Spec(ℤ)について語るスレ【代数幾何】【数論幾何】

[0001 １３２人目の素数さん 2023/01/04(水) 19:32:41.64 ID:Ty0kMglX]

有理整数環ℤのスペクトルSpec(ℤ)について語るスレです。

[0002 １３２人目の素数さん 2023/01/04(水) 19:36:38.60 ID:Ty0kMglX]

集合としてのSpec(ℤ)

Spec(ℤ)
:= { P⊂ℤ | P: 素イデアル }
= {(0)}∪{(p) | p: 素数 }

[0003 １３２人目の素数さん 2023/01/04(水) 19:39:57.90 ID:Ty0kMglX]

位相空間としてのSpec(ℤ)

Spec(ℤ)の位相は、以下のD(f)の形の開集合によって生成される:

D(f) := { P∈Spec(ℤ) | f∉P } ( f∈ℤ )

[0004 １３２人目の素数さん 2023/01/04(水) 19:45:20.48 ID:Ty0kMglX]

局所環つき空間としてのSpec(ℤ)

X := Spec(ℤ)とする。
X上の層O_Xを以下で定める。

Spec(ℤ)の開集合基の元D(f) ( f∈ℤ )に対して、D(f)上のO_Xの切断Γ(D(f), O_X)は

Γ(D(f), O_X) := S^(-1)ℤ

ただし、S^(-1)ℤは、積閉集合S = { 1, f, f^2, ... } によるℤの局所化。

[0005 １３２人目の素数さん 2023/01/04(水) 19:51:47.79 ID:Ty0kMglX]

ℤは、単位的可換環の圏における始対象なので、
Spec(ℤ)は、アフィンスキームの圏における終対象である。


f∈Hom(R, S)に対して、

Spec(S)∋P → f^(-1)(P)∈Spec(R)

を対応させればよい。

[0006 １３２人目の素数さん 2023/01/04(水) 22:54:13.60 ID:nnLBjt8r]

Spec(ℤ)は準コンパクトである。


∵
X := Spec(ℤ)とおく。
Xの開被覆を任意に取る。Xがその内の有限個の開集合で被覆されることを示す。
Xの位相は、>>3のD(f)の形の開集合で生成されるから、この形の開集合で被覆されている場合だけ考えればよい。

X = ∪[f∈I]D(f)

とする。このとき、

∩[f∈I]V((f)) = ∅

（ただし、イデアルJに対して、V(J) := { P∈X | J⊂P }）
つまり、f∈Iで生成されるイデアルは1を含むので、有限個のf_1, ..., f_n∈Iがあって、

1 = r_1 f_1 + ... + r_n f_n (r_i∈ℤ)

と書ける。よって、

∩[i=1,n]V((f_i)) = ∅
∴ X = ∪[i=1,n]D(f_i)。□

[0007 １３２人目の素数さん 2023/01/04(水) 22:58:21.30 ID:nnLBjt8r]

kを体とする。

Spec(k) → Spec(ℤ)

の像は、(char(k))である。

[0008 １３２人目の素数さん 2023/01/17(火) 00:42:13.05 ID:XnSHxO83]

Spec(Z)のエタール基本群やl進コホモロジーは計算できるの？