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97コメント45KB
0.99... = 1が理解できないやつ
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
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2022/05/17(火) 10:29:01.52ID:GBmGv2fv
理屈は分かるけど、なんか腑に落ちない。
wikiの証明読んだし、理解はできるけど、騙された気分になる。

なんで？
ちな数学専門じゃないからお手柔らかに。
0002１３２人目の素数さん
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2022/05/17(火) 12:16:57.32ID:BnSPbeLo
カロリーメイトのバニラ味まあまあ美味かったよ
0003１３２人目の素数さん
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2022/05/17(火) 15:18:35.23ID:AT4bJIz4
無限絡みの操作は直感に反することだらけ
ってことをちゃんと心にとどめておくことさえできてればいいんじゃないの？
納得しなくても
0004１３２人目の素数さん
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2022/05/17(火) 15:57:24.18ID:r/FEc6HA
まず根本的に表記が違っても同じ数字に成り得ることを理解すべし
例えば1.000と1は同一の数字を表す
この例は当たり前に見えるだろうけど、じゃあ0.999...と1は？と問われたとき、頭ごなしに「違う」とは言わないで欲しい。だって、違う表記でも同じ数字であることは有り得るんだから。
では0.999...と1は同じか？
これは『0と0.000...が同じ数字（0=0.000...）』ということを認めれば直ちに示せる。
（証明）1-0.999...=0.000...=0
よって1-0.999...=0なので移行して1=0.999...となる。
0005１３２人目の素数さん
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2022/05/17(火) 21:42:52.52ID:mtt3p9+z
まあそれが実数の定義みたいなもんだし腑に落ちないのもしゃーない
コーシー列とか理解できるようになるとそういうもんかと腑に落ちる
0006１３２人目の素数さん
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2022/05/18(水) 05:18:08.16ID:WKeytAsL
理屈は分かるのに腑に落ちないのは、それが数学の決まり事だからではないでしょうか

例えば、四則演算(計算)をするときに下記の決まり事(計算の順序)があるように
1.足し算と引き算だけ、あるいはかけ算とわり算だけの計算をするときは、先頭から(左から)順に計算
2.加減乗除が混ざっているときは乗算を先に計算
3.式の途中に(括弧)があるときは ( ) の中を先に計算

0.999…=1も数学の決まり事だからだと考えられます
ひと昔前までは、0.999…≠1または0.999…≒1でした。なので、もしかすると今後また変わるかもしれません。しかし今現在は0.999…=1が正しいという数学の決まり事
0007id変わったけど1
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2022/05/18(水) 23:39:47.53ID:r0uJdzJM
>>2
そりゃ良かったな。俺はチョコの方が好きだけど

>>3
なんか負けた気がするんよね。高校の頃はlim[n->∞](1/n)=0って当たり前に使ってたけど...

>>4
「0と0.000...が同じ」ことを認めたら、0.99...=1を認めてるのと同じだよね？示すも何も同値っていうかさ...

>>5
コーシー列ね。ありがとう勉強してみる。

>>6
数学の決まりって言われちゃ終わりだね。
0!=1 も a^0=1 (a∈R\{0}) も決まりだと飲み込んではいるし、そうなる根拠も理解したけど、未だに不思議に思ってる。
0008１３２人目の素数さん
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2022/05/19(木) 02:29:05.81ID:pio6tGHi
>>7
0.000...は"任意の下桁が0"なんだよね。それは0でしょ。
元より実数には『無限小』は存在しないんだから0.99...が実数である限りそれは1にならざるを得ない
（実数じゃないなら知らなーい。超実数の話になるのかな？）
0010１３２人目の素数さん
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2022/05/19(木) 21:30:55.20ID:gbhEu6ve
経験主義　合理主義
でぐくれ

納得を判断基準に置いてる時点でダメなんだよ
理解の問題じゃない
脳の問題
0011１３２人目の素数さん
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2022/05/20(金) 12:43:36.11ID:skOZJycH
だって0.999…の定義が無限級数なんだから当然でしょ
実数の表示は一意ではないことを受け入れろ
0012１３２人目の素数さん
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2022/05/20(金) 14:42:18.93ID:4LMEB6Gj
０に限りなく近いが０ではない
１に限りなく近いが１ではない

