【悲報】スペクトル系列（spectral sequence）が意味不明

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:16:02.35

定理(Leray):

X, Yを位相空間、f: X→Yを連続写像、FをX上のアーベル群の層とすると、スペクトル系列

E^(p,n-p)_2 := H^p(Y, R^(n-p)f*F) ⇒ H^n (X, F)

が存在する。

...いやいやいや、d^(p,q)_rとか、F^pE^nとかの定義は？？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 17:34:13.74

フィルトレーション

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 19:05:00.07

スペクトル系列があることがわかれば、構成法はどうでもええんやで
コホモロジーの長完全列があることがわかれば、写像の中身はどうでもいいのと同じ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 21:44:07.89

>>3
アホか、そんなわけないやん
R＋Rと同型とか見るには、写像を追跡せにやならんわい

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:00:49.94

高校数学の質問スレとかならともかく、どうして学部4年～大学院レベルのスレッドにわざわざ嘘を書きにくるのか

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:15:04.34

Rベクトル空間の完全系列

0 → L → M → N → 0

があります
LとNはRと同型です

>>4によると、MがR⊕Rと同型であることは、これだけからは分からないらしい

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:18:13.94

スペクトル系列がわからなければ導来圏を勉強すればいい

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:18:23.76

5 lemmaなんてものは存在しないのですか

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 23:41:05.55

>>6
はぁ？
完全系列は3つで終わりか？

コホモロジー長完全系列とかマイヤー・ビートリス完全系列とかあるやらが！
マイヤー・ビートリス完全系列は写像をきちんと見ないと、ホモロジー群の計算出来無いぞ

お前もしかして、マイヤー・ビートリス使えんのやろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:18:57.52

んな訳ないだろ
アフォのお前と一緒にするな

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:24:24.00

>>3
>>6の言うようにマイヤー・ビートリス完全系列は貼り付けの写像を見ないとホモロジー群は計算出来ないね

特にトーションZ_pなどの扱いは難しい
そもそもベクトル空間じゃないし

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:26:06.99

>>10
射影平面とかレンズ空間のホモロジー群とか計算すれば、私の言っている意味が分かるだろう

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:42:20.49

ためしに0≦p,q≦2以外ではErpq=0となる場合を考えてみる

r=2の場合:

E2pq = (...
... E200 E201 E202 ...
... E210 E211 E212 ...
... E220 E221 E222 ...
...)
この外では0

d2pq: E2pq → E2,p+2,q-1 だから
p≧1 or q=0では、Z3(E2pq) = E2pq
p≦1 or q=2では、B3(E2pq) = 0

r=3の場合:

E3pq := Z3(E2pq)/B3(E2pq) だから

E3pq = (...
... E200 Z3(201) Z3(E202) ...
... E210 E211 E212 ...
... E220/B3(220) E221/B3(221) E222 ...
...)
この外では0

d3pq: E3pq → E3,p+3,q-2 なので
∀p,q
Z4(E3pq) = E3pq
B4(E3pq) = 0

ここでErpqはとまる

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:43:16.40

Z∞(E2pq), B∞(E2pq), E∞pqを計算する:

同型 E3pq ～ Z3(E2pq)/B3(E2pq) によって、

E3pq ⊂ E2pq/B3(E2pq)

とみなす。自然な写像

π: E2pq → E2pq/B3(E2pq)

によって

Z4(E2pq) = π^-1(Z4(E3pq))
= π^-1(E3pq)
= π^-1(Z3(E2pq) + B3(E2pq))
= Z3(E2pq)

B4(E2pq) = π^-1(B4(E3pq))
= π^-1(0)
= B3(E2pq)

r=5以上も同じ
よって

Z∞(E2pq) = Z3(E2pq)
B∞(E2pq) = B3(E2pq)
E∞pq = E3pq

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:43:55.28

フィルター付き対象

En ⊃ ... ⊃ Fp(En) ⊃ Fp+1(En) ⊃ ...

で、

Fp(Ep+q)/Fp+1(Ep+q) = E∞pq

となり、各nに対して、l(n)≧m(n)が定まって

En = ... = Fl(n)(En) ⊃ Fl(n)+1(En) ⊃ ... ⊃ Fm(n)-1(En) ⊃ Fm(n)(En) = 0

となるとする。

p < 0 or p > 2なら、E∞pq = 0なので

En = ... = F-1(En) = F0(En)
F3(En) = F4(En) = ... = 0

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:44:41.02

En ⊃ F0(En) ⊃ F1(En) ⊃ F2(En) ⊃ 0

F2(En) = E∞2,n-2 = E3,2,n-2
F0(En) = En

F0(En)/F1(En) = E30n
F1(En)/F2(En) = E3,1,n-1

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:45:40.92

これ以上何も言えそうにないので

f: X → Y
∀q > 0, R^qf*F = 0として

E2pq = H^p(Y, R^qf*F)
En = H^n(X, F)

