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テイラー展開っていつ使うの？？
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0003１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 09:17:37.81ID:CRZ/kWl5
普通に生活してたら使うことないね
0004１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 09:22:43.79ID:Hplcjpwb
試験で出題されたとき
0005１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 09:23:34.82ID:N3RJgv+F
統計学の漸近解析ではしょっちゅう出てきます
漸近的に正規分布になる性質(漸近正規性といいます)が成り立つ場合に、
3次以降のモーメントは全て同じなので引き算すると消えてしまい、
結果2次項まで考えればよくなるので便利です。
0007１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 11:39:45.03ID:CRZ/kWl5
多項式近似はテーラさんとちゃうで
0008ぱぺ
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2022/07/25(月) 11:45:05.55ID:p9amqO3b
関数の近似によく使われる
cos(x)≒1-x²/2
sin(x)≒x-x³/6
0009１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 12:05:10.81ID:CRZ/kWl5
ただの多項式近似。
0011１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 13:37:44.40ID:CRZ/kWl5
逆だろ
0013１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 14:43:19.83ID:Xuumvu0k
テイラーの定理(=高次版平均値の定理)の剰余項が0に収束するときがテイラー展開だろ
先に級数展開があるわけではない
0014１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 14:47:34.10ID:J8ztGnxE
多項式近似だけなら級数は要らないしそもそも級数展開できないものはどうすんねん
0015１３２人目の素数さん
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2022/07/25(月) 14:52:00.62ID:CRZ/kWl5
見事にバカを露呈したな
0019１３２人目の素数さん
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2022/07/26(火) 23:52:51.80ID:Ciqf8s27
多項式近似の際に各項の係数は元の関数の微分から求めれば良いということを教えてくれる
0021１３２人目の素数さん
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2022/07/29(金) 18:35:01.61ID:EVoabWKH
多項式で近似するだけならテイラー展開できる必要は無い
また、テイラー展開で求まる級数は多くの場合、収束が遅く、係数に階乗が出てくるため数値計算に向かない
0022１３２人目の素数さん
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2022/07/29(金) 23:06:45.97ID:f8uJki8d
数学史的には
円周率の計算
0023１３２人目の素数さん
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2022/07/30(土) 12:35:38.78ID:boDXlUQ+
ライプニッツ級数はインドの方が早い
0024１３２人目の素数さん
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2022/07/30(土) 19:01:19.49ID:D7ZAANTs
ケーララ地方
0025１３２人目の素数さん
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2022/08/01(月) 00:03:29.33ID:rTrvuzr0
オイラーの公式はテイラー展開(無限級数)を使わないと難しいだろ
0026１３２人目の素数さん
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2022/08/01(月) 06:53:48.32ID:2KLYRb+D
オイラーの公式の証明を
地球人と思われる先生から教わった頃

ふっと宇宙生命体👾がポクに呟いた
以下の如くでアルのでアル

e^xのマクローリン展開式である
1+x+x^2/2+x^3/6…
このxにナント虚数iθを代入すると
ま、オイラーの公式ゲットだ😅

モチロン、
xが実数なら、マクローリン展開式OK

そして、モッモッモッモピロン
xが実数なら、成立する等式は全て
xが虚数でも、成立するのだ。

って教科書に見た覚えはナイ
0027１３２人目の素数さん
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2022/08/01(月) 09:17:02.72ID:0c3xP5Im
一致の定理
0028１３２人目の素数さん
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2022/08/01(月) 16:27:44.25ID:li+8nent
>>26
コロナでくたばれ
0029１３２人目の素数さん
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2022/08/01(月) 16:38:41.41ID:ni+squ1I
どうせなら2変数のコロナ問題でくたばれ
0030１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 09:14:07.11ID:1fs19A+0
オイラーの公式や一致の定理を導くくらいしか思い浮かばない