認識は近似
=ではないが=とする
不確定性原理が意味することです

認識はケンチャナヨ
0014１３２人目の素数さん
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2022/05/20(金) 14:49:42.14ID:4LMEB6Gj
わたしは植物でも金属でもないが物理として同一
わたしは運動変化して同一であることは無いが<同一>で規定
静止は運動の一形態
ディラックの海考えたら真空はエネルギーの一形態
無は有の一形態
0015１３２人目の素数さん
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2022/05/20(金) 14:56:14.39ID:4LMEB6Gj
光速度一定の原理は絶対座標、静止の存在を否定する
つまり運動が自然の存在形態
自然は運動するエネルギーの濃淡
つまりパルメニデスの自然観<一>が正しい
一をその否定である多、つまり数で規定する
決定不能は否定で規定するから

認識の在り方、性格を理解すればいろいろ了解できる
0016１３２人目の素数さん
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2022/05/20(金) 15:06:51.02ID:4LMEB6Gj
数一般は存在しない
有を無で規定する

規定するからいろいろ問題が出てくる
生物非生物は物理の差異で否定関係ではない
→ウイルスは分類困難性は分類するから
因みに次元は認識の在り方に現象する物理の抽象
カント、ヘーゲル、不完全性定理、観測問題など
クレタ人の逆説は否定で規定するから

運動は自然理解、否定は論理理解の導きの糸

理解とはを理解すること
規定は自然には存在しない
0017１３２人目の素数さん
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2022/05/20(金) 15:17:14.64ID:RTxmNArv
現象君！？
数学は認識論じゃないよ！？
数学音痴は巣に帰ろうね？？
0018１３２人目の素数さん
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2022/05/21(土) 13:31:25.76ID:q7wNiCX1
無限にはキチガイを寄せ付ける何かがあるね
0019１３２人目の素数さん
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2022/05/21(土) 14:37:20.36ID:BWLI+lHI
無限小数を無限級数で定義するなら0.999…=1
安達弘志は極限を理解できない国文バカ
バカボンパパは数学を哲学と勘違いしてる哲学バカ
0030１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/22(日) 14:25:03.89ID:sZQCViwy
左辺は実数じゃない、実数じゃないんだ
0.999...なんて実数は存在しないんだ
Σ[k=1→n]9/10^kを簡潔に表しただけなんだ
実数として見るから1じゃないんじゃね？なんて疑念が生まれるんだ
∠ACFなんて目盛りのついた分度器がこの世に存在しないのと一緒なんだ
0032１３２人目の素数さん
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2022/05/22(日) 14:38:13.67ID:f6lk93aR
>>30
>0.999...なんて実数は存在しないんだ
0.999...:=lim[n→∞](Σ[k=1→n]9/10^k)が実数ではないと？
頭大丈夫？
0033１３２人目の素数さん
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2022/05/22(日) 14:39:48.80ID:f6lk93aR
>>30
>Σ[k=1→n]9/10^kを簡潔に表しただけなんだ
それは有限小数だから違うね
頭大丈夫？
0034１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/22(日) 17:22:37.57ID:TVTS0gbi
自然には数は存在しない
有限の中の無限の数
光速度一定の原理から有限は存在しないことが解る
無限の数ももちろん存在しない
無の中の無
観念の中にのみ存在する
無の存在という背理
無＝無
ああ、この意味なら＝か
規定は否定
有限は無限ではない
数は有限でも無限でも同じ
有限の中の無限
無限の中の有限

まあすべて違うのに同じってのは面白いけど
0に限りなく近いが０ではない
規定は否定だから
有を無で規定する・・・

理解の鍵は単純なところにある気がする
0036１３２人目の素数さん
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2022/05/22(日) 18:35:47.38ID:f6lk93aR
>>34
ポエム板でやれ
0037１３２人目の素数さん
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2022/05/22(日) 18:40:36.14ID:f6lk93aR
>>34
>0に限りなく近いが０ではない
限りなくとは？
どうだったら限りなく近く、どうだったら限りなく近くはないと？

