調和級数はなぜ発散するのか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/19(金) 22:55:26.08

だってlim[n→∞]1/n=0で、最終的には０＋０＋０＋…になるじゃん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/19(金) 22:57:04.63

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**１３２人目の素数さん** · 2021/11/19(金) 23:09:25.39

正の整数 k に対して
　T(k)=Σ[j=2^(k-1)+1,2^k]1/j
とおくと
　T(k)>Σ[j=2^(k-1)+1,2^k]1/(2^k)
　　　=1/(2^k) * 2^(k-1)
　　　=1/2
である．また任意の正の整数 N に対して
　Σ[m=1,∞]1/m
　>1+Σ[k=1,N]T(k)
　>1+N/2
である．ゆえに Σ[m=1,∞]1/m は発散する．

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/20(土) 02:01:08.81

1+2+3+4+…とか
1-2+3-4+…とか
1+1+1+1+…とかは
発散するけど無理やり収束させることもできるらしいじゃん
同じ方法を使っても1+1/2+1/3+1/4+…は無理みたいだけど
似たような何らかの方法でうまく収束させられたりしないかね

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/20(土) 22:53:47.03

収束するなら Σ[m=1,∞]1/m = α と置ける.
Σ[m=1,∞]1/(2m) = (1/2) * Σ[m=1,∞]1/m = α/2
Σ[m=1,∞]1/(2m-1) = Σ[m=1,∞]1/m - Σ[m=1,∞]1/(2m) = α/2
1/2 = 1/1 - 1/2 < 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
= Σ[m=1,∞]1/(2m-1) - Σ[m=1,∞]1/(2m) = 0 {矛盾}