分からない問題はここに書いてね 470
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
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[[8 2 -5],
[-6 0 5],
[12 2 -9]]
(8-λ)(0-λ)(-9-λ)... とガリガリと計算して
= -(λ^3+λ^-10λ+8)
(λ-1)(λ^-2λ-8)
= (λ-1)(λ+4)(λ-2)
よって λ = 1, 2, -4 だと導き出したのですが、テキストには固有値がなく、この時点で間違っているのかどうかすら分からず。正解の行列Pに合致しません。
固有方程式の過程と固有値を教えていただきPを求める過程を教えてもらえないでしょうか？
テキスト通りにやったつもりなのですが、現状こんな感じで解けません。 単純計算の答え合わせはwolfram先生に尋ねればいいよ >>5
固有ベクトルは一意的ではないので、 P も一意的ではありません。 471が埋まったので
だれか472で立て直してくだちい ここ使えばいいだろ、どうせ問題だしっこ公房と馬鹿アスペしかいない https://i.imgur.com/ZXwnyyf.jpg
赤い線の式の x に A と可換な任意の行列 M を代入することが出来る。
det(x * E_n - A) * E_n
=
x^n * E_n + x^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + x * a_1 * E_n + a_0 * E_n
=
(x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0)
代入すると、
(M - A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)
=
M^n * E_n + M^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + M * a_1 * E_n + a_0 * E_n
=
φ_A(M)
が成り立つことがわかる。 A は A 自身と可換であるから、
φ_A(A)
=
(A - A) * (A^(n-1) * C_{n-1} + A^(n-2) * C_{n-2} + … + A * C_1 + C_0)
=
O * (A^(n-1) * C_{n-1} + A^(n-2) * C_{n-2} + … + A * C_1 + C_0)
=
O
が成り立つ。 したがって、
https://i.imgur.com/ZXwnyyf.jpg
の最下部の計算は、明らかに無駄なことをやっている。 >>14
>>12-13
が正しいことをようやく納得したということですね？ A を任意の n 次複素正方行列とする。
ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、
P^T * A * P は上三角行列になる。
という定理があります。
明らかに、
ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、
P^T * A * P は下三角行列になります。
なぜ、この下三角行列のバージョンの定理は教科書に書かれることが少ないのでしょうか？ A^T に定理を適用して、転置を取ればいいわけですが、
直接、
ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、
P^T * A * P は下三角行列になる
ということを証明している本はないようですね。
同じように証明できるのに、上三角行列のほうを優遇しています。 >>12
間違っている。まず、任意のスカラーλに対して
det(λI - A) * I
= λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)
が成り立つ。特に2行目と3行目に注目すると、
λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0) … (1)
が任意のスカラーλに対して成り立っている。
MとAを可換として、λ を A に置き換えたときに、君は証明なしに
M^n * I + M^(n-1) * a_{n-1} * I + … + M * a_1 * I + a_0 * I
= (M * I- A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)
という等号を導出してしまっているが、この部分は全く自明ではない、と
前スレで既に指摘しているのである。それなのに、君はこの部分を相変わらず
証明なしに等号で結んでしまっている。 正しくは前スレのようにして証明する。まず、
λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0) … (1)
が任意のスカラーλで成立している。右辺を普通に手作業で展開してλ^kごとに整理すれば、
λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= λ^n * C_{n-1} + λ^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + λ * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
が任意のスカラーλで成立することになる。両辺の λ^k の係数を比較すれば(これが大事なポイント！)
a_0I ＝ - A * C_0, a_1I ＝ (C_0 - A * C_1), a_2I ＝ (C_1 - A * C_2), ……
などが成り立つ。要するに、ここで初めて、a_k と C_k の具体的な関係が明らかになる。
そして、「両辺の λ^k の係数を比較する」という操作が可能なのは、以下の補題が理由である。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
補題：n≧0 とする。A_0,…,A_n は d×d の正方行列で、任意のスカラーλに対して
Σ[k＝0～n] λ^k A_k ＝ O とする。このとき、A_0＝…＝A_n＝O である。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
そして、いま手に入った a_0I ＝ - A * C_0, a_1I ＝ (C_0 - A * C_1), …… という等式を用いれば、今度こそ、
M^n * I + M^(n-1) * a_{n-1} * I + … + M * a_1 * I + a_0 * I
= (M * I- A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)
が導出可能になる。君のやり方には、このようなロジックが全く存在していない。だからダメ。 a^2+b^2=c^2+2
を満たす正整数の組(a,b,c)は存在するか。 >>23存在する。
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;;;;;11^2+5^2=121+25=146=12^2+2;;;;
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>>24デカルト。 a^3+b^3=c^3
を満たす正整数の組(a,b,c)は存在するか。 f(x)は3次式とする。
xy平面上の曲線y=e^(-x)*f(x)の接線で、傾き-1/2のものは何本あるか。 本年最後の出題です。傑作中の傑作をご用意いたしました。
解いてください。
a,bは整数、p,qは有理数とする。
p+q√3が方程式x^2+ax+b=0の解であるならば、p,qはともに整数であることを示せ。 紙を折った時、面積が同じなら同じ厚さになりますか？ xy平面上に原点O(0,0)と定点A(1,0),B(0,1)がある。
y=x^3-xのx<0の部分をCとし、C上を動点Pが動く。
∠OPA+∠OPBを最大にする点Pの座標を求めよ。 a,bを相異なる実数の定数とする。
xy平面上の曲線C:y=(x^2021)(x-a)(x-b)について以下の問いに答えよ。
（1）Cとx軸とで囲まれる領域の面積S(a,b)を求めよ。
（2）bがa+b=2022を満たしながら動くとき、S(a,b)の取りうる値の範囲を求めよ。
今日中に解答ください。よろしくお願いします。 2021!/(2^2021)は整数か。
今日中に解答ください。よろしくお願いします。 一般にn!/2^nが整数となるのはn=0のみ
∵) 反例があるとして最小反例は容易に偶数となる
nを最小反例として
[ n/2 ] + [ n/4 ] + ... ≧ n
とすればnが偶数だから[n/2]=n/2
∴[ n/4 ] + [ n/8 ] + ... ≧ n/2
n>0よりn>n/2となり最小反例より小さい反例が得られたから矛盾
あけおめ 本年初の出題です。分からないので教えてください。よろしくお願いいたします。
【問題】
C[2022,n]が奇数になる最小のnを求めよ。 >>38
a,bを実数の定数とする。
方程式sin(ax)=sin(bx)を解け。 ミルナーのモース理論の以下の記述が分かりません
何を読めばわかるとかでも構わないので分かる人いたら教えて下さい(和訳だとp111です)
断面曲率K(U,V)は「光学」の術語で言い表せる
観測者をp∈Mとし，そこから単位ベクトルU∈TMp方向にある1点q=exp(rU)を見る
単位ベクトルW∈TMpに対応するqにおける長さLの小さな線分は，観測者には長さ
L(1+r^2/6*K(U,V))+(rの高次のベキ)
に見える 新年良問出題大会です
a,b,cを実数の定数とする。
実数xが|ax^2+bx+c|≦1を満たしながら変化するとき、|cx^2+bx+a|の取りうる値の範囲を求めよ。 A を実3次直交行列とする。
det(A) = 1 とする。
L_A : R^3 ∋ x -> A*x ∈ R^3 とする。
L_A はある軸の周りの回転であることを証明せよ。 >>45
解けました。
φ_A(λ) = det(λ*I_3 - A) = λ^3 - tr(A)*λ^2 + c_1*λ - det(A) = λ^3 - tr(A)*λ^2 + c_1*λ - 1
φ_A(0) = -1 < 0
lim_{λ->∞} φ_A(λ) = +∞
φ_A は連続関数であるから、中間値の定理によって、 φ_A(λ) = 0 となるような正の実数 λ が存在する。
λ に属する固有ベクトルで長さが 1 であるようなものを t1 とする。
A*t1 = λ*t1
t1^T * t1 = t1^T * A^T * A * t1 = (A*t1)^T * (A*t1) = (λ*t1)^T * (λ*t1) = λ^2 * t1^T * t1
両辺を t1^T * t1 で割ると、
1 = λ^2
λ は正の実数であるから、 λ = 1 である。
グラム・シュミットの直交化法により、 t1, t2, t3 が正規直交基底で右手系をなすようなものが存在する。
3次直交行列 T を T := {t1, t2, t3} で定義する。
T^{-1} * A * T は明らかに行列式が 1 であるような直交行列である。
T^{-1} * A * T * e1 = T^{-1} * A * t1 = T^{-1} * t1 = e1 であるから T^{-1} * A * T の第1列は e1 である。
T^{-1} * A * T の3個の列ベクトルは正規直交基底であるから、 T^{-1} * A * T の第2列、第3列の第1成分は 0 である。
よって、 T^{-1} * A * T = {{1, 0, 0}, {0, a, b}, {0, c, d}} と書ける。
2次正方行列 {{a, b}, {c, d}} は行列式が 1 であるから、回転行列である。
よって、 {{a, b}, {c, d}} = {{cosθ, sinθ}, {sinθ, -cosθ}} と書ける。
よって、 T^{-1} * A * T = {{1, 0, 0}, {0, cosθ, sinθ}, {0, sinθ, -cosθ}} と書ける。
これより、 L_A が、 t1 を方向ベクトルとする原点を通る直線を軸とする角 θ の回転であることが分かる。 >>46
Mathematica風の書き方をするなら、
T := {t1, t2, t3}
ではなく、
T := {t1^T, t2^T, t3^T}^T
と書かないと駄目ですね。
でも、 T := {t1, t2, t3} と書いても、文脈から T は第i列が ti であるような行列であると分かると思います。 お願いします。
Oを中心とする半径1の円に外接する正n角形P1P2...Pnと円内の点Aがある。
OA=aとして、⊿APkPk+1を辺PkPk+1を軸として回転させた立体の体積をV(k)とし、k=1～nのV(k)の合計をVnとする。lim(n->∞) Vnを求めよ。 (Pn+1=P1とする) ↓以下の事実を直感的に説明できますか？
A を 3次実対称行列とする。
L_A : R^3 ∋ x -> A*x ∈ R^3
とする。
ある座標系に関して、 L_A で表わされる3次元空間の点の移動を考える。
原点を動かさずに、うまく座標軸を回転させるとその座標系に関して、この3次元空間の点の移動は、
x_1 -> a*x_1
x_2 -> b*x_2
x_3 -> c*x_3
と表わされる。 >>58
この事実は、代数的に証明してみて初めて分かることですか？ (1) n 次実対称行列 A は、直交対角化可能です。
(2) n 次実正方行列 A は、固有ベクトルのみからなる基底が存在するとき、対角化可能です。
L_A は、(1)の場合が一番分かりやすいです。
L_A は、(2)の場合も分かりやすいです。
(1), (2)以外の場合、 L_A はどんな写像になるんですか？ n = 2 として、 A が回転行列である場合には、(1)でも(2)でもありませんが、 L_A は分かりやすいです。 (1)でも(2)でもない場合に、 A を分かりやすい行列に分解することはできますか？ 前>>27
>>32
y=x^3-x
y'=3x^2-1=1
x=√2/√3=√6/3
y=6√6/27-√6/3=(2-3)√6/9=-√6/9
∴P(√6/3,-√6/9) >>54
立体の形状は簡単につかめるでしょ
だから体積も簡単に出るでしょ
和をとって極限もいけるでしょ
はい出来た、この通りにやってね A を n 次複素正方行列とする。
A の異なる固有値に対する固有空間が直交するならば、 A は正規行列であることを証明せよ。 A の異なる固有値を α_1, …, α_k とする。
α_1 に対する固有空間を V_{α_1}
…
α_k に対する固有空間を V_{α_k}
とする。
V_{α_1} の正規直交基底、…、V_{α_k} の正規直交基底をすべて並べたものは、正規直交系をなす。
この正規直交系が基底になることはどうやって示すのでしょうか？ 佐武一郎著『線型代数学』
特異値についても一応、例として書いてあるんですね。 >>67
なんか成り立たない反例がありそうな気がします。
反例をお願いします。 固有空間は元の空間を分割しますから当然かと思います >>67
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例があるような気がします。
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例を教えて下さい。 佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>67
は成り立たないのではないかと思います。
p.175
定理7
複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。
A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。 訂正します：
佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>66
は成り立たないのではないかと思います。
p.175
定理7
複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。
A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。 >>73
わざわざ、「かつ V がそれらの直和になることが」と書いてあるので、この条件は省けないのではないでしょうか？
>>66
が成り立たない例をお願いします。 前>>64
>>32(別解)
A(1,0),B(0,1),P(p,p^3-p)
加法定理よりcos(∠OPA+∠OPB)=cos∠OPAcos∠OPB-sin∠OPAsin∠OPB
=(→OP・→AP)(→OP・→BP)/(OP・AP)(OP・BP)-sin∠OPAsin∠OPB
=｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝√｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√｛p^2+(p^3-p-1)^2｝-√1-｛p(p-1)+p^2(p^2-1)^2｝^2/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√1-｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p-1)^2
これを微分して=0を与えるpがこれを最小にして∠OPA+∠OPBを最大にするんじゃないか？ >>66
A := {{1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}}
とすると
A は正規行列ではありません。
そして、 A の異なる固有値に対する固有空間は直交します。
したがって、
>>66
はやはり成り立ちません。 a,b,cを実数の定数とする。
（1）|ax^2+bx+c|≦1を満たす実数xが存在するために、a,b,cが満たすべき必要十分条件を求めよ。
（2）実数xが動くとき、|cx^2+bx+a|の最小値をm(a,b,c)とおく。a,b,cが（1）の条件を満たしながら動くとき,m(a,b,c)の最小値を求めよ。 >>75
任意の n 次実正方行列 A が A = Q * S と直交行列と対称行列の積に一意的に分解されるってすごい定理じゃないですか？ >>79
この定理は、どの線形代数の教科書にも載せるべき驚くべき定理ではないでしょうか？
伊理正夫著『線形代数汎論』には書いてありました。
「
連続体の線形な変形を扱うとき、ユニタリ変換（回転や鏡映）を非本質的な変形とみなすと、どんな変形も、適当な直交座標軸を選べば、軸方向の伸縮として表せるということを意味している。
」 ジョルダンの標準形もいいですが、
>>79
この定理を最終目標にして線形代数の本を書くというのもいいかもしれませんね。 実2次形式のシルベスターの標準形って何か意味ありますか？
直交標準形だけでいいように思います。 >>78
結論が気になるのですがこれが分かりません。調べてみるとminに限界があることまでは分かりましたが…
実際解こうとしても、放物線の軸の位置で場合分けしても場合分けだらけでそれ以上進めませんでした。何か別の発想が必要だと思うのですが分かりません。
よろしくお願いします。 なぜ、内積を以下のように定義しないのでしょうか？
C^n の標準内積を先に勉強した読者にはこの定義が分かりやすいと思います。
V を C 上のベクトル空間とする。
V × V から C への関数 f が、ある V の1つの基底 v_1, …, v_n に対して、、
f(v, w) = x_1*conjugate(y_1) + … + x_m*conjugate(y_n)
（ただし、 v = x_1*v_1 + … + x_n*v_n, w = y_1*v_1 + … + y_n*v_n とする。）
とかけるとき、 f を V 上の内積という。 >>84
通常の内積の定義と一致しますが、こちらのほうが分かりやすいです。 Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』が明快すぎます。 ならそれ読んでればいいだろ
何でわざわざ「分かりにくい本」を読んで批判してんの？ なんでそんな表現をするのか分からないからというある意味でメタな視点の疑問だろうな
こういう系の質問は似たようなものを連投できるようだし、キリがないようなら禁止すべきかもしれない >>78
どなたか解説お願いします
文字が多くなりすぎて計算では処理できず方針が立ちません (1)は有名問題ですね
解法が天下り的なんで知ってるかどうかですな そうなの？aの正負で場合わけして最小値(もしくは最大値)が1以下(-1以上)になればええとちゃうの？ >>96
だよね。
a=0,b=0 なら単純に |c|≦1でxは任意の実数でよい。
a=0,b≠0なら、cが何であっても|bx+c|≦1となるxは存在する。
a≠0の場合は >>96の通り。 佐武一郎著『線型代数学新装版』
p.29 「われわれはこれらの結果を見越して最初からこの形の行列によって複素数を定義したのである。」
これが何を言っているのか分かりません。
解説をお願いします。 >>87 >>93
出題者では無いが、出題者が想定している解答方針は
|ax^2+bx+c|≦1
を
ax^2+bxy+cy^2 = t, |t|≦1,y=1
と読み替えさせるものだと思われる。
・yを導入することで、どのような見方が可能になるのか？
・tの変化で、図がどのように変化するか？
この辺に注目すれば、見通しが良くなると思う。 佐武一郎著『線型代数学新装版』
p.29 「われわれはこれらの結果を見越して最初からこの形の行列によって複素数を定義したのである。」
この文の直前で、なぜ、 {{a_1, -a_2}, {a_2, a_1}} によって、 a_1 + a_2 * i を表現するのかを説明していると思われます。
それがさっぱり分かりません。
説明をお願いします。 J := {{0, -1}, {1, 0}} とおくと、
J^2 = -E = {{-1, 0}, {0, -1}} になることから、
{{a_1, -a_2}, {a_2, a_1}} = a_1 * E + a_2 * J が複素数を表現するというのは明らかで、妙な説明など付け加える必要などないと思うのですが。。。 >>100
それと、 p.27の問2により、 s を任意のゼロでない実数、 t を任意の実数として、
2×2 行列 {t, -(t^2+1)/s}, {s, -t}} を J として用いることができることも分かります。
2×2 行列 {t, -(t^2+1)/s}, {s, -t}} は2乗すると、 -E になるからです。
佐武一郎さんは、 s = 1, t = 0 を選択したわけです。 >>99
あーなるほど
x=1を代入すると（2）になるってことでもあるんですね
こんなのよく思いつくなーと感心します
99さんもよく見破りましたね… キーとなるのは、p.27の問2です。
X^2 = -E となるような X さえ手に入れてしまえば、 a + b*i を a*E + b*X で表わすことができるのは明らかだからです。
不可解なのは、訳のわからない説明をなぜ、さらに付け加える必要があったのか、です。 >>100
誰も説明できないということは、佐武一郎さんの説明に問題があるのかもしれませんね。 佐武一郎著『線型代数学』
代数学の基本定理
と
実係数の多項式が実1次多項式と実2次多項式の積に分解されるという定理
が同値であると書いてありますが、意味不明です。
フェルマーの定理とフェルマーの小定理はどちらも真な命題なので同値ですが、わざわざそんなことを書く人はいません。 自己紹介乙
>わざわざそんなことを書く人はいません。 佐武一郎さんの『線型代数学』を読んでいると、数学力がしっかりしているなと感心します。
齋藤正彦さんの本では、そのような感じは全く受けません。 実数上で連続な関数fが
任意のxに対し
f(x+1)*f(x-1)-f(x)^2=1
を満たすとします
xが整数ならばf(x)も整数であるとき
関数fは
f(x)=((3+√5)^x+(3-√5)^x)/(2^x*√5)
を横に半整数分平行移動させたもの以外には存在しないのでしょうか いやf(x)が条件満たすときf(x+sin(πx))も条件満たすんじゃない？ あ、sin(2πx)ずらさないとだめかな
x,x+1,x-1でのずらし量が同じで整数のときずらし量0になってればいい ほんとだ、たしかに満たしますね
面白いです
元の形状が
f(x)=((3+√5)^x+(3-√5)^x)/(2^x*√5)
以外のものはあるんでしょうか -でもありそうだけどな
(a^x-a^(-x))/(a-(1/a))
とタイプでできそう 友達から急にLINEで送られてきた問題
トレジャークエスト
“天神の遺産”
暗号を解き、ワールドのどこかに隠された財宝を見つけよ。
・難易度：低
・財宝の質：低
暗号本文
X,Y,Znear
X!=13763753091226300×10^27
(ax^3)-(bx^2)+c-1=0
a=X,b^2=4489,c=((64^-1)+(169^-1))×10816
→Y
AB=62,AC=73,A=52°
Z=ABC
出題者から
ヒントは一切ありません。範囲としては代数学・解析学・幾何学の基礎なのでとても簡単です。（出題者は一時間で解き終わった）
天神は端を嫌う
何かのコピペなのか知らないけどさっぱり分からん >>120
マイナスだと
f(x)^2-f(x+1)*f(x-1)=1
になるんですよね すべての実数xについて
f'(x)=f(x+1)
を満たす微分可能な関数f(x)を求めよ。 >>122
せやね
あかんね
そもそもよくよく考えたら
・ac-b^2=1というa,b,cを選ぶ
・f(1).=a,f(0)=b,f(-1)=cとなる[-1,1]で定義された連続関数をなんでもいいからひとつ選ぶ
・f(x+1)f(x-1)-f(x)^2=1を漸化式と思って延長する
で「xが整数のとき整数値」以外の条件は全部満たされるから結局この問題
「f(x+1)f(x-1)-f(x)^2=1を漸化式と思って整数全体に定義域を広げても全て整数値をとる(a,b,c)の組みがどれくらいあるのか」って話だな
いわゆる“Somos dequence”のタイプの問題
確か最初の何項かが整数なら後全部整数になるとかそんな形で解決してたような
Laurant phenomenon
とかいうタイトルの論文に書いてあったような f(x)^2-f(x+1)*f(x-1)=1
に関しては
0,1,-1,0,1,-1,0,1,-1,…
f(x)=(2sin(2πx/3))/√3
0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,…
f(x)=sin(πx/2)
0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,…
f(x)=(2sin(πx/3))/√3
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
f(x)=x
0,1,3,8,21,55,144,377,…
f(x)=((3+√5)^x-(3-√5)^x)/(2^x*√5)
0,1,4,15,56,209,816,…
f(x)=((2+√3)^x-(2-√3)^x)/(2√3)
って感じで無限に存在するんですけど
f(x+1)*f(x-1)-f(x)^2=1
は今のところ
1,2,5,13,34,89,233,…
f(x)=((3+√5)^x+(3-√5)^x)/(2^x*√5)
しか見つけられてないんですよね >>119
できた
そもそも>>127で書いた通りf(-1),f(0),f(1)をf(1)f(-1)-f(0)^2=1となる整数に選んでしまえば残りは[-1,1]で連続になるように好きに選べるから事実上f(-1),f(0),f(1)の選び方の自由度しかない
f(n)を整数上だけに制限したものをa[n]とおく
a[n]として許されるのは(a[-1],a[0],a[1])=(1,1,2)と選んだ場合とそのシフトと変換a[n]→a[n](-1)^nを施して得られるものしかない
まず0が出てこれないのは容易
変換を施して隣接2項が共に正であるようにとれる
すると漸化式より全項正
a[n]<√(a[n]^2+1)=√(a[n-1]a[n+1])
により“凸”である正の整数列だから最小値を持つ
シフトしてa[0]が最小としてよい
もしa[1],a[-1]≧a[0]+1なら
a[1]a[-1]-a[0]^2≧2a[0]+1>1
で矛盾
よってa[1],a[-1]のいずれかはa[0]に等しい
やはり必要ならシフトしてa[-1]=a[0]としてよい
このとき
1 = a[1]a[-1]-a[0]^2 = a[0](a[1]-a[0])
によりa[0]=1,a[1]=2
またこのとき条件が満たされるのは>>114の一般項の表示から明らか ちょい訂正
整数だけに制限されてれば正負入り混じる事が可能だけどf(x)は0を取れないから実数全体に延長できるためには全部同符号でなければならない
なので一般解は
(f(-1),f(0),f(1))=(1,1,2),(-1,-1,-2)
のいずれかを[-1,1]で0にならないよう繋げて実数全体に延長したものを整数シフトしたもの
やね >>129-130
なるほど、では1,1,2タイプしか存在しないのですね
ありがとうございました >>132
遅延微分方程式。普通の微分方程式より多くの解がある。 >>136
へえ、やはり研究されてるんだね
でも全てのxで定義されてる非自明解ってほんとにあるの？ f’(x)=f(x+π/2)ならsinxがあるわけですからなんかあるんじゃないですか？ f(x)=e^(ax)cos(bx)の係数調整でいけるんかな
ランベルトのW関数使って-W_n(-1)=a+bi
(例えばn=0のときa=0.3181315…, b=-1.3372357…)
近似計算だと途中で指数的に誤差デカくなって全域で上手くいってるのかよく分からんけど ランベルトの複素関数的性質よく分からんけど
e^(a)cos(b)=a
e^(a)sin(b)=b
を連立してるだけだから問題は無さそう…？ p<qである有理数p,qに対し、p<a<qを満たすできる限り初等的な無理数aの例を1つ挙げ（p,qで表し）、またaが無理数であることを説明せよ。 >>141
これってpとqを内分する無理数を上手く取ることはできませんか？ >>145
ありがとうございます
√を使って内分するとできるんですね
理解できました nCkが整数であることを、「組み合わせの数だから整数になる」という言い方を使わず、数式だけで説明するにはどうしたらいいですか？ 二つの級数 Σa_n, Σb_n が与えられたとき、 a_i * b_j = a_{ij} とおく。いま、自然数の組 (i, j) の全体を一列に並べると級数 Σc_{ij} が定まる。
これらの級数について次の定理が成り立つ。
定理15.