>理解の鍵は単純なところにある気がする
そう、単純だ、実数論の初歩の初歩だ
おまえが理解できないだけ
0038１３２人目の素数さん
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2022/05/23(月) 07:40:00.74ID:Kg4NRdTm
俺もわからんわ

1を3で割るだろ？＝0.333333－－－
0.3333333－－に3かけると　0.999999

1にならんねんなんでこうなるんや？？
0040１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/23(月) 11:07:32.79ID:J2E8xU6f
1/3 = Σ[k=1→∞]3/(10^k)
と定義すると
Σ[k=1→∞]3/(10^k) * 3 = Σ[k=1→∞]9/(10^k)
0042１３２人目の素数さん
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2022/05/23(月) 13:03:40.92ID:KrErwiRS
>>40
定義するとっておかしいでしょ
1/3は3の実数体における積に関する逆元という定義があるんだから
1/3の10進展開が右辺になるというだけ
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/23(月) 22:54:27.84ID:dpa1bGkN
>0.999...を定義せずに
だから0.999...:=lim[n→∞](Σ[k=1→n]9/10^k)だと
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/24(火) 05:41:30.50ID:lvVa6X+K
>>46
『収束』が 0と定義されている
0048１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/28(土) 16:55:09.66ID:9Ny85owP
lim[n→∞](Σ[k=1→n]9/10^k)
=1-lim[n→∞](1/10^n)
=1

0.999...:=lim[n→∞](Σ[k=1→n]9/10^k) と定義する限り厳密に1と等しい。
だから1と等しくない派は別の定義を示さなければならない。

ちなみに無限を理解できない国文バカ安達弘志は
0.999...:=0.9 or 0.99 or 0.999 or ・・・ と定義した。
0049１３２人目の素数さん
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2022/05/29(日) 10:17:15.74ID:2YoKfz5Z
>>1
0.99999･･･を「近づいていく過程の全体」と捉えるか「近づいていくその近づき先」と捉えるかの違いで一致していると考えても違うものと考えても良い
0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/29(日) 10:26:41.22ID:2YoKfz5Z
たとえば0に収束する数列の全体を無限小と定義して
0.9999…は
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …という数列
1.0000…は
1.0, 1,00, 1,000, 1,0000, …すなわち1,1,1,1,…という数列と考えることができるので
両者の差は
0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, …という無限小となるてわけ
こう考えると別物ということになる
0051１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/29(日) 11:50:46.85ID:zVY0hdCm
そりゃ数列と考えるなら別ものだろ
0.9, 0.99, 0.999, …
と
0.99, 0.999, 0.9999, …
だって別ものなんだからｗ
0052１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/29(日) 11:52:21.05ID:liyIu5WO
0.99999…は

①1より大きくない
②1より小さい全ての数よりも大きい

という性質を持っている数である(ここはそういうもんだと納得してください)

1と0.99999….が別の数だと仮定しよう
すると、①の性質より、それらの平均は0.99999…よりも大きくて1よりも小さい数になる
でも、これだと、②の性質と矛盾してしまう

つまり、仮定が違っていたということなので1と0.99999…は同じ数なのだ！！
0053１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/29(日) 12:12:24.49ID:zVY0hdCm
>0.99999…は
>①1より大きくない
>②1より小さい全ての数よりも大きい
>という性質を持っている数である(ここはそういうもんだと納得してください)
1 > (1+0.999…)/2 > 0.999… なので納得できない
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/29(日) 12:25:16.87ID:liyIu5WO
>>53
ウーン…
そこは0.99999….の定義として書いたからなあ…
0.99999…より大きくて1より小さい数は存在しないよっていう
(かなり直感的な定義であるのは否定できないけど)

