面白い数学の問題おしえて～な 41問目
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前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 40問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640443648/
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ >>949
そのキーワード出たからもう正解でいいかな
念のため略解
Q上ベクトル空間としてのRの基底Bを任意にとる。（Bの存在は選択公理から導かれる）
b_1∈Bを任意に固定し、２つのQ-線形写像 g,h:R→R を
g(b) = 0 (b=b_1の時), b (b≠b_1の時)
h(b) = b (b=b_1の時), 0 (b≠b_1の時)
となるように定めれば、gはb_1を、hはb_1以外の任意のBの元をそれぞれ周期に持ち、なおかつ g(x)+h(x) ≡ x が成り立つ。 と思ったら >>951 にもっと深い結果があったのでこちらも別方向に掘り下げる追加問題
ここでは関数と言えば定義域が実数全体である実関数を指すものとする。
周期関数の積は周期関数の和で表せるか。 >>954
>>周期関数の積は周期関数の和で表せるか。
「和」は無限和も許して考えますか？ >>955
いや、有限和だけ
無限和許したらきっと各点収束でいくらでも都合良いの作れそうだし sinxとsin√2xの積だと
有限個の周期関数の和としては書けそうもないと思う。 >>959
> ｅｘｐ（ｘ）は周期関数の積で
why? >>961
ああそういうことか
確かに >>953 で構成したg,hを使って e^x = e^(g(x)) × e^(h(x)) と表せるんだな
シンプルな解答でとても良い
想定解は
G(x) = 1 (xが整数の時), 0 (それ以外)
H(x) = 1 (x/πが整数の時), 0 (それ以外)
の積が周期関数の和で表せないことから示すものだった expや1点関数が周期関数の和で書けないのは何で？ expは >>951 参照
一点関数は次のように考えれば良い。
ある関数 f:R→R がn個の周期関数の和で表せる時、適切に正の数 a を選べば f_1(x) := f(x)-f(x+a) はn-1個の周期関数の和で表せる。
同じようにある正の数 b を適切に定めて f_2(x) := f_1(x)-f_1(x+a) とおけば f_2 はn-2個の周期関数の和で表せて…と繰り返せば、
最終的に f_n(x)≡0 が f(x+c) (c∈R) のR-線形和で表せることがわかる。
しかし f を一点関数とすると、f(x+c) (c∈R)をどのように有限個選んでもそれらはR-線形独立であるから、
f は有限個の周期関数の和では表せない。 >>964 訂正
誤：同じようにある正の数 b を適切に定めて f_2(x) := f_1(x)-f_1(x+a) とおけば
正：同じようにある正の数 b を適切に定めて f_2(x) := f_1(x)-f_1(x+b) とおけば
誤：最終的に f_n(x)≡0 が f(x+c) (c∈R) のR-線形和で表せることがわかる。
正：最終的に f_n(x)≡0 が f(x+c) (c∈R) の非自明なR-線形和で表せることがわかる。 >>964-965
なるほど！この消去による判定法かなり有効だね >>966
うん、有効。というか結びつきが強い考え方だと思う。
次の問題を考えてみたら実感できるかも
関数 f:R→R について、次は同値であることを示せ
・f は２つの周期関数の和として表せる
・あるQ-線形独立な実数a,bが存在して、任意の実数xについて f(x) - f(x+a) - f(x+b) + f(x+a+b) = 0 が成り立つ ヒントになるかわからないけど、まずは aZ+bZ = {an+bm: n,m∈Z} 上で２つの周期関数をどう構成すれば良いか考えるのがやりやすいと思う 構成的に出来るの？
f(x)=xのときは非構成的だったから何か超越的な論法がいる気がしたんだけど f≡g+h となる周期関数g,hを定義域全体で構成的に作るのはおそらく無理だと思う
だからまずはそれぞれの関数の制限 g|_(aZ+bZ), h|_(aZ+bZ) がどんな姿になるかを考えるのがやりやすいかも、ということ >>972
多分できるとは思うけど『あるQ-線形独立な実数a,b』にあたる部分がn≧3でどうなるかは注意が必要だと思う
少なくともn=3で『あるQ-線形独立な実数a,b,c』としてしまうと同値ではなくなってしまう
（それぞれ1,π,1+πを周期に持つ３つの関数の和をfとするとおそらく下が必ずしも真にならない）
自分もそこは考えてる所だから、もし何か見つかったら問題として出す等はご自由に >>973
>1,π,1+π
これQ上線形独立じゃないよ あそういうことか
線形独立でないのに3つの和としか言いようがないわけか ユークリッド平面において、距離が1である平行な二直線に挟まれた領域の閉包をリボンと呼ぶことにする。
一辺の長さがnである正方形を覆い尽くすためには、リボンが最低n本必要であることを示せ。 非負整数上の関数ｆを次のように定義する
f(0) = 0
f(n) = m + f(2m-n-1) , m = 2^[log_2(n)]
例
f(1) = 1 + f(2*1-1-1) = 1 + f(0) = 1
f(2) = 2 + f(2*2-2-1) = 2 + f(1) = 3
f(3) = 2 + f(2*2-3-1) = 2 + f(0) = 2
f(4) = 4 + f(2*4-4-1) = 4 + f(3) = 6
f(5) = 4 + f(2*4-5-1) = 4 + f(2) = 7
...