Σa_n と Σb_n とが絶対収斂するならば、 Σc_{ij} も絶対収斂して
Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n.
特に、 c_n = a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n とおけば、 Σc_n は絶対収斂し
Σc_n = Σa_n * Σb_n. 後半の証明ですが、
|c_n| = |a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n| ≦ |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n|
d_n = |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n| を第 n 項とする級数 Σd_n は収斂級数 Σ|c_{ij}| 「部分級数」であるから収斂する。
よって、 Σ|c_n| は収斂する。
Σc_n は Σc_{ij} の「部分級数」であるから Σc_{ij} と同じ値に収斂する。
ゆえに、
Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n. 訂正します：
後半の証明ですが、
|c_n| = |a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n| ≦ |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n|
d_n = |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n| を第 n 項とする級数 Σd_n は収斂級数 Σ|c_{ij}| の「部分級数」であるから収斂する。
よって、 Σ|c_n| は収斂する。
Σc_n は Σc_{ij} の「部分級数」であるから Σc_{ij} と同じ値に収斂する。
ゆえに、
Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n. Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n
が成り立ちますが、
Σ|c_n| ≦ Σ|c_{ij}| = Σ|a_n| * Σ|b_n|
ですよね。
これって不思議じゃないですか？
Σ|c_n| < Σ|c_{ij}| となるような例を教えて下さい。 12345...2021 × 9999 ＋ 2022
を計算したときの、各位の数字の和
って求まりますか？ 点Ｐから△ＡＢＣの各辺ＢＣ,ＣＡ,ＡＢに垂線を下した時の交点をＬ,Ｍ,Ｎとする。
点Ｐを中心とする円に対してＬ,Ｍ,Ｎを反転させた点をＬ’,Ｍ’,Ｎ’とする。
（１）ＡＬ,ＢＭ,ＣＮが一点で交わるのは点Ｐがどういう条件を満たすときか？
（２）ＡＬ’ＢＭ’ＣＮ’は一点で交わることを示せ。 >>153
12345…2021って何？
123456789101112131415……2018201920202021
ってこと？ x>0 に対して -x-coshxsinhx+2(sinhx)^2/x<0 になりますでしょうか。 A, B を n 次複素正方行列とし、 A*B = B*A が成り立つとする。
(I_n + A + (1/2!)*A^2 + (1/3!)*A^3 + …) * (I_n + B + (1/2!)*B^2 + (1/3!)*B^3 + …) = (I_n + (A + B) + (1/2!)*(A + B)^2 + (1/3!)*(A + B)^3 + …)
が成り立つ。
A, B が 1 次複素正方行列の場合と同じように証明するにはどうすればいいですか？ >159
-x^2-xcoshxsinhx+2(sinhx)^2<0 on (0,∞)
が3階微分で示せたのでできました。
もし取り組んで下さった方がおりましたらありがとうございました。 >>147
nCk=n(n-1)…(n-k+1)/k!
で分子は連続するk個の整数なのでkで割った余りは0,1,2,…k-1を一つずつ取る。
分子はk以上の数の積。よってiの倍数(1≦i≦k)をいずれも含みnCkは整数。 >>147
nの階乗を素因数分解した時、素因数pの指数qは、
q = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + [n/p^4] +... = Σ[t=1,∞]([n/p^t])
で計算できます。
C[n,r]=n!/((n-r)! r!) なので、C[n,r] を素因数分解した時、素因数pの指数qは、
q = Σ[t=1,∞]([n/p^t] - [(n-r)/p^t] - [r/p^t])
で計算できますが、一般に、
[(a+b)/k] ≧ [a/k] + [b/k]
である事を考えれば、q≧0が分かる。
C[n,r]の任意の素因数について、指数が非負であることが示せるので、C[n,r]は整数だと結論できます。 平面上に２点Ａ，Ｂを結ぶ直線ＬとＡ，Ｂの中点Ｏがある．
ＯＡ＝1,ＯＢ＝1とするき定木のみを用いてＬ上に作図できる点を考えるとき
任意の有理数を作図することは可能なのでしょうか？ >>147
パスカルの三角形で帰納法使えばいいんじゃないかな ア・ゲ・クローシュ著『代数学教程2』に、
「一般に、有限または無限でさえあってよいが素数の任意の集合をとり、既約形の分母がいまとった集合に属する素数だけで割り切れる有理数系を
考えれば、同じく環を得るであろう。」
と書いてあります。
1/7 + 6/7 = 1/1
です。 1 は素数では割り切れません。
これはどういうことでしょうか？ >>152
疑問の意図が読み取れてないかもしれないけど例えば
an:1,1,0,0,0,...
bn:1,-1,0,0,0,...
なら
cn:1,0,-1,0,0,0,...
だからΣ|c_n| < Σ|c_{ij}|になるんでは nは自然数で、n≧2とする。
(n^2+1)/(n+1)は整数になるか。 (n^2+1)/(n+1) -(n-1) = 2/(n+1) ∈ (0,1)
ならない a,bが互いに素な整数のとき、
ax+by=1
となる整数x,yを具体的にa,bで表すことは出来るのでしょうか。存在について証明する入試問題は見たことがあるのですな あれ、これ前のスレでもあったような
オイラーのφ関数使って
x=a^(φ(b)-1),y= (a^φ(b)-1)/b
(後者はオイラーの定理から整数になる) ア・ゲ・クローシュ著『代数学教程2』に、
「加法の結合律から同様にして、正の整係数 n をもつ、元 a の倍元 n*a の概念に導かれる。」
と書いてあります。
n*a の定義に加法の結合律なんて必要でしょうか？ (a * a) * a ≠ a * (a * a)
となるような演算の例をあげてください。 >>181
非可換環で、そのある元 a に対して、
(a * a) * a ≠ a * (a * a)
となるような演算の例をあげてください。 環なら可換だろうが非可換だろうが結合律が定義に入ってるだろうが
なんでそんな馬鹿なん？ 分配多元環で、そのある元 a に対して、
(a * a) * a ≠ a * (a * a)
となるような演算の例をあげてください。 分配多元環で、そのある元 a に対して、
(a * a) * a ≠ a * (a * a)
となるようなものは存在しますか？ クローシュの本には、環の定義から結合律を除いた公理を満たす集合を非結合環と書いていますね。 微分可能な増加関数f, gが
f(1)>g(1),
x≧1で f'(x)≧g'(x)
をみたすとき、x≧1で f(x)>g(x) といえますか。 f(x)=f(1)+∫(1->x)f'(t)dtの形で比較 松坂和夫著『代数系入門』の第3章「環と多項式」に加法群の自己準同型全体の集合が環になるということを例でチェックしています。
加法群 A から A への単なる写像の集合も環になりますが、なぜその部分環である自己準同型環をわざわざ例で扱っているのでしょうか？ a * (b + c) = a * b + a * c が成り立ちませんね。
(b + c) * a = b * a + c * a のほうは成り立ちますね。 >>193
松坂和夫さんは、いかにもこういうことを注意書きしそうですが、していません。
らしくないですね。 なぜ人の言うことを聞く気がないのに質問するのでしょうか？ 聞こえの良い回答を摘まみ食いしたい根性から卒業できないからじゃね？ >>194
どうしてそこで左分配則だけが成立する代数系を調べてみよう、なんて思わないんだろ。 左分配則だけが成立する代数系てなんかあるんですか？ 流れがわからないけど
和は普通の和
積は常に第1引数（第2引数）を返す2項演算
みたいなのを考えれば変なのが作れるんでは 次の二項係数の比の極限を求めよ。
lim[n→∞] C[n^2+2n,n]/C[n^2+3n,n] >>201
それは分かります
求める過程が分かりません 三角形ABCの中に点Pを取った時にAB+AC>PB+PCを証明せよという問題が分かりません。
大学の教養教育の問題です。誰か助けて >>204
高校1年で習う範囲
チャート式にそのまんまの例題が載ってるから本屋行って見てきたら >>204
点 B と P を結ぶ直線と線分 AC との交点を Q とする。
三角不等式より、
BA + AQ > BQ = BP + PQ
PQ + QC > PC
これらの不等式の左辺同士、右辺同士を足し合わせて大小を比較すると、
BA + AQ + PQ + QC > BP + PQ + PC
BA + AQ + QC > BP + PC
BA + AC > BP + PC 今日も「解いた側」の圧勝かぁ・・・。
毎日毎日、ラクラク解ける問題ばかりだから常勝なんだよね・・・。
たまには、解けない解けないっと悩んで負けてみたい、それが今の切実な悩み。 >>198
「左分配則」というのが
>>193
のどちらの等式を指すのでしょうか？
それが、 a * (b + c) = a * b + a * c のほうだとすると、
加法群 A から A へのすべての写像の集合の積（写像の合成）を * として、
加法群 A から A へのすべての写像の集合上の新たな積 × を、
a × b := b * a
と定義すればいいのではないでしょうか？ >>200
C[n^2+2n,n]/C[n^2+3n,n]
=[(n^2+2n)...(n^2+n+1)]/[(n^2+3n)...(n^2+2n+1)]
=1/[(1+(n/(n^2+2n))...(1+(n/(n^2+n+1)))]
=1/[(1+(1/(n+2))...(1+(1/(n+1+(1/n))))]
よってC[n^2+2n,n]/C[n^2+3n,n]の逆数は
Pn:={1+(1/(n+1)}^nより大きくQn:={1+(1/(n+2)}^nより小さいが
いずれもn→∞でeに収束するので求める極限は1/e >>211
PnとQnの大小が逆だったが趣旨は特に変わりないはず 連続関数f(x)が
・f(0)=0
・a≦f(b)を満たす任意の正の数a,bに対して f(a)≦f(b)
をみたすとき、x≧0においてf(x)≦x といえますか。 >>200
スターリングで求めるなら
与式= {(n²+2n)!(n²+2n)!}/{(n²+3n)!(n²+n)!}
= √{2π(n²+2n)} * {(n²+2n)/e}^{n²+2n} * .. / .. .. + o(1)
= (1+2/n)^{2n²+4n} * (1+3/n)^{-n²-3n} * (1+1/n)^{-n²-n} + o(1)
= (1+4/n+4/n²)^{n²} *(1-3/n+9/n²-...)^{n²} *(1-1/n+1/n²-...)^{n²} * e^{8-9-1} + o(1)
= { 1 +1/n² + O(1/n³) }^{n²} * e^{-2} + o(1)
= 1/e + o(1) >>210
イヤイヤ、そういう技術的定義の問題ではなく、
左分配則が成り立たない代数はどう特徴づけられるか、を考えたらどうですか、という老婆心。
例えばとして、こんな命題（真か偽かは知らんよ）を考えて見たくならない？。
集合Aには二つの演算 + と * が定義されており、
+に関しては可換群をなし、 * と + については右分配則は成立するが左分配則は成立しないとする。
ことのとき、適当な可換群XをとればXからXへの写像の全体Bにかくかくしかじかの演算（今話題にしている演算のことね）を定義すれば、
AとBは次の意味で同型である、
なんて話。
書き足りない部分は適当に想像して補ってね。 >>217
＞書き足りない部分は適当に想像して補ってね。
すぐ著者のせいにする松坂くんにそれは酷というものだ p を素数とする。
G を Z_p を成分とする行列式が 0 でない 2 次正方行列全体からなる乗法群とする。
#G を p の式で表わせ。 >>219
A = [ a ,b ; c, d ], a ,b , c, d ∈ Z_p
ad ≠ bc (mod p)
(1) ad = 0
a=0, a≠0 で場合分けして, (a, d) の組は p + (p-1) = 2p-1 通り
b,c は 1,..,p-1 つまり (b,c) : (p-1)² 通り
(2) ad ≠ 0
ad=k(≠0) と a(≠0) を固定すると d=k*a^{-1} で一意に定まるので (k, a) : (p-1)² 通り
ここで bc=k' (≠k) と置く
(2-1) k' = 0
b=0, b≠0 で場合分けして, (b,c) : 2p-1 通り
(2-2) k' ≠ 0
(k',c) つまり (b,c) : (p-2)(p-1) 通り
(1),(2) より
#G = (2p-1)(p-1)² + (p-1)²(2p-1 + (p-2)(p-1))
= p(p+1)(p-1)²
(もっとエレガントな解法がありそう)
検算(PARI/GP)
? p=prime(17)
= 59
? cnt=0; for(a=1,p,for(b=1,p,for(c=1,p,for(d=1,p, if((a*d-b*c) % p != 0, cnt++))))); cnt
= 11908560
? p*(p+1)*(p-1)^2
= 11908560 n∈Z⊂Z_p に対して [[1 n][0 1]]∈G だから、正解は #G=∞ じゃないの ついでに，
k=F_qをq元体，V=k^2をk上の2次元ベクトル空間とする．
G=GL(2,k)の元は(v,u), v,u はVの１次独立な元と書ける．
v∈Vは0でない任意の元ととれるから，選び方はq^２－１．
uはVの直線kv上にない元だから，選び方はq^2-q.
よって，#G=(q^２－１)(q^２－q).
同様の考え方で
#GL(n,k)=(q^n-1)(q^n-q)...(q^n-q^(n-1))
も分かる． G を群とする。
i を整数とする。
(a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}
(a * b)^{i+2} = a^{i+2} * b^{i+2}
がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。
このとき、 G は可換群であることを示せ。 ab = ( RHS of ② ) × ( RHS of ① )^(-1) = a^(i+1)ba^(-i)
ab = ( RHS of ③ ) × ( RHS of ② )^(-1) = a^(i+2)ba^(-i-1)
∴ a^(i+2)ba^(-i-1) = a^(i+1)ba^(-i)
∴ ab = ba (a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}
(a * b)^{i+2} = a^{i+2} * b^{i+2}
(b * a)^i = a^{-1} * (a * b)^{i + 1} * b^{-1} = a^{-1} * (a^{i+1} * b^{i+1}) * b^{-1} = a^i * b^i
なので、
(a * b)^i = (b * a)^i
同様にして（i を i + 1 に置き換えて、同様の式変形をすると）
(a * b)^{i + 1} = (b * a)^{i + 1}
c := (a * b)^i = (b * a)^i とおく。
(a * b) * c = (a * b) * (a * b)^i = (a * b)^{i + 1} = (b * a)^{i + 1} = (b * a) * (b * a)^i = (b * a) * c
∴ a * b = b * a ところで、この問題の次の問題が以下の問題です：
G を群とする。
i を整数とする。
(a * b)^i = a^i * b^i
(a * b)^{i+1} = a^{i+1} * b^{i+1}
がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。
このとき、 G は可換群であるとは言えないことを示せ。 (a * b)^0 = a^0 * b^0
(a * b)^1 = a^1 * b^1
は任意の群で成り立つ。
群の中には非可換群が存在する。 もし、
>>230
の問題が試験で出題された場合、
>>231
この解答でOKですか？ >>230
の問題は別に任意の i, i + 1 に対して成り立つことを仮定していません。
ある i, i + 1 に対して仮定が成り立つが、 G は非可換でありえるということを示せば十分なはずです。 だからそういう当たり前の束縛をキチンと書けないからアホなんだよ
>>226はエスパーしてやったがそういう当たり前の束縛をキチンと記述できないのがアホの証なんだよ >>225
この2つの問題はある教科書に載っている問題です。 >>236
教科書に載ってる文章だろうがなんだろうが>>235を読んで「ああ、そうだ、その通り」って思えないからさらにアホなんだよパープー 吉祥寺より西の音大を卒業したピアノレッスンプロとかならすべての時代で比較しても最高峰のピアノの弾き手気分丸出しで高ビーにご指導なさりますかもしれませんね。 a^2+b^2=c^2を満たす正整数の組(a,b,c)全体からなる集合をSとする。
(d-e)^2+e^2=f^2を満たす正整数の組(d,e,f)全体からなる集合をTとする。
このときS∩Tについて述べた以下の①から③のうちで正しいものを選び、その理由を述べよ。
①空集合である
②空集合でない有限集合である
③無限集合である △ABCにおいて、BD:DC=1:2に内分する点D、CE:EA=1:2に内分する点E、AF:FB=1:2に内分する点Fをとる。
ADとBEの交点をP、BEとCFの交点をQ、CFとADの交点をRとする。以下の比を求めよ。
(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA) 以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。
G を空でない集合である。
G に結合法則を満たす２項演算が定義されているとする。
この２項演算に関して、 G には右単位元が存在するとする。
この２項演算に関して、 G には G の任意の元に対して、その左逆元が存在するとする。
この２項演算に関して、 G は群ではない。 訂正します：
以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。
G を空でない集合である。
G の上の２項演算は結合法則を満たす。
この２項演算に関して、 G には右単位元が存在する。
この２項演算に関して、 G には G の任意の元に対して、その左逆元が存在する。
この２項演算に関して、 G は群ではない。 訂正します：
訂正します：
以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。
G は空でない集合である。
G の上の２項演算は結合法則を満たす。
この２項演算に関して、 G には右単位元が存在する。
この２項演算に関して、 G には G の任意の元に対して、その左逆元が存在する。
この２項演算に関して、 G は群ではない。 訂正します：
以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。
G は空でない集合である。
G の上の２項演算は結合法則を満たす。
この２項演算に関して、 G には右単位元が存在する。
この２項演算に関して、 G には G の任意の元に対して、その左逆元が存在する。
この２項演算に関して、 G は群ではない。 あ、わかりました。
G = {e, a}
e * e = e
e * a = e
a * e = a
a * a = a
と G とその上の２項演算を定義すると G は
>>247
の条件をすべて満たします。 有限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation law および left cancellation law が成り立つとする。
このとき、 G は群であることを証明せよ。 結合律と左簡約律により積準同型G→Aut(G)を得る
右簡約律よりこれは単射なのでGは有限群Aut(G)の積閉集合として有限群になる 運用板にて
https://agree.5ch.net/test/read.cgi/operate/1600543268/26
> [ 運用情報 ] 当分お断りしております。
> 26 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]： 2020/12/27(日) 06:19:42.85 ID:TP6kegao0
> どうしたら書きこめる？
> 三角比を使わずに解いたって、伝えてくれ。 >>249
a を G の任意の元とする。
S_a : G ∋ x -> x * a ∈ G
T_a : G ∋ x -> a * x ∈ G
とする。
right cancellation lawにより、 S_a は単射。 G は有限集合だから、 S_a は全単射。
left cancellation lawにより、 T_a は単射。 G は有限集合だから、 T_a は全単射。
T_a は全射だから、 S_a(x) = a を満たす x ∈ G が存在する。
b を G の任意の元とする。
S_a(T_b(x)) = T_b(S_a(x)) = T_b(a) = S_a(b)
S_a は単射だから、 T_b(x) = b
∴ x は G の右単位元である。
b を G の任意の元とする。
T_b は全射だから、 T_b(y) = x を満たす y ∈ G が存在する。
∴ b は右逆元をもつ。
以上より、 G は群である。 有限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation lawが成り立つとする。
群にならない G の例をあげよ。 あ、簡単ですね。
G = {a, b}
a * a = a
b * a = a
a * b = b
b * b = b
とすれば、結合法則は明らかに成り立ちます：
○, △ を任意の G の元とする。
（○ * △） * a = a
○ * (△ * a) = ○ * a = a
（○ * △） * b = b
○ * (△ * b) = ○ * b = b
a * b = b だから b は単位元ではない。
b * a = a だから a は単位元ではない。
よって、 G には単位元が存在しない。
∴ G は群ではない。 無限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation law および left cancellation law が成り立つとする。
群でない G の例をあげよ。 あ、瞬間的に答えが思い浮かびました。
N （1以上の整数の集合）
演算は通常の加法
演算に関して閉じているのは明らか。
結合法則が成り立つのも明らか。
単位元は存在しません。 n > 2 とする。
位数 2*n の非可換群を作れ。 1～5のうち、AとBの単語の関係が、CとDの単語の関係と等しくないのはどれか。
1 A:整数 B:偶数 C:男性 D:太郎
2 A:食べる B:果物 C:読む D:新聞
3 A:速い B:遅い C:高い D:低い
4 A:東京 B:日本 C:松江 D:島根県