無限級数を使わないで、感覚的に納得しやすい定義を考えようとはしたんだけど、そこが納得できないっていうなら級数の方に軍配が上がるのかな…
0057１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/29(日) 16:02:19.83ID:zVY0hdCm
無限小なる定義を追加することに「同じ極限を持つ異なる数列」を言い換える以上の意味があるの？
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/30(月) 19:55:48.09ID:YhpeEosq
モピロン、超突然ですが、超昔の
高校生の頃に閃いた問題とその怪答だが
モピロン、超正解ですか？

Q) lim[n→∞](r^n) ＝ 1/2となる実数rを
　解きなさい。
A) r ＝ 0.999…
【蛇足】出題者　👾　怪答者　👾

Q) lim[n→∞](r^n) ＝ 2　となる実数rを
　解きなさい。
A) r ＝ 1.000…
【蛇足】出題者　👾　怪答者　👾
0060１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/31(火) 08:01:13.90ID:Am5KMVzX
>>52
0.999…のあとに0.5でいいんジャね？
0061１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/31(火) 21:39:56.16ID:cDIfrvfg
結局この問題は無限小の存在を認めるか認めないかに帰着する
無限小の存在を認めない場合、0.99... = 1になる

じゃあ無限小の存在を認めたら0.99... = 1は間違いなのかというとYES
「俺は無限小の存在を認めないから0.99... = 1は間違い」といえばいいよ

ちなみに無限小の存在を認めるといろいろ不都合が起こるらしいが
じゃあどんな不都合がおこるの？って以前数学スレで聞いたけど
それまでイキってた奴ら誰一人まともに答えることができなかった

そんなあやふやな理解で人様にあれこれ言ってるレベルの人間が集まってるところだよここは
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/31(火) 22:13:18.48ID:CRwFFdlw
実数には無限小がないからなあ
無限小を含めると超実数になっちまう
0063１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/01(水) 05:47:25.36ID:+0I0oJsM
「無限小を認めるなら 0.999…≠1 である」というのは、実は間違っている。

たとえば、無限小を含む体系として超実数体がある。任意の(0以上1以下の)超実数は

0.a_1a_2a_3…；…a_{ω－1}a_ωa_{ω＋1}…

という形に無限小数展開できて、いわゆる「無限桁目」に相当する桁が新たに導入される。
一方で、「0.999…」とは「どの桁も9である数」を意味する。
従って、超実数体における「0.999…」の対応物は

0.999…；…999…　(無限桁目も全て9)

というものになる。そして、実は 0.999…；…999…＝1 である。
すなわち、超実数体で考えても "0.999…＝1" が成り立つ。
0064１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/01(水) 05:51:41.09ID:+0I0oJsM
よくある誤解としては、

・ 無限小ε＞0を1つ取って、1－εのことを "0.999…" と定義すれば 0.999…≠1 である

というものがある。しかし、0.999… をこのように定義してしまうと、
「どの桁も9である」という性質を満たさない。たとえば、超実数体でこのように定義した場合、

1－ε ＝ 0.999…；…a_{ω－1}a_ωa_{ω＋1}…, ある無限大超自然数nに対して a_n≠9

と無限小数展開できて、右辺は「どの桁も9である」を満たさない。

すなわち、1－εのことを "0.999…" と定義する流儀は、
「どの桁も9である」という根本的な思想から外れるので、
0.999… のことを勘違いしており、0.999… の適切な定義としては認められない。
0065１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/01(水) 06:38:03.04ID:ea8oKdTU
無限小を数とするのは超実数だけど
普通は無限小は過程だから1と0.9999･･･の差が無限小でいいんだよ
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/01(水) 16:18:27.18ID:+0I0oJsM
無限小を過程と見なした場合、

1－0.999… ＝ 無限小 ＝「0に近づいていくが0ではないという過程」を表現したナニカ

という意味になる。すると、1－0.999… は動的な対象を表現していることになる。
1は定数なので、0.999… 自体が動的な対象を表現していることになる。具体的には