すでに書かれている通り、近似ならテイラー展開は不要
0031１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 09:16:47.68ID:qwN+xD9I
解析接続したいとき
0032１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 09:19:26.49ID:XdN9uWcE
構造層の定義
0033１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 09:29:19.03ID:XdN9uWcE
C^nの構造層の連結成分がC^nの領域であるときは
テイラー展開を使って正則凸性が導ける。
しかしそれがC^n上の領域でしかないときは
特に無限葉の場合には
正則凸性の証明は岡理論によらねばならない。
0034１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 10:16:32.63ID:RsypHuNB
物理をやるなら，何時でも・何処でも・何度でも．
0035１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 10:38:02.40ID:Czq8EYjC
テイラー展開が「必要」かどうかと「使われる」かどうかは別の話だろ
便利だから使われてるんだよ
必要だからじゃない
0036１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 11:14:27.58ID:TOwaMXlv
>>34
>物理をやるなら
まだ一度も使ったことない
0037１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 11:15:23.27ID:VlWpSq8T
必要だからという面もある。
部分多様体の解析族についての小平理論は
幾何学に由来するテイラー級数の応用で
最先端の理論物理の展開に資している。
0038１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 11:33:55.00ID:VlWpSq8T
実験物理で無茶苦茶な使われ方をしている
という話を何年か前に東大の人から聞いた
0039１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 11:45:58.70ID:PXRhyeZ3
物理なら高校でも (1+x)^a≒1+ax, sin(x)≒x くらいは出てくるんじゃないの
教科書ではごにょごにょ誤魔化してるだけで
0041１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 15:10:13.41ID:TOwaMXlv
多項式近似に過ぎないものを
0042１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 16:32:41.36ID:VlWpSq8T
しかし単なる多項式近似ではない
0043１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 16:40:36.30ID:119Ifaxx
連立微分方程式を解くときにも行列のexp(tA)の定義に必要だな
>exp(x) のTaylor展開は

最も公理的に指数関数を定義すれば、行列のexpも定義できるが、
Taylor展開を使った推論をするのが普通でしょう
0044１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 18:57:25.70ID:TOwaMXlv
>>42
単なる多項式近似
0045１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 19:12:50.83ID:VlWpSq8T
>>44
多項式近似の中で
最も用途の広いものが
テーラー展開と言ってよい。
単なる多項式近似は
WeierstrassとかHermiteとか。
0046１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 19:17:57.76ID:VlWpSq8T
>>44
解析関数のときの
理論的有用性を黙殺したければ
そういう理解でも構わない
0047１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 19:22:59.10ID:TOwaMXlv
>>45
>多項式近似の中で
>最も用途の広いものが
>テーラー展開と言ってよい。
0048１３２人目の素数さん
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2022/08/02(火) 21:46:45.95ID:ZyEFLhuu
>>47
農学部向けの微積の授業では
そんな感じで教えていた
0050１３２人目の素数さん
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2022/08/03(水) 08:30:59.03ID:22Dgj5ca
フーリエ級数はローラン級数の
円周への制限だから
テイラー級数の亜種
0051１３２人目の素数さん
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2022/08/03(水) 09:20:19.88ID:xFBsuw45
ローラン展開はむず
0052１３２人目の素数さん
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2022/08/03(水) 09:26:51.36ID:gzhlMavu
けっきょく、物理の人には関係なさそうね。
0054１３２人目の素数さん
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2022/08/03(水) 13:27:37.58ID:gzhlMavu
変分問題ってなに？
0056１３２人目の素数さん
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2022/08/03(水) 18:56:08.45ID:AGcJG1sk
>>54
オイラー・ラグランジュ方程式でググる
0057１３２人目の素数さん
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2022/08/03(水) 22:26:07.09ID:gzhlMavu
おいらにはかかわりがなさそうね。
0058１３２人目の素数さん
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2022/08/03(水) 22:53:34.90ID:22Dgj5ca
>>51
zのべき級数の定数項をのけてから
zに１/zを代入し
それにzのべき級数を足したもの
0060１３２人目の素数さん
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2022/08/04(木) 03:55:27.97ID:N2qyBAA+
歳三さんがどうかされましたか？
0061１３２人目の素数さん
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2022/08/04(木) 07:17:23.55ID:AVfrXv7G
明日ってあしたさ
0064１３２人目の素数さん
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2022/08/07(日) 11:38:06.81ID:RiSI3+4c
無限項で収束しなきゃただの多項式近似
0065１３２人目の素数さん
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2022/08/07(日) 12:48:09.33ID:8ISBojxd
でさえない
0067１３２人目の素数さん
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2022/08/08(月) 00:18:00.00ID:xGstqX3i
発散級数で近似しても、意味があるんじゃないの？
0068１３２人目の素数さん
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2022/08/08(月) 02:49:22.43ID:r9nHCIoe
漸近展開
0069１３２人目の素数さん
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2022/08/08(月) 07:31:24.90ID:R/0W7Owc
Dirichlet級数へと変換
0070１３２人目の素数さん
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2022/08/09(火) 12:29:18.48ID:sRFdzGtF
収束軸
0072１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:31:00.49ID:EGXdIUyx
物理の世界ではテイラー展開らしい。まじ、アホかと
0073１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:32:38.21ID:jmjTsukF
それそのものをテイラー展開と呼ぶのではなく「テイラー展開して1次の項まで取る」という言い方をするけどね
0074１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:34:52.84ID:gnbPpZes
>>73
この近似をするのにテイラー展開をする必要は全く無い
0076１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:40:34.90ID:gnbPpZes
>>75
する意味が全く無い
連続関数の和が連続関数であることを主張するのに、連続関数の和と積が連続であることを示しているようなもん
0077１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:44:09.85ID:jmjTsukF
>>76
どこが『和』でどこが『積』の比喩に対応すんの？

