モンティホール問題で思ったことがあるんだが聞いてくれ [無断転載禁止]©2ch.net

1Nanashi_et_al.2017/07/02(日) 22:07:16.22
モンティホールと同じ感じのトランプの問題で、答えが1/4か10/49かで揉めた問題あるじゃん?
それで思ったことがあるんだけど聞いてくれ。

【問1】
計100個のボールが箱に入っていて、白が99個、黒が1個入っている。
Aくんは最初目をつぶって1つ取り出した。
残りの生徒が合計98個のボールを取り出したところ、偶然全て白だった。
このとき、Aくんのボールが白である確率はいくつか?
→答え1/2

【問1】
計100個のボールが箱に入っていて、白が99個、黒が1個入っている。
Aくんは最初目をつぶって1つ取り出した。
残りの生徒が合計98個の白のボールだけを、箱を見て取り出した。
このとき、Aくんのボールが白である確率はいくつか?
→答え99/100

っていうことでおけ?

2Nanashi_et_al.2017/07/02(日) 22:07:58.34
>>1
すまん、下は問2やw

3Nanashi_et_al.2017/07/02(日) 22:51:07.08
両方99/100なのかな?

4Nanashi_et_al.2017/07/03(月) 06:55:11.56
1で合ってる

5Nanashi_et_al.2017/07/04(火) 09:41:21.02
アニメばっか見てないで勉強しろよ

6男は黙ってFORTRAN2017/07/30(日) 15:05:37.59
その時になぜ98/100の確率が箱の残りの1個の方だけに乗るのかがわからない

7Nanashi_et_al.2017/07/30(日) 15:38:43.88
>>6
98人がボールの色を見て白を選んだ残りだから

8男は黙ってFORTRAN2017/07/30(日) 21:59:23.72
最初の1個だって同じ「残り」じゃないのかな

9Nanashi_et_al.2017/07/31(月) 14:28:23.23
>>8
でも、結果は見てないでしょ

10男は黙ってFORTRAN2017/07/31(月) 18:45:36.54
98個が白だった事はA君にもわかってる
自分のと99個の残り1個の双方の確率が上がったと考えるのでは?

11Nanashi_et_al.2017/08/01(火) 07:36:15.20
問1の答えは99/197でね?

12Nanashi_et_al.2017/08/16(水) 04:29:16.43
>>1と自分で求めたい回答の定義が違っている可能性も考えてあえて2パターンの回答を記す

残りの生徒が98ヶのボールを取り出そうが出すまいが
A君が100個のボールの中から黒を取り出す確率は1/100

残りの生徒が98ヶの白いボールを取り出した結果を見た上で
A君が持っているボールが白である確率は1/2

残りの生徒が白いボールを選んだのが偶然であろうが故意であろうが確率は上記のどちらか

13男は黙ってFORTRAN2017/08/16(水) 08:40:23.95
モンティホールはシミュレーションで証明されたとか聞くんだが、どんなアルゴリズムだったんだろう
納得いってない

14Nanashi_et_al.2017/08/16(水) 16:02:59.37
>>13
ディスカバリーチャンネルでやってた番組「怪しい伝説」で
実際に何十回もモンティ・ホール問題を実行して
選択を変えた場合の正解率が間違いなく2/3に近くなることを確認してたな

15Nanashi_et_al.2018/02/14(水) 01:25:38.53
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16Nanashi_et_al.2018/03/31(土) 19:13:38.98
じゃあ、こう問うてみよう。

クイズの司会者と回答者がいる。
ABCの3つのドアがあり、その一つが正解であり他はハズレである。
司会者は正解のドアがどれかを知っている。
回答者にそのうちの一つを選んでもらう。それがAだったとしよう。
そこで司会者はAを「除外」して
「BとCのうちでハズレを一つだけ教えてあげよう」とハズレのドアを開けた。
そのハズレのドアはCだった。Cはここで消えた。残りのドアはAとBである。

さて、司会者による検定を通ったBのドアと検定すらされなかったAのドア、
どちらがより正解っぽい度合いが僅かでも高いと感じる?
深く考えないで人間の直感で答えて。

17Nanashi_et_al.2018/03/31(土) 19:16:00.92
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18Nanashi_et_al.2018/04/04(水) 18:46:37.12
最初の段階で下のように3列3行の可能性がある。
[T]FF [F]TF [F]FT
T[F]F F[T]F F[F]T
TF[F] FT[F] FF[T]
Tが当たり、Fがハズレを意味する。
[]は回答者が最初に選択した扉を意味する。