0.999… ＝「1に近づいていくが1ではないという過程」を表現したナニカ

ということになる。しかし、動的な対象はそもそも特定の実数になり得ない(それぞれの実数は定数だから)。
ならば、無限小を過程と見なす必要すらない。0.999… を、とにかく動的なナニカと考えさえすれば、
その 0.999… は 1 という定数になり得ない。

しかし、0.999… をそのような方向性で定義することはナンセンス。
なぜなら、その方向性では、0.3333… や 1.4142… といった
他の無限小数も動的なナニカとして定義されることになるので、

1/3 ≠ 0.3333…
√2 ≠ 1.4142…

ということになってしまう(右辺は動的な対象なので、1/3 や √2 という定数になり得ない)。
0067１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/01(水) 16:42:56.10ID:+0I0oJsM
そもそも、「…」を含んだ記号列を動的な対象と見なすこと自体が首をかしげる。
たとえば、半直線を1本用意する。

―――――― …

↑この図が半直線だとすると、この図における「…」は次の2通りの意味に解釈できる。

(1)「…」で省略されたどの部分を閲覧しても、そこには既に線が存在しており、
　　半直線は最初から完成している(静的な意味)。

(2) 有限の長さの線分が、今もその長さを延長し続けている、という過程を表現したナニカであって、
　　完成形たる半直線を表現しているわけではない(動的な意味)。

(1)は、「完成形が最初からそこにある」と主張しており、完成形そのものを指している。
(2)は、完成形に至る過程(すなわち未完成品)を表現していて、完成形そのものを指してはいない。

そして、半直線の図における「…」は、(2)のように解釈することはできない。
なぜなら、半直線には端点が1つしかないが、(2)だと端点が常に2つあるからだ。
そもそも、(1)なら完成形そのものを表現できるにも関わらず、
わざわざ未完成品を表現したナニカである(2)を持ってきて
「これが半直線の図だ」などと考えることに何の意味があるのか、首をかしげる。
0068１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/01(水) 16:45:22.49ID:+0I0oJsM
同じように、0.999… と書いたときの「…」は次の2通りの意味に解釈できる。

(1)'「…」で省略されたどの桁を閲覧しても、そこには既に 9 が存在している。つまり、どの桁も9である(静的な意味)。
(2)' 有限個の 9 で構成された 0.999…999 が、今もその桁数を更新し続けている(動的な意味)。

(1)'は(1)と同じノリで解釈した場合であり、(2)'は(2)と同じノリで解釈した場合である。

さて、0.999…は(1)'と(2)'の、一体どちらの意味で解釈すべきか？
もちろん、唯一無二の正解というものはない。
しかし、(1)' なら完成形そのものを表現できるにも関わらず、
わざわざ未完成品を表現したナニカである(2)' を持ってきて
「これが 0.999… だ」などと考えることに何の意味があるのか、首をかしげる。
0069１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/02(木) 00:37:46.37ID:4B9QhuAu
>>63
ω-1とは？
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/02(木) 02:13:25.79ID:aAl/Vikk
>>69
ここでのωは無限大超自然数のうちの1つ。
何か特別な無限大超自然数がωなのではなく、
何でもいいから1つ無限大超自然数を取って、それをωと置いているだけ。

そして、無限大超自然数は超実数であり、超実数の中では足し算引き算ができるので、
ω－1やω＋1も超実数として定義可能で、これは再び無限大超自然数になる。
直観的には ω－1＝ω＝ω＋1 であるかのように感じられるが、
超実数の中では ω－1＜ω＜ω＋1 が厳密に成り立つので、
…a_{ω－1}a_{ω}a_{ω＋1}…
といった表記がナンセンスにならず、きちんと意味を持つ。
0071１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/02(木) 07:10:52.04ID:PdD/i1lw
>>70
無限大超自然数全体は連続濃度だがや
何でも良いからってωの前にもあとにも
ωのスコープに入らない無限大超自然数あるがや
0072１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/02(木) 07:15:01.84ID:PdD/i1lw
数の拡張としては超準解析による超実数より
コンウェイの超現実数の方が面白いがや
0073１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/02(木) 11:46:37.09ID:aAl/Vikk
>>71
それは重箱の隅だな。確かに、