5 A:風邪 B:発熱 C:徹夜 D:眠気
答えが1らしいのですが、どう解けばいいでしょうか。 A is to B what C is to D って構文を思い出した aを実数とし、α=a+ia^2と表される複素数αを考える。ここでiは虚数単位である。
aが0≦a≦1を動くとき、複素数平面上の点P(αexp(α))が動いてできる曲線の長さを求めよ。
ただし複素数βが表す複素数平面上の点XをX(β)と書く。 太郎がマンコつきチンコなしの場合などを考えれば、他と全然違うのはカンですぐに分かるんじゃない
公的試験ならめんどくさい人たちが噛みついてくる可能性があるから、太郎が♀の場合を考慮する必要がある 偶数は整数の一部
太郎は男性の一部
だから1番もABとCDの関係が等しいと思ったのですが >>243
メネラウスの定理より、
(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(1/2)(3/7)=3/14 スレタイを「分からない数学の問題はここに書いてね」にしようか 漸化式 a[n+1]=(Aa[n]+B)/(Ca[n]+D) , a[0] ∈ 複素数
複素数a[n]がすべて同一円周上にあるためのA,B,C,D,a[0]の条件は？ αを複素数の定数とする。
複素数平面上の原点O(0)とA(α)を結ぶ線分OA上を点P(z)が動く。
（1）直線OAを表すαの式を求めよ。
（2）w=z^2-zが表す図形はどのようなものか述べよ。 α、β(α≠β)を0とは異なる複素数とし、複素数平面上の3点O(0)、A(α)、B(β)と、△OABの外接円Cを考える。
OからABに垂線を下ろし、その延長とCとの交点をP(w)とする。
wをαとβで表せ。 272は軌跡の限界が分かりません。
273は円C上にあることをどう式にしたらいいか分かりません。
ご教授よろしくお願いいたします。 >>266
偶数は整数の半分だけど太郎は男性の半分ではないからでは？ 1から10までの数字を4つ選んで和が28になる組み合わせは何通りか。(同じ数字は一度しか使えない)
10.9.8.1 10.9.7.2 10.9.6.3 10.9.5.4
10.8.7.3 10.8.6.4 10.7.6.5
9.8.7.4 9.8.6.5
上の9通りにしか思いつかないんだが、答えは11通りになってる。何が抜けてる？ >>266
太郎が男性とは限らない
蓋然性と可能性の違い そんなこといったら
松江だって市のことじゃなくて女の名前かもしれんし 1が正解である理由を教えてほしいと言ってるのにその屁理屈いるか？
まあ問題がガバガバなのはわかるが 前>>267訂正。
>>243
Aを起点にメネラウスの定理より、
(AF/FB)(BC/CD)(DR/RA)=1
(1/2)(3/2)(DR/RA)=1
DR/RA=4/3
対称性よりEP/PB=4/3
Ｂを起点にメネラウスの定理より、
(BP/PE)(EC/CA)(AP/PD)(DC/CB)=1
(3/4)(1/3)(AP/PD)(2/3)=1
AP/PD=6
AR:RP:PD=3:3:1
RP=(3/7)AD
対称性よりPQ=(3/7)BE,QR=(3/7)CF
図を描き考えた。
∴(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(7/9)(3/7)=1/3 >>277
プログラムに検索させてもその９通りになった。
> cm[rowSums(cm)==28,]
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 8 9 10
[2,] 2 7 9 10
[3,] 3 6 9 10
[4,] 3 7 8 10
[5,] 4 5 9 10
[6,] 4 6 8 10
[7,] 4 7 8 9
[8,] 5 6 7 10
[9,] 5 6 8 9 >>279
ちなみに坂東太郎といえば利根川のことである。 tを実数の定数とする。
|α|+tα+α*=|α-i|
を満たす複素数αを求めよ。
ただしα*はαの共役複素数である。 >>277
【発展問題】
1から100までの数字を4つ選んで和が123になる組み合わせは何通りか。(同じ数字を何度使ってもよい。) 前>>281
>>285やっぱり1/3にはならないか。
AF=BP=PQとか一致しすぎだもんね。 前>>288
>>286
1+0.5+1/3+(123-1.5-1/3)=123
30+30+31+32=123
∴無数通り 前>>289訂正。
>>286
1+1.5+5/2+118=123
30+30+31+32=123
∴無数通り 前>>290
>>243
Aを起点にメネラウスの定理より、
(AF/FB)(BC/CD)(DR/RA)=1
(1/2)(3/2)(DR/RA)=1
DR/RA=4/3
対称性よりEP/PB=4/3
Ｂを起点にメネラウスの定理より、
(BP/PE)(EC/CA)(AP/PD)(DC/CB)=1
(3/4)(1/3)(AP/PD)(2/3)=1
AP/PD=6
AR:RP:PD=3:3:1
RP=(3/7)AD
対称性よりPQ=(3/7)BE,QR=(3/7)CF
BE/AB,CF/BC,AD/CAは定まらないが、
(AD+BE+CF)/(AB+BC+CA)=8/9とすると、
(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(8/9)(3/7)
=8/21
=0.380…… >>277
【発展問題】
1から100までの整数を4つ選んで和が123になる組み合わせは何通りか。(同じ数字を何度使ってもよい。) α、βは任意の実数kに対してα≠kβを満たす、0とは異なる複素数とする。
複素数平面上の3点O(0)、A(α)、B(β)と、△OABの外接円Cを考える。
Oから直線ABに垂線OHを下ろし、直線OHとCとの交点でOでないものをP(w)とする。
wをαとβで表せ。 問題 僕は今コロナですが、567つの非自明な真性特異点を持つ複素関数を一つ考えて欲しいです kを実数の定数とする。
複素数αについての方程式
|α|α+ik(α-α*)=1
を解け。 >>299
複素数αに対して、α*でαの共役複素数を表すものとする。 どうしても解けない
明日受験なんだ。
みんな助けて・・・
過去問に回答が付いてないんだ。
https://i.imgur.com/c1OyHf3.jpg >>301
(円全体の面積-真ん中の正方形の面積)/2
=(100pi-100)/2
=50pi-50
3秒で解けるが何をそんなに悩んでるんだ？ >>302
理解できた！
ありがとー
これで明日は憂いなく受験できるよ >>299
どこが分からないのだろう？
素直にα=x+iy (x,、yは実）と置き、与えられた方程式をｘ、yの方程式として書き直せばいいだけ、かな？ 前>>291
>>301
左下の一辺5の正方形の斜線部分を、
上に移動して埋めあわせ、
左下から二段目の一辺5の正方形の斜線部分を、
右上に移動して埋めあわせると、
ちょうどワカメちゃんかちびまる子ちゃんみたいなおかっぱ頭の髪型になるから、
髪=半円-額となり、
π10^2/2-5×10=50π-50
∴④ >>304
|α|α+ik(α-α*)=1
√(x^2+y^2)*(x+yi)=2ky+1
(x+yi)=(2ky+1)/√(x^2+y^2)
右辺は実数。よってy=0。
x|x|=1
x=1
したがってα=1
入試問題としての難易度も適度で、答えの美しさもあいまって、これは傑作です。 >>295
難問で手が出ません。
どなたかよろしくお願いいたします。 >>295 ４点が同一円周上にある条件と二直線が垂直になる条件を複素数で表して計算すると
α,βの共役をα'β'とする
w=(α'β'(α-β)^2+αβ(α'-β')^2)/{(α'β-αβ')(α'-β')} >>309
ありがとうございます
同一円周上にある条件を式にするのはどういう方針でいけばいいですか？ エアリー関数を
Ai(x)=∫_C exp((z^3/3) - xz) dz
積分路C=C_1+C_2
C_1：z=r exp(-πi/3) (r：＋∞ → 0)
C_2：z=r exp(πi/3) (r：0 → +∞)
と定義する。
このとき、適当な変数変換を導入して次の式を示せ
Ai(x)=(x^(1/2)/(2π) ) ∫[-∞, +∞] exp(i(x^(3/2))((y^3/3) +y))dy
という問題なのですが、どう変数変換してもできません。
個人的には結論の式の係数の分母の2πが誤植ではないかとさえ思っています。分かる方よろしくおねがいします。 >>310
0,α,β,zが同一円周上⇔４点の複比(cross ratio、非調和比）が実数
⇔(β-z)(α-0)/(α-z)(β-0) が実数 ⇔(β-z)(α-0)/(α-z)(β-0)＝(β'-z')(α'-0)/(α'-z')(β'-0)
４点の配置がどういう順番であっても
円周角の定理の逆か対角の和がπになる条件になっている
詳しくは「同一円周上 複素数」で検索すればたくさん解説されてる x^(2)y''-xy'+y=0
この微分方程式の解き方を教えてください R*をRの乗法群とし、Q*をQの乗法群とする。R*/Q*を考える。√2Q*はR*/Q*の元ですが、√2Qの代表元としてもっとも自然なのは√2です。
R*/Q*の任意の元としたとき、このようなもっとも自然な代表元は存在しますか？ 確認したいんですけど、
2元2次の恒等式(最高係数は2次で文字は対等に存在)の未知数の係数を数値代入法で解いた場合、
1元2次と同じようにn+1個の異なるx.yの組で成り立てば恒等式である、と言えますよね？ a,b,cはa^2+b^2=c^2を満たす正の実数とする。
(a/c)+(b/c)の最大値を求めよ。 【訂正】
正の実数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たしながら変化するとき、
(a/c)+(b/c)の最大値を求めよ。 >>319
a/c+b/c=(a+b)/c
={√(c^2-a^2)+a}/c
={√(1-(c/a)^2)+a/c
1>a/c=t>0とおいて
√(1-t^2)+t
この先が分かりません a/c=X, b/c=Yっておいたら
条件式はX^2+Y^2=1かつX,Y≧0
求めるのはX+Yの最大値だから、X+Y=kっておいてX,Y平面で考えるのが一番簡単
>>320の方針で行くんなら
・√(1-t^2)+tを微分してグラフ描く
・√(1-t^2)+t=kっておいて√(1-t^2)=k-tを両辺2乗して出てくるtの2次方程式が
0<t<1かつk-t>0の範囲に解をもつためのkの範囲を求める
.t=cosθ(0<θ<π/2)でおく
とかがいいんじゃない >>315
x, x log x が独立解
t=log x とおくとtについて２次の定数係数 >>322
僕は教科書の公式みたいなのに当てはめてときたいんですが
px=-1/x,qx=1/x^2としてから進まないです 方程式x^p+y^p=1^pでp次平均ノルムにおける単位円を表すとき、円周率π_pを
π_p=2∫[0,1](dx^p+dy^p)^(1/p)で表すと、
lim[p→∞]π_pはどうなるの？
p=2のときは普通にユークリッドノルムの円の円周率の3.14………になるけど アーベル群が位数 m および n の部分群を持つとき、位数が m と n の最小公倍数であるような部分群を持つことを示せ。 G を位数が3の倍数ではないような有限群とする。
(a * b)^3 = a^3 * b^3 がすべての a, b ∈ G に対して成り立つとする。
このとき、 G はアーベル群であることを示せ。 n を法とする既約剰余類群が巡回群になるのは n がどんな場合か？ 群 G において、
a^5 = e
a * b * a^{-1}
を満たす G の元 a, b が存在するという。
o(b) を求めよ。 >>325
位数 n, m の部分群 G₁, G₂ (有限群) が生成する群 <G₁, G₂> は有限群である
よって「有限生成アーベル群の基本定理」により
<G₁, G₂> ≃ Z/(n₁Z) × Z/(n₂Z) × ... × Z/(nₕZ) (n₁, n₂,...,nₕ > 1)
G₁ ≃ H₁ × H₂ × ... × Hₕ , G₂ ≃ H₁’ × H₂’ × ... × Hₕ’
Hₖ, Hₖ’ ⊂ Z/(nₖZ) (k=1,2,...,h)
のように書ける.
Z/(nₖZ) が有限巡回群なので その任意の約数位数の部分群が存在する.
よって部分群 Hₖ" を適当に採れば
#<G₁, G₂> の任意素因数 p について
max{ νₚ(#G₁), νₚ(#G₂) } = νₚ(#H₁") + νₚ(#H₂") + ... + νₚ(#Hₕ")
となるようにできる. (※1, ※2 )
G₃ ≃ H₁" × H₂" × ... × Hₕ" が求める部分群であることは明らかである.
※1 νₚ は素数pのベキ指数を取り出す関数 (例. νₚ(...p^s...) = s )
※2 max{ νₚ(#G₁), νₚ(#G₂) } ≦ Σ[k] max{ νₚ(#Hₖ), νₚ(#Hₖ’) } なので帳尻が合うように νₚ(#Hₖ) か νₚ(#Hₖ’) を削ればよい. 任意の正の実数s,tに対して
(s+t)/2 ≦ √(st)+{k/√(st)}
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。 xy平面の4格子点（原点O,A,B,C）が
（１）同一円周上にあり
（２）4角形OABCは等脚台形（長方形も含む）ではない
を満たすもので半径が一番小さいものは？ >>335
（１）（２）を満たす4角形OABCの面積の最小値は１？
面積3のは見つかったけど。。面積3より小さい例があれば教えて a,bはa>b>0を満たす実数の定数とする。
x>0で定義された関数f(x)=x^a-x^bについて以下の問いに答えよ。
（1）f(x)はa,bの値によらず少なくとも1つの極値を持つことを証明せよ。
（2）a=π,b=eのとき、f(x)の極値を全て求めよ。 335 これか。面積最小性の証明は計算で試みたが複雑になりそうでやめた
O(0,0)A(1,0)B(2,1)C(1,3) 外接円半径 R=√10/2
4角形OABCの面積 S=3 自由群、生成元と関係式について詳しく書いてある本を教えて下さい。
雪江明彦著『代数学1群論入門』以外でお願いします。 >>338
y'=0を与えるxをa,bで表すことができません。何回微分してもだめなのでしょうか。よろしくお願いいたします。 >>341
へ？
f'(x) = ax^(a-1) - bx^(b-1) =x^(b-1) {ax^(a-b) - b}
だから、x=0とx= (b/a)^{1/(a-b)} でf'(x)=0 じゃね？ >>342
易問だったんですね
b乗で括れるのが見えませんでした
ありがとうございました >>340
和書なら鈴木通夫「群論」上（岩波）
洋書なら昔の本が色々ある a[1]=2,a[2]=3
a[n+1]=a[1]a[2]...a[n]
で与えられる数列{a[n]}の一般項を求めよ。 群論用のソフトを使おうとすると、生成元とか知っていないと使えないですよね。 a[3]=6
a[n+1]/a[n] =a[n] → a[n+1]=a[n]^2 (n≧3)
よって、n≧3 では a[n] = 6^{2(n-3))} x>0において、e^(x*ln(x))-(x*ln(x))^eの増減を調べよ。 pを実数の定数とする。x>0で定義された関数
f(x)=px(e^x)-ln(x)
を考える。
（1）f(x)が極値を持つかどうかを調べよ。
（2）xy平面上における曲線y=f(x)がx軸と交わるようなpの範囲を求めよ。 S_4
=
{id,
(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4),
(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3),
(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3),
(1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2)}
です。
f を G の自己同型写像とします。
そのとき、例えば、
f((1 2)*(3 4)) ∈ {(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3)}
となるのは f が自己同型写像であることと、対称性から明らかだと思いますが、このようなことは証明する必要はありますか？ 一辺1の正n角形型の道路があり、各頂点には0以上n未満の整数が書かれた紙が落ちている。
ある頂点をスタートとして落ちている紙を拾い、「拾った紙に書かれた数字の距離だけ道路を時計回りに進み、そこに落ちている紙と持っている紙を交換する操作」を繰り返す。
どの頂点から始めても有限回の移動でスタート地点にピッタリ戻ってこれますか？(落ちている紙に0が書かれている場合は即座に元の紙を拾いなおします。スタート地点が0ならその場でゴールです）
また、ゴールまでにかかる周回数の上限などについて言えそうなことがあったら教えてください。 >>352
H := {(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3)} の各元の S_4 における代数的性質は全く同じです。
さらに、 H の各元と H の元でない元との代数的性質は何らかの点で異なるはずです。 以下、4桁の10進法の整数Nに対し、pqrsでNの各桁の数字を表すものとする。
例えば整数N=3289において、p=3,q=2,r=8,s=9である。
M=pqrsと表される4桁の正整数で、(pq)^2+(rs)^2=Mとなるp,q,r,sを全て求めよ。 （1）連立方程式
x=2y^2-1
y=2z^2-1
z=2x^2-1
を解け。必要ならばy=cosθとおけ。
（2）連立方程式
x=3y^2-1
y=3z^2-1
z=3x^2-1
を解け。 統計の質問です。生徒20人のテストを似たような問題で、①授業前、②授業後、③授業1カ月後の3回行いました。
効果があったかどうかを平均点の比較で、対応のあるｔ検定で５％水準で調べたところ①と②、①と③では②と③の全てで有意差が見られました。
つまり、「授業を行う前に比べて授業後や授業1ヶ月後では優位に効果があったが、授業後と授業１カ月後に有意差があると言うことはテストの内容そのものは忘れやすいという結果になった。」と言いたいのですが、
3回の比較では検定の多重性の問題があると指摘されました。
そして、「分散分析でまず有意差があることを示すことが必要」「フリードマン検定に替えたら？」などと言われました。
ボンフェローニ法やHolm法で修正することもできそうですが、多重性の調整をどうやって行えばよいのかさっぱりわかりません。修論につかうんでなんとか教えていただけないでしょうか。 for any fixed positive integer n,
2,2^2, 2^2^2,2^2^2^2,......( mod n)
is eventually constant. iは虚数単位で、nは正整数とする。
（1）lim[n→∞] |1+(i/n)|^nを求めよ。
（2）lim[n→∞] {1+(i/n)}^nの実部および虚部を求めよ。 知り合いに出されたガチャの問題がわかりません。
0.4%で出るURのキャラを60回引いて2枚出した時の確率を求めよです。
インターネットを駆使し、1枚出る時の確率は、分かったのですが、、
2枚になった途端分からなくなりました。
■1枚の時（多分合ってます）
0.4% ＝ 4/1000
1000/1000 ー 4/1000 = 996/1000 （外れる確率）
(996/1000)^60 = 0.78624936087（60回外れる確率）
1 - 0.78642936087 ≒ 0.213 → 21.3%（1枚当たる確率） >>361
二項定理から
確率pの試行がn回中k回だけ当たる確率は
（当りk回、ハズレn－k回の組合せの数）
×（当り確率のk乗）
×（ハズレ確率のn－k乗）
＝nCk・p^k・(1－p)^(n－k)
確率 4/1000 が 60 回中 2 回だけなら
(60×59/2)・(4/1000)^2・(996/1000)・58
≒0.022445789
で、約2.24％
60 回中 2 回以上は 約2.43％
60 回中 1 回だけは 約18.95％
60 回中 1 回以上は 約21.38％ >>362
ありがとうございます。二項定理なるものがあるんですね。
すみません。実は知り合いじゃなくて、問題出してきたの兄なんです。
頭が良い回答すぎて私の回答でないことがバレちゃいます。（中3です）
私の計算を発展させる形（似た形）で2枚当たる確率を求めることは可能でしょうか。
最初は21.3%（1枚当たる確率）が2回起こる確率かと思って計算したのですが、
21.3% = 213/1000
213/1000 × 213/1000 = 45,369/1,000,000
45,369/1,000,000 = 0.045369 ≒ 4.5% になりました。
これは、何を求めたことになっちゃってるのでしょうか。。
試行30回の時の確率を2倍にすればいけるかと思ってもみたのですが、
以下は結果的に試行60回の時の確率を求めてるに過ぎないのでしょうか。。
(996/1000)^30 = 0.886707032
1 - 0.886707032 ≒ 0.113292968 ≒ 0.11 × 2倍 → 0.22（22%） xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→+0] V(r)/r^3を求めよ。 n次多項式f(x)で、以下の条件を満たすものは存在するか。
（条件）
任意の正整数kに対して、f(k+1)=k*f(k)が成り立つ。 >>365
※存在するならば全て求めよ。存在しないならばそのことを証明せよ。 >>365
f(k+1)/k!=f(1)
f(k)=f(1)(k-1)!
limf(k)/k^n=a_n ⇒ f(1)=a_n=0 ⇒ f(x)=0 【すいません改題します】
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→(1/2)+0] V(r)/r^3を求めよ。 >>369
【さらに訂正します。すみません。】
【すいません改題します】
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→(1/2)+0] V(r)/{r-(1/2)}^3を求めよ。 分からない問題について質問するスレで、
改題ってどういうことよ？
おかしくない？ >>371
いやでも本当に分からないんです
領域「Cの外部かつDの内部」の体積が具体的に計算できないので難しいです
はさみうちしようと思ったのですが具体的にはさむ関数を見つけられませんでした Aut(S_n) と S_n は n = 6 でないとき、同型であることを証明せよ。 >>374
何か昔やったかなあ
可遷性とか使うんだっけ？
ギヴアップ >>376
【さらに訂正します。】
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→(1/2)+0] V(r)/{r-(1/2)}^2を求めよ。 自己解決したので以後解答を禁止します、とはっきり書きましょう pを実数の定数、f(x)はxの2次以下の多項式でf(x)=x^2+f(p)x+1を満たすものとするる。
方程式f(x)=0が相異なる2つのα,βを持ち、かつ、いずれの解も実数でないという。このとき、pが満たすべき条件を求めよ。 https://youtu.be/o2bXOyyGe7c
このYouTube企画が成功する確率を求めたいと思って紙とペンで計算してみてるんですが、自分なりに計算したところ成功するパターンが9!で362880通り、全部のパターンが2^9×2^8×2^7...×2^1で約35兆、割って約9700万分の1となりました、間違いの指摘オナシャス！ >>382ですが一応動画の1:40あたりからルール説明があるんですが9人で9つのパートに別れた曲を誰かと被らずに歌い終えたら成功というものです、歌い出しで誰も歌わなかったりもするし数人同時に歌ったりもする中、順序の打ち合わせ無しに1人ずつ歌えたら成功です 9!/9^9=0.0009366567084...=1/1067.6270089...