というか、目的は基本的に『n次オーダーで近似すること』以外の何者でもないので、それさえ満たしていれば何でも良いんだよ
手近にテイラー展開があるので使ったまでのこと
0078１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:49:00.55ID:EGXdIUyx
このひと、原点以外での近似できないだろうな
0080１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:52:43.32ID:zNkAjQFA
>>77
テイラー展開を1次の項まで取ると近似になる理由は？
0081１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:52:50.90ID:EGXdIUyx
マクローリン展開して一次近似するのな。素晴らしい
0082１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 11:55:58.07ID:jmjTsukF
>>80
それくらい知ってろよw
|x|<<1を満たせばx^n（n≧2）の項はxよりも遥かに小さくなる
だから近似になる
以上
0083１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:00:57.41ID:I2hMmLNl
多項式近似にテイラー展開を持ち出すのは、
一方が他方の十分条件になっている、とかいう問題ではなく、
整数全体の集合Zが加法群になることを主張するのに、Zが環になることを示している
ような完全に無駄なことをしている
0084１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:04:08.14ID:zafHV5n4
>>82
f_n(x) = 1 + x + 2x^2 + ... + n! x^n

は何の近似になるの？
0085１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:05:12.26ID:EEnrz8/O
こんな解析学の初歩でもブラックボックスにしないと扱えない人がいるってことか
0086１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:07:11.22ID:jmjTsukF
あのさ、近似にテイラー展開が多用されるのはその近似の要件を『十分』満たしてるからなんだよね。『必要』だからじゃない。証明が十分条件を示すだけで済んでしまった状況と一緒。
その上、テイラー展開は導出が圧倒的に楽。『労力に無駄がない』んですよ。入り組んだ議論なんて必要ない。
テイラー展開よりも楽にn次オーダーの近似が引っ張ってこれる公式があるならば教えてくれ。
それで初めて『テイラー展開』が不要であることを認めてやる
0087１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:08:27.38ID:IKVVrI9A
>>82
理解できてないじゃん
0090１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:19:45.06ID:VMB5F1FE
x≦0のときf(x) = 0
x > 0 のときf(x) = exp(-1/x^2)

をx=0において多項式近似したいときは、どーするんですか？？
0093１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:26:30.43ID:+nAjq/XF
微分可能な関数を1次式で近似するには1回微分すればいいだけなのに
わざわざその関数が解析的かどうか及びその級数展開を調べる/覚える方が
手間がかからないと感じる人がいるらしい
0094１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:30:09.47ID:E3eoj/4L
>>91-92
微分積分が全く理解できていないことが分かるレス
0095１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:31:46.95ID:jmjTsukF
>>93
それはそうよ、ただその1次近似に名前ってついてたっけ
ついてたら多分そっちで言われてたろうけど無いからテイラー展開って言葉が流用されてるんじゃない？
別に『テイラー展開して～』って言われても馬鹿正直に高次を計算する奴らは居ないよ
求められた次数まで計算して終わり
0097１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:39:10.11ID:EGXdIUyx
>>95
>その1次近似に名前ってついてたっけ
高校数学では接線の方程式といいますわな
0098１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:45:24.44ID:jmjTsukF
>>97
そのまま使うと不恰好だから「接線化して～」とかだと使いやすいかもね（元の関数とは全く別の関数を作ってるようで文脈上の誤解を生みそうだが、多用されればそれも生じなくなると思う）
n次に一般化すると「n次接曲線化して～」ってなるのかな？
0099１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:46:37.10ID:EGXdIUyx
n次近似でいいじゃん
0101１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:54:49.70ID:BPpgdg7J
テイラー展開を利用して１次近似多項式を求める、と言って何が悪いのかわからん。