0.a_1a_2a_3…；…a_{ω－1}a_ωa_{ω＋1}…

という表記法では、無限桁目に関しては
「ωから有限回の足し算・引き算で到達可能なスコープしか表記していない」
ということになり、残りのスコープはそもそも表現すらしてないように見えてしまうので、
本当はこの表記法はよくないのだが、歴史的には実際にこういう表記法が使われているし、

「何らかの写像 a：N^* → {0,1,2,…,9} から定まる何らかの超実数である」

というニュアンスも十分に伝わる。
厳密に記述したければ、写像 a：N^* → {0,1,2,…,9} を明示的に指定すれば終わる話だしな。
0074１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/02(木) 16:46:50.74ID:PdD/i1lw
0.999…はN→{9}でN*-N→{0}のこととするわ
0075１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/03(金) 01:32:10.52ID:7KU3pWi+
>>74

(1) 0以上1以下の任意の実数 x に対して、ある写像 a：N → {0,1,2,…,9} が存在して、
　 この写像 a から実数内の無限小数展開 u が定義されて、u の値は x に一致する。

(2) 逆に、任意の写像 a：N → {0,1,2,…,9} に対して、
　 この写像 a から実数内の無限小素展開 u が実数内に必ず定義できて、
　 uの値は0以上1以下の何らかの値となる。

しかし、このことは超実数においては必ずしも成り立たない。具体的には、次のようになっている。

(1)' 0以上1以下の任意の超実数 x に対して、ある写像 a：N^* → {0,1,2,…,9} が存在して、
　 この a から超実数内の無限小数展開 u が定義されて、u の値は x に一致する。

(2)' 任意の写像 a：N^* → {0,1,2,…,9} に対して、
　 この a から超実数内の無限小素展開 u が必ず定義できるとは限らない。
　 すなわち、超実数内の無限小数展開 u が定義できないような、
　 イレギュラーな写像 a：N^* → {0,1,2,…,9} が存在する。

(1)と(1)'は完全に対応しているが、(2)と(2)'は対応していないのである。
実数ではキレイにまとまっていた(2)が、超実数になると(2)'のようになってしまう。
0076１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/03(金) 01:34:44.80ID:7KU3pWi+
では、超実数内の無限小数展開 u が定義できないような、
イレギュラーな写像 a：N^* → {0,1,2,…,9} の具体例とは何か？
それはまさに、>>74が書いた写像 a である。すなわち、

a_n＝9 (n∈N), 0 (n∈N^*－N)

と定義した a：N^* → {0,1,2,…,9} に対して、
この写像 a からは超実数内の無限小素展開 α が定義できない。
もちろん、単なる形式的な文字列としての

"0.a_1a_2a_3…；…a_{ω－1}a_ωa_{ω＋1}…"

はいくらでも定義可能だが、
この文字列が概念的に well-defined に指し示すであろう超実数内の値が、
今回の写像 a に対しては超実数内に存在できない。

すなわち、この a から定まる無限小数展開は超実数内に定義できない。
だから、>>74のようにして 0.999… を定義することは不可能。
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/03(金) 01:55:49.93ID:7KU3pWi+
簡単に言うと、a_n の値を n∈N と n∈N^*－N とでブツ切りにして
人工的に場合分けして定義したような写像 a は、ほぼ確実にイレギュラーな写像になる。

別の言い方をすれば、超実数内に無限小素展開が定義できるような
標準的な写像 a：N^* → {0,1,2,…,9} は、a_n の値が n∈N と n∈N^*－N とで
"連動している" ような、あるいは "何らかの基礎論的な関係性を保っている" ような、
ある種の繊細な構造を持っていることになる。
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/03(金) 01:59:19.40ID:7KU3pWi+
0.999…に関してもう少し具体的に言うと、超実数内に無限小数展開が存在するように
a：N^* → {0,1,2,…,9} を定義したいとして、まず

a_n＝9 (n∈N)