0.1% 弱です >>381
f(x)=x^2+f(p)x+1
f(x)=ax^2+bx+cとおくと、a=1,c=1
よってf(p)=p^2+bp+1=b…①
i)p=1のとき
①はb+2=bとなって、これを満たす実数bは存在しないから不適。
ii)p≠1のとき
b=(p^2+1)/(1-p)
b^2-4<0⇔{(p^2+1)/(1-p)}^2-4<0
(p^2+1)^2-4(1-p)^2<0
したがって求める条件は
p^4-2p^2+8p-3<0…（答）である。
なおp=1はこの不等式を満たさない。 xは実数とする。f(x)=x^2+xf(x)+1について、以下の問いに答えよ。
（1）x≠1を示せ。
（2）f(x)の増減を調べよ。
（3）不定積分∫f(tanθ) dθを求めよ。 OA=3,OB=4,OC=5の四面体OABCにおいて、底面である△ABCは正三角形であるという。
（1）△ABCの一辺の長さを求めよ。
（2）Oから△ABCを含む平面に垂線OHを下ろす。↑OHを↑OA,↑OB,↑OCで表せ。 任意の正整数nに対して、n^2+3とan^2+bが互いに素となるような2以上の正整数a,bが存在することを示せ。 n個の箱に、n個のボールを無作為に投げ入れる。
（1）2個以上のボールが入っている箱を取り除く。取り除かれる箱の数の期待値をnで表せ。
（2）ちょうど3個のボールが入った箱を取り除く。取り除かれる箱の数の期待値をnで表せ。 >>389
ある箱にちょうどk個入る確率は
C[n,k]*(n-1)^(n-k)/n^nだから期待値の加法性より
(1)n*(1-(1-1/n)^n-(1-1/n)^(n-1))
(2)n*C[n,3]*(n-1)^(n-3)/n^n
=(1/6)*(n-2)*(1-1/n)^(n-2) >>388
a=2,b=7のときn^2+3と2n^2+7は互いに素
出題意図がよくわからん >>363
21.3%は「60回引いて全部外れる」が起こらない確率なので
言い換えると当たりが1枚以上出る確率（2枚以上出る可能性も含めている）
まずこの部分を混乱しているように見える
ちょうど1枚だけ出る確率を求めるには
60回のうち何回目に当たるかで場合分けして
それぞれが起こる確率（どれも等確率）を足せばよい
細かく書くと
1回目に当たる確率：0.004×(1-0.004)×...(1-0.004)
...
60回目に当たる確率：(1-0.004)×...0.004
なので結局それぞれの確率を60倍すれば良い
ちょうど2枚引く確率も同じ方針で行ける（もう正解書いてあるけど）
60回のうちどの2回が当たりのときかをまず考える
今の教科書がどうなってるか分からないけど例えば樹形図書くなどして数えて60×59/2通りになる △ABCとAを通る直線lとl上の点Dがあるとき
AB上のE,AC上のFをEDFが一直線上にあり、かつ
EFの中点がDとなるように作図してください 失礼。書き直し
2直線L１,L2と直線上にない点Pがあるとき
L１,L2上の二点Q,RとPが同一直線上にあり
QとRの中点がPとなる直線を作図せよ あっ平行四辺形の対角線の交点がPとなるようにすればいいだけだった 複素数平面において、点P(z)がO(0)とA(1+i)を結ぶ直線上を動くとき、w=az+bz'の存在する領域を求めよ。
ただしa,bは実数の定数、z'はzの共役複素数である。 a,b,c,x,y,zすべて正の数とする
1/a+1/b+1/c=1/x+1/y+1/z
abc>=xyz
のとき
a+b+c>=x+y+zは成立するでしょうか？ >>398
(a,b,c)=(2,3,4)
(x,y,z)=(1,1,9) >>399
最初の条件は等号なので反例になってない 問題が成立してないでしょ
f(a)≧f(b)⇒g(a)≧g(b)
の反例は
f(a)≧f(b)⇒g(a)＜g(b)
で、仮定には等号が含まれる
反例を満たすには
a≠b, f(a)＝f(b), g(a)≠g(b)
の例をひとつ示すだけでよい AB=4,BC=5,CA=6の△ABCの内心をI、外心をOとする。
直線OI上に点Pをとり、△AOPが二等辺三角形となるようにする。
OPの長さを求めよ。 1,2,...,nと番号が書かれたカードn枚が袋の中に入っている。
袋から無作為にカードを1枚取り出すという試行を繰り返し行う。ただし取り出したカードは袋に戻さない。
A君は1以上n以下の整数Nを1つ決め、B君には秘密しておく。カードが取り出されるたび、B君はその番号をA君に公開し、A君の決めた番号以上かそれより小さいかを聞く。
A君はその番号がN以上であれば「以上」と答え、小さければ「未満」と答える。
B君がNを突き止めるまでに何回の試行を行うか、その期待値を求めよ。 1.
G を群とする。
H1 と H2 は G の正規部分群で、互いに同型であるとする。
G/H1 と G/H2 は常に同型であるか？
2.
G を群とする。
H1 と H2 は G の正規部分群で、 G/H1 と G/H2 は互いに同型であるとする。
H1 と H2 は常に同型であるか？ 3.
G を有限群とする。
H1 と H2 は G の正規部分群で、互いに同型であるとする。
G/H1 と G/H2 は常に同型であるか？ SageMathで試してみましたが、
>>410
は成り立ちませんね。
G1 = CyclicPermutationGroup(4)
G2 = CyclicPermutationGroup(2)
D = direct_product_permgroups([G1, G2])
D.order()
D.is_subgroup(SymmetricGroup(6))
a = D.gens()[1]
b = D.gens()[0]
H1 = D.subgroup([a * a])
H2 = D.subgroup([b])
print(H1.is_isomorphic(H2))
print(H1.is_normal())
print(H2.is_normal())
print(D.quotient(H1).is_isomorphic(D.quotient(H2))) 訂正します：
SageMathで試してみましたが、
>>410
は成り立ちませんね。
G1 = CyclicPermutationGroup(4)
G2 = CyclicPermutationGroup(2)
D = direct_product_permgroups([G1, G2])
a = D.gens()[1]
b = D.gens()[0]
H1 = D.subgroup([a * a])
H2 = D.subgroup([b])
print(H1.is_isomorphic(H2))
print(H1.is_normal())
print(H2.is_normal())
print(D.quotient(H1).is_isomorphic(D.quotient(H2))) C4×C2へのC2の埋め込みで商がC2×C2,C4がでてくる
C4×C2からのC2の全射で核がC2×C2,C4がでてくる H1 と H2 が同型であっても、それらの外部の G の元との関係が H1 と H2 で異なるということですね。 もっと一般に完全列e→N→G→Q→eでGがN×Qと同型でないのもってくれば
e→N→G×N×Q→Q×N×Q→e、e→N→G×N×Q→G×Q→eができるし
e→N×N×Q→G×N×Q→Q→e、e→G×N→G×N×Q→Q→eもできる >>410
しおもな
Z2×Z4⊃Z2×1, 1×Z2 数学的帰納法による証明では、ベースケースをインダクションステップで一切使わない証明があります。
なんか気持ち悪くないですか？ なんか群論って組合せ論に似ていませんか？
やっぱり、組合せ論と同じで一段低く見られていますか？ 8人を4人ずつの2チームに分ける時の決め方について以下のルールで行うとしたとき引く順番が後ろの人が同じチームになりやすいかどうか知りたいです。
後ろの2人、3人が同じチームになる確率を数式で出してほしいです。
<ルール>
チーム名が書かれたカードが2枚(AとB)あって
順番にどちらかのカードを引き、引いたら戻します。
これだと全員が引き終わる前に4人以上になることがあるので
どちらかのチームが4人になった時点でチーム確定とします。 (0,0)から確率1/2で+1右または上に移動しながらx+y=8に進む試行を考えて
P(最後の2人が同チーム)
=P(6回目で(6,0),(5,1),(4,2),(2,4),(1,5),(0,6)のいずれか)
=1-20/64
=11/16
P(最後の3人が同チーム)
=P(5回目で(5,0),(4,1),(1,4),(0,5)のいずれか)
=1-20/32
=3/8 8人を4人ずつの2チームに分ける時の決め方について以下のルールで行うとしたとき引く順番が後ろの人が同じチームになりやすいかどうか知りたいです。
後ろの2人、3人が同じチームになる確率を数式で出してほしいです。
<ルール>
チーム名が書かれたカードが2枚(AとB)あって
順番にどちらかのカードを引き、引いたら戻します。
これだと全員が引き終わる前に4人以上になることがあるので
どちらかのチームが4人になった時点でチーム確定とします。 ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。 というか数学板の風習をよく知らないんだけど
作問してる(?)っぽい人は何が目的なのか本気で分からなくて少し怖い
問題を出しあうスレとかもあるんだからそこで思う存分出題すればいいのに こんばんは。学生です。
袋の中に、ジグソーパズルのピースがたくさん入っている。ピース同士がばらけるように、よく混ぜた後、紙コップでこの袋の中からピースを取り出したところ75個あり、すべてに印をつけて袋の中に戻した。その後ばらけるようにかき混ぜた後、ふたたび紙コップを使いピースを取り出したところ72個あり、そのうち9個に印が付いていた最初にあったピースは、およそ何個だと考えられるか。
この問題が分かりません。どなたかわかる方はいませんか？ >>419
>組合せ論と同じで一段低く見られていますか？
お前が組合せ論について何を知ってるって言うんだ パズル的に問題が解ける初等的な群論しか知らんのやろ 以下の条件を満たす集合Sを「T集合である」と定める。
（条件）
Sはちょうどn個の相異なる複素数の要素からなり、どの3つの要素の積もSの要素となる。
T集合の例を挙げよ。 以下の条件を満たす3次式f(x)を全て求めよ。
（条件）
方程式f(x)=0の任意の解をαとすると、-1/(α-1)も解となる。 光速か亜光速なみの高速で回転する白い円盤上に醜いｱﾋﾙの子柄を二点おいて高速回転させた時に二点の醜いｱﾋﾙの子柄は、超ハイスピードカメラとかが開発されてその詳細が捉えられたらどう変化して見えるか予測できるでしょうか？ 次の循環小数を分数の形で表せ。
0.142856142856...=0.'142856' lim[n→∞] {1+(1/n)}^{n+(1/m)}
をmで表せ。
ただしmは正の整数とする。 >>434
ちょうどn個の要素からなる例を挙げてください。 誰かできませんか？
次の循環小数を既約分数の形で表せ。
0.142856142856...=0.'142856' >>436
単位円周を１を頂点の一つとしてｎ等分すればよい >>437
x=0.142856142856..
10^6*x-x=142856
x=142856/999999=20408/142857 >>435
{1+(1/n)}^{n+(1/m)}
={1+(1/n)}^n*{1+(1/n)}^(1/m)
第2因子は1に収束するから全体はeに収束 >>427
2回目の取り出しでの印のついたピースの比率が
おおよそ全体における印のついたピースの比率と近いだろうと考えられるので
ピース全体:1回目に印をつけた数
=72:9
ピース全体:75=8:1
よりピース全体は75*8=600個程度と推定される 430の解は
1のn乗根
(-1)のn乗根
1の(n-1)乗根と0
(-1)の(n-1)乗根と0
でいいのかな
3数の積は相異なる3数からとる
という条件があると、n=3のとき
任意の2数と0
積が1となる2数と任意の数
が加わる 沖縄県疫学統計・解析委員会は、新型コロナウイルスワクチンの接種回数が多いほど、
どの年代でも入院する割合が低いとの調査結果をまとめた。
入院リスクが高い８０歳以上の感染者を見ると、
未接種か１回接種の人は５４・２％（７２人中３９人）が入院していたが、
２回接種では３６・０％（４２０人中１５１人）、
３回接種では２２・９％（３５人中８人）だった。
問題
何回接種と何回接種と比較で有意差があると言えるか？ sin(pi*sqrt(5))+sin(pi*sqrt(6))+sin(pi*sqrt(7))+sin(pi*sqrt(8))
の値が 10/pi-0.5 より大きいことを、できるだけ数値計算によらず示したいのですが
うまい手はありますか。 「2変数関数 f(x,y) について、任意の実数 k に対して lim[x→0]f(x,kx)＝0 のとき
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)=0」
という命題は偽だと思うのですが、反例が思いつきません。
ご教授頂けたら幸いです。 f(x,y):=1 (if (x,y)=(0,0)), :=0 (else) >>446
(x,y)=(1/n,1/n^2)(nは自然数)のときf(x,y)=1
それ以外のときf(x,y)=0 (0,0)以外では連続が要求されてるとして
θ∈(-π/2,π/2)において直線l:x = rcosθ、y = rsinθ(r∈R)と|x|=y^2の交点をA,O,Bとするとき直線l上の点Pに対して
f = ( ( OA - | OP - AP | ) + ( OB - | OP - BP | ) / AB
とか よろしくお願いします
AB=4,BC=5,CA=6の△ABCの内心をI、外心をOとする。
直線OI上に点Pをとり、△AOPが二等辺三角形となるようにする。
OPの長さとして考えられる値をすべて求めよ。 あるいはもっとシンプルに
f(x,y)=1(x=0かつy=/=0)
f(x,y)=0(それ以外)
でも良いのか >>446
f(x,y):=y^2/x
lim[x→0]f(x,kx)
=lim[x→0](kx)^2/x
=lim[x→0]xk^2
=0
lim[x→0]f(x,g(x))
=lim[x→0]((g(x))^2)/x
=lim[x→0](g(x)^2)'/(x)'
=lim[x→0]2g(x)g'(x)/1
=lim[x→0]2g(x)g'(x)
g(x):=√(2x)
=lim[x→0]2√(2x)*(√2x)'
=lim[x→0]2√(2x)*(1/√(2x))
=lim[x→0]2
=2 >>447-449
>>451-452
どうも有り難うございました！
お陰でスッキリしました 外心Oと内心Iが異なる位置にある三角形ABCで、OIとAOが直交するのはどのような三角形ですか？ 前>>305
>>454
Bが直角の直角二等辺三角形。 東京大学（理科）入試問題
第1問
底面が一辺の長さ1の正三角形ABCで高さが2の正三角柱Tを平面で切断し、切り口が直角三角形となるようにする。
（1）この直角三角形の3辺の長さをa,b,c（a≦b<c）とおく。a,b,cが満たす条件式を求めよ。
（2）このような直角三角形のうち面積が最大となるものを求めよ。 G = GL(n, R)
N = SL(n, R)
N は G の交換子群であることを証明せよ。 1,2,...,nと番号が書かれたカードn枚が袋の中に入っている。
袋から無作為にカードを1枚取り出すという試行を繰り返し行う。ただし取り出したカードは袋に戻さない。
A君は1以上n以下の整数Nを1つ決め、B君には秘密しておく。カードが取り出されるたび、B君はその番号をA君に公開し、A君の決めた番号以上かそれより小さいかを聞く。
A君はその番号がN以上であれば「以上」と答え、小さければ「未満」と答える。
B君がNを突き止めるまでに何回の試行を行うか、その期待値を求めよ。 私が分からない問題に解答・指針をいただけないのは何故でしょうか おもんないからやろ
どうせ書くなら「おお、そんな解法があるのか、思いつかんかった」って思ってもらえるような問題なら書く方にもメリットがあるが、めんどくさいだけの大してすごいアイデア効いた解答があるわけでもない問題答える気にならん >>460
>B君がNを突き止める
N=1のときは1が出るまで
N=nのときはnが出るまで
2≪N≪n-1のときはn=N,N-1のどちらもが出るまで >>464
>N=nのときはnが出るまで
またはn-1までが全部出たn-1回目 >>462
面倒くさい問題の解答こそがほしいのです
例えば△ABCの外心O内心IとしてAO⊥OIがどのような条件で成立するか興味深いですが、ベクトルや座標での計算ではまるで見通しが立ちません
初等幾何が苦手なので解法を教えていただきたく存じます >>465
違うか
N=nのときはn-1が出るまで >>466
この問題で見通しが立たんのなら見込みないやろ
見通しはすぐ立つけど実行するのがうざいだけの問題
外心Oとして|OA|=|OB|=|OC|=Rの値は正弦定理ですぐ出るしAB,BC,CAわかってるんだから内積も全部出る
そんな教科書理解できてる人間なら誰でもすぐ方針は立つだけの問題誰が解くねん？ 前>>455
>>456
題意に従って図を描いてそうなった。
それがすべてだ。
それがすべてじゃないなんて綺麗には言えないわ。 >>468
貴殿がおっしゃる「実行するのがうざい」を工夫してどう簡略化するかが本問のポイントとなっております。 G を位数が 3 以上の群とする。
このとき、 Aut(G) は位数 2 以上の群であることを示せ。 G = GL(2, R)
N = SL(2, R)
N は G の交換子群であることを証明せよ。 >>471
ですので初等幾何を使いましょうと提案しているのです
ベクトルや座標では文字が乱舞して収拾がつかなくなります
これが本問のポイントです a,bは正の実数とする。
p=(a+b)/2
q=√ab
r=2/{(1/a)+(1/b)}
とするとき、
q^2とprの大小を比較せよ。 >>476
だからダメなんだよ
何その上から目線？
お前の数学力なんかどう見てもそんな大した事ないやん？
そんな大してまじめに数学勉強した経験もないくせにそうやって上から来るから誰からも相手にされないんだよ >>478
一般化、根拠のない決めつけ、人格否定ですね
見損ないましたが、初等幾何で解決していただけるならそれで良しとしましょう そもそも「分からない問題」ではないようなのでスルー 白石と黒石がたくさん入った袋がある。
袋から石を1つ無作為に取り出し、それを床の上に置くことを繰り返す。どの色の石を取り出すかは同様に確からしいとする。
新しく石を1つ置いたとき、1つ前に置いた石が違う色であり、かつ2つ前に置いた石が同じ色だった場合、1つ前に置いた石を違う色の石と交換する。
このようにして石の列を作るとき、以下の問に答えよ。
（問）一番はじめに白石を置いたとする。列のn番目に置かれた石が白色である確率をnで表せ。ただし置かれている石の個数はnより多いとする。 >>476
>座標では文字が乱舞して収拾がつかなくなります
をあえてやってみた。数値解しかだせてないが。
三角形ABCの座標をA(x,y) B(0,0),C(1,0)として
題意を満たすx,yの関係をグラフ化
https://tadaup.jp/loda/0205091715056084.png >>479
じゃあその初等幾何を駆使して作ったという解答載せて下さい >>481
>白石と黒石がたくさん入った袋がある。
石の数は白黒で同じという前提ですか？ ●○●○○●○○○●○○○○● …
白石と黒石がたくさん 以下、4桁の10進法の整数Nに対し、pqrsでNの各桁の数字を表すものとする。
例えば整数N=3289において、p=3,q=2,r=8,s=9である。
M=pqrsと表される4桁の正整数で、(pq)^2+(rs)^2=Mとなるp,q,r,sを全て求めよ。 位数 4 の群をすべて求めよ。
(Z/(4*Z), +) は位数 4 の巡回群である。
よって、位数 4 の巡回群は存在する。
G = {e, a, b, c} が巡回群ではないとする。
G の元の位数は、 e の位数が 1 で、他の3つの元の位数は 2 である。
Cayley Tableは以下のように必然的に決まる。
e * e = e
e * a = a
a * e = a
e * b = b
b * e = b
e * c = c
c * e = c
a * b = c
b * a = c
b * c = a
c * b = a
c * a = b
a * c = b
a * a = e
b * b = e
c * c = e
このCayley Tableによって定義された2項演算「*」が結合法則を満たすことって、わざわざ確かめる必要はありますか？
S_4 の部分群 H = {id, (1 4) * (2 3), (1 2) * (3 4), (1 3) * (2 4)} の各元に G の元を以下のように対応させます：
id <-> e
(1 4) * (2 3) <-> a
(1 2) * (3 4) <-> b
(1 3) * (2 4) <-> c
G のCayley Tableの e, a, b, c を対応する H の元で置き換えればそれで、 H の Cayley Tableが出来上がります。
そして、 H は S_4 の部分群なので、結合法則が成り立ちます。
ですので、 G の2項演算「*」も結合法則を満たすことは明らかです。
群論で、このようなテクニックが使われることはありますか？ 結合法則が成り立つことをチェックするのがいつも面倒だなと感じているのですが、↑のような確認をスキップするテクニックはありますか？ 前>>469
>>481
題意よりａ1=1
ａ2は当初1/2であるがａ3に白石を置いたとき、白に裏返される黒石がある。つまり3/4になる。
同様にａ3は当初2/4であるがａ4に白石を置いたとき、白石に裏返される黒石がある。つまり5/8になる。
同様にａ4は9/16に、ａ5=17/32
ａ6=33/64
ａ7=65/128
‥‥‥
∴ａn=｛2^(n-1)+1｝/2^n >>493
一般に、位数 n の群をすべて求める際に、
ある場合に、Cayley Tableはこうでなければならないということまで決定できたとします。
その後、そのCayley Tableによって定義された2項演算「*」が結合法則を満たさないというようなことは起こり得るのでしょうか？
あるのならば、例をあげてください。 >>493
例なんぞ知らん
例が思いつかんからオレの論理は正しい、ガタガタいうなと言う気持ちが1ミリでもあるなら数学やめろ >>493
G 上に定義した2項演算「*」が閉じていて、 G が単位元を持ち、 G の各元に対して、逆元ももつが、「*」が結合法則を満たさないというようなケースはありますか？ >>496
そんなんやったらいくらでもあるやん？
なんでそんな事聞かんとわからんの？ e^2=x^2=y^2=e
ex=xe=x
ye=ey=y
xy=yx=x >>501
正四面体を1つの平面で切ったとき、切り口の図形が直角三角形となることはありますか？ >>502
まず>>479の初等幾何的な鮮やかな証明を書いてください
話はそれからやろ >>500
ありがとうございました。
質問を変更します。
G 上に定義した2項演算「*」が閉じていて、 G が単位元を持ち、 G の各元に対して、逆元ももち、left cancellation lawが成り立ち、right cancellation lawが成り立つが、「*」が結合法則を満たさないというようなケースはありますか？ left cancellation lawは、c*a = c*b ⇒ a = b が成り立つことです。
right cancellation lawは、a*c = b*c ⇒ a = b が成り立つことです。 >>504
これが本当に聞きたかった質問だと思います。 今日はあかんな
学問に対して舐め腐った態度取るだけのクズばっかり >>507