さすがに、０次近似にわざわざそう言うのは大げさすぎるが。
0102１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 12:58:11.99ID:EGXdIUyx
牛刀を使って蛇の尻尾の先端を切るみたいなもんだな
0103１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 13:02:06.89ID:jmjTsukF
実計算の内容が変わらないから俺も>>101と意見が同じなんだ
「テイラー展開のn次項まで考える」と言ってるに過ぎない。別にn+1次以降を計算する訳じゃない
0104１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 13:03:22.92ID:BbaMEqW3
n回微分可能な関数をn次多項式で近似したいとき

ふつうの人の思考:

① n階までの微分係数を求める
② おわり


テイラー展開を使うという人の思考:

① その関数がテイラー展開可能かどうか調べる
　可能であれば②へ、可能でなくても②へ
② n階までの微分係数を求める
③ おわり
0105１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/12(金) 13:04:14.64ID:BbaMEqW3
n回微分可能な関数をn次多項式で近似したいとき

ふつうの人の思考:

① n階までの微分係数を求める
② おわり


テイラー展開を使うという人の思考:

① その関数がテイラー展開可能かどうか調べる
　可能であれば②へ、可能でなくても②へ
② n階までの微分係数を求める
③ おわり


前者より後者の方が手間がかからないと思う人がいるらしいよ
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/12(金) 13:10:43.12ID:EGXdIUyx
>>104
>テイラー展開を使うという人の思考:
公式集を調べる。自分では計算しない
0107１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/12(金) 13:13:00.40ID:Rxrl9mL3
３桁×３桁でも１００桁×１００桁でもMuPAD使ってるけど
３桁×３桁にMuPAD使うな電卓使えと言われるのか。
0108１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/12(金) 14:42:17.57ID:BPpgdg7J
>>105
多項式近似はテイラー展開を途中で打ち切ったものと言っても、
多項式近似の次数を無限に大きくしたものがテイラー展開だと言っても、
どっちでもええやろ。

でも、多項式近似って言葉は、実験・観測データを近似する式に対してよく使うから、
理論式をテイラー展開して高次を切り捨てたものとは区別して使いたくなるね
0109１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/12(金) 14:49:20.30ID:BPpgdg7J
したがって、>>105的な表現を使えば、
ふつうの物理学者の思考としては、

多項式近似：最小二乗法なりなんなりでデータを近似するn次多項式を求めること
テイラー展開：理論式をテイラー展開して n次多項式と高次の項 o(x^(n+1))の和で表すこと

になるのかもな。
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/12(金) 16:21:46.04ID:I2hMmLNl
> 多項式近似はテイラー展開を途中で打ち切ったもの

ではない
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/12(金) 17:04:57.13ID:AsVlu40w
問題

実関数f(x)は、x = 0を含む開区間上で微分可能で、f(0) = a, f'(0) = bであるとする。このとき、一次式g(x)で

f(x) - g(x) = o(|x|) (x → 0) --- (*)

をみたすものを1つ求めよ。


この問題、g(x) = a + bx が(*)の性質をみたすことを示せばいいだけだが、どういうわけかこれを解くのにテイラー展開を使う人がいるらしい。
0113１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/12(金) 20:26:42.27ID:EGXdIUyx
そして、sin(x) = x とするんだね
0114１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/13(土) 11:14:40.79ID:uuXuxvO3
>>113
それがなぜ近似問題の解になる？
0115１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/13(土) 11:21:16.95ID:T40nKHdo
がっこの先生がそう言ってたもん
0116１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/13(土) 11:59:23.24ID:uOap84gC
n回微分可能な関数f(x)をn次多項式で誤差o(|x|^n)で近似するには、f(x)がテイラー展開できようができまいが、n階までの微分係数を求めることになると思うが、これにテイラー展開を使う人がいるらしい
つまり、ふつうの人が

① f(x)のn階までの微分係数を求める
② おわり

とするところを、わざわざ

① fがテイラー展開できるかどうか調べる
　できる場合は②へ、できない場合も②へ
② f(x)のn階までの微分係数を求める
③ おわり

とするらしい
しかも、後者のほうが手間が少ないと感じるらしい
不思議な人だ
0119１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 12:14:02.67ID:uOap84gC
x = aでn回微分可能な関数は、テイラーの定理から

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + ... f^(n)(a)(x - a)^n/n! + o(|x - a|^n) (x → a)