と定義したとする。このとき、残りの n∈N^*－N では無条件に好き勝手に定義することはできず、
ある条件を満たしていなければならない。その条件とは、今回の場合は

・ ある無限大超自然数 M が存在して、「 n∈N^*－N かつ n≦M のとき常に a_n＝9 」である

という条件になる。これが成り立つように定義した a でなければ、
超実数内に無限小素展開が定義できない。特に、

a_n＝0 (n∈N^*－N)

と定義してはいけない。このように定義した a はイレギュラーな写像であり、
無限小素展開が超実数内に定義できない。要するに、有限桁目を全て 9 に設定した場合、

「そのまま連続してある無限桁目まで一気に 9 でなければならない」(そうでないと超実数として存在できない)

ということになる。
0079１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/03(金) 02:05:52.42ID:7KU3pWi+
よって、>>74の方針で 0.999… を無理やり定義したいのなら、無限大超自然数 M を1つ取ってきて、

a_n＝9 (n≦M), 0 (n＞M)

と定義するしかない。この場合に得られる無限小数展開は、形式的な文字列としては

"0.999…；…999" (有限桁目は全て9, 無限桁目はM桁目までが9)

ということになる。この文字列が示唆する超実数は実際に存在して、具体的には

0.999…；…999 ＝ 1－1/10^M

となる。従って、この定義ならば、超実数内に無限小素展開がちゃんと定義できる。
そして、明らかに 1－1/10^M ＜ 1 なので、ちゃんと 0.999…；…999 ＜ 1 が成り立っている。

だがしかし、この定義には問題がある。"0.999…" を定義するからには、
有限桁目だろうが無限桁目だろうが、「末尾の9」が存在してはならない。
しかし、今回の定義ではM桁目の9が「末尾の9」になっているので、これでは 0.999… の定義としてふさわしくない。

だからこそ、>>74 は「無限桁目は全て0」と設定したのだろうが、そのように設定した a は
イレギュラーな写像であって、無限小数展開が超実数内に定義できない。
結局、1 にならないような 0.999… を自然に定義しようと思っても、なかなかうまく行かないのである。
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/07(火) 13:30:04.02ID:K0Hzrinu
限りなく０に近いが０ではない
これと同様に
限りなく１に近いが１ではないってこと

それで良いのだ
もともと学は近似で=じゃあないし
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/07(火) 16:40:28.01ID:QNgxGOfB
＞限りなく０に近いが０ではない
＞これと同様に
＞限りなく１に近いが１ではないってこと

「限りなく0に近いが0ではない」は無限小に相当する概念だが、
これを数として解釈するなら、たとえば超実数の体系が得られる。
そして超実数では、マトモな定義を採用する限り必ず "0.999…＝1" が成り立つ。

「限りなく0に近いが0ではない」を数とは解釈せず、過程と解釈するなら、
>>66-68のようになり、ナンセンス。

結局、安易に「限りなく０に近いが０ではない」「限りなく１に近いが１ではない」などと
ほざいてみたところで、その意味するところを正確に紐解いていけば、
やはり "0.999…＝1" にしかならないことが分かる。
0083１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/08(水) 02:57:04.88ID:0tGMJZBB
>>80
まず「限りなく近い」を定義せよ
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/08(水) 23:19:24.56ID:0tGMJZBB
>>80
定義できないなら黙ってれば？
ただの雑音だから
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/06/26(日) 12:31:28.69ID:usNpXzOs
>>84
？
認識って近似だし
限りなく近いが=じゃないし　
でも=にしましょうって約束事
0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 10:59:12.63ID:jKXtapY1
>>85
だからその「限りなく近い」の定義を示せと言ってるんだが
示せないならお前の発言はただの雑音だから黙ってろと言ってるんだが
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 14:29:27.67ID:AvhJAkY0
>>1
＞なんか腑に落ちない。
＞騙された気分になる。