f(100) = 64 + f(2*64-100-1) = 64 + f(27) = 64 + 16 + f(2*16-27-1) = 80 + f(4) = 86
問
(1) f(192616) を求めよ。この値を aとする。
(2) f(b) = 500426 となる b を求めよ。
(3) f(a*10^6 + b) を求めよ。 非負整数上の関数ｆを次のように定義する
f(0) = 0
f(n) = m + f(2m-n-1) , m = 2^[log_2(n)]
例
f(1) = 1 + f(2*1-1-1) = 1 + f(0) = 1
f(2) = 2 + f(2*2-2-1) = 2 + f(1) = 3
f(3) = 2 + f(2*2-3-1) = 2 + f(0) = 2
f(4) = 4 + f(2*4-4-1) = 4 + f(3) = 6
f(5) = 4 + f(2*4-5-1) = 4 + f(2) = 7
...
f(100) = 64 + f(2*64-100-1) = 64 + f(27) = 64 + 16 + f(2*16-27-1) = 80 + f(4) = 86
問
(1) f(192616) を求めよ。この値を aとする。
(2) f(b) = 500426 となる b を求めよ。
(3) f(a*10^6 + b) を求めよ。 >>976
サイズｎの正方形を、n^2 個のサイズ１の正方形に分割し、直径1の円を描く。当然、n^2個の円が描かれる。
円の面積の半分以上がリボンによって覆われた時、「円が隠された」と表すこととすると、
一本のリボンでは、せいぜいｎ個の円しか隠せない。 >>979
リボンを正方形に対して斜めに置いたら最大2n-1個の円を隠すことができるのでは？ >>979 には、明らかな間違いがありました。
「円が隠された」の判断基準を「半分以上」としてしまったけど、丁度半分の場合を除き、「半分より多く」に訂正します。
そして、本質的なものですが、「一本のリボンでは、せいぜいｎ個の円しか隠せない」は
「一本のリボンでは、せいぜいｎ+1 個の円しか隠せない」の間違いです。
これでも、n-1 本のリボンでは、どう多く見積もっても、n^2-1 個の円しか隠せないので、証明が成立します。
>>980
正方形 (0,0),(n-1,0),(n-1,n-1),(0,n-1) の内部及び境界上の格子点(合計n^2個)を
幅1のリボンでいくつ覆えるか という問題になります。
斜めにした場合でも、n+1 個が最大だと思われます。
リボン、{y=0,y=1}は、境界上に2n個の格子点を含みます。このリボンを、原点を中心に、時計方向に
ちょっとだけ回転させると、x軸上の格子点は、全てリボン上にありますが、y=1上にあった格子点は、
(0,1)を除き全て脱落します。代わりに、第二象限上でリボンに乗るが現れますが、カウントされません。
原点ではなく、他の場所を中心にちょっとだけ回転させた場合、
中心の右側ではy=1上の点が脱落、左側ではy=0上の点が脱落します。
n個が最大だと思っていましたが、n+1個が可能だと言うことが判りました。しかし、2n-1個はないと思います。 (0,0),(1,0),(1,1),(2,1),...,(n-2,n-2),(n-1,n-2),(n-1,n-1)で(2n-1)個 >>981
正の数εを十分小さく定めればリボン {x-ε≦y≦x+√2-ε} は格子点 (i,i), (i,i+1) を全て含むでしょう コレ何回か出てきてるよな
なんかの雑誌か新聞かで発表されたんだっけ？
どうやるんだっけ？
なんか王宮の床のペンキ塗りとかなんとかって原題だったよな >>982 >>983
確かにその通りですね。>>979 >>981は取り下げます。 ああ既出なのか、じゃあ解答
正方形 S:=[-n/2,n/2]^2 上の実関数fを f(X)=((n/2)^2-||X||^2)^(-1/2) (||X||<n/2 の時), 0 (それ以外) と定めると、
リボンrについて ∫_(X∈S∩r) f(X)dX ≦ π が成立つ。