と表せるので、fがx = aでテイラー展開できようができまいが、f(a), ..., f^(n)(a)を求めることになるが、
わざわざその前にfのx = aでの解析性の議論をした方が楽だと感じる人がいるらしい。世の中は広いと思い知らされる
0120１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 12:20:52.55ID:uOap84gC
そして、ここまで

f(x) = sin(x)とする。一次式g(x)でf(x) - g(x) = o(|x|) (x→0)をみたすものを求めよ。

たとえばこのような問題に対して、「テイラー展開を使う方が楽」という根拠はおろか、「テイラー展開を使う解法」すら示されていない
「多項式近似にテイラー展開を使う」という人が、一体どのような思考回路をしているのか、非常に気になる
0122１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 13:16:12.77ID:jSzwrP+p
公式集や計算ソフトを使っても、やっていることは

n階までの微分係数を求める

だよね？「テイラー展開」はどこで使ったの？？
0123１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 13:18:50.04ID:jSzwrP+p
f(x) = 0 (x ≦ 0)
f(x) = exp(-1/x^2) (x > 0)

を原点において多項式で近似するには、
「テイラー展開」をどう使うんだ？？
0124１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 13:39:23.21ID:ihcKdp0a
その関数は原点付近で限りなくy=0に近いんだからまともな多項式近似なんて存在しないだろ
あるならむしろ教えて欲しいわ
0125１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 13:40:25.26ID:+bJ0G4MQ
>>123
確かにこういうpiecewiseを使う必要があるものは残念ながら上手くいかないな
つまりsinxみたいな比較的単純な関数はwolfram alphaでパッとテイラー展開を求めたほうが早く、
手を焼くものは手で多項式近似する、
ケースバイケースで速さが変わるというとだね
0126１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 13:48:28.19ID:NvEvjagG
直行射影のスペクトル解析で近似しよう
0127１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 20:12:01.35ID:XVhCPglg
どうやら、「多項式近似にテイラー展開を使う」という人は、
実際はx = aにおける微分係数を調べているだけなのに、
「テイラー展開を使っている」と思っているらしい

(笑)
0128１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 20:12:43.27ID:XVhCPglg
問題が解けているつもりだけど、
自分が何を使っているのかさえ理解していないようだ
0129１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 20:13:09.74ID:XVhCPglg
>>124
全く微分積分を理解できていないレス
0131１３２人目の素数さん
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2022/08/14(日) 05:02:26.54ID:XaNvkVuH
近似式が使えるか使えないかは
その式の精度を許容できるかできないかって主観の問題だろ
0132１３２人目の素数さん
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2022/08/14(日) 05:09:59.32ID:d/wuE44X
数学なんて人為的公理系の体系であり、主観的学問の際たるものだからね
0133１３２人目の素数さん
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2022/08/14(日) 07:50:28.42ID:80eSoW1g
>>132
浅薄な主張
公理系は人為的であり
学問は主観的である
0134１３２人目の素数さん
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2022/08/14(日) 09:46:38.74ID:WOzs6w60
なんか同じことを繰り返してるバカがいるなぁ。頭わるいんだろうな。

バカのために繰り返し書いとくけど、物理学で「近似多項式」といえば、
与えられた関数を近似するのではなく、データにフィットする経験式と
しての多項式を指す場合が多い。
そのせいか、関数を近似する多項式を表現する場合、テイラー展開で求まる
多項式という言葉を使うのが一般的。また、テイラー展開可能であることは
暗黙の了解として、高次の項を o(x^N)としてまとめた形で表現して扱うのも一般的。
他にどう表現せよと？
0135１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/14(日) 09:48:04.87ID:d/wuE44X
ばかはしななきゃなおらないっと
0136１３２人目の素数さん
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2022/08/14(日) 09:48:55.06ID:80eSoW1g
>>134
東大の教授だった人が言っていたが
それがまさに工学部の一般的なレベルの理解である。
0137１３２人目の素数さん
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2022/08/15(月) 10:48:34.47ID:RabNeunW
>>134
で、結局その「テイラー展開で求まる多項式」とやらを求めるのに、テイラー展開を使ってんの？使ってないの？
0138１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/15(月) 10:50:21.85ID:4EG0gIBa
>>134
自分がテイラー展開という概念を理解していないのを棚にあげて、他人を馬鹿呼ばわりとは恐れいったなあ
0139１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/15(月) 10:54:36.22ID:4EG0gIBa
アホ「物理学ではテイラー展開使う。たとえばsin(x)をx - x^3/3!で近似するとか」

