S_4

=

{id,
(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4),
(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3),
(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3),
(1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2)}

です。

f を G の自己同型写像とします。

そのとき、例えば、

f((1 2)*(3 4)) ∈ {(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3)}

となるのは f が自己同型写像であることと、対称性から明らかだと思いますが、このようなことは証明する必要はありますか？