の場合を計算してみる

E3pq = (...
... E200 0 0 ...
... E210 0 0 ...
... E220 0 0 ...
...)
だったので

E0 = F0(E0)
F0(E0)/F1(E0) = E200
F1(E0)/F2(E0) = 0
F2(E0) = 0

∴ E0 = E200

E1 = F0(E1)
F0(E1)/F1(E1) = 0
F1(E2)/F2(E1) = E210
F2(E1) = 0

∴ E1 = E210

E2 = F0(E2)
F0(E2)/F1(E2) = 0
F1(E2)/F2(E2) = 0
F2(E2) = E220

∴ E2 = E220

よって、0≦n≦2 に対して

H^n(X, F) ～ H^n(Y, f*F)

が言えた。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:50:51.23

19:00から初めて約6時間もかかった
労力に見合ってない
これ計算したあと、宮西の代数幾何学見たらら、計算を楽にする補題がずばり載っててワロタ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 01:01:20.16

志甫淳の「層とホモロジー代数」には、もっと単純な計算例が載っているので、そちらもやってみる

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 06:31:56.86

>>18
苦労すると補題の有難みがわかるってもんです
・・・と慰めにもならないことを言ってみる

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:14:32.01

ショートカットを発見するにも結構な労力が必要だが
それが存在することを察知するセンスは
愚直な計算を積み重ねながら養われるものかもしれない

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:16:19.73

いや察知しなくても本に書いてるじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:17:55.06

>>22
本に書いてないものを見つけるときに
そういう苦労が役に立つかもしれない

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:20:40.29

>>23
本に書いてることをまずやった上で、書いてないことに取り組んだほうが時間的により効率的だと思うが

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:21:51.98

本もいろいろあるからね

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:27:57.38

大学数学の場合

> 本に書いてることをまずやる

が往々にして難しいからなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:29:44.47

>>26
そうだな
だから車輪の再発明をやる前に他にやる事がある人しかいないはず

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:32:48.23

ま、でも車輪の再発明もできない人にゃ
車輪よりいいモノなって発明できないのが
この世の真実なんだよなぁ（ボソッ）

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:35:56.20

そうでもないな
車輪の再発明が出来ない人が新発明出来ない根拠はないが、
既存の知識がない人間が新発明した例は恐らく存在しない
確実に言えることは既存の知識は必要条件であること

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:36:59.32

まぁ、数学研究者じゃなくて数学学習者＆伝道者になるってのもいいんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:38:49.03

それも良いし、車輪の再発明をせずに数学者になるのも効率的で良いな

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:39:39.41

>>29
知識だけで新発明はできないよ　根拠はないけどねｗ
発明は試行錯誤の結果出来上がるんで
試行錯誤しない、したがらない人は
永遠に発明できないよ　根拠はないけどねｗ
試行錯誤したがらない人は、
他人の知識をなぞって喜び
他人の知識を人に伝えて喜べばいいんじゃね？
それしかする気がないんだから

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:45:04.21

>>32
「根拠はないが財政出動すれば経済は成長するはずだ」と主張（断言）して、
後ろに「名目経済成長率と政府総支出増加率のグラフを見るとどちらも右肩上がりしていて～」というポエムを付け加えているようなものだな
正しいとは言えない

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 09:49:30.83

論理的思考力があれば根拠のないことは断言できない
ショルツが凝縮数学の証明を断言できずコンピュータアシストを依頼したのと同じ
逆に言えば根拠を述べることもできない証明、あるいはより広く論理を断言する人とは議論することはできない

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 10:32:42.36

>>33
>「根拠はないが財政出動すれば経済は成長するはずだ」
それはウソっぽいね
>正しいとは言えない
自然数論は無矛盾、ってのもそうだね
根拠ないから

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 10:39:28.41

>>34
>論理的思考力があれば根拠のないことは断言できない
　つまり、何も断言できない
>逆に言えば根拠を述べることもできない証明、
>あるいはより広く論理を断言する人とは
>議論することはできない
　そもそも感想を述べあっただけで
　議論にはなってないな
　君が数学者になれるという証明はないわけだし
　根拠がない点では同じ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 10:41:07.73

>>31
>車輪の再発明をせずに数学者になるのも効率的で良いな
　数学嫌いなのに数学者になりたがるっておかしな奴だね

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 10:46:35.13

ID:TMo62h6W
どうでもいい所感を書き込んでる暇があったら、数学の勉強をしたら？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 10:48:54.00

