数列 総合スレ

[0001 １３２人目の素数さん 2010/11/20(土) 15:35:07]

消えたので立てました。
数列の総合スレです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97

[0203 １３２人目の素数さん 2019/05/11(土) 08:52:49.40 ID:XGJyhqkH]

〔問題〕
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
を示せ。

http://club.informatix.co.jp/?p=3326

[0204 １３２人目の素数さん 2019/05/11(土) 09:12:35.10 ID:XGJyhqkH]

Σ[k=1,∞] (x^k)/kk = ∫[0,x] Σ[k=1,∞] x^(k-1) /k dx = -∫[0,x] (1/x)log(1-x) dx,
より
　ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k) + 0 = -∫[1/2,1] (1/y)log(1-y) dy + ∫[0,1/2] (1/x)log(1-x) dx
　= -∫[0,1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0,1/2] (1/x)log(1-x) dx
　= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
　= (log 1/2)^2
　= (log 2)^2
　= 0.4804530139182

[0205 １３２人目の素数さん 2019/05/12(日) 00:57:53.77 ID:B2mXwahY]

計算結果
￣￣￣￣
n :　ππ/6 - (log 2)^2 - Σ[k=1,n] 2/(kk･2^k),
-------------------------------------
1 :　0.164481052930025011805312640319
2 :　0.039481052930025011805312640319
3 :　0.011703275152247234027534862542
4 :　0.003890775152247234027534862542
5 :　0.001390775152247234027534862542
6 :　0.000522719596691678471979306986
8 :　0.000081771733171270308714000864
10:　0.000014015174529295000072025555
12:　0.000002553568052596193827764765
14:　0.000000486141252919222447496682
16:　0.000000095664602257330086385570
18:　0.000000019318510201056324157368
20:　0.000000003983110182390725126897
22:　0.000000000835382647729628422375
24:　0.000000000177725328708994360301
26:　0.000000000038271621346926590331
28:　0.000000000008327779434721526777
30:　0.000000000001828577639082793101
35:　0.000000000000042688106883780200
40:　0.000000000000001034399096510427
45:　0.000000000000000025797445089155
50:　0.000000000000000000658296989653
55:　0.000000000000000000017115217852
60:　0.000000000000000000000451944884
65:　0.000000000000000000000012091489
70:　0.000000000000000000000000327147
75:　0.000000000000000000000000008938
80:　0.000000000000000000000000000246
85:　0.000000000000000000000000000007