やはり、例をあげるのは難しいようですね。
以下の予想をしておきます。
G 上に定義した2項演算「*」に関して、 G が単位元を持ち、 G の各元に対して、逆元をもち、left cancellation lawが成り立ち、right cancellation lawが成り立つならば、 G において結合法則が成り立つ。 >>503
ここは分からない問題を書くスレですね
私は初頭幾何での解法が分からないからこそ書き込みさせていただいたのでございます
ところで正四面体を1つの平面で切った切り口の図形が直角三角形になることはありますか？ >>507
正四面体の問題、よろしくお願いいたします 解法がわからないなら>>476のようなレスをするはずがないんだよなぁ >>508
>以下の予想をしておきます
予想をするのは自由 >>509
>ところで正四面体を1つの平面で切った切り口の図形が直角三角形になる
あるに決まってんじゃん
正三角形の辺の一部を使って頂点は別の辺上にある直角三角形を作って直角を挟む2辺の一方を回転軸にもう一方を含む半直線を回転させるだけ >>513
それを論証してください
それからあなたの文章は、単語の羅列によりとても読みにくい文章となっています
改善してください a,b,cは正の実数の定数とする。
二項係数の比の極限
lim[n→∞] C[an^2+bn,cn]/C[an^2+cn,bn]
を求めよ。 8倍精度浮動小数点数(仮数部は236ビット)の最大値：7fff efff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff
が
計算上は
1.61132571748576047361957211845200501064402387454966951747637125049607182699 × 10^78913
などとなりますが、
正確な最大値は？ f：R→Rとなる狭義凸関数で負の値しかとらないは存在するでしょうか？ >>508
Gは有限集合ね？
> left cancellation lawが成り立ち、right cancellation lawが成り立つ
各行各列が順列になっているってこと
>G が単位元を持ち、
ある元について恒等の行と列があるということ
> G の各元に対して、逆元をもち、
その元の出現する位置が転置に関して対称ということ
結合法則が満たされるべきとは思えないけどなあ >>517
無いよ
異なる値を取る2点を結ぶ直線を延ばすとx軸と交わるから >>522
なぜ異なる2点を通る直線がx軸と交わるとf(x)>0となるxが存在するといえるのか？
狭義凸関数という条件はどこで用いていますか？ >>489
1233と8833
おまけ
> f=\(pqrs) (pqrs%/%100)^2+(pqrs%%100)^2 - pqrs
> pqrs=1000:9999
> y=f(pqrs)
> pqrs[y==0]
[1] 1233 8833
> 12^2+33^2
[1] 1233
> 88^2+33^2
[1] 8833
> >>489
以下、6桁の10進法の整数Nに対し、pqrstuでNの各桁の数字を表すものとする。
例えば整数N=328901において、p=3,q=2,r=8,s=9,t=0,u=1である。
M=pqrstuと表される4桁の正整数で、(pqr)^2+(stu)^2=Mとなるp,q,r,s,t,uを全て求めよ。
> f=\(x) (x%/%1000)^2+(x%%1000)^2 - x
> x=100000:999999
> y=f(x)
> x[y==0]
[1] 990100
> 990^2+100^2
[1] 990100 >>530
蛇足
9412^2+2353^2 = 94122353 >>529
この手の問題では、まず強い仮定（連続的2階微分な関数、とかね）の下でどうなるかを考えるのが常道。
そこで偽命題なら、余り意味のある問題ではない、ということになるね。 >>517
存在しない（けど真面目に書くのがただただ面倒、自分は結局以下のようにした）
もしそのようなf(x)が存在したとすると
f(x)は定数関数ではないので、f(x1)<f(x2)<0なる2実数が存在する
実数a=/=0,b,c>0に対し関数x->c*f(ax+b)も同じ条件を満たすので
必要なら初めからスケールを取り換えてf(0)=-1<f(1)=-1+d<0であるとして良い(0<d<1)
このときd*f(1/d)+(1-d)f(0)>f(1)より
d*f(1/d)>f(1)-(1-d)f(0)=-1+d-(d-1)=0
f(1/d)>0でfのとり方に反するので最初の仮定が間違っていた >>502の発展問題
１辺の長さが１の正四面体を断面が直角三角形になるように平面で切断するとき断面の面積の最大値を求めよ！ 皆様にご納得いただける分からない問題をここに書くにはどうしたら良いでしょうか。よろしくお願いいたします。
敬具 まぁ別に質問スレとしては機能してないから問題投下したければ好きにすればいいとは思う
自治厨は怒るだろうけどな
ただもちろん面白くなければ誰も相手にしない、されない、ただそれだけ
相手がほしいなら相手にしてもらえるレベルの問題出すしかないね 確率の求め方について聞きたいです。
設問が４問１択の選択の問題で、ＡさんＢさんＣさんの３人が、同時に解きます。
Ａさんの正解率が80%、Ｂさんの正解率が70%、Ｃさんの正解率が60%の場合、
３人が答え合わせをして、３人の答えが一致した問題を集めて、、
集めて解答した問題が、正解である確率は、どうなるのでしょうか。
正解確率が低い人に引っ張られるのか、それともある程度の正解率の向上が見込めるのか、気になるところです。 xy平面において、y≧x^nとなる正整数nが存在するような点(x,y)が存在するような領域を求めよ。 >>540
「ABC三者の解答が一致し、かつそれが正解である確率」
を「ABC三者の解答が一致する確率」で割れば良い
「ABC三者の解答が一致し、かつそれが正解である確率」は
0.8*0.7*0.6
「ABC三者の解答が一致し、かつそれが不正解である確率」は
不正解のしかたが3通り、それぞれについて
A,B,Cが誤ってそれを選ぶ確率が（間違え方に偏りがないと仮定すると）
((1-0.8)/3)*((1-0.7)/3)*((1-0.6)/3)
だから(3/3^3)*0.2*0.3*0.4=(0.2*0.1*0.4)/3
求める確率は(0.8*0.7*0.6)/(0.8*0.7*0.6+(0.2*0.1*0.4)/3)=約99.2% >>541
x<-1⇒liminf(x^n)=-∞
-1<=x<=0または1<=x⇒x<=x^n
0<x<1⇒liminf(x^n)=0
だから
「「x<-1かつyが任意」
または「「-1<=x<=0または1<=x」かつx<=y」
または「0<x<1かつ0<y」」であるような(x,y)全体がこたえ >>542
>(3/3^3)*0.2*0.3*0.4=(0.2*0.1*0.4)/3
/3^2？ >>544
0.3もついでに割ったのです
計算間違えてるかもしれないけど99％なのは感覚的には正しそう >>541
∪_n{(x,y)|y≧x^n}=x＜-1∪x＜0&-1≦y∪(0,0)∪x＜1&0＜y∪1≦x≦y >>542 回答頂き、ありがとうございます。
なるほど、ABCの解答が一致するもので、正解と不正解の割合で求めるということですね。
確率としては、結構高くなっていますが。 >>548
「ABCが3人とも間違えた上に間違え方まで一致」
という状況はほぼ起こらないと感覚的にも納得できるかと思います nは整数で、1≦n≦10とする。
ちょうどn種類の数字を使って表される平方数の集合をS_nとする。
たとえばS_2の要素として16,49,100などが挙げられ、S_3の要素として169,256などが挙げられる。
このとき、どのnについても「S_nの要素の中で最小のものは、n桁の整数である」が成り立つことを示せ。 (1,(1,1))
(2,(16,2))
(3,(169,3))
(4,(1024,4))
(5,(12769,5))
(6,(103684,6))
(7,(1034289,7))
(8,(10278436,8))
(9,(102495376,9))
(10,(1026753849,10)) >>550
とりあえずコード書いて調べたが手計算ではどうやるのか見当がつかない
1:1
2:16
3:169
4:1024
5:12769
6:103684
7:1034289
8:10278436
9:102495376
10:1026753849 n次実正方行列A=(a_ij)は、全てのi,jに対して0≦a_ij≦1で、すべてのiに対してΣ[j=1→n]a_ij=n
1:この時、Aは固有値1を持つことを示せ
2:Aの全ての固有値の絶対値が1以下であることを示せ >>540
４問１択なら
> f(4)
[1] 0.992126
３問１択なら
> f(3)
[1] 0.9824561
２問１択（○×試験）なら
> f(2)
[1] 0.9333333
おまけ
f <- function(m=4,p=c(0.8,0.7,0.6)){ # m問1択 p:正答率
prod(p)/(prod(p)+(m-1)*prod((1-p)/(m-1)))
} >>555
積をΠ()で表すと
m問1択 p:正答率ベクトルで
Π(p)/{ Π(p)+(m-1)*Π((1-p)/(m-1)) } >>553
(1)
(1111..11)A=(1111..1)
(2) Av = λv、|v|>1、v≠0とする
(1111..1)A^nv = (1111..1)vは有界
(1111..1)A^nv = (1111..1)λ^nvは非有界で矛盾 >>555
４問１択の１００万回シミュレーション
> m=4
> p=c(0.8,0.7,0.6)
> k=1e6
> ans=NULL
> for(i in 1:length(p)){
+ ans=rbind(ans,sample(m,k,replace=TRUE,prob=c(rep((1-p[i])/(m-1),m-1),p[i]) ))
+ }
> allcorrect=\(x) all(x==4)
> A=sum(apply(ans,2,all4))
> same=\(x) length(unique(x))==1
> S=sum(apply(ans,2,same))
> A/S
[1] 0.991938
理論値の近似値が得られて( ・∀・)ｲｲ!! >>553
(1)成分1をn個並べた縦ベクトルを(1_n)とすると
A(1_n)=1*(1_n)
(2)Aの任意の固有値aと固有ベクトルvを1つとって固定する
Aのm乗も『全てのi,jに対して0≦a_ij≦1で、すべてのiに対してΣ[j=1→n]a_ij=1』
を満たす（成分の和の単純計算と帰納法で示せる）
よって(A^m)v=(a^m)v
vの第k成分は0でないとし、またvの成分の絶対値の最大値をd>0とおく
左辺のベクトルの第k成分の絶対値はmによらずにd以下である
右辺のベクトルの第k成分の絶対値がmによらずにd以下であるためには|a|≦1でなければならない >>555
三人寄れば文殊の知恵かと思ったけど
４問１択で正答率が12.5% 25% 50%のときは
> f(4,c(0.125,0.25,0.5))
[1] 0.3
と最高正答率の50%より小さくなるんだな。 松坂和夫著『代数系入門』
「写像 x -> x^{-1} が G の自己同型ならば、 G は可換群であることを示せ。」という問題があります。
こういう書き方ってどうなんですかね？
「写像 x -> x^{-1} が自己準同型ならば」と書いたほうが良くないですか？
確かに、 写像 x -> x^{-1} は全単射ですけど、この問題を解くのに全単射であるということは使いません。 数学勉強してる感出したいんやろ
そんなくだらない話で数学コミュニティに入れるわけない >>563
数学コミュニティとは何ですか？
入会資格でもあるのですか？
低学歴でも入れますか？ >>565
入会資格を教えてください
東大学部生程度では無理でしょうか テンソル代数と表現論: 線型代数続論 単行本 ? 2022/3/18
池田 岳 (著)
これって買ったほうがいいですか？ 入会資格はそういう小学生みたいな発言しない人間であること
ガキか >>569
端的に言えば、一般的な社会人であれば入れるということですね？ >>572
数学の勉強をする姿勢があり、議題(ここではスレタイ)にそった建設的な議論ができること >>573
あなたの意見は分かりました
スレの参加者は全員一致でこの通りで良いでしょうか？ まぁここの常連で建設的な議論なんぞできんやろけどな
数学の教科書もう何年も開いたことないやろ >>575
あなたは毎回教科書を開く必要があるのですか？
だとしたら相当かわいそうです…
大学はどこですか？ >>576
やっぱりバカだ
そして自分がバカだという事すらわからない 尿瓶おまる洗浄係はシリツ卒であることが判明してたな。 助言wwwww
教科書読めゆうとるやないか
それ以外数学という文化と付き合う方法なんか無いわバーカwwwww
能無し〜wwwwwwww 前>>492
>>535
AP=x
AQ=y
PQ=a
QD=b
とおくと、
余弦定理よりa^2=x^2+y^2-xy=(3243-781√7)/32
b^2=1+y^2-y=(37-3√17)/32
a^2+b^2=1+x^2-x
S=xy/2=(y^2-2y^3)/2(1-y)
S'=｛(2y-6y^2)2(1-y)-(y^2-2y^3)(-2)｝/4(1-y)^2=0
4y^2-7y+2=0
y=(7-√17)/8
x=(7√17-25)/4
∴面積の最大値S=ab/2=(159822-38627√17)/2048 >>580
お前のは助言じゃねぇよ甘言だ此のカンニング励行ジジィが >>585
罵倒厨登場！
>556で一般解、>558でシミュレーション解
どこがカンニングだよ。
俺も、>582の答を知りたいなぁ。 一般解とシミュレーション解と並べて書いてさも同格の意味があるように書きたいんだろ
もちろんそんな意味はない
それで自分にかっこがつくと思ってる小学生の発想
数学力がないのはもちろんだが、コーディング能力も皆無、人格的にも未発達
人から助言を受けてもそれを罵倒と呼び自分の成長に1ミリも活かせない
６０年という時間をただただ無駄に生きてきた人間のなれのはて >>561
>こういう書き方ってどうなんですかね？
いいと思うね
だって同型だし G を群、 H をその部分群、 a を G の元とする。
a * H * a^{-1} ⊂ H であるが、 a * H * a^{-1} ≠ H であるような例をあげよ。 >>589
よろしくお願いします。
n番目の素数をp[n]とするとき、p[n]<(2^n)(3^n)を示せ。 G を有限群とする。
G の自己同型 T は G の元の個数の 3/4 個よりも多くの元をその逆元に写すという。
このとき、 T は G のすべての元をその逆元に写すこと、および、 G はアーベル群であることを証明せよ。 >>592
それのどこが分からないのか途中過程を書いた上ではっきりさせてください n次多項式f(x)で
f(cos(nθ))={f(sinθ)}^n-f(sin(nθ))
を満たすものを1つ求めよ。 >528の方が>513より助言検証になっていると思うね。
出題者の評価も>514の通り。 >>599
高卒の憧れに付き合ってやる気はねーよ能無し >>599
高卒の憧れに付き合ってやる気はねーよ能無し >>592
解答がないので、解答を書きます。
S := {x ∈ G | T(x) = x^{-1}}
s ∈ S とする。
U := S ∩ s^{-1} * S
#U = #S + #(s^{-1} * S) - #(S ∪ (s^{-1} * S)) > (3/4) * #G + (3/4) * #G - #G = (1/2) * #G
x ∈ U とする。
x = s_1, x = s^{-1} * s_2 (s_1, s_2 ∈ S) と書ける。
T(s * x) = T(s_2) = (s_2)^{-1} = (s * x)^{-1} = x^{-1} * s^{-1}
T(s * x) = T(s * s_1) = T(s) * T(s_1) = s^{-1} * (s_1)^{-1} = s^{-1} * x^{-1}
∴ x^{-1} * s^{-1} = s^{-1} * x^{-1}
∴ x * s = s * x
∴ x ∈ N(s)
∴ U ⊂ N(s)
(1/2) * #G < #U ≦ #N(s) だから、 N(s) = G
∴ s ∈ S ⇒ s ∈ Z(G)
(3/4) * #G < #S ≦ #Z(G) だから、 Z(G) = G
∴ G はアーベル群
∴ S := {x ∈ G | T(x) = x^{-1}} は G の部分群
(3/4) * #G < #S だｋら、 S = G 訂正します：
>>592
解答がないので、解答を書きます。
S := {x ∈ G | T(x) = x^{-1}}
s ∈ S とする。
U := S ∩ s^{-1} * S
#U = #S + #(s^{-1} * S) - #(S ∪ (s^{-1} * S)) > (3/4) * #G + (3/4) * #G - #G = (1/2) * #G
x ∈ U とする。
x = s_1, x = s^{-1} * s_2 (s_1, s_2 ∈ S) と書ける。
T(s * x) = T(s_2) = (s_2)^{-1} = (s * x)^{-1} = x^{-1} * s^{-1}
T(s * x) = T(s * s_1) = T(s) * T(s_1) = s^{-1} * (s_1)^{-1} = s^{-1} * x^{-1}
∴ x^{-1} * s^{-1} = s^{-1} * x^{-1}
∴ x * s = s * x
∴ x ∈ N(s)
∴ U ⊂ N(s)
(1/2) * #G < #U ≦ #N(s) だから、 N(s) = G
∴ s ∈ S ⇒ s ∈ Z(G)
(3/4) * #G < #S ≦ #Z(G) だから、 Z(G) = G
∴ G はアーベル群
∴ S := {x ∈ G | T(x) = x^{-1}} は G の部分群
(3/4) * #G < #S だから、 S = G U(x):=T(x^(-1))がG→G^opの準同型
T×id : G→G^op×GのΔの引き戻しが全体の3/4以上の部分群 以下の条件を満たす有限群 G を求めよ。
G は非可換群で、 G の自己同型 T で、 G のちょうど 3/4 個の元をその逆元に写すようなものが存在する。 キモいお願いなどせず、シンプルに分からない問題を書いているだけです
スレの趣旨に沿った模範的な書き込みといえるでしょう 0でない実数rに対し、x=x+rを満たす数xを考え、それをε_rとする。
exp(ε_r)を指数を用いない形で表せ。 >>604
g := SymmetricGroup(6);
as := AllSubgroups(g);
flag := 0;
for h in as do
if Order(h) mod 4 = 0 then
ag := AutomorphismGroup(h);
for f in ag do
count := 0;
for a in h do
if Image(f, a) = a^-1 then
count := count + 1;
fi;
od;
if 4 * count = 3 * Order(h) then
ans := h;
flag := 1;
break;
fi;
od;
fi;
if flag = 1 then
Print("Found");
break;
fi;
od;
if flag = 0 then
Print("Not Found");
fi; 訂正します：
以下のGAPのコードで例が見つかりました。
>>604
g := SymmetricGroup(4);
as := AllSubgroups(g);
flag := 0;
for h in as do
if Order(h) mod 4 = 0 then
ag := AutomorphismGroup(h);
for f in ag do
count := 0;
for a in h do
if Image(f, a) = a^-1 then
count := count + 1;
fi;
od;
if 4 * count = 3 * Order(h) then
ans := h;
flag := 1;
break;
fi;
od;
fi;
if flag = 1 then
Print("Found");
break;
fi;
od;
if flag = 0 then
Print("Not Found");
fi; >>604
以下の S_4 の部分群が例になります：
{(), (1 2), (3 4), (1 2) * (3 4), (1 3) * (2 4), (1 4) * (2 3), (1 3 2 4), (1 4 2 3)} あれ？
今日はじめてGAPを使ったのですが、なんかおかしいですね。 あ、合っていますね。
ただ、答えがなんかつまらないだけで。 T が恒等写像で、
(), (1 2), (3 4), (1 2) * (3 4), (1 3) * (2 4), (1 4) * (2 3) の 6 個は、自分自身が逆元になっています。
(1 3 2 4), (1 4 2 3) は一方が他方の逆元になっています。 でも、これがちゃんと群になっているのを確かめるのは結構面倒ですね。
だから、求めるのも大変なのかもしれませんね。 位数8の非可換群なんか2面体群に決まってるやろ
アホか
それが反例になるはずないやろ
バーカ 前>>584
>>535
(159822-38627√17)/2048=0.27285107386……
一辺1の正三角形の面積が、
√3/4=1.7320508……/4
=0.4330127……
1面の面積の6割強。
いい値だと思う。
あってる？ 0〜26の整数の三つ組で3進数表示した時に各桁の取り合わせが000,111,222,012のいずれかになるような組み合わせ
(1) 123なし
各桁の取り合わせは000,111,222のどれかなので27通り
(2) 012一個
どの桁に012が来るかで3通り、他の2桁何ゾロかで9通りで27通り
(3) 012二個
どの桁が012かで3通り、012の順番で6通り、残りが何ゾロかで3通りで54通り
(4) 012三個
[(000,111,222),(001,112,223),(002,110,221),(010,121,202),(020,101,212),(100,211,322),(200,011,122),(012,120,201),(210,021,102)
の9通り
計117通り 問24の論証が地味にややこしいが有名本なんだろうか
数学オリンピック予選対策的な >>623
嘘書いた
訂正
(1) 012なし
3枚とも同じになるので不可
(2) 012一個
どの桁に012が来るかで3通り、他の2桁何ゾロかで9通りで27通り
(3) 012二個
どの桁が012かで3通り、012の順番で6通り、残りが何ゾロかで3通りで54通り
(4) 012三個
9の位が0のものをA,1のものをB,2のものをCとしてよい
Aののこりの2桁の選び方で9通り、3の位を012か021かで2通り、1の位が同じく2通りで36通り
計117通り >>619
出題した俺にも分からない問題でスマソ。 >>599
母校に誇りはないの？
国立大学（神戸大）卒の人は明言していたなぁ。 >>631
ひたすら（系統的に列挙して）数える
1
shape color thickness
[1,] 円 赤 薄
[2,] 正 赤 薄
[3,] 三 赤 薄
2
shape color thickness
[1,] 円 赤 薄
[2,] 円 青 薄
[3,] 円 緑 薄
3
shape color thickness
[1,] 円 赤 薄
[2,] 正 青 薄
[3,] 三 緑 薄
....
....
