なんで曲面にそって関数を積分できないの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 17:05:24.00

DをR^nの領域とする
たとえばn = 3とする
fをD上の関数とする
このとき、fのD上の積分が定義できて（Dが体積確定で、fが連続とかの条件があれば）

∫_D f dxdydz

と書ける

一方、S⊂R^3の曲面とする
fをS上の関数とする
この時は、S上の積分というのは、fの積分ではなくて、2形式の積分のこと

なんで？？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 17:10:29.96

>>1
単発質問禁止

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 17:16:27.98

関数なら分かるが、微分形式ってなんだよ
f dxやf dxdyやf dxdydzならわかるが、
f dx + g dy + h dzとかf dy∧dz + g dz∧dx + h dx∧dyってなんだよ……

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 17:30:56.82

重積分の変数変換公式との整合性を保って拡張するには、そう定義するのが最適だったのだろう知らんけど

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 17:52:07.01

>>1
>なんで？？

変数変換したらどうするか考えてる？
全く考えてないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 18:04:54.17

Sをp = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))のようにパラメータ付けすると、

f du∧dv

の積分が「fの積分」と言えそうだが、この微分形式を、p^(-1)で引き戻すとどうなるか
球面とか簡単な場合で試してみたらどうか

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 18:15:17.56

S = {(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 = 1}

立体射影
p: R^2 → S
(x, y, z) = p(X, Y) = 1/(1 + X^2 + Y^2) (2X, 2Y, -1 + X^2 + Y^2)
(X, Y) = p^(-1)(x, y, z) = 1/(1 - z) (x, y)

極座標
q: [0, π]x[0, 2π] → S
(x, y, z) = q(θ, φ) = (sinθ cosφ, sinθ cosφ, cosθ)
(θ, φ) = q^(-1)(x, y, z) = (arccos(z), sgn(y)arccos(x/√(x^2 + y^2)))

めんどくさそう

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 18:19:32.06

ひゃはー

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 05:52:09.04

ベクトル値関数F＝(F1, F_2, F_3) に対して面上での外向き単位法線ベクトルをn=(n_1,n_2,n_3)として
∫ F ・n dS　＝ ∫ div F dV
だから，f をスカラー関数として　F = n f = (n_1 f , n_2 f , n_3 f) とすれば
∫F・n dS ＝ ∫ f dS とできて、というのではだめかな？

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 10:44:16.42

理学部を卒業して10年になるが、いまだにdSの意味がわからない

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 11:05:38.69

p: R^2 → S
p(u, v) = (x, y, z)
をなめらかなパラメータ付けとすると単位法線ベクトルnは
v = ∂p/∂u × ∂p/∂vとして、n = v/|v|で与えられる
恒等的に|v| = 1となるようなパラメータを取る
F = (Fx, Fy, Fz)として、F・n dS = F・n du∧dv = Fxdy∧dz + Fydz∧dx + Fzdx∧dy

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 11:37:48.25

ディーエス

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 12:48:36.03

それは任天堂

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 12:56:56.71

PS:後で連絡します

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 23:55:08.68

x,y,zなどは0慈眼単体
双対境界写像dを作用させて
dx,dy,dzなどは1次元単体
ウェッジ積は交代性があるので、D次元単体ωに対して1次元単体dxとのウェッジ積ω∧dxは次元を1つ上げてD+1次元単体を成す？

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/02(日) 00:53:34.39

違う
単体とか複体と言うのはホモロジー類の元
fとかdfとかはコホモロジーの元

∫[0,1] x²dx は1-単体複体[0,1]と1-形式のペアリングを与える
“積分域”を定める単体複体はその差の作る輪体が完全輪体のとき値は等しくなる
例えば[0,3] + [3,1] - ( [0,1/2] + [1/2,1] )は完全輪体だから
∫[0,3] x²dx + ∫[3,1] x²dx = ∫[0,1/2] x²dx + ∫[[1/2,1]] x²dx
が成立する
すなわち単体複体はその表すホモロジーの類にのみ依存して値が定まる
微分形式の方も同じくその代表するコホモロジーの類のみにより積分値が定まる

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/02(日) 22:05:07.79

コホモロジーってホモロジーの双対ということしかよくわかんない

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/02(日) 22:09:58.46

その“よく分からないもの”がドラームコホモロジー論では“微分形式”と言う割と扱いやすいもので表示できるのがミソ

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/02(日) 22:12:26.27

>>18
なるほど～
なんかちょっと理解した気分
勘違いかもだけどｗ
ありがとう

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/07(金) 23:08:41.21

表面がざらざらしていて、表面積が無限大に発散していたらどうすれば良いのだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/07(金) 23:55:31.14

2-形式の積分=面積分=曲面に沿った積分
では？

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/08(土) 11:36:20.16

>>21
はい文盲
「関数を」を読み飛ばしてる
自覚したら小学校からやり直せ

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/12(水) 17:43:24.33

つハウスドルフ測度

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/12(水) 17:49:40.94

局所座標系でやればいいんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/12(水) 17:58:40.75

test

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/14(金) 00:37:51.87

分かるまで教科書を読めばいいのさ

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/14(金) 10:46:51.71

もしかして
空間(R^3)の中で曲面は精々測度0だから積分もすべて0となって、曲面上での関数の積分を(R^3で)考える意味がない……とかそんなことを聞きたかったのかな

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/18(月) 20:52:57.71

（∑○Д○；）まぢでッッ!?!?