定理の具体例を計算することを

「車輪の再発明」

という人を初めて見た

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 10:54:17.50

>>39
補題の再発見が車輪の再発明でないなら何なんだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 11:15:59.25

それって素晴らしい補題なんだね

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 11:18:21.76

>>41
18にはね

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 11:48:24.09

>>20以降の奴らの読解力が悲惨すぎる

べつに>>18は、計算に6時間もかかったから時間を無駄にしたとか言ってるわけじゃないのに

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 11:52:50.59

>>43
ま、ええやん　人生楽ありゃ苦もあるさ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 12:12:23.49

18「具体例を計算したら時間がかかりました。本を見たらこの計算を楽にできる補題が載っていました」

どこに車輪の再発明要素があるのかわからん

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 12:16:27.66

コスパ厨からすれば万死に値する愚行なんだろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 20:55:35.93

2001年にオーストラリアは新たに「イノベーション特許」の制度を設けた。しかしイノベーション特許では申請の際に殆ど審査が行われないため、キーオはこの不備を批判する目的で「環状の運搬補助装置」という名前で特許を申請。
その特許明細によれば、車輪はそれまでの運搬方法──「物品を徒歩で運ぶ」方法や「氷や雪の表面など摩擦係数の低い物体の上をスキーやそり」等で運ぶ方法──に代わる画期的な運搬手段で摩擦係数の高い地面の上でも使えるという利点があった。
このキーオの特許は、結局オーストラリアで認可されてしまった。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 21:03:23.63

>>47
ワロタｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 22:48:56.29

>>6
ベクトル空間だけじゃないしねー

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/14(土) 00:14:53.25

スペクトル系列とかいうのは何の役に立つの？
面白い帰結教えてくれ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/14(土) 07:35:22.79

昔は
球面のホモトピー群の計算に役立ったのが
受けたらしい

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/14(土) 09:01:17.69

で、結局>>4←こいつは何が言いたかったんだ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/14(土) 10:10:57.63

>>1
スペクトル系列の条件（Z_rとかB_rとかF^pが有限回で停止するとか。本によって違うが）をみたす

d^p,q_r: E^p,q_r → E^p+r,p-r+1_r

とか

E^n⊃...⊃F^pE^n⊃F^p+1E^n⊃...⊃0

とかが存在する、というのがその定理の主張では
代数学の基本定理で、「いやいやいやxいくつだよ」とか言わんだろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/14(土) 11:38:22.80

うん
具体的な複体を構成して「これはスペクトル系列の条件をみたす」と言っているのではなく、
「初項(E^p,q_2)と収束先(E^n)がこれになるスペクトル系列が存在する」というのが定理の主張

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/16(月) 02:56:26.23

学部時代、岩波基礎数学選書の河田敬義『ホモロジー代数』でスペクトル系列勉強したけど、数カ所誤植ないか？
当時、8時間くらい悩んで誤植に気づいた。今となってはいい思い出だけど、誤植あると混乱する。

今は、和書でスペクトル系列が載っている本が何冊かあるみたいだけど、当時は、他に中山正・服部昭『ホモロジー代数学』くらいしかなかったと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/16(月) 12:54:05.94

>>55
河田の位相幾何学演習は致命的な間違いがある

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/16(月) 13:29:48.05

むかし河田先生の授業を受けたが
証明の途中に間違いに気づいて
黒板を全部消すときの手つきが見事だった

55 · 2023/01/16(月) 14:35:21.04

河田先生の経歴見ると、30代半ばで東大教授になっているから、相当優秀な人だったんだろうなと。
テキストもいろんな分野で書いていて、分かりやすいし、だいたい持っている。
こんなに多くの分野でテキスト書くだけでも凄い。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/16(月) 15:13:35.78

斎藤恭司さんがどこかに書いてらしたが
「多変数函数論がこんなに難しいとは思わなかった」
とこぼしておられたとか

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/16(月) 17:24:52.37

戦後の東大数学科のカリキュラムは河田先生によって構築された、と小松彦三郎「暗記のすすめ」にありましたね

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/16(月) 18:08:19.46

だから複素解析が・・・

55 · 2023/01/16(月) 22:27:20.02

>>56
>河田の位相幾何学演習は致命的な間違いがある

よければ、どの辺か教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/17(火) 20:28:25.74

>>56
>>62
俺にも教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/31(火) 18:48:40.83

>>62
大学の本、まして演習書なんか間違いの1つや2つあるやろ
杉浦の解析演習やってあるくらいや

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/31(火) 19:50:20.69

>>57
指をパチンと鳴らすと一斉に消えるんだよね

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/01(水) 05:55:22.00

電子黒板を使ってそれをやれば受けるかも