まともな人「それはテイラー展開じゃないぞ」

アホ「これはテイラー展開じゃないけど、テイラー展開使っても求まるよね」

まともな人「実際に求めてるのは3階までの微分係数だけで、テイラー展開は使ってないぞ」

アホ「うるさい。物理学じゃこれをテイラー展開というんだ」←new
0140１３２人目の素数さん
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2022/08/15(月) 12:11:36.00ID:CzyQuoBW
>>139
まだしつこく同じこと書いてるな。
バカにつける薬はないものか。

>まともな人「実際に求めてるのは3階までの微分係数だけ
なにがまとも人だよｗ
微分係数を求めただけでは近似にはならんよ、ドアホ。
0141１３２人目の素数さん
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2022/08/15(月) 12:46:19.37ID:SxTI++hG
＾＾ああああ
0142１３２人目の素数さん
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2022/08/15(月) 13:47:53.58ID:44kanMhz
>>たとえばsin(x)をx - x^3/3!で近似する

これはテーラー展開を使った考え方の例であるといえよう
0143１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/15(月) 15:05:31.32ID:SxTI++hG
＾＾いいいいい
0144１３２人目の素数さん
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2022/08/15(月) 22:00:34.68ID:SfcZNyUn
>>140
で、どこにテイラー展開を使ってんの？
0145１３２人目の素数さん
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2022/08/15(月) 23:04:59.89ID:CzyQuoBW
高次の項と低次の項を分けてるだけだと何度言えば…
0146１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/16(火) 03:01:31.04ID:NSySv6IF
ばかはしななきゃなおらないっと
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/19(金) 21:00:04.70ID:Dg083sN5
sin x の数値解を求めるのに使われているかな。
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/19(金) 21:50:47.63ID:n1fQYtPE
使ってない
0149１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/19(金) 22:17:32.02ID:FKBH2cKJ
テイラー級数展開自体が微分係数を出す母関数だとでも思っときゃいいだけの話だろ。
0150１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/19(金) 22:34:38.47ID:n1fQYtPE
母関数って何じゃろ？　父関数や子関数もあるのかな？
0151１３２人目の素数さん
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2022/08/19(金) 23:35:35.31ID:FEcoZNM1
同じことを何度も書き込んでるキチガイは無視すりゃいいよ。

テイラー展開を使って多項式近似を導いてる、で無問題。
0152１３２人目の素数さん
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2022/08/20(土) 03:28:08.55ID:wevDZqoz
あっそう
剰余項が0に収束しない関数は多項式近似できましぇーん、という恥晒しですか
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/20(土) 04:29:06.75ID:cKXPv9RY
収束しなくても意味がある摂動なんてそれこそ工学や物理学の本場みたいな気が
0154１３２人目の素数さん
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2022/08/20(土) 13:33:02.99ID:IZxno7/y
>>152
そういうケースもありうるのは想定内なので、なんの問題もない。
テイラー展開は使ってないんだと「イキる」奴こそ恥晒し。
0155１３２人目の素数さん
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2022/08/20(土) 16:33:06.93ID:/tJui/yy
微小角度のときテイラー展開で、とかなんとか前置きして式変換することあるよね
いつ使ったか忘れたけど、なんかそんな記憶
0156１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/13(火) 17:42:38.82ID:XvzSYEMQ
解析学嫌いとっ散らかってる
0157１３２人目の素数さん
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2022/09/30(金) 16:27:12.67ID:9anTqYAY
振り子の運動で微小角度とするとテイラー展開よりコレ！みたいなの見たとき力技すぎないか？と解せないことがあるんだが
これの説明を求めるには物理板で聞くべき事案か？
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/09/30(金) 16:53:22.46ID:kwMxgK6Q
近似で使うのはテイラー展開というよりテイラーの定理だよね
剰余項が評価できるのが大切だと思う
0159１３２人目の素数さん
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2022/09/30(金) 17:00:36.44ID:kwMxgK6Q
>>21
テイラー多項式以外の近似手法あんま知らないんだが、もっといい手法あるなら教えて
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/01(土) 18:24:30.13ID:j7CB+li4
>>159
テイラー展開(有限までも含む)がn次以下の多項式だけでの近似なら1番精度がいいはず.(テイラー展開した周りでは)
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/20(木) 12:19:49.47ID:eLycBYw7
そんなわけないやん
例えば[0,1]での近似で“最良の近似”の解釈を“∫[0,1]|f(x)-g(x)|dxが最小”とかした場合には例えばf(x) = e^xを一次で打ち切った1+xが“最良の近似”になるはずない
ノルム変えても同じ
近似としてみるなら“そこそこいい近似”に過ぎない
無理クリ打ち切り近似が最良になる意味付けを強引に見つけられるかもしれんけどな
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/10/20(木) 17:27:19.35ID:V8u42cAC
だってワイエルシュトラスの定理は閉区間で連続でありさえすれば成立するんだからテーラー展開(誤差項付きじゃなくて無限級数展開の方)可能だろうがなんだろうが成立してる
つまりテーラーの定理は“そこそこいい近似を作る”事はできるけど“近似のための定理”というと少し話がずれる
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/04(金) 20:51:04.74ID:p1Gv5252
単位円板上の正則関数のテイラー級数の収束半径が
１以上であることのコーシーの積分公式を使わない証明を聞かれて
即答できなかった
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/03(土) 04:44:49.62ID:AhIcj07+
Abel limit theorem を使えばできる。
0168１３２人目の素数さん
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2022/12/08(木) 09:03:04.54ID:xpFZils6
ワイエルシュトラスの講義録の
第１１章に書いてある
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/08(木) 12:56:41.65ID:L7bR5BRz
閉区間で連続関数を次数が増える多項式の列で一様に近似することはできる。
しかし多項式の基底系のとり方によっては、基底係数の大きさが
極端に大きくなる。
通常の単項式基底による多項式の列
　つまり P_n(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2 + ....+ a_n x^n