その全ての可能性からハズレのFを1つ取り除く。
ただしこのとき、回答者が最初に選択した扉がハズレかどうか
そこの種明かしだけはしない。ここがいちばん重要。
そのため、これらの各要素から[F]を残してFだけを引き算する。
そうすると
[T]F [F]T [F]T
T[F] [T]F [F]T
T[F] T[F] F[T]
になる。

回答者が選択した扉
[T] [F] [F]
[F] [T] [F]
[F] [F] [T]
※[T]は3つ。

回答者が選択肢なかった扉
F T T
T F T
T T F
※Tは6つ。

後者のほうが当たりを意味するTの数が多いのは一目瞭然。
後者は回答者が最初に選択しなかった扉を意味するから
選択を変更して選択しなかったほうに乗り換えたほうが有利なことが分かる。

しかしこんなことをしなくてもこの文章題さえ回答者が理解すれば、
数学の教養ゼロで人びとは直感によって後者を選択するはず。
モンティホール問題は数学問題じゃなくて文系問題。

19Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 03:28:59.97
[]が回答者が最初に選択した1のドア、
{}がモンティ氏が開けた3のドア。
Tが当たり、Fがハズレだとすると、

[T]F{F} [F]T{F} [F]F{T}

しかしこのいちばん右はTを開けてしまうことになるので
このケースはないことになる。よって、

[T]F{F} [F]T{F}

に絞られる。{F}を取り除くと

[T]F [F]T

になるが、1(左)から2(右)に乗り換えたほうが得か?
そんなことはないね。

20Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 09:41:21.67
>>19
本当は18の議論が正しいことはわかっているのに,
問題の一部だけ取り出して混乱させる,
ゼノンのパラドックス的な議論だな。
ちょっと面白い。

21Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 11:01:35.59
いやいや本当は>>19が正解。
マリリン・ヴォン・サヴァントさんが間違えて
数学者のほうが正しかった。

22Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 13:46:01.09
>>21
エルデシュも19みたいに答えた後で,
間違いを認めたらしいよ。

23Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 17:17:53.32
マリリン・サヴァント氏は大学の哲学科出身(中退)で
一方、ポール・エルデシュ氏はたくさんの天才を輩出している
ユダヤ系ハンガリー人の数学者(離散数学の業績が多い)で、
グラフ理論や集合論や確率論でも業績のある人物だよ。

そんな人物が哲学科中退の文系女子に解ける問題が解けない
なんてことが本当にあるの? そんなバカな。

24Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 17:49:44.69
>>23
エルデシュは,はじめ,
モンティ氏が必ずはずれのドアを選んで開けるんだ,
というのを知らされていなかったらしいよ。

25Nanashi_et_al.2018/04/06(金) 01:55:19.35
モンティホール問題をその出題文に基づいて整理してみる。

1. 1番2番3番の3つのドアがあり、
いずれか1つのドアの背後にはクルマ、他にはヤギ。

Cがクルマのドア、Gがヤギのドアだとすると
CGG GCG GGC
の3通りが考えられる。

2. 回答者が1番のドアを選択する。

それを[]で囲むと
[C]GG [G]CG [G]GC
となる。

3. ドアの背後に何があるか知っている司会者が3番のドアを開ける。
するとそこにヤギがいた。

司会者が開けたドアを{}で表すと
[C]G{G} [G]C{G} [G]G{C}
だけど、 [G]G{C}のケースはクルマのドアを開けてしまうことになるから
この可能性は消える。よって
[C]G{G} [G]C{G}に絞られるのでこれらから{G}を除去すると
[C]G [G]C
となる。

4. 司会者が回答者に訊く。「2番のドアに変更したいですか」
回答者は2番のドアを選ぶことでクルマを当てやすくなるだろうか。

[C] [G]
G C

Gを選ぶ可能性は五分五分に見える。どこで間違えた?