一方 ∫_(X∈S) f(X)dX = nπ であるから、有限のリボンの和集合がSを覆うには最低n本必要。 今度こそは、たぶん大丈夫。
直径 x の円を幅 1 のリボンで覆い尽くすためには、ceiling(x) 本のリボンが必要。(※)
サイズ n の正方形は、直径 n の円を含んでいるので、n 本が必要。
(※)は「球台の(曲面部分の)表面積は厚さにのみ依存する」ことを利用して示せますね。 でも既出の解答はそんなんじゃなかったような
確か結構有名な問題で解説してるページとかもあったはずなんだけどな
見つかんない チェインルールの問題です。
z=xy、u=x+2y、v=x-yの時のdz/du、dz/dvをu、vの式で表せ。 面白い問題おしえて～な 34問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
282１３２人目の素数さん2021/01/07(木) 10:58:26.94ID:qXH8YKe5?>>283>>285
計算機使わなくても良さそうな類題ができたので投稿
ユークリッド平面 R^2 上の領域
B = { (x,y)∈R^2 | 0≦y≦1 }
を平面内で回転、平行移動して得られる領域のことをベルトと呼ぶことにする。
正の整数 n に対して、直径 n の円を (n-1) 本のベルトで被覆することは可能か。 類題というかそれが不可能である事を利用してるのが>>987やん >>989
示して下さいとありましたが、>>987の内容に基づき立式したものが>>986 と言えるくらい同じ内容のようです。
どのように繋がるかをちょっと補足すると、単位球面上の点p(u,v,w)近辺の微少面積 s を、xy平面上に射影すると、
s*cosθに変化します。θは、二つのベクトルp=(u,v,w)とt=(0,0,1)間の角度で、cosθ=p・t/(|p|*|t|)=√(1-u^2-w^2)です。
球面上で s であった面積が、xy平面上に射影すると s*√(1-u^2-w^2)に変化します。
逆に、xy平面上の点q(u,w)近辺から、染料を真上に飛ばして、単位球面内を均一に染めたい場合は、
1/√(1-u^2-w^2) に比例するように各所に染料を用意しておかなければならないことになります。
従ってこれを重み関数として設定することは、球台の表面積は厚さにのみ依存しているということを利用して
解いたことに繋がります。
球台の表面積の求め方は探せばいくつかの方法が見つかると思うので省略します。 なんか、たくさんミスってる。
三箇所
誤：√(1-u^2-w^2)
正：√(1-u^2-v^2)
誤：xy平面上の点q(u,w)
正：xy平面上の点q(u,v) イヤ、示さないといけないと思ったのはそこじゃない
R=n/2、Sをℝ³の半径Rの球面、Dをℝ²の半径Rの円盤、中心は原点としてq:D→Sを自然な射影の逆写像、ωをDの面積形式、ηをSの面積形式とすればq*(η)=1/√(1-r²)ωはまぁ容易でしょ？
コレは普通の大学の般教レベルがわかっていれば自明
しかしあなたがレスで当たり前みたいに言ってる
「表面積は厚みだけで決まる」
なんて事当たり前みたいに書いてる教科書見たことないけど 球の体積や表面積の求め方が書かれているサイトや動画はたくさんある。
そのようなものを見て、知識として得ていた。
内容が気になったら、すぐに調べられるよう、>>987ではキーになり得る「球台」という言葉を使っている。
これを調べれば、その事実も、証明方法も見つけられるはずだから。 >>997
そんな奇妙なサイトの知識ベースではなく、きちんとした数学の教科書に根ざした知識て話するようにしないと真面目に勉強した人と話できなくなるよ 何言ってんだか
「積分値は表面積の計算に還元されそれは幅のみで決まる」
「幅のみで決まることを証明してください」
「それは積分すればわかる！積分法はいろんなサイトに載ってる」
完全な循環論法、そもそも空間図形の表面積を積分に還元する方法なんぞ大学の般教レベルやろ
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