116
shape color thickness
[1,] 円 青 濃
[2,] 正 青 濃
[3,] 三 青 濃
117
shape color thickness
[1,] 円 緑 濃
[2,] 正 緑 濃
[3,] 三 緑 濃 >>630
そんな身バレする危険犯す情報書くバカいないよバーカ
国立ww
そんなもんが自慢になるかバーカ 頂点の一つを原点
重心がx軸上
他の頂点の一つをxy平面の第1象限(a,b,0)とすると
それ以外の頂点が(a,-b/2,±b√3/2)
(a,-b/2,s)が直角三角形の直角の頂点
(a,(1-t)b-tb/2,-tb√3/2)がもう1つの頂点とすると
(a,-b/2,s)(0,(1-t)(1+b/2),-tb√3/2-s)=0
より
-(b/2)(1-t)(1+b/2)-s(tb√3/2+s)=0
t=((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)-sb√3/2)
4S^2=(a^2+(b/2)^2+s^2)((1-t)^2(1+b/2)^2+(tb√3/2+s)^2)
=(a^2+(b/2)^2+s^2)((1-((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)-sb√3/2))^2(1+b/2)^2+(((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)-sb√3/2)b√3/2+s)^2)
の
0<s<b√3/2かつ0<((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)-sb√3/2)<1
における最大値を求める >>635
>0<((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)-sb√3/2)<1
0<1/((b/2)(1+b/2)-sb√3/2)<1/((b/2)(1+b/2)+s^2)
(b/2)(1+b/2)+s^2<(b/2)(1+b/2)-sb√3/2
s^2+sb√3/2<0
NG >>633
判定関数を作って27C3通りから選ばせるだけなので
文字通り朝飯前に完成。
漢字入力が面倒ではあったが題意に沿った表示の方がわかりやすいと思った。理論解の検算になって( ・∀・)ｲｲ!! >>634
国立卒の人は割と簡単に卒業大学を言うけどね。 >>635
>(a,-b/2,s)が直角三角形の直角の頂点
>(a,(1-t)b-tb/2,-tb√3/2)がもう1つの頂点とすると
(a,(1-t)b-tb/2,tb√3/2)がもう1つの頂点とすると
(a,-b/2,s)(0,(1-t)(1+b/2),tb√3/2-s)=0
-(b/2)(1-t)(1+b/2)+s(tb√3/-s)=0
t=((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)
4S^2=(a^2+(b/2)^2+s^2)((1-((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2))^2(1+b/2)^2+(((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)b√3/2+s)^2)
の
0<s<b√3/2かつ0<((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)<1
より
0<s<b√3/2 そしていつものように誰の役にも立たんクソレス貼り付けてまじめに数学議論してるレスを流してしまって迷惑かける
他人に迷惑かけることしかやることないクソ人生 >>640
>582に答えてあげればいいだけじゃん。
>599-600みたいなレスじゃなくて。 >>642
からの自演wwww
能無しwwwwww b=2/√3で考えると
0<s<1において
4S^2=(a^2+1/3+s^2)((1-(1/3+1/√3+s^2)/(1/3+1/√3+s))^2(1+1/√3)^2+((1/3+1/√3+s^2)/(1/3+1/√3+s)+s)^2)
=(a^2+1/3+s^2)((1-(1+√3+3s^2)/(1+√3+3s))^2(1+√3)^2/3+((1+√3+3s^2)/(1+√3+3s)+s)^2)
の最大値 >>639
>4S^2=(a^2+(b/2)^2+s^2)((1-((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2))^2(1+b/2)^2+(((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)b√3/2+s)^2)
4S^2=(a^2+(b/2)^2+s^2)((1-((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2))^2(1+b/2)^2+(((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)b√3/2-s)^2)
b=2/√3で考えると
0<s<1において
4S^2=(a^2+1/3+s^2)((1-(1/3+1/√3+s^2)/(1/3+1/√3+s))^2(1+1/√3)^2+((1/3+1/√3+s^2)/(1/3+1/√3+s)+s)^2)
=(a^2+1/3+s^2)((1-(1+√3+3s^2)/(1+√3+3s))^2(1+√3)^2/3+((1+√3+3s^2)/(1+√3+3s)-s)^2)
=(a^2+1/3+s^2)((3s-3s^2)^2/(1+√3+3s)^2(1+√3)^2/3+(1+√3)^2(1-s)^2/(1+√3+3s)^2)
4S^2/(1+√3)^2=(a^2+1/3+s^2)(3(s-s^2)^2+(1-s)^2)/(1+√3+3s)^2
=(a^2+1/3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+√3+3s)^2
の最大値 >>645
>(a^2+1/3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+√3+3s)^2
b=√3/2のときa=√(8/3)
4S^2/(1+√3)^2=(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+√3+3s)^2 >>646
>4S^2/(1+√3)^2=(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+√3+3s)^2
(4S^2/(1+√3)^2)'=0
((3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2)'(1+√3+3s)^2=(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2((1+√3+3s)^2)'
(2s(3s^2+1)(1-s)^2+(3+s^2)6s(1-s)^2-2(3+s^2)(3s^2+1)(1-s))(1+√3+3s)^2=6(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2(1+√3+3s)
((10+6s^2)s(1-s)-(3+s^2)(3s^2+1))(1+√3+3s)=3(3+s^2)(3s^2+1)(1-s) >>620
(1) 3枚のカードの形が相異なり、3枚のカードの色が相異なり、3枚のカードの濃さが相異なる場合：
(3!)^3 / 3! = 36 通り。
(2) 3枚のカードの形、色、濃さの3属性のうち2属性が3枚のカードで相異なり、残りの1属性が3枚とも同じ場合：
3 * [(3!)^2/3!] * 3 = 54 通り。
(3) 3枚のカードの形、色、濃さの3属性のうち1属性が3枚のカードで相異なり、残りの2属性が3枚とも同じ場合：
3 * [3!/3!] * 3 * 3 = 27 通り。
∴答え = 36 + 54 + 27 = 117 通り。 >>647
0<s<1で(4S^2/(1+√3)^2)'<0
s=0で最大なので最大値は存在しない
（最小値は元々存在しない） 前>>619
>>629
いい問題だったよ。
微分しかないと思った。
0.272851……いい値だよ。
Rが最大Dまで取れるからあってると思う。
√3/4が0.4330127……
直角三角形を最大にしたら一面の六七割だろう。 >>643
>582に答えてあげればいいだけじゃん。 >>655
聞かれたから答えただけだよ
で？
次はどうするね？能無しさん？
この宇宙にはどこ探してもお前が存在する意味ないよ役立たずく君ww 3次実正方行列Xと実数の定数tに対し、
det(tE-X)=t^3-f(X)t^2+g(x)t-h(X)
とおいて、関数f,g,hを定める。f,g,hを求めよ。
必要であれば、行列Xから第i行と第j列を取り除いてできる2次正方行列をX(i,j)として表し、用いよ。 >>656
答えになっていません
証拠を提示しなさい
私も東大ですがあなたのような者が卒業生にいることが恥ずかしくなってしまいます 四面体の4頂点を
(0,0,0),(2,0,0),(1,√2,-1),(1,√2,1)
とし
直角三角形の3頂点を
(0,0,0),(1,√2,s),(2(1-t)+t,√2t,t)
とし
(1,√2,s)(2(1-t)+t-1,√2(t-1),t-s)=0
より
1-t+2(t-1)+s(t-s)=0
t=(1+s^2)/(1+s)
4S^2=(3+s^2)(3(1-t)^2+(t-s)^2)
=(3+s^2)(3(1-(1+s^2)/(1+s))^2+((1+s^2)/(1+s)-s)^2)
=(3+s^2)(3(s-s^2)^2/(1+s)^2+(1-s)^2/(1+s)^2)
=(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+s)^2
log4S^2=log(3+s^2)+log(3s^2+1)+2log(1-s)-2log(1+s)
(log4S^2)'=2s/(3+s^2)+6s/(3s^2+1)-2/(1-s)-2/(1+s)
=2s/(3+s^2)+6s/(3s^2+1)-4/(1-s^2)
=4(s(5+3s^2)(1-s^2)-(3+s^2)(3s^2+1))/(3+s^2)(3s^2+1)(1-s^2)
=-4(3-5s+10s^2+2s^3+3s^4+3s^5)/(3+s^2)(3s^2+1)(1-s^2)<0
単調減少より最大値は存在しない
4S^2<3
S<√3/2（正三角形の半分の直角三角形） >>659
解けたら認めてあげます
3次実正方行列Xと実数の定数tに対し、
det(tE-X)=t^3-f(X)t^2+g(x)t-h(X)
とおいて、関数f,g,hを定める。f,g,hを求めよ。
必要であれば、行列Xから第i行と第j列を取り除いてできる2次正方行列をX(i,j)として表し、用いよ。 これを解いてもいいですよ
n番目の素数をp[n]とするとき、p[n]<(2^n)(3^n)(n^2+1)を示せ。 >>660
>=-4(3-5s+10s^2+2s^3+3s^4+3s^5)/(3+s^2)(3s^2+1)(1-s^2)<0
10s^2-5s+3=10(s-1/4)^2+19/8 舐めとんのか不勉強
お前の学力じゃそれが限界や
恥を知れやバーカ G を位数 2*n の群とする。
G のちょうど半分の元の位数が 2 であるとする。
残りの半分の元たちは位数 n の群 H をなすとする。
H は奇数位数の群で G の可換部分群であることを示せ。 >>666
シローの定理などは使ってはいけないという制約があります。 >>665
何を言っても>>661-662でお前の学力はみんなに知れ渡ったわ恥ずかしいww
能無し〜 >>665
じゃあ東大卒さんこれやってよ
任意の非可換有限群は非可換可解部分群を持つ事を示せ
群論の有名な定理2発で示せるけどできますか〜wwww >>668
素数の方だけでいいので解いてくださいよ
意外と難しいですよ？特にあなたのような低学歴には手に負えないでしょう >>670
まさかの自作のクズ問の方選択wwwww
アホ〜wewwwww >>670
p[n]≦2^nで十分
n=1は自明
n=kで正しいとしてチェビシェフの定理によりp[k+1]≦2p[k]≦2^(k+1)
で？
>>669はできたかねwwwww 前>>650訂正。
>>535
AP=x
AQ=y
PQ=a
QD=b(RとDが一致するとき直角三角形PQRは最大)
とおくと余弦定理より、
a^2=x^2+y^2-2xycos60°=x^2+y^2-xy ————(1)
b^2=y^2+1-2y・1・cos60°=1-y+y^2 ————(2)
a^2+b^2=1+x^2-2・1・xcos60°=1-x+x^2————(3)
(1)(2)を(3)に代入すると、
x^2+y^2-xy+1-y+y^2=1-x+x^2
2y^2-xy+x-y=0
x(1-y)=y-2y^2
x=(y-2y^2)/(1-y)
S=xy/2=(y^2-2y^3)/2(1-y)
S'=｛(2y-6y^2)2(1-y)-(y^2-2y^3)(-2)｝/4(1-y)^2=0
2y-6y^2-2y^2+6y^3+y^2-2y^3=0
4y^3-7y^2+2y=0
4y^2-7y+2=0
y=(7-√17)/8=0.35……
(2)に代入し、
b^2=1-(7-√17)/8+(49+17-2√17)/64
=｛(4√17-24)+(33-√17)｝/32
b=(9+3√17)/32
y-2y^2=(7-√17)/8-2(49+17-14√17)/64
=(7-√17)/8-(33-7√17)/16
=(5√17-17)/16
1-y=(1+√17)/8
x=(5√17-17)/2(1+√17)
=(5√17-17)(√17-1)/32
=(102-22√17)/32
=(51-11√17)/16
(1)に代入し、
a^2=x^2+y^2-xy
=(51-11√17)^2/256+(33-√17)/32-(51-11√17)(7-√17)/16・8
=(2601+1210+847-1122√17)/256+(33-√17)/32-(357+187-128√17)/128
=(4658-1122√17)/256+(33-√17)/32-(444-128√17)/128
=(2329-561√17+132-4√17-444+128√17)/128
=(2461-444-565√17+128√17)/128
=(2017-437√17)/128
a=√(4034-874√17)/16
∴面積の最大値S=ab/2
=(9+3√17)√(4034-874√17)/(64・16)
=(9+3√17)√(4034-874√17)/1024
=0.43294196213……
おかしいな、もっと小さいよね。一面の面積とほぼ同じわけないなぁ。やり方はあってる。計算力と根気が足りない。ライプニッツとニュートンが発明した微分の恩恵を受けて解くべき良問だよ。 >>654
東大医学部図書館の地下一階には何があったか即答してみ。 >>673
乱数発生させて最大値を探していったら、
こういう結果になった。
https://i.imgur.com/eZMZ4fS.mp4
>660が正解であることが体感できた。 v>>674
こいつ尿瓶じゃなかったのかwwww
まさかの尿瓶派wwwwwwwwww 前>>675訂正。
>>535
∠PQR=90°とすると、
直角三角形PQRの面積が最大となるのは、
RがDと一致するときで、
PはAと一致するから、
∠QDA=30°、∠DAQ=60°
QはACの中点。
∴直角三角形PQRの最大値は、
(AQ・QD)/2=(1/2)(√3/2)/2
=√3/8
=1.7320508……/8
=0.21650635…… >>620
集合{1,a,a^2}の中から、重複を許して3つを選び、積を考える。すると、
同じものを選ぶ場合：1,a^3,a^6
全て異なる場合、：a^3
その他：a,a^2,a^4,a^5
となるが、aを、a^3=1を満たす非実数解とすると、
全て同じか、全て異なる場合：1 (実数)
その他：a,a^2 （非実数）
これを利用すれば、a,b,cを、a^3=b^3=c^3=1 という性質を持つ、非実数とし、
f=(1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)
を展開した時に現れる27個の項一つ一つと、27枚のカード一つ一つを対応させることができ、
f^3 を展開したときに現れる定数値を、「相補的な組」に直結させることができる。
ただ、問題では、同じカードを複数使用することは許されていないので、
その分の補正と、順番の入れ替えによって一致する組み合わせを考慮しなければならない。
すると (f^3を展開した時の定数-27)/3!=(9^3-27)/6=(729-27)/6=117 として答えを出すこともできる。
(∵(1+a+a^2)^3=1+3a+6a^2+7a^3+6a^4+3a^5+a^6=9+9a+9a^2) >>678
断面と呼べるかは議論の余地があるけど
問題としては面白かったと思う。 1枚目と2枚目のカードを選んだ時、各桁が相補的になる3枚目のカードがちょうど1枚決まる
なので相補的カードを選んで順に並べる場合の数は27×26通り
各相補的カードの組み合わせに対して順に並べる並べ方が3!.=6通り
よって相補的カードの組み合わせの数は
27×26/6=117通り 前>>678
>>535
ライプニッツとニュートンがせっかく微分発明したのに、ぜんぜん使えない問題で残念。 白石と黒石を1列に並ぶように1個ずつ置いていく。はじめ1個の白石が置かれており、その右側に順々に石を置く。どちらの石を置くかは確率1/2で対等とする。
さらに、以下のルールを追加する。
（ルール）
新たに石Sを置いたとき、その1つ前の石がSと異なる色の石Tで、またSの2つ前がSと同じ色の石であったとき、TをSと同じ色の石に交換する。
石を2n個（n≧2）置いたとき、はじめに置いた白石を1番目としてn番目の位置に置かれた石が白石である確率を求めよ。 袋の中に赤玉と青玉が入っており、一方はn個、他方は2n個入っていることが分かっている。
いま同時にk個(1≦k≦n)の玉を取り出したところ、玉はすべて赤色であった。
袋の中に赤玉が2n個入っている確率をn,kで表せ。 前>>683
>>685
赤2n個、青n個の袋から赤k個をとり出す確率は、
(2nＣk)/(3nＣk)=｛2n!/(2n-k)!k!｝/｛3n!/(3n-k)!k!｝
=2n!(3n-k)!/3n!(2n-k)! 前>>686括弧訂正。
>>685
赤2n個、青n個の袋から赤k個をとり出す確率は、
(2nＣk)/(3nＣk)=[2n!/｛(2n-k)!k!｝]/[3n!/｛(3n-k)!k!｝]
=｛2n!(3n-k)!｝/｛3n!(2n-k)!｝ >>685
袋の中に赤玉が2n個入っている確率の事前確率をどうするかで答が変動するんじゃないの？ 玉が入った袋が2袋ある。
いずれの袋も中に赤玉と青玉が入っているが、一方の袋には赤玉n個と青玉2n個、他方の袋には赤玉2n個と青玉n個が入っており、2つの袋は外からでは見分けがつかない。
いま1つの袋を確率1/2で選び、その袋から同時にk個(1≦k≦n)の玉を取り出す。
取り出した玉がすべて赤色であったとき、袋の中に赤玉が2n個入っている確率をn,kで表せ。 >>689
それって、あなたが「分からない問題」なの？
どういう文脈でその問題に遭遇したの？ >>690
帝京平成大学在学中なので分かりません
問題は興味があった題材です
中が見えない袋からボールを取り出して推測するにはどうしたらいいか考えました n個の点のうちいくつかが線分で結ばれている。1点からのびる線分は最大k本で、任意の2点は線分を何本か渡り歩くことで行き来できる。
1匹のウサギとk匹の犬がそれぞれいずれかの点に重複することなく存在していて、ウサギと犬は交互に一本だけ線分を渡る。ウサギは毎回動かなければならないが、動く犬の数は何でもよい。
ウサギと犬の初期配置にかかわらず、犬はウサギが動けない状態にできますか？一点に存在できる犬の数は一匹だけです。 >>689
p:袋の中に赤玉が2n個入っている確率の事前確率
p*choose(2*n,k)/(p*choose(2*n,k)+(1-p)*choose(n,k)) >>689
大学生向きの応用問題
玉が入った袋が2袋ある。
いずれの袋も中に赤玉と青玉が入っているが、一方の袋には赤玉r1個と青玉b1個、他方の袋には赤玉r2個と青玉b2個が入っており、2つの袋は外からでは見分けがつかない。
いま1つの袋を確率pで選び、その袋から同時にk個(1≦k≦min(r1,r2)の玉を取り出す。
取り出した玉がすべて赤色であったとき、袋の中に赤玉がr1個入っている確率Qを求めたい。
r1=90
b1=10
r2=50
b2=50
k=5
p:一様分布
のときのQの期待値を求めよ。 >>683
最大値でなくて上界を求めよなら答があったんだな。 齋藤正彦著『はじめての群論』
SL(2, C) の元 A の特性根が α, 1/α なら、 A はつぎの形のひとつの行列と共役である：
{{α, 0}, {0, 1/α}} (α ∈ C^*）
{{±1, 1}, {0, ±1}} （複号同順）
{{α, 0}, {0, 1/α}} ～ {{1/α, 0}, {0, α}} を除けば、このリストにある行列は互いに共役ではない。
その理由ですが、このリストにある行列の特性多項式が、 {{α, 0}, {0, 1/α}} ～ {{1/α, 0}, {0, α}} 以外は互いに異なるということを理由としています。
明らかに、 {{±1, 1}, {0, ±1}} と、{{±1, 0}, {0, ±1}} は特性多項式が同じですよね。
ジョルダン標準形の話を知っていれば、結果が正しいことはわかります。
しかし、この本は高校生2年生程度の知識で読めるように書いてあると著者が書いています。
ですので、ジョルダン標準形の知識は前提とされていません。
この著者の特徴ですが、議論が雑すぎます。 Binomial(2*n, k) / (Binomial(n, k) + Binomial(2*n, k)) aを正の実数とする。
（1）微分の定義に基づいて、(a^x)'を計算せよ。
（2）微分方程式y=y'の一般解を求めよ。その際、（1）において(b^x)'=b^xとなる実数の定数bが満たすべき条件を述べよ。 >>701
>ベイズ確率
ベイズ統計なら知ってるけど
ベイズ確率とは？ 微分の定義とか書いてる時点でもう次は読んで貰えない xy平面上のグラフC:y=a^xのx=0における接線の傾きが1となるような正の実数aを考える。aは
a = lim[t→∞] {1+(1/t)}^t
を満たすことを示せ。 >>700
>693でp=0.5 chooseをBinomialに置き換えれば>699になる。 x→∞でまだ性質がよく知られていない値に収束する極限を教えて下さい 袋から玉を取り出す系の確率の問題で興味深いものを教えて下さい m(√2)+neが無理数となる正整数の組(m,n)が少なくとも1組存在することを示せ。 >>710
urn problemで検索したらアホほど出てくる この解答で良いか教えて下さい
>>711
ある正整数の組(m,n)に対して、
i)m(√2)+neが無理数の場合
この(m,n)が題意を満たす
ii)m(√2)+neが有理数の場合
{m(√2)+ne}+e
=m(√2)+(n+1)e
は無理数。 松坂和夫著『現代数学序説』
命題1は明らかで済ませておきながら、|Map(X, {a, b})| = |P(X)| であることはわざわざ証明しています。
しかも、ちょっと抽象的な、いかにも松坂さんが好きそうな証明法です。
もっと素朴にできるのに、こんな証明を書いています。
松坂和夫さんの悪い特徴がここにあらわれていますね。
命題1 |X × Y| = |X| × |Y|
[証明] 明らかである。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
特に、 |Y| = 2 ならば、 |Map(X, Y)| = 2^n である。これは、 X のべき集合 P(X) の濃度に等しいことを示そう。
Y = {a, b} とし、 f : X → {a, b} に対し、 A = f^{-1}(a) = {i | i ∈ X, f(i) = a}
とおけば、 A は X の1つの部分集合である。逆に、 X の部分集合 A が与えられたとき、 A のすべての元を a に、 X - A のすべての元を b に
対応させれば、 X から Y = {a, b} への写像 f が得られ、 f^{-1}(a) = A となる。このようにして、 X の各部分集合 A と、写像 f : X → {a, b} とは1対1対応する。
ゆえに、 |P(X)| = |Map(X, {a, b})|。 >>714
これは証明を書かず、命題1と同様に明らかであるで済ませるべきですよね。
フェアじゃありませんよね？ rを実数とし、
a[1]=r
a[n+1]=({a[n]}/4)+(a[n]/4)+(5/6)
※{}はガウス記号、[]が紛らわしいので中括弧で代用
lim[n→∞] a[n]を求めよ。
今日の早稲田理工第3問から誘導を抜いたものです。
本番の第3問では補助数列b[n]とc[n]を設定する誘導がついていましたが、a[n]の式のみで、誘導なしでlim[n→∞] a[n]を求めるにはどうしたら良いでしょうか。 y=[x]/4 + x/4 + 5/6のグラフとy=xのグラフをじっとよく見る {a_n} が収束することはすぐに分かります。
1 < 7/6 ≦ lim_{n→∞} a_n ≦ 5/3 < 2
であることもすぐに分かります。
これから、
lim_{n→∞} [a_n] = 1
が分かります。
lim_{n→∞} a_n = α とすると、
α = 1/4 + α/4 + 5/6
が成り立たなければなりません。
これを解くと、
α = 13/9
となります。 f(x):=[x]/4 + x/4 + 5/6
| f(x) - f(13/9) | ≦ 7/18 | x - 13/9 |
∴ | a(n+1) - 13/9 | ≦ | an - 13/9 | 訂正
∴ | a(n+1) - 13/9 | ≦ 7/18 | an - 13/9 | >>719
{a_n} が収束することはすぐに分かります。
f(x) = [x]/4 + x/4 + 5/6
とします。
f(x) = x を解くことを考えます。
f(x) - x = 0 の解があったとし、それを x_0 とします。
すると、
x_0 - [x_0]/4 - x_0/4 - 5/6 = 0
[x_0] = 3*x_0 - 10/3
が成り立ちます。
x_0 - 1 < [x_0] ≦ x_0
ですので、
x_0 - 1 < 3*x_0 - 10/3 ≦ x_0
が成り立ちます。
この不等式を解くと、
7/6 < x_0 ≦ 5/3
となります。
よって、 [x_0] = 1 です。
1 = [x_0] = 3*x_0 - 10/3
より、
x_0 = 13/9
でなければならないということが分かりました。
これは実際に、
f(x) - x = 0
の解です。 x < 7/6 のとき、
簡単な計算により、
x < (x - 1)/4 + x/4 + 5/6
が成り立つ事がわかります。
ガウス記号の定義から、
(x - 1)/4 + x/4 + 5/6 < f(x)
が成り立ちますので、
x < 7/6 のとき、
x < f(x) が成り立ちます。
7/6 ≦ x < 13/9 のとき、
簡単な計算により、
f(x) = x/4 + 13/12
が成り立ちます。
また、 x < 13/9 ですので、
x < x/4 + 13/12
が成り立ちます。
つまり、
7/6 ≦ x < 13/9 のとき、
x < f(x) が成り立ちます。 以上をまとめると、
x < 13/9 のとき、
x < f(x)
が成り立ちます。
f(x) は明らかに単調増加関数です。
ですので、
x < 13/9 のとき、
f(x) < f(13/9) = 13/9
が成り立ちます。
よって、 a_n < 13/9 のとき、
a_{n+1} = f(a_n) < 13/9 が成り立ちます。
ですので、 a_1 < 13/9 のとき、
任意の n に対して、 a_n < 13/9 が成り立ちます。
a_n < 13/9 のとき、
a_n < f(a_n) = a_{n+1} < 13/9
が成り立つので、
a_1 < 13/9 のとき、
{a_n} は単調増加かつ上に有界な数列です。
よって、 {a_n} は収束します。
a_1 = 13/9 のときには、
a_n = 13/9 ですので、
{a_n} は収束します。
13/9 < a_1 のときも、 a_1 < 13/9 のときの議論と同様の議論により、
{a_n} は収束します。
以上から、初期値に関わらず、 {a_n} が収束することが分かりました。 ガウス記号の定義により、
すべての x に対して、
g(x) := x/2 + 7/12 ≦ f(x) < x/2 + 5/6 =: h(x)
が成り立つ。
数列 {b_n} を b_{n+1} = g(b_n) で定義する。
数列 {c_n} を c_{n+1} = h(c_n) で定義する。
{b_n} は初期値によらず、 7/6 に収束することは簡単に分かる。
{c_n} は初期値によらず、 5/3 に収束することは簡単に分かる。
a_1 = b_1 = c_1 のとき、
g(b_1) ≦ f(a_1) < h(c_1)、すなわち、 b_2 ≦ a_2 < c_2 が成り立つ。
b_n ≦ a_n < c_n が成り立つと仮定すると、
g(b_n) ≦ f(b_n) ≦ f(a_n) < f(c_n) < h(c_n)、すなわち、 b_{n+1} ≦ a_{n+1} < c_{n+1} が成り立つ。
よって、すべての n に対して、
b_n ≦ a_n < c_n が成り立つ。
よって、 lim b_n = 7/6, lim c_n = 5/3 であるから、
十分大きなすべての n に対して、
1 < b_n ≦ a_n < c_n < 2
が成り立つ。
よって、十分大きなすべての n に対して、 [a_n] = 1 である。
よって、 lim [a_n] = 1 が成り立つ。
lim a_n =: α とおくと、
a_{n+1} = f(a_n) = [a_n]/4 + a_n/4 + 5/6 だから、
α = 1/4 + α/4 + 5/6
すなわち、 α = 13/9 である。 コイツは他人の書いた教科書はボロクソ言うくせに自分で証明書いたらこの体たらく
よくこの実力であんな悪口雑言が吐けるもんだな 数学童貞です
当たり玉とハズレ玉が50個ずつあります。AとBの箱に好きな分配で
（Aに50個Bに50個でもAに99個 Bに1個でもよい）玉を入れます。
それを目隠しして（つまりAの箱なのかBの箱なのか分からないようにして）玉を１個引きます。当たり玉を高確率で引くにはどういう分配で入れるべきか。
答えとしてはAに当たり玉49個ハズレ玉50個入れて
Bには当たり玉1個 入れるのが一番高確率と思いますが、その計算式ってどうやれば良いでしょうか？私には見当もつきません。どうか教えて下さいませ >>730
M=50 # 当たりの総数
N=50 # 外れの総数
f=function(x,y,a=0.5){ # x:箱Aの当たりの数 y:箱Aの外れの数 a:箱Aが選ばれる確率=0.5
if(x+y==M+N) return(a*M/(M+N))
if(x+y==0) return((1-a)*M/(M+N))
else return(a*x/(x+y)+(1-a)*(M-x)/(M-x+N-y))
}
として
x=0,1,2,...,50
y=0,1,2,,...50
で最大となるx,yを求めれば(・∀・)ｲｲ!!