26Nanashi_et_al.2018/04/06(金) 01:57:19.78
ごめん。Cを選ぶ可能性だ。

27Nanashi_et_al.2018/04/06(金) 13:19:41.72
>>24
エルデシュ氏はサヴァント氏の出題記事を読まなかったのかなあ?
そこが最大の疑問だったので調べてみたけど、
エルデシュ氏のその読解が正しいと思えるんだよねえ。

サヴァント氏の出題文では、
1. 回答者が最初に選ぶのはNo.1のドア、
2. その後、司会者が開くのはNo.3のドア、
3. その後、司会者が回答者にNo.2のドアに変えたいかどうかと尋ねる。

こういう問題だからエルデシュ氏のような回答が出てもなんら不思議じゃない。
むしろエルデシュ氏が正しい。

サヴァント氏が正しいためには
1. 回答者が最初に3つの中の1つのいずれかのドアを選ぶ。
2. その後、司会者がヤギが背後にいる残りのどちらかのドアを開く。
3. その後、司会者が回答者に選ぶドアを変更したいかどうかと尋ねる。
という出題形式でなければならない。

28Nanashi_et_al.2018/04/06(金) 19:20:40.99
モンティ・ホール問題はモンティ・ホール事件とでも呼べるもので、
ベイズの公式に頼らずとも、小学生低学年レベルの簡単な算数で解ける。
しかし、多くの博士号をとっている理系の人間が理解できなかった。
理系が文系に完敗した屈辱的事件だったんだよ。

29Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 01:34:22.11
問1は、目隠しでとったのを
 白とすると、1/2
 黒とすると、0
 よって、(0+1/2)/2=1/4
ってことじゃない?

30292018/04/10(火) 01:35:48.93
あー黒の確率じゃなく白の確率だったか

31Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 01:40:15.36
一つ目の問題は

1つ目が黒だったら 1
1つ目が白だったら 1/2

(1+1/2)/ 2 = 3/4 ってことない? 

32Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 01:46:18.47
下の問題は、最初に白・黒どちらが選ばれたとしても
白は最低99個あるわけだから白98個は常に選ばれるので
なにも影響あたえないよね。

最初の抽出だけが問題になるので99/100でしょうね。

33Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 01:53:33.84
あ、>>31 まるきり間違ってるわ〜〜

34Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 02:01:46.93
ひとつめは、197/198 じゃないかな。
1つ目
黒だったら99/99=1
白だったら98/99
(1+98/99)/2=197/198

35Nanashi_et_al.2018/06/10(日) 21:27:34.47
>>25
>回答者は2番のドアを選ぶことでクルマを当てやすくなるだろうか
やってみた事はないから何とも言えんが実際にはならんと思うけど・・・

36Nanashi_et_al.2018/06/18(月) 01:13:51.00
三択を当てるモンティ・ホール問題は以下のように説明すればめちゃわかり易いよ。

A君が最初に扉を選択して当たる確率は1/3
つまり2/3の確率で外す
最初に外した場合は必ず残った方の扉が正解になるので、つまり最初に2/3の確率で間違った扉を選択した場合必ず正解の扉を選択できる。
従って扉を変えた方が正解になる確率が高い

2/3 > 1/3

なので。

37Nanashi_et_al.2018/06/25(月) 04:54:58.88
選択を変えても変えなくても1/2で変わらないと考えた人の直感がなんであったか、
その1つを想定してみよう。

1は当たり
0は外れ
[]は回答者が選択するドア
()は司会者が開けるドア
以下は起こり得るケース

[1]0(0) [0]1(0) [0]0(1)
[0]1(0) [0]0(1) [1]0(0)
[0]0(1) [1]0(0) [0]1(0)

[1](0)0 [0](1)0 [0](0)1
[0](1)0 [0](0)1 [1](0)0
[0](0)1 [1](0)0 [0](1)0

18ケース中[1]を持つのは6ケース:6/18=1/3

この中から起こり得ないケースを消そう。
司会者が当たりである1のドアを開けることはないので
(1)を含むケースは起こり得ない。そのケースを取り除いてみよう。
残ったケースは次のとおり。

[1]0(0) [0]1(0)
[0]1(0) [1]0(0)
[1]0(0) [0]1(0)

[1](0)0 [0](0)1
[0](0)1 [1](0)0
[0](0)1 [1](0)0

12ケースに減った。
12ケース中[1]を持つのは6ケース:6/12=1/2

じゃあ、マリリンさんの提案どおり選択ドア[]を乗り換えてみよう。

1[0](0) 0[1](0)
0[1](0) 1[0](0)
1[0](0) 0[1](0)

1(0)[0] 0(0)[1]
0(0)[1] 1(0)[0]
0(0)[1] 1(0)[0]

12ケース中[1]を持つのは6ケース:6/12=1/2

どちらも1/2で変わらない、という結論が得られる。

マリリンさんの発想はすごくシンプル
100 010 001 (3/9 = 1/3)
00 10 01 (2/6 = 1/3)
0 1 1 (2/3)

