有理数に対角線論法を使えば無理数が作れるんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/23(金) 17:12:18.58

0以上1未満の有理数を0,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,1/6,5/6,1/7,2/7,…と並べる

０．００００００００００…
０．１０００００００００…
０．０１０１０１０１０１…
０．１０１０１０１０１０…
０．０１００００００００…
０．１１００００００００…
０．００１１００１１００…
０．０１１００１１００１…
０．１００１１００１１０…
０．１１００１１００１１…

対角線をとって、各桁の0と1を逆転
0.111111010000100111111011…
10進数に戻すと0.98841843008995…
これはどの有理数とも異なるので無理数になる

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/23(金) 17:40:18.94

そうだね

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/23(金) 17:54:04.33

ところで0と1を逆転するのは1から引くのと同じだから元の数も無理数ってことだよな
つまり対角線をとった数0.000000101111011000000100…(2)=0.01158156991005…(10)も無理数

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/23(金) 18:53:05.02

10進数でも当然同じことができる
０．００００００００００…
０．５０００００００００…
０．３３３３３３３３３３…
０．６６６６６６６６６６…
０．２５００００００００…
０．７５００００００００…
０．２０００００００００…
０．４０００００００００…
０．８０００００００００…
０．１６６６６６６６６６…
とやって対角線をとると
0.00360000006345525800001245780000…が得られる
1から引くと0.99639999993654474199998754219999…で、これは有理数リストにないから無理数
よって0.00360000006345525800001245780000…も無理数

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/23(金) 19:12:27.70

N個有理数がある時、それぞれの有理数から1桁ずつ取り出してできる数の組み合わせはN^N通り

有理数全体を考えた時、つまりNが可算無限の時は、N^Nは非可算無限になるから実数と同じだけある

だから有理数の桁の組み合わせから無理数が出てきたとしても何も不思議じゃないし矛盾もない

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/23(金) 20:27:59.28

逆に、全ての有理数とある桁が一致する数は必ず無理数になると言えるのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/23(金) 20:54:16.31

いや当たり前か
有理数だったらそれを1から引いたやつが含まれなくなっておかしいもんな

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/24(土) 02:24:15.69

あと気になるのは、こうして作られる数が超越数、正規数になるかどうかだな
なんとなく超越数っぽくはあるが、有理数の並べ方次第では代数的数にできないか

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/29(木) 17:00:17.17

>>3
おお
なにか重要な意義あるかも

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/09(月) 14:32:10.40

まず、(0,1)内のある無理数αを1つ固定する。
そうして、αの二進小数展開が構成できるとする。
a_i がαの小数点以下第i桁目の数字であるとする。

そのとき、(0,1) 内のファレイ数列r_j , j=1,2,3....（有理数列である）
を、うまく並べ替えて　a_i とi桁目が異なるものを順次選んで
行けば、そのようにして並べ替えられた r*_k, k=1,2,3,....は
r*_k のｋ桁目は無理数αのｋ桁目と相異なる。

a_i と i桁目が異なるr*_kを順次選べることは、無理数αが循環小数に
ならないことから"たぶん"保証できるだろう。つまりもう少し証明を
詰めないとダメだ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:08:28.70

f(x)=2^xで、xが代数的数でも2^xが超越数になってしまう。なら、代数的数に2^√2のような数を追加すればf(x)=2^xも単射になるのではないだろうか。