を使って連続関数f(x)の閉区間の座標を平行移動と縮小拡大して
閉区間【-1、1】あるいは[0,1]に変換したものをＰ_n(ｘ）で
近似しようとすると、係数 a_j (a_jは一般にはnに依存する）
の絶対値がとても大きくなる傾向がある。数学的には単項式は
線形独立な基底関数なのだが。
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 09:27:02.17ID:j8L6kU3o
>>150
母関数って何じゃろ？　父関数や子関数もあるのかな？

間男関数とかね.....
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 09:30:29.34ID:j8L6kU3o
＞＞テイラー展開っていつ使うの？？

テイラー展開が必要な時じゃない？
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 09:33:02.36ID:oyhyN/Ni
爺関数、婆関数とか
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 09:44:18.40ID:DV2XUKqW
汎関数や超関数って何じゃろ？
凡関数や並関数もあるのかな？
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 21:06:43.05ID:DV2XUKqW
並関数があるのなら
松関数、竹関数、梅関数もあるのかな
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 22:30:42.55ID:zc7HGicu
使わない
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/14(水) 09:32:35.12ID:G5iUW+22
模関数はあるよね
0177１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/14(水) 09:39:45.66ID:JWW/yvcc
奇関数、偶関数があるなら、鬼関数や愚関数もあってよかろう
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/14(水) 09:58:57.81ID:G5iUW+22
Y田M章風だね
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/16(金) 01:34:54.17ID:djwjRWGi
解析関数を表現するとき。
0180１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/16(金) 07:19:51.15ID:ozUGchGb
又黒関数とか
0181１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/16(金) 11:13:15.56ID:ozUGchGb
トポロジーでは
白頭捩率とかありそう
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/17(土) 07:04:24.97ID:bcDV8ZEu
0＜x＜1において、
2x/(2+x)＜log(1+x)が成立することを示せ、っていう問題があって、これは大きいほうから小さいほう引いて微分すれば、解けるんだけど、

作問者がどうしてこの式を思いつけたのか、分かる人、いますか？
テイラー展開から糸口を探してるんですけど、わからない…
0183１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/17(土) 08:31:46.00ID:VcchxR0w
>>テイラー展開から糸口を探してるんですけど
log(1+x)のマクローリン展開を知らなかったら
意味のない説明だけど
それがわかっていたら
それよりちょっと小さい等比級数といえば
左辺でしょう。
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/17(土) 14:15:49.64ID:bcDV8ZEu
なるほど。そっか、そうですね。

0＜x＜1において、
log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…
　　　　＞x-x^2/2+x^4/4-x^6/8+…　初項x、公比-x/2の等比数列
　　　　＝2x/2+x (0＜x＜1で、x^n→0（n→∞）を用いた）

ですね。そういうことか…。早急なレス感謝ですm(_ _)m
　　　　
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/18(日) 07:39:10.49ID:SkHzOq0m
再び、失礼します。実は、昨日質問させていただいたlog(1+x)の評価の大きい方が、実は
log(1+x)＜x-x^2/4が成立することを示せ、というものだったんですけど、
この右辺の4分の1は作問者はどこからもってきたのでしょうか？
1日考えたんですけど、わかりませんでした（汗）。

log(1+x)＝x-x^2/2+x^3/3-…となっているので、
log(1+x)＜x+ax^2を満たすようなaが存在していそうではあります。
そのようなaを仮定して、（右辺ー左辺）を微分すればa=-1/4でちょうどいい感じになる
というのは分かるのですが、もっとダイレクトに-1/4を見つけてくる方法はないでしょうか？
0186１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/18(日) 13:26:56.55ID:aD+0HoR8
テイラー級数を中心に考える問題だとすれば