x=1,y=0
x=49,y=50
のときに最大値74/99となる。 >>728
補助数列使うなって言ってるだろうがw
低学歴は消えろ >>720
|f(2)-f(13/9)| = 7/18 > 35/162 = (7/18) * |2 - 13/9|
ですね。 >>720
f(x) := [x]/4 + x/4 + 5/6
|f(x) - f(13/9)| ≦ (13/16) * |x - 13/9|
ですね。 >>731
おまけ
x:箱Aの当たりの数 y:箱Aの外れの数
z：当たり玉を引く確率
をグラフにすると
https://i.imgur.com/Getw0Jg.png 前>>700
前々>>687
>>730
Aに当たり玉n個入れて、
Bに当たり玉(50-n)個入れると、
A,Bをそれぞれ1/2の確率で選ぶから、
(1/2)(n/50)+(1/2)｛(50-n)/50｝=n/100+(50-n)/100
=50/100
=1/2
∴任意のnについて当たり玉をとる確率は1/2
同様にm個のはずれ玉で任意のmについてはずれ玉をとる確率は1/2
あってるようなあってないような。
でも直感的に当たり玉はずれ玉半々なら入れ方によらず当たり玉をとる確率は1/2 罵倒投稿が多い中、>732のようなレスは清々しい。 理想的なコンパスと定規だけで
円柱を垂直に切るための線が引けるか？
どなたか分かる方おられませんでしょうか？ >>743
(フリなのかな…)
円を２つ重ねてくるんすればいいよね？
中心点と円周に接点作って。
で中心点同士を真っ直ぐ定規で通過する線を引いて２つのえんの円周率同士を通過する２点を通過する線を引いて
円周上の点とその円の中心点まで直線を引けば中心点同士を通過する線と円周上からその円の中心点に向かう線の角度は直角では？ あ ほ く さ
やめたら？うっかりアドバイス
(セルフ説教)
w 手持ち資金が足りません
理想的なコンパスと定規だけでで増せるか？
どなたか分かる方おられませんでしょうか？ 1. A_5 は単純群であることを示せ。
2. A_5 の A_5 とは異なる任意の部分群の位数は高々 12 であることを示せ。 尿瓶とは尿瓶おまる洗浄係の扱う容器である。
職種の言えない医療従事者=尿瓶おまる洗浄係
ライセンスに基づいて仕事をしていれば職種がいえる。 y={1-e^(-x)}{e^(-x)cos(x)+sin(x)}
の極値をすべて求めよ。 松坂和夫著『代数系入門』
「
上では S_n の任意の元 σ が、(2)のように、互いに素な巡回置換の積として表わされることを示した。
この表わし方は、因数の順序を除けば一意的である。
それを示すには、 σ を互いに素な巡回置換の積に分解したとき、因数である各巡回置換の巡回域はそれぞれ σ に関する1つの推移類となっていることに注意すればよい。
くわしくは読者の練習問題（節末の問題4）に残しておこう。
」
などと書いています。
松坂和夫さんは、大事なところを「明らか」で済ますことがありますが、本当に明らかなことをこのように証明させようとしています。
「それを示すには、 σ を互いに素な巡回置換の積に分解したとき、因数である各巡回置換の巡回域はそれぞれ σ に関する1つの推移類となっていることに注意すればよい。」
このヒント？も必要性が不明です。 σ に関する推移類への分解は一意的だから。
と証明させたいのでしょうか？
σ を互いに素な巡回置換の積に分解するプロセスを考えれば一意性は自明です。
これを証明させようとしている本など他に1冊でもあるでしょうか？ あれだけの能無しっぷりを曝け出したアホの吐いていいセリフじゃないな >>754
今年の東京大学入試問題第1問候補です
よろしくお願いいたします n ≧ 5 のとき、 S_n の正規部分群は、 S_n, A_n, {e} の3つであることを証明せよ。 >>760
解けました。
ですが、 A_n が単純群であることを使わないで解くにはどうすればいいでしょうか？ An(n≧5)が単純群証明すりゃいいのでは？
そんな難しくないやろ 2乗するとちょうどn桁になる正整数の個数をf(n)とおく。
たとえばn=1のとき、そのような正整数は1,2,3の3つであるからf(1)=3である。
f(n+1)>f(n)を示せ。 指数関数グラフ：y=10^(x/2)の凸性より明にしてらか。 >>762
A_n が単純群であることを使わない非常に簡単な証明が載っているpdfファイルがありました。
n ≧ 3 のとき、 A_n は3サイクルによって生成される。
n ≧ 5 のとき、 A_n は(2, 2)タイプの置換によって生成される。
N を A_n の {()} ではない正規部分群とすると、 N は 3サイクルまたは(2,2)タイプの置換を少なくとも1つは含む。
以上から、 A_n ⊂ N であることがわかる。
A_n は S_n に真に含まれる位数が最大の部分群（実は S_n に真に含まれる最大の部分群は A_n 一つだけである）だから、
N = A_n または N = S_n が成り立たなければならない。 >>767
アホか
N を A_n の {()} ではない正規部分群とすると、 N は 3サイクルまたは(2,2)タイプの置換を少なくとも1つは含む
こんなん証明抜きに認められるわけないやろ？
なんで自分の証明考えてるときはそこまで甘々やねん
アホか >>768
>>767
はネット上のpdfファイルの要約です。 n ≧ 5 のとき、 S_n の正規部分群は、 S_n, A_n, {e} の3つであることを証明せよ。
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/Ansimple.pdf
このpdfファイルに A_n が単純群であることを使わない非常に簡単な証明が書いてあります。 >>769
だからそんな証明通用しとらんと言ってんだよ
アホ
なんで分からんの？
書いてる最中に「ホンマか」って常にチェックするくせがつけられてないんだよ
こんなハッキリ通用しない証明が見分けられん人間がよく教科書のダメ出しなんかできるな？
自分の能無し具合がやるで理解できとらん >>770
には詳細に証明が書いてあります。
その結果の要約が
>>767
です。 要約って
N を A_n の {()} ではない正規部分群とすると、 N は 3サイクルまたは(2,2)タイプの置換を少なくとも1つは含む。
ここに求められてる議論を全部“要約”して「簡単な証明がありました」って言ってんのwww
そりゃこの10数行にわたる議論2行に要約すれば簡単になるわなwww
もちろんこんなん別に難しくはないし数学科の3回生の定期考査レベルの話ではあるけどな
こんな程度のレベルの話何日かかってんの？
群論入門に一生費やすか？wwwww >>773
n≠0とする。
x+n=xを満たす数xを「n数」と呼ぶ。
n数は複素数でないことを示し、また相異なる3つのj,k,lに対してj数、k数、l数を考えるときそれらの直交性について論ぜよ。 部分積分みたいなのですが、途中計算が無く分かりません。
くわしい途中計算をおしえてください。よろしくお願い致します。
赤い所がどうしてそうなりたのか分かりません。
https://i.imgur.com/nsfgbbv.jpg 先週に続き、確率の求め方について聞きたいです。
設問が４択の問題で、ＡさんＢさんＣさんの３人が、同時に解きます。
Ａさんの正解率が80%、Ｂさんの正解率が70%、Ｃさんの正解率が60%の場合、
３人が答え合わせをして、３人の答えが多数決、つまり２人以上が同じ解答したものの問題を集めます。
集めた問題の解答が、正解である確率はどうなるのでしょうか。
前回は、３人一致での正解確率はどうなるかで、99.2%と出ました。
３人一致だと、解答が一致している件数が減るつまり、母数が減るのではと言うことがあり、
多数決だと母数が増える一方、正解率は下がると見込んでいます。
要は、市場調査の集計に使えるのかと検討している状況です。 前>>761
>>778べん図を描けばわかると思うけど2回被りを引かないかんな。 前>>779
>>778
A∩B=8×7=56(%)
B∩C=7×6=42(%)
C∩A=6×8=48(%)
A∩B∩C=56×0.6=33.6(%)
A∩B∩~C=56×0.4=22.4(%)
B∩C∩~A=42×0.2=8.4(%)
C∩A∩~B=48×0.3=14.4(%)
求める確率は、
A∩B∩~C+A∩B∩C+B∩C∩~A+C∩A∩~B
=22.4+33.6+8.4+14.4
=78.8(%) 2つの閉領域DとEがあり、Dの面積は1である。
領域(Dの内部かつEの内部)∩(Dの内部かつEの外部)の面積は1であることを示せ。 >>780
回答頂き、ありがとうございます。
なるほど、ベン図を描いて、求めるということですね。
78,8%だと、まあAさんの正解率の80%より、落ちるということですね。 f(x)をn次多項式(n≧1)とする。
f(α)が実数でないような複素数αが存在することを示せ。 代数学の基本定理よりf(a)=√(-1)となる複素数aが存在する 間違えた。
4*(8.94^18)< 10^18 を示せ。 1.1^9 >1 + 9×0.1 + 36×0.01 = 2.26 > 2
∴ 2^(1/9) = 4^(1/18) < 1.1 < 1.118568232662 = 10/8.94 齋藤正彦著『はじめての群論』
SL(2, C) / {I_2, -I_2} が単純群であることを証明しています。
しかし、ただ証明しただけで、その応用などは書いてありません。
こういうのって意味ありますか？ 任意の実数x,yについて
f(x+y)=f(x)+f(y)
が成り立つとき、f(x)=xのみであると言えるか。 >>790
ありがとうございます、ということはf(x)=axの形で表されるものが全てでしょうか。 >>791
いいえ
条件はf:R→RがQベクトル空間としての線形写像である事と同値
そんなもん無限次元個ある f(x)が微分可能な連続関数だとすれば、
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)からf(0)=0
f(x+h)-f(x)=f(x)+f(h)-f(x)=f(h)-f(0)より
f'(x)=lim[h→0] (f(x+h)-f(x))/h=f'(0)
f(x)=f'(0)x+C
f(0)=0 よりC=0 >>780
それって、2人以上が同じ回答をする確率じゃないの？ >>778
100万回のシミュレーションでは
> sim <- function(a=0.8,b=0.7,c=0.6,m=4){
+ A=sample(1:m,1,prob=c(a,rep((1-a)/(m-1),m-1)))
+ B=sample(1:m,1,prob=c(b,rep((1-b)/(m-1),m-1)))
+ C=sample(1:m,1,prob=c(c,rep((1-c)/(m-1),m-1)))
+ c(A,B,C)
+ }
> f <- function(x){
+ if(length(unique(x))==3) return(0)
+ else as.numeric(names(which.max(table(x))))
+ }
> answers=t(replicate(1e6,sim()))
> re=apply(answers,1,f)
> mean(re[re>0]==1)
[1] 0.9065208
という結果になった。 >>782
なんで誤った回答にお礼するわけ？
お人好し？ >>782
直感的にはBもCも正解率が５０％を超えているので多数決をとるとAの正解率より向上すると思う。 >>799
正答を助言するわけでもなく罵倒しかできない人間が多いよね。
典型が医師板を荒らしている尿瓶おまる洗浄係。 a=0.8
b=0.7
c=0.6
p=c(a,b,c)
m=4
# a,b,c の答が一致する確率
p3=prod(p)+(m-1)*prod((1-p)/(m-1)) # 正答で一致、誤答で一致
# a,bの答のみ一致する確率
a*b*(1-c) # a,b:正答 c:誤答
(m-1)*((1-a)/(m-1)*(1-b)/(m-1)*(c+(1-c)/m*(m-2))) # a,b 誤答 c:正答もしくはa,bの別の誤答
# ans(a) == ans(b) != ans(c)の確率(a,bのみ同じ答の確率)を計算
f2=function(a,b,c) a*b*(1-c) +(m-1)*((1-a)/(m-1)*(1-b)/(m-1)*(c+(1-c)/m*(m-2)))
p2=f2(a,b,c)+f2(b,c,a)+f2(c,a,b) # 2人のみ答が一致する確率
# 多数決候補が正解である確率
(a*b*c+(1-a)*b*c+(1-b)*c*a+(1-c)*a*b)/(p3+p2)
> (a*b*c+(1-a)*b*c+(1-b)*c*a+(1-c)*a*b)/(p3+p2)
[1] 0.9106317 齋藤正彦著『はじめての群論』
SL(2, C) / {I_2, -I_2} が単純群であることを証明しています。
A5 が単純群であることを証明しています。
そして、まえがきにそれがこの本の特色であるなどと書いています。
こういうただ結果だけを載せて終わりというのは意味ありますか？ 任意の実数x,yに対して
f(xy)=f(x)+f(y)
を満たす関数f(x)をすべて決定せよ。 x=y=0でf(0)=0
x=任意、y=0で0=f(xy)=f(x)+f(y)=f(x) >>805
最初から x=任意 y=0 で良くないか？ 大学以降の数学じゃ通用しない
任意のxで定義されてないとあかんやろ
「定義域は空気読んで考えろ」は受験数学までしか通用しない △ABCの垂心をH、∠APB=120°となる点P全体からなる領域（軌跡）をKとする。
K上にHが乗るための必要十分条件を求めよ。 （1）どの桁の数字も1,2,5のいずれかであるような平方数が無数に存在することを示せ。
（2）（1）において、2,7,9の場合はどうか。 齋藤正彦著『はじめての群論』
「C^2 - {(0, 0)} に GL(2, C) が推移的に作用することを示す。」
などと宣言したあと、以下のような記述をしています。
「
x0 = (1, 0) とする。任意の x = (x, y) ≠ (0, 0) に対して
A = {{x, -y}, {y, x}}
とおけば A は正則で T_A(x0) = A*x0 = x となる。
」
(1, i) ≠ (0, 0) ですが {{1, -i}, {-i, 1}} は正則ではありません。
一体何を考えているのでしょうか？ 訂正します：
齋藤正彦著『はじめての群論』
「C^2 - {(0, 0)} に GL(2, C) が推移的に作用することを示す。」
などと宣言したあと、以下のような記述をしています。
「
x0 = (1, 0) とする。任意の x = (x, y) ≠ (0, 0) に対して
A = {{x, -y}, {y, x}}
とおけば A は正則で T_A(x0) = A*x0 = x となる。
」
(1, i) ≠ (0, 0) ですが {{1, -i}, {i, 1}} は正則ではありません。
一体何を考えているのでしょうか？ A = {{a, b}, {c, d}} とします。
x = (x1, x2) ≠ (0, 0)
y = (y1, y2) ≠ (0, 0)
とします。
y = A * x となるような複素正則行列が存在することを示せばよいです。
(1) x1 ≠ 0 かつ y1 ≠ 0 のとき
x1 * a + x2 * b = y1
x1 * c + x2 * d = y2
A = {{y1/x1, 0}, {(y2-x2)/x1, 1}} とすればよい。
(2) x1 ≠ 0 かつ y2 ≠ 0 のとき
A = {(y1-x2)/x1, 1}, {y2/x1, 0}} とすればよい。
(3) x2 ≠ 0 かつ y1 ≠ 0 のとき
A = {{0, y1/x2}, {1, (y2-x1)/x2}} とすればよい。
(4) x2 ≠ 0 かつ y2 ≠ 0 のとき
A = {{1, (y1-x1)/x2}, {0, y2/x2}} とすればよい。 10^m+nが平方数となるような正整数mと平方数nの組(m,n)は存在するか。
存在するならば無数に存在するかどうかについて述べ、存在しないならばそのことを証明せよ。 >>820
訂正の訂正：「平方数n」→「1以上の平方数n」 10^2+24^2=26^2
10^3+249^2=251^2
10^4+2499^2=2501^2
10^5+24999^2=25001^2 >>822
すごいです
どうやって見つけたか教えてください >>819
無数に存在する
m≧2で
10^m =50×2×10^m/100
k=10^m/100+25, l=10^m/100 -25とすれば
10^m =(k-l)(k+l)= k^2 - l^2
n=l^2とおけば
10^m+n= k^2 >>823
隣り合う平方数の差は奇数だから
連続する奇数の和が10^mになればいい
49,51
499,501
4999,5001
のように 任意の正整数 n に対して、10^n = a^2 + b^2 を満たす 10で割り切れない正整数 a, b (a>b) がただひと組あることを示せ >>823,825
m≧2では、4kが10^mの約数となる整数kが必ず存在する。
l=10^m/(4k) とおけば、
10^m=4kl={(l+k) -(l-k)}{(l+k)+(l-k)}=(l+k)^2 -(l-k)^2
n=(l-k)^2とおけば、
10^m + n = (l+k)^2
k=1としたのが>>822
k=25としたのが>>824 10^n = ( a + bi )( a - bi )
ガウス環はufdだからこのとき
a + bi = i^d( 1 + 2i )^e( 1 - 2i )^f( 1 + i )^10
ただしe+f = n
ここで(e,f)=(n,0),(0,n)である場合を除いて10の倍数になってしまう
分解の一意性から逆も成立する
dの自由度と(n,0),(0,n)の選択の自由度は符号とa,bの入れ替えの自由度に吸収されてしまう >>778
各人の正解率はそのままで設問がn者択一のとき
多数決解が正解である確率p
n p
1 2 0.7880000
2 3 0.8755556
3 4 0.9106317
4 5 0.9300130
5 6 0.9424034
6 7 0.9510345
7 8 0.9574014
8 9 0.9622958
9 10 0.9661774 G を群とする。
#G = p^n とする。
すると、 Z(G) ≠ {e} が成り立つ。
このことを使って、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つことを示せ。 確率の問題で質問です。
「的中率〇％のクジを〇回引いた時に、〇回連続で外れることが〇回以上起こる確率は何％か？」という問題を求める式を知りたいです。
確率に詳しいかたいましたらよろしくお願いいたします。
例題：当選率25％のクジを1000回引いたときに、15回連続で外れることが3回以上起こる確率は何％か？ >>831
１００万回のシミュレーションでの頻度を出してみた
> sim=\(
+ p=0.25,
+ n1000=1000,
+ n15=15,
+ n3=3
+ ){
+ re=rle(rbinom(n1000,1,p))
+ sum(re$lengths[re$values==0]==n15)>=n3
+ }
> mean(replicate(1e6,sim()))
[1] 0.04953 >>830
帰納法により証明する。
n = 0 のときは明らかに成り立つ。
n-1 のときに成り立つと仮定する。
コーシーの定理により、 Z(G) には位数 p の元が存在する。
<a> ⊂ Z(G) だから、 <a> は G の正規部分群である。
#(G/<a>) = p^{n-1} である。
帰納法の仮定により、 G/<a> はすべての i ∈ {0, 1, …, n-1} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。
f : G → G/<a> を自然な全射準同型とする。
H を G/<a> の位数 i ∈ {0, 1, …, n-1} の部分群とする。
f^{-1}(H) は G の部分群である。
f の f^{-1}(H) への制限を g とする。
g : f^{-1}(H) → H は全射準同型である。
f^{-1}(H)/(Ker(g)) は H と同型である。
#(f^{-1}(H)/(Ker(g))) = #H
#f^{-1}(H) / #Ker(g) = #H
#f^{-1}(H) = #Ker(g) * #H = p * #H = p^{i+1}
よって、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n-1} に対して、位数が p^{i+1} であるような部分群を持つ。
すなわち、 G はすべての i ∈ {1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。
G は 単位群 {e} を含むから、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。 >>831
なんかパチンコ台で出てきそうな状況だな。
大当たり確率1/100のパチンコ台を１日中打って、
5000回スタートチャッカーを回したが、1000回
ハマりを3回くらったけどその確率は？みたいなｗ >>833
読んでみたけど馬鹿な自分では理解できなかった・・・
やはり簡単な式で表すのは無理なのね 前>>780もうね、でっち上げだよ、確率は。
>>831
確率=｛(3/4)^15×3×957×956｝/(958×958)
=(3^16×957×956)/(4^15×958^2)
=0.03996492639……
∴4%弱 N種類の商品をM個入れた詰め合わせを作る。このとき、どの2つの詰め合わせを見てもK個以上のダブリが無いようにしたい。
このような詰め合わせを最大でいくつ作れるか？
(1)詰め合わせに同じ商品を入れない
(2)詰め合わせに同じ商品を入れてもよい
例えば(N,M,K)=(6,3,2)なら、(1)の答えは商品をa～fとして(a,b,c)(a,d,e)(b,d,f)(c,e,f)の4組だと思います。