38Nanashi_et_al2018/06/26(火) 21:41:34.35
これってちょっと国語要素のある問題だね

>>1
下の問いはA君の取り出しが全て試行にカウントされるが、
上の問題はA君の取り出し後に残り98人全て白でないと試行にカウントされない。

上の問題でA君のボール取り出しを「敢えて」試行とするのなら
黒を出す確率は1/100 (最初に黒なら残り98人は必ず白になる)。
白を出す確率は(99/100)・(98/99)・(97/98)…(2/3)・(1/2)=1/100 (A君+98人=99人が白を出さないといけない)。
残りの98/100は98人の誰かが黒を取り出して失敗ってことになるのか。
失敗を除けば確率は1/2になる。

つまり上の問題は、残り98人が白であるうちでA君が白である確率はいくつか?と言い直せるのか。
焦ったり頭に血が上ってる状態だと正解する気がしないなぁ。

39Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 15:48:02.31
そもそもマリリンさんの問題にも>>1さんの問題にも「試行が繰り返される」なんて一言も書かれていないのがポイント。
しかしそのシミュレーションではなぜか最初から「試行が繰り返される」ことが前提になっている。

40Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 15:53:37.81
人生、何度でもやり直せるなら選択を悩まない。

仮に試行が繰り返せるとしても、マリリンさんの問題の場合、
車と山羊の順列がランダムに入れ替わることが暗黙の前提になっていない?

順列をゲームが繰り返されるたびに並べ替える人がいて、その人に癖があり、
1番目のドアの後ろに車を置く確率が高かった場合はどうなるの?

41Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 15:53:38.15
人生、何度でもやり直せるなら選択を悩まない。

仮に試行が繰り返せるとしても、マリリンさんの問題の場合、
車と山羊の順列がランダムに入れ替わることが暗黙の前提になっていない?

順列をゲームが繰り返されるたびに並べ替える人がいて、その人に癖があり、
1番目のドアの後ろに車を置く確率が高かった場合はどうなるの?

42Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 23:36:12.68
>>39
38だけど、モンティホール問題っぽいのは>>1の下の問題ってことなんだよね。
私は上の問題でちょっと悩んでしまったw。私の脳ミソはひねくれてるのかw。

>>1の下の問題をモンティホールっぽく修正するには、
黒ボールを景品の車として、目をつむったまま最初に選んだボールと箱に残った最後のボールとを交換するかどうか、ってことだよね。
この場合圧倒的に交換した方が良いねw。98個もハズレを捨ててくれると考えると何故だか分かり易いという不思議ww。

マリリンさんもすごいけど、このゲーム企画を発案した人が一番の策士だったりして。

>>40
>>37のケースの書き方だとちと分かり難い気もする。
18通りのケースは
[1](0)0 [1]0(0) 1[0](0) 1(0)[0] (1)[0]0 (1)0[0]
[0]1(0) 0[1](0) (0)[1]0 (0)1[0] [0](1)0 0(1)[0]
[0](0)1 (0)[0]1 (0)0[1] 0(0)[1] [0]0(1) 0[0](1)
と書き直せる。(各行の右2つは実際にはないが、1回目のドア選択での確率計算に使う)

解答者が癖を知らなければやはりドアは変えた方が良い(1行目のみを考える)。
番組を何度も見て癖を知っているのなら1番目のドアを選んだらいい。
癖を知っていても不安があるなら、最初は1番目以外のドアを選んで次の選択で1番目が選べるのなら1番目を選択する。
…と思うけど、数学的に何か落とし穴があるのかな…

43Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 23:48:36.44
>>39
38だけど訂正。モンティホール問題は、>>1の上の問題と下の問題どちらを選択するか、の方がしっくりくるのか。

44Nanashi_et_al.2018/06/30(土) 21:14:01.99
白い飴玉2粒と黒い飴玉3粒があります。
○●●○●
あなたが目をつぶってこれらの飴玉を1粒選んだとき、それが白い飴玉である確率は2/5です。
最初に目をつぶって選んだ飴玉がたまたま黒い飴玉だったとしましょう。
残りの飴玉をあなたが再び目をつぶって1粒選んだとき、それが白い飴玉である確率は2/5よりも高いですか低いですか。
○●○●

45Nanashi_et_al.2018/07/02(月) 11:31:58.44
最初の飴玉は元に戻すのかい?

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