), -log{a(n)/π(10^n)}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1, 4, 4, 0.0
2, 17, 25, 0.385662480812
3, 101, 168, 0.508843462562
4, 670, 1229, 0.606678397181
5, 4675, 9592, 0.718700254985
6, 34425, 78498, 0.824290102142
7, 262549, 664579, 0.928716026189
8, 2051466, 5761455, 1.032635387452
9, 16312743, 50847534, 1.136885044220
10, 131464721, 455052511, 1.241674286828
11, 1071368863, 4118054813, 1.346443777037
12, 8809580516, 37607912018, 1.451374629985
13, 72986908554, 346065536839, 1.556348079762
14, 608542410004, 3204941750802, 1.661382588734
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
-log{a(n)/π(10^n)} 〜 0.1860 - log(9/10)･n = 0.1860 + 0.10536 n
そこそこ正確？
π(x) = （x以下の素数の個数)
素数計数関数
104729
ithprime(10^5)
1299709
ithprime(10^6)
15485863
ithprime(10^7)
179424673
ithprime(10^8)
2038074743
１０００００から２０００００までに条件を満たすものはないから
１０００００まででも１０４７２９まででも個数は同じ。
おお
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