【悲報】スペクトル系列（spectral sequence）が意味不明

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:16:02.35

定理(Leray):

X, Yを位相空間、f: X→Yを連続写像、FをX上のアーベル群の層とすると、スペクトル系列

E^(p,n-p)_2 := H^p(Y, R^(n-p)f*F) ⇒ H^n (X, F)

が存在する。

...いやいやいや、d^(p,q)_rとか、F^pE^nとかの定義は？？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 17:34:13.74

フィルトレーション

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 19:05:00.07

スペクトル系列があることがわかれば、構成法はどうでもええんやで
コホモロジーの長完全列があることがわかれば、写像の中身はどうでもいいのと同じ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 21:44:07.89

>>3
アホか、そんなわけないやん
R＋Rと同型とか見るには、写像を追跡せにやならんわい

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:00:49.94

高校数学の質問スレとかならともかく、どうして学部4年～大学院レベルのスレッドにわざわざ嘘を書きにくるのか

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:15:04.34

Rベクトル空間の完全系列

0 → L → M → N → 0

があります
LとNはRと同型です

>>4によると、MがR⊕Rと同型であることは、これだけからは分からないらしい

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:18:13.94

スペクトル系列がわからなければ導来圏を勉強すればいい

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:18:23.76

5 lemmaなんてものは存在しないのですか

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 23:41:05.55

>>6
はぁ？
完全系列は3つで終わりか？

コホモロジー長完全系列とかマイヤー・ビートリス完全系列とかあるやらが！
マイヤー・ビートリス完全系列は写像をきちんと見ないと、ホモロジー群の計算出来無いぞ

お前もしかして、マイヤー・ビートリス使えんのやろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:18:57.52

んな訳ないだろ
アフォのお前と一緒にするな

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:24:24.00

>>3
>>6の言うようにマイヤー・ビートリス完全系列は貼り付けの写像を見ないとホモロジー群は計算出来ないね

特にトーションZ_pなどの扱いは難しい
そもそもベクトル空間じゃないし

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:26:06.99

>>10
射影平面とかレンズ空間のホモロジー群とか計算すれば、私の言っている意味が分かるだろう

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:42:20.49

ためしに0≦p,q≦2以外ではErpq=0となる場合を考えてみる

r=2の場合:

E2pq = (...
... E200 E201 E202 ...
... E210 E211 E212 ...
... E220 E221 E222 ...
...)
この外では0

d2pq: E2pq → E2,p+2,q-1 だから
p≧1 or q=0では、Z3(E2pq) = E2pq
p≦1 or q=2では、B3(E2pq) = 0

r=3の場合:

E3pq := Z3(E2pq)/B3(E2pq) だから

E3pq = (...
... E200 Z3(201) Z3(E202) ...
... E210 E211 E212 ...
... E220/B3(220) E221/B3(221) E222 ...
...)
この外では0

d3pq: E3pq → E3,p+3,q-2 なので
∀p,q
Z4(E3pq) = E3pq
B4(E3pq) = 0

ここでErpqはとまる

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:43:16.40

Z∞(E2pq), B∞(E2pq), E∞pqを計算する:

同型 E3pq ～ Z3(E2pq)/B3(E2pq) によって、

E3pq ⊂ E2pq/B3(E2pq)

とみなす。自然な写像

π: E2pq → E2pq/B3(E2pq)

によって

Z4(E2pq) = π^-1(Z4(E3pq))
= π^-1(E3pq)
= π^-1(Z3(E2pq) + B3(E2pq))
= Z3(E2pq)

B4(E2pq) = π^-1(B4(E3pq))
= π^-1(0)
= B3(E2pq)

r=5以上も同じ
よって

Z∞(E2pq) = Z3(E2pq)
B∞(E2pq) = B3(E2pq)
E∞pq = E3pq

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:43:55.28

フィルター付き対象

En ⊃ ... ⊃ Fp(En) ⊃ Fp+1(En) ⊃ ...

で、

Fp(Ep+q)/Fp+1(Ep+q) = E∞pq

となり、各nに対して、l(n)≧m(n)が定まって

En = ... = Fl(n)(En) ⊃ Fl(n)+1(En) ⊃ ... ⊃ Fm(n)-1(En) ⊃ Fm(n)(En) = 0

となるとする。

p < 0 or p > 2なら、E∞pq = 0なので

En = ... = F-1(En) = F0(En)
F3(En) = F4(En) = ... = 0