この階乗の問題って解けますか？？？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 22:36:10.24

a!b!=c!を満たす2以上の自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 22:38:57.08

なんjから出張すな

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 22:40:53.49

>>2
なんJはすぐ落ちる😡

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 22:50:09.06

はい

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 23:03:23.26

>>4
解いてください😭

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 04:42:51.70

無数にあるだろ。
n!=Nとすると、(N-1)!n!=N!
なんだから。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 08:32:17.56

a!b!=c!を満たす2以上『10以下』の自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ

解を求めることだけが数学ではないと思います

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 10:09:49.10

なんで問題を変える？
おまえに数学を語る資格などない！

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 12:33:13.25

>>6
(n!-1)n!=n!
n!-1=1
n!=2
n=2

？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 12:33:27.10

間違えた

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 12:34:58.05

(n!-1)!n!=n!
(n!-1)!=1
n!-1=1,0
n!=2,1
n=2,1,0

？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 13:13:27.38

>>9
違うよ。
(n!-1)n!=(n!)!

n=2だと1!2!=(2!)!=2!
n=3だと5!3!=(3!)!=6!
n=4だと23!4!=(4!)!=24!
...

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 13:19:00.93

ただし、これ以外に6!=10・9・8より、
6!7!=10! が成立する。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 13:23:51.84

要するに、n!が連続する２つ以上の数の積に因数分解できて、
n!=N(N-1)(N-2)...(N-m)とできれば、
n!=N!(N-m-1)!

n=10以外にそういう数があるかどうかは知らん。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 13:25:35.62

あ、間違えた
>n!=N!(N-m-1)!
じゃなくて、
N!=n!(N-m-1)!

n=6以外にそういう数があるかどうかは知らん。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 16:37:41.07

(a,b,c)=(n,(n!-1),n!)は条件を満たすので解が無数にあるのはわかります
ただ6!7!=10!という例外が他にもあるのかないのかはわからないです

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 16:49:57.25

例外って興味あるよなないよな微妙な問題

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 19:31:58.75

>(a,b,c)=(n,(n!-1),n!)

じゃなくて、右辺は(n!,(n!-1)!,n!!)だろ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/23(火) 09:05:40.67

>>18と>>16より、
自然数の組(n!,(n!-1)!,n!!),((n!-1)!,n!,n!!)と、自然数の組(6,7,10),(7,6,10)

a!b!=c!を満たす2以上の自然数の組(a,b,c)をすべて(・・・)求める為には、
例外の組を求める方法を確立するか、
上記の例外の組(6,7,10),(7,6,10)以外の組がないことを証明する必要があります

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/24(水) 14:56:57.47

じゃ逆に
A!+b!=c!
になるのってある？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/24(水) 18:33:58.92

>>20
1!+1!=2!以外ない

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/25(木) 05:50:28.36

したがって、a!+b!=c!を満たす2以上の自然数の組(a,b,c)は存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/25(木) 07:00:24.32

>>21
証明は？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/25(木) 09:04:23.42

>>21
0!が1と定義されているので、
0!+0!=2!
0!+1!=2!

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/25(木) 09:26:13.71

>>24
0は自然数じゃないよ

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/25(木) 09:41:14.86

>>23
a≧bとすると、
a!+b!=b!{a(a-1)...(b+1) +1} =c!
c!>b!よりc>bなので、両辺をb!で除して、
a(a-1)...(b+1)+1 =c(c-1)...(b+1)
また、c!>a!より、c>a なので、
d=a(a-1)…(b+1)とおけば、
d+1=c(c-1)…(a+1)d
したがって
c(c-1)…(a+1)=1+1/d
これが成り立つのは、d=1(すなわちa=1,b=1),
c=2の場合のみ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/25(木) 12:27:43.91

シンプルに
a≧2かつa≧bの場合 a!＜a!+b!＜(a+1)!なので2以上では不成立
よってa=1, b=1以外の組は存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/25(木) 13:14:59.19

そのほうが簡単だな。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/28(日) 00:44:31.07

>>27
なんでふせいりつ？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/28(日) 14:27:20.26

>>29
a! < c! <(a+1)!
となる自然数cは存在しえないだろ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/28(日) 14:30:35.43

>>30
ああっ！

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/30(火) 16:22:44.80

与えられたc以下の任意の素数pを考える。するとc!は少なくともpで割り切れる。

そうしてもしもaもbもp未満であれば、a!もb!もpでは割り切れないから、
aかbの少なくとも一方はp以上でなければならない。

そこでaがp以上であると仮定しても良い。

a=p+x、 x>=0

c=p+y, y>=0

すると
(p+x)! b! = (p+y)!