大学１年でコーシー列による実数の定義を聞いて
そういうセリフをいう人はたくさんいるけど
それ腑に落として騙されないと
微積の単位取れないし大学卒業できんよ　理系では
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 14:33:49.36ID:AvhJAkY0
>>30
>0.999...は実数じゃない、実数じゃないんだ
>0.999...なんて実数は存在しないんだ

無限小数が受け入れられないせいで
上記のようなこという人もたくさんいるけど
無限小数認めないんなら実数とか要らんから
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 14:39:31.72ID:AvhJAkY0
>>49-50
実数の定義、一度でも確認しましたか？
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …　と
1.0, 1,00, 1,000, 1,0000, …　は
数列としては別ですが、差の数列が
0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, …
なら、任意のε>0について、必ずあるn∈Nが存在して
n以降の項はε未満に入るので、両者は実数として同値です
そういう同値関係が嘘だという人は数学を否定する愚か者なので
即刻大学辞めて数学使わない仕事に就いたほうがいいでしょう
0091１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 14:44:24.35ID:AvhJAkY0
>>61
＞無限小の存在を認めるといろいろ不都合が起こるらしいが
＞じゃあどんな不都合がおこるの？

実数の公理を前提した上で証明された実数論の定理は
どれ一つとして無条件で正しいといえなくなるので
あなたが認める「俺様数」の公理を明確に記載した上で
その公理から定理を証明してくださいね

これが不都合じゃない人はそもそも考えることができない人ですから
学問なんか無理ですよ　山に籠って原始生活でも送ってください
多分２１世紀中に文明人は絶滅するでしょうから
その場合、あなたとその子孫が生き残れるかもしれませんよ
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 14:52:19.92ID:AvhJAkY0
＞「限りなく近い」の定義を示せ
　コーシー列

　正確にいうとコーシー列の条件は
「収束先を一切示さずしてその数列が収束することを示すもの」

　実数を有理コーシー列の同値類として定義するなら
　そのような有理コーシー列の列である実数列がコーシー列の条件を満たす場合
　収束先の実数である有理コーシー列が存在すると証明できる
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 14:56:55.55ID:AvhJAkY0
そもそもなぜ実数を考えたかを理解すべき

ある数を有理数列の極限として表せるが
それ自体は有理数ではありえない場合
いかにしてそれが数として存在すると主張するか？

実数の公理はそのような要請から生まれたと理解すべき
0.999…=1を否定するのは、
そもそもの実数誕生の動機を否定するに等しい
0094１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 14:58:43.30ID:AvhJAkY0
誤解のないようにいっておきたいが
私は実数の公理が絶対の真理であるとは
一言も言っていない

公理はただの前提にすぎない
数学は物理学のような自然科学ではないのだから
真理を探究する学問ではないのである
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 15:01:36.31ID:AvhJAkY0
数学において、公理を直感で正当化することで理解しようとするのは誤りである
公理が直感に沿おうが反しようが、矛盾を導かなければ数学として妥当である

そもそも直感に沿うから矛盾がないとか、
直感に反するから矛盾するとか
いうのが独善なのである
0096１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/07/23(土) 15:10:11.61ID:AvhJAkY0
どうやら「無限小」論者は
「有限回の手続きで一致させられるなら等しい
　有限回の手続きでは任意のε>0について
　差をε未満に近づけられるが一致させられないなら
　無限小の差がある、と言い分けたい」
らしい

そうだとして、その言葉遣いに一体いかなる意味があるのか
動物を殺すと罪を負うから嫌だといって植物しか食わない
ヴィーガンみたいな自分勝手な道徳意識しか感じられない

大体、植物は生物ではないのか？
動かないし神経もないから意識がなく
従って食っても痛いと感じない筈だから
罪がないというのか
これまた実に自分勝手な公理というものだ
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/08/09(火) 20:36:22.93ID:H3nRlW9n
ステマって言われそうだから貼らないけど自分の大学の先生がユーチューブにまさしくそんなサムネの動画あげてたな
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