1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9 < 1/4

はダイレクトと言えばダイレクトですが。
計算自体は小学生でも暗算でできるでしょう。
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/18(日) 19:05:33.01ID:SkHzOq0m
なるほど。

等号が成立するときもあるような「ぴったり」の式を見つける方法で確立したものは無いんですね。
sinxやcosxはMaclaurin展開した時に出てくるx^nの係数部分でちょうど「ぴったり」はさめるので、
log(1+x)を「ぴったり」はさむ不等式もMaclaurin展開それ自身やラグランジュの余剰項
やベルヌーイの余剰項を用いて簡単に生み出せるものだけかと思っていました。
Maclaurin展開から直ちに得られる式も「ぴったり」はさむ不等式だと思いますが、それ以外にも
たくさんあるんですね（そりゃ、当然か・・・）
ありがとうございました。
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 08:01:57.56ID:fsr6819L
２ちゃん時代にも118みたいのが涌いた。
その時はそれがきっかけで２ちゃんは見なくなってしまった。
今度もそうなるだろう。
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 10:39:59.18ID:HH+1Ho4r
>>118ってそんなに凶悪か？
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/13(金) 16:45:42.54ID:C3eRYlyK
テイラー展開は展開の中心の近傍においてだけ良い近似であって、
展開の中心から離れるに従って近似が劣化する。

たとえ級数の収束半径が無限大であっても、たとえば
　exp(x) を x=-100 でテイラー展開で計算することを
考えて見れば、その近似は最初のうちは極めて悪い。
0193１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/11(土) 21:13:00.81ID:TvnynpJO
学部1年のとき以来使っていない
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/11(土) 21:14:24.97ID:5+yd9bpP
高校で習ったけど大学でも使わなかった
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/11(土) 21:32:02.65ID:bLrDdUTJ
数列の極限では「極限は近似じゃない！動くイメージは捨てろ！」というのに、関数列だと近似を強調するのは何故なんだぜ
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/13(月) 19:44:18.57ID:5JdSGBBY
今でしょう。
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/13(月) 23:53:26.25ID:1qYFmMDf
>>193-194
そりゃ、近似計算自体がコンピュータ内部のチップに内蔵され、普段我々は考えなくても良いからな。

でも、多倍長実数計算やらせようとして、ルーチンを自作しようとすると途端にテーラー展開が必要になってくる。
0199１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/13(月) 23:53:34.74ID:tCjugkt9
収束悪いから使わない
連分数展開とか使う
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/14(火) 00:02:19.72ID:0R5KcAP1
その連分数を作って検証するのに、そもそもテーラー使うんじゃないの？
0201１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/14(火) 00:05:52.50ID:BFm6c2se
そんなあ歩はいない
0203１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/14(火) 00:09:08.29ID:BFm6c2se
連分数の理論勉強しなはれ
0204１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/14(火) 00:41:57.77ID:0R5KcAP1
検索してみると、変換の方法書いた pdf があったが、どっちが良いかはやってみないとわからないとあるぞ。

70年代の一松信センセの本では、a0 + a2x^2 + a4 x^4 +…　みたいな級数にして、それぞれの係数は、
求める精度ごとに、テーラー展開の数値からコンピュータで計算して、収束効率が良いものを選択するって方法だった。
0205１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/14(火) 01:05:40.95ID:BFm6c2se
ごちゃごちゃ言わずにやればいい。任意精度で10000桁くらい計算してみればわかるさ
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/23(木) 18:18:11.30ID:MCBQbs8j
初等関数の数値計算
一松信著
教育出版（シリーズ新しい応用の数学　8 ）
A5判 248頁
1974年11月 発行
ISBN　978-4-316-37591-5
https://www.kyoiku-shuppan.co.jp/book/book/cate5/cate524/sho-514.html

入門的なことが書いてあるからありがたく拝読するように。
0207１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/22(水) 14:04:49.85ID:Ht45tQPR
今月号の「エレガントな解答を求む」の
解答者は一松先生
今月号から解答者の年齢は不明になった
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