いま
x>=y であれば

(p+x)!/(p+y)! b! = 1
で (p+x)!/(p+y)! は自然数だから，b=0かb=1の
場合しかありえないが、ｂは2以上に限られるので
そのような場合の組み合わせはない。

そこで
x<y であれば

b! = (p+y)!/(p+x)! = (p+y)(p+y-1)...(p+x+1).

うーん、この右辺が b!となるようなときはどのようなときだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/30(火) 19:31:18.26

たぶん、このルジャンドルの階乗定理を用いるのだろうな。
https://manabitimes.jp/math/590

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/23(金) 06:55:37.45

a,b≦100000の範囲を全探索した結果, 非自明なものは 6!7!=10! しかないことが分かった

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/23(金) 16:17:28.67

a! b! = c! だからcはaやｂより大きいと仮定してよい。
a!/(c-b)! = c!/(b! (c-b)!) は整数。
すると、0 < c-b <= a < c
0 < c-a <= b < c
0 < 2c-a-b <= a + b < 2c
2c <=2a + 2b よりc <= a + b。
a+ b < 2c とあわせると　c <= a + b < 2c
あとはｃの上限をどうやって押さえようか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/23(金) 23:56:21.50

>>34
それしかないと予想

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/25(日) 10:13:18.35

では、 a! b! c! = d! となる自明ではない整数回はどのようなものだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/25(日) 13:00:00.47

0!=1!.
1!1!n!=n!.
m!n!(m!n!-1)!=(m!n!)!.
3!5!7!=10!.
1!6!7!=10!.
2!5!14!=16!.

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/25(日) 17:00:14.56

それはうまいな。
m! (m!-1)! = (m!)!

つまり m>1 ならば、a=m, b=(a!-1), c=a! とすると

a! b! = c! である非自明な解の列が無限に作れるではないか！！

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/25(日) 18:24:35.67

>>39
>>12

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/25(日) 18:25:41.66

これも>>15

34 · 2022/09/25(日) 19:20:09.60

ごめん
>>34 で言っていた「自明なもの」は a=n, b=n!-1! (n≧2) のことでした
x,y≦100000 を全探索した結果, その解以外で 6!7! = 10! しか無かったということです

34 · 2022/09/25(日) 19:20:30.87

>>42
ミス b=n!-1

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/25(日) 20:07:16.03

Hajdu, Lajos, A. Papp and Tamas Szakacs. “On the equation A ! B ! = C !” Journal of Number Theory (2018): n. pag.
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X17304122?via%3Dihub#br0100

a!b!=c!を満たす2以上の自然数の組(a,b,c)をすべて求める問題は未解決問題らしい。
abc予想を仮定すると有限個だとわかっているらしい。

https://twitter.com/groebner_basis/status/1066589876655550464
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/25(日) 20:52:47.50

>>44
>abc予想を仮定すると有限個だとわかっているらしい。
うひょー

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/25(日) 21:34:27.00

そんな大定理　abc予想（定理）を仮定しないと、解けないような問題だったのか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/26(月) 00:07:23.23

おもしろい

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/27(火) 13:12:48.11

＞　つまり m>1 ならば、a=m, b=(a!-1), c=a! とすると
＞　a! b! = c! である非自明な解の列が無限に作れるではないか！！

つまり、上記の場合と、a,b,cが1や0である場合を除けば、
解は有限個になるのか？それではその個数の上界として
どのような評価がABCから導けるのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/27(火) 13:41:04.77

a,b<cだから
a!b!=c!
なら　
a!=c(c-1)…(b+1)

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/29(木) 22:33:16.80

cが素数であるような解は自明なものしかない。

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/29(木) 22:53:15.27

>>50
あたりき

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/30(日) 16:41:23.32

ガウスの超幾何級数を考えたりしても解けないかな。