(2)の答えは、例えば↑に(a,a,a)～(f,f,f)を追加した10組が思いつきますが、これが最大かどうかは分かりませんでした。
欲しいのは(N,M,K)=(10,5,3)なので、一般解が難しいならこれ限定でもいいです。
よろしくお願いします。 東京大学 理科一類、理科二類、理科三類の問題・解答 数学(前期)
http://www.toshin.com/sokuho/univ.php?univname=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A6&;gakubuname=%E7%90%86%E7%A7%91%E4%B8%80%E9%A1%9E%E3%80%81%E7%90%86%E7%A7%91%E4%BA%8C%E9%A1%9E%E3%80%81%E7%90%86%E7%A7%91%E4%B8%89%E9%A1%9E&kamokuname=%E6%95%B0%E5%AD%A6 前>>839訂正。
>>831
確率=(3/4)^15(957/958)+(3/4)^15(956/958)+(3/4)^15(955/958)
=0.04000668703……
∴4%強
じつに微妙だ。違うかなぁ。 >>833
高校数学のスレタイも読めないアホは引っ込んでろ 前>>842訂正。
>>831
確率=(3/4)^15(985/986)+(3/4)^15(970/972)+(3/4)^15(955/958)
=0.04000748499……
∴4%強 前>>844
>>831
確率=(3/4)^15×3
=0.04009038303……
∴4%強
シンプルにこれでいいかも。 >>840
(2)のルールでaが3つ入るのが2袋も禁止なん？
{aaabc}と{aaade}は禁止？
つまりK個以上とはダブりアリのk個も禁止？
例えば
{aabcd}と{aabfg}は{aab}を「同じ3個以上のダブり」があると見做すん？ >>846
そうです、K=3なら3個以上が共通になってる詰め合わせの組があったらダメです（(1)も(2)も同じ）
その例は両方とも禁止です ダメだ
手計算でやったらくそおもろない場合わけの連発にしかならん
計算機マターですな >>840
(1)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] a b c d e
[2,] a b f g h
[3,] a c f i j
[4,] b d g i j
[5,] c e g h i
[6,] d e f h j >>840
(2)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] a b c d e
[2,] a b f g h
[3,] a c f i j
[4,] b d g i j
[5,] c e g h i
[6,] d e f h j
[7,] a a a a a
[8,] b b b b b
[9,] c c c c c
[10,] d d d d d
[11,] e e e e e
[12,] f f f f f
[13,] g g g g g
[14,] h h h h h
[15,] i i i i i
[16,] j j j j j >>839
確率はあなたの心の中にあります。
卑近な例では安倍晋三が仮病の確率。 >>851
それ面白いと思ってる？
そのズレっぶり高校数学を読めないだけはあるね >>840
列挙するプログラム完成（正しいかどうかは知らんｗ）
(N,M,K)=(15，7，4）の場合
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] a b c d e f g
[2,] a b c h i j k
[3,] a b c l m n o
[4,] a d e h i l m
[5,] a d e j k n o
[6,] a f g h i n o
[7,] a f g j k l m
[8,] b d f h j l n
[9,] b d f i k m o
[10,] b e g h j m o
[11,] b e g i k l n
[12,] c d g h k l o
[13,] c d g i j m n
[14,] c e f h k m n
[15,] c e f i j l o >>852
こういうのが面白いと思えないからシリツなんじゃねぇの？ >>855
そういうのが痛いって分からねぇから尿瓶なんじゃねぇの？ 確率の問題は乱数発生させてシミュレーションできるけど
場合の数は簡単にはいかないな。 >>849
７つ目があるかをしらみつぶしにあたったけど７つ目はないようなので６組でいいんじゃないかな。 >>857
はい、尿瓶w
もう何も言い返せないのか？あ？ ありがとうございます。
自分でも少し考えました。
(1)で(N,M,K)=(10,5,3)の場合だと、ある商品aを含む詰め合わせは3つまでしか作れません(abcde,abfgh,acfij)
どの商品もそうなので、商品を使えるのは全部で10×3の30回まで、詰め合わせにすると÷5の6組が上限です。
>>849で実際に6組作れているので、この場合についてはこれが答えだと思います。（自力ではこの組み合わせ見つけられなかった…）
この議論を進めると、(N,M,K)について特定の商品を含む詰め合わせ数の上限Aがわかれば、
N×A÷Mの余り切り捨てが(N,M,K)で作れる詰め合わせ数の上限ということになります。
ここでAは何かということを考えると、特定の商品を除いたN-1個の商品から、M-1個の詰め合わせを、K-1個以上のダブリがないように作れる数ですから
すなわち今考えている問題の(N-1,M-1,K-1)での解に他なりません。
つまり、この問題の答えをS(N,M,K)と書くとすると、以下が成り立ちます。
S(N,M,K)≦[S(N-1,M-1,K-1)×N÷M]
という漸化式が出来て喜んでたんですが、(10,5,3)に適用してみると
S(10,5,3)≦[S(9,4,2)×2]≦[[S(8,3,1)×9/4]×2]≦[[[8/3]×9/4]×2]=8
（※S(N,M,1)は要するに商品が1個ずつしか使えないということなので[N/M]）
なのでこれだけじゃまだ上限が高いし、この方針だとどこまで行っても不等号が外せないんですよね…
ここで行き詰まりました。
なにか虱潰し以外の解放がありそうな気はするんですが… 組み合わせ論のtデザインとかいう話で似たような話が出てくるけどあっちでも実際の最大値出すのは論文レベルなんだからこっちも無理やろ 確か以前興味本位にチラ読みした事あるけど大概
•割と初等的に得られる上から評価が出る
•パラメータが小さい実例だと実際それが上限になってる
•パラメータが大きくなったとき大丈夫ですか
と進んで
•計算機で探してみたらいけましたor反例ありました
みたいなノリ
今回のは“パラメータ小さいときまぁまぁ合う上限”すら見つからんのだからしらみつぶししかないやろ
シロウトの“ありそうな気がする”に付き合うヒマジンおらんよ >>861
シリツでないと言えないからシリツなんだろ。
どこの国立落ちたの？ >>865
アンタは受験資格すらなかったんじゃねぇの？
こんなとこで意味不明なことを発狂し続けてる頭イカれたやつに数学なんかできるわけないもんねぇw >>866
>849で出した具体的な組み合わせでいいようで気分が( ・∀・)ｲｲ!!
計算機マターなので計算機を使った。 >>867
そんなのアンタの脳内にしかないだろうが
寝言も大概にしろw
高校数学の文字も理解できない分際で数学()とか笑わせるねw >>870
アンタの脳内しかない妄言だよそれは
他人に全く通じないし相手にされてないんだから
脳内医者は図星だから発狂してんだろ？まるで病識ないんじゃつける薬もないなw >>859を見てるとどうせまたいつもの勘違いしてるあてにならん計算やろ
こいつの知能では手に負えんやろ 座標平面上の双曲線C:y=1/xに対し、Cとx<0および0<xの領域で交わる直線を考える。そのx<0における交点をP、0<xにおける交点をQとし、PQの中点をMとする。
このような直線が動くとき、Mの存在する領域を求めよ。 以下の東大理系第2問（2）の着想の仕方を教えてください（（1）は実験、（3）はただのおまけなのでここでは省略します）
予備校の解答を見るといきなり「a[n+l]≡a[n]であることを示す。」と始まっていてどうしてそういう発想になるのかわかりません
第2問（2）
a[1]=1
a[n+1]=(a[n])^2+1
とするとき、a[n]がa[k]の倍数となるための必要十分条件をk,nを用いて表せ。 >>875
（1）は「nが3の倍数のときa[n]は5の倍数であることを示せ」です
この結果から、どうして（2）の初手である「正の整数n,lに対してa[n+l]≡a[l]（mod a[n]）を示す」に繋がるのかが分かりません 空気読んだんやろ
「ムズイ、どうやるんやろ？きっと(1)はヒント、nが3の倍数の時a[n]は5の倍数？、3と5？、そういやa[3]=5？、でnが3の倍数ならa[n]は5の倍数？もしや！」
的な そうですね
(1)が参加賞にしては妙に参加賞すぎるのが臭いというかヒントと考えて、
もうちょっと実験すると気が付くと思います 今でも計算機が出来ない賢い計算なんてものが存在するのか
＞今でもMathematicaで処理できない式がここにのっていますので、今でも最強です。
https://twitter.com/takeokato719/status/1497575330319835138
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>850
17個めを、重複を許す組み合わせ2002個から探索してみたが、17個めはなし。
(N,M,K)=(10,5,3)で
(2)詰め合わせに同じ商品を入れてもよいなら、16組でよさそう。 >>841
>>874
第2問
(1)
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = 5 ≡ 0 (mod 5)
a_4 ≡ 0^2 + 1 = 1 (mod 5)
a_5 ≡ 1^2 + 1 = 2 (mod 5)
a_6 ≡ 2^2 + 1 = 5 ≡ 0 (mod 5)
よって、明らかに、 3 | n ⇒ 5 | a_n >>841
>>874
第2問
(2)
a_n は単調増加数列である。
よって、
1 ≦ m < k のとき、
a_m ≡ 0 (mod a_k) は成り立たない。
明らかに、
a_k ≡ 0 (mod a_k)
である。
a_{k+1} = a_{k}^2 + 1 ≡ 0^2 + 1 = 1 = a_1 (mod a_k)
a_{k+2} = a_{k+1}^2 + 1 ≡ a_{1}^2 + 1 = a_2 (mod a_k)
a_{k+3} = a_{k+2}^2 + 1 ≡ a_{2}^2 + 1 = a_3 (mod a_k)
…
a_{k+k} = a_{k+(k-1)}^2 + 1 ≡ a_{k-1}^2 + 1 = a_k ≡ 0 (mod a_k)
よって、明らかに、 k | n ⇔ a_k | a_n >>841
>>874
第2問
(3)
8091 = 4 * 2022 + 3
a_8088 = a_{4 * 2022} ≡ 0 (mod a_2022)
a_8089 = a_{8088}^2 + 1 ≡ 1 (mod a_2022)
a_8090 = a_{8089}^2 + 1 ≡ 2 (mod a_2022)
a_8091 = a_{8090}^2 + 1 ≡ 5 (mod a_2022)
よって、
(a_8091)^2 ≡ 5^2 = 25 (mod a_2022)
(a_8091)^2 = q_1 * a_2022 + 25
a_2022 = q_2 * 25 + r_2
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = 5
a_4 = 26 ≡ 1 (mod 25)
a_5 = a_{4}^2 + 1 ≡ 1^2 + 1 = 2 (mod 25)
a_6 = a_{5}^2 + 1 ≡ 2^2 + 1 = 5 (mod 25)
よって、明らかに、 3 | n ⇔ a_n ≡ 5 (mod 25)
2022 = 674 * 3
よって、 a_2022 ≡ 5 (mod 25)
よって、 r_2 = 5
よって、 GCD(a_2022, (a_8091)^2) = 5 >>874,876
おそらく、(1)は、
ある整数を法として、 a_n を計算してみる
というヒントを与えているのだと思います。
3 とか 5 とかいう整数は別に何でも良かったのだと思います。 (2)では、a_n が a_k で割り切れるかどうかが問題です。
(1)でのヒント「ある整数を法として、 a_n を計算してみる」に従って、
を a_k を法として a_n を計算してみると自然と答えが分かります。 >>885
訂正します：
(2)では、a_n が a_k で割り切れるかどうかが問題です。
(1)でのヒント「ある整数を法として、 a_n を計算してみる」に従って、
a_k を法として a_n を計算してみると自然と答えが分かります。 >>879
Mathematicaの専門パッケージ購入しても駄目かな
各種特定分野にかなり特化できる見たいけど こいつ他人の証明はガタガタいうくせに自分で証明付ける時はちょっと工夫して書けば消せる“明らかに”の連発
なんなんこの能無し？ >>881
へ？ｗ
(1)はせめて数学的帰納法を持ち出さないといかんのじゃないの？
a_(k+3) = {(a_k^2 + 1)^2 + 1}^2 + 1
右辺のa_kの0次の項はa_kに0を代入すれば簡単に5だと
わかるので、a_k≡0 ⇒a_(k+3)≡0
a_3=5≡0 なので、nが3の倍数であればa_n≡0
(2)に関しても、n=k+lとすれば、
a_(k+l)=(...((a_k^2+1)^2 +1 }^2+1...)^2+1
右辺のa_kの0次の項をb_lとおくと、
b_1=1, b_(l+1)=b_l^2 + 1
つまり、b_l = a_l となっているので、
a_(k+l)≡b_l≡a_l (mod a_k)
l=kであれば、a_(k+k)≡0
(1)の議論と同様に,nがkの倍数であればa_n≡0 >>874
いきなりa_(n+l)≡a_l (mod a_n)に気づくかどうかは
確かに？だけど、気づく人は気づくんだろうねｗ
まじめな話、(1)を解く際に、数学的帰納法を使っていれば、
a_(n+3)においてa_nの0次の項がどうなるかを考えるわけだから、(2)においても同様の発想で、結果的に気がつくという
ことはあると思う。 (1)はヒントのための問題だとしか思えません。
ヒントを出すのなら、分かりやすいヒントにすべきです。
ヒントとして働きにくい分かりにくいものなど書かないほうがマシではないでしょうか？ (3)のヒントとして、(2)を出題する。
(2)にはヒントをつけない。
これが正解だと思います。 このクソみたいな実力でこの上から発言
そんな人間性だからいつまでだたっても何やってもダメなんだよ
人生このまま何にも出来ない人間のまま終わっていいんかね？ 現場では(1)がないとたぶん大変なので、難易度調整用でしょう
(1)がなかったとして、すぐに実験を始める勇者はそんなにいないでしょうが、
(1)で「実験しろ」と言っているので難易度は大幅に下がっています
本心ではつけたくなかっただろうと思われます (1)を(2)のヒントとしてつけるなら、
(0) a_3 を計算せよ。
(1) k = 3 のとき、 k | n ⇔ a_k | a_n であることを示せ。
とするのがいいと思います。 そもそもヒントで難易度を調整しようという発想が間違っています。 >>896
のように素直にヒントを与えるのならいいのですが、それはヒントとして大きすぎるとかやりだすとこの問題のようにみっともなくなってしまいます。 なんか、おかしな人にレスしちゃってたみたいだな。
この人もイナさんみたいにコテハンつけてほしいわ。
やれやれ... n次元立方体に内包されるm次元立方体の数ℓを一般化したいのですが出来ませんでした。数強さんお願い致します。 #知恵袋_
高校大学ともに文系なので何か間違いがあったらすいません そもそも「内包される」などという言葉使われても何計算していいかわからん
数学的な表現がむりならとりあえず
(m,n)=(1,1),
(1,2),(2,2)
(1,3),(2,3),(3,3)
の場合の答え書いてよ
あとはエスパーするから 海外の高校に行っているJK３なんですけど、、、
この問題がわかる方おられますでしょうか
https://imgur.com/rFgIH0E >>901
ありがとう。よろしくお願いします。
(0,0)=1 (1,0)=2 (2,0)=4 (3,0)=8 (4,0)=16 (5,0)=32 (6,0)=64
(1,1)=1 (2,1)=4 (3,1)=12 (4,1)=32 (5,1)=80 (6,1)=19
(2,2)=1 (3,2)=6 (4,2)=24 (5,2)=80 (6,2)=240
(3,3)=1 (4,3)=8 (5,3)=40 (6,3)=160
(4,4)=1 (5,4)=10 (6,4)=60
(5,5)=1 (6,5)=12
(6,6)=1
n-m<0の時はちょっとわかんなかったので考えてないです。 >>901
https://imgur.com/gallery/VfKtzip
これでいかがでしょう。こうなりそうだなーって式は書いてますけど、これが正しいかも、そもそも書き方があってるのかもわかりませんが この問題をお願いします
座標平面上の双曲線C:y=1/xに対し、Cとx<0および0<xの領域で交わる直線を考える。
そのx<0における交点をP、0<xにおける交点をQとし、PQの中点をMとする。
このような直線が動くとき、Mの存在する領域を求めよ。 >>902
高校で、マクローリン展開なんてやるんですね。
でも、この問題、特にb.はひどい問題ですね。
その式を見つけさせて、数学的帰納法で証明せよという問題にすべきですね。 >>906,908
ありがとうございます！
ｃの答えは、m = 3/2 と -5/2ってことですね。
世界模試の問題なんですけど、クラスの誰もできてないです・・・ l(n,m)=2l(n-1,m)+l(n-1,m-1)
ならl(n,m)=2^(n-m)k(n,m)とおいて
k(n,m)=k(n-1,m)+k(n-1,m-1)
でいけるやろ >>912
計算式までありがとうございます！
こんなに難しい計算なんですね・・・
めっちゃ尊敬です >>915
ｂもありがとうございます！！
aはなんとか自力でできましたので、これで全部ＯＫです！
本当に助かりました～ >>853
＞思われてる確率
確率はあなたの心の中にあります。
の実証例だねｗｗｗｗ >>905
Cと２点で交わる直線の方程式はy=ax+b (a≠0)とおけるので、交点のx座標は
ax+b=1/xの解。x≠0より、ax^2+bx-1=0 の解α、βを考えると、
Mの座標を(X,Y)とすれば、X=(α+β)/2, Y= (1/α+ 1/β)/2 =（α+β)/(2αβ)
解と係数の関係から、α＋β=-b/a, αβ= -1/a また、αとβは異符号より、αβ=-1/a <0 ⇒ a>0 このとき、判別式D=b^2+4a >0は必ず２つの実解をもつ。
以上より、X=-b/(2a), Y =b/2 (a>0, bは任意）
よって、M(X,Y)は aを任意の正の実数として、Y = -aX 上の任意の点をとりうる
ので、Mが存在する領域は X>0かつY<0、X<0かつY>0、そして原点。 lim n^(1/n) = 1 と証明せよ。
この問題に対する以下の解答って良い解答ですか？
(1/n) * log(n) = ∫_{1}^{n} 1/x dx / n = [∫_{1}^{n0} 1/x dx + ∫_{n0}^{n} 1/x dx] / n
≦
(log(n0) + (1/n0) * (n - n0)) / n
=
(log(n0) - 1) / n + 1/n0
ε を任意の正の実数とする。
n0 を 1/n0 < ε/2 を満たす正の整数とする。
十分大きなすべての n に対して、 (log(n0) - 1) / n < ε/2 が成り立つ。
∴ lim (1/n) * log(n) = 0
∴ lim (n)^(1/n) = lim exp((1/n) * log(n)) = exp(0) = 1 >>924
頑張って難しい問題容易したのにねーwwww ∜5×√5×∛5²を簡単にしなさいって問題が分かりません至急ですお願いします 任意の自然数kに対して、kで割って1余る素数が少なくとも1つ存在することを示せ。 永田雅宜著『群論への招待』
「
G が群であるとき、その部分集合 H が部分群であるための必要十分条件は(1)H が空集合でなく、(2) a, b ∈ H ならば a * b^{-1} ∈ H がなりたつことである。
証明
H が 部分群であれば、 1 ∈ H ゆえ、 H は空集合でなく、 a, b ∈ H ならば、 b^{-1} ∈ H であり、 a, b^{-1} ∈ H から a * b^{-1} ∈ H が従う。
」
などと書いています。
「1 ∈ H」の 1 は G の単位元ですが、それが H に含まれていることは証明しなければなりません。
「b^{-1} ∈ H」の b^{-1} は b の G における逆元ですが、それが H に含まれていることは証明しなければなりません。
永田雅宜さんは一体何を考えていたのでしょうか？ このクズのダブスタwwww
自分で書いた>>881-883のクズぶり差し置いてよく言えるわ >>930 その本は持っていないけどGの演算で単位元や逆元はただ一つということを最初の方で示していればHが同じ演算で群なら同じ単位元や逆元を持つということでないの？ 俺がモテないのが全く持って理解できません
数学が出来るのにモテないとかこの国はおかしい 何よりかにより群論なんて基本的な理論勉強するのにあっちの教科書こっちの教科書フラフラフラフラ
数学できんやつの典型行動
挙句の果てに天才永田大先生にこのクズ発言
学生時代どれだけ永田先生の本にはお世話になったか知らん
あんな教科書書きの天才おらん
こいつは自分の能無しを棚に上げてこの無礼千万極まりない発言
ほんま許せんわ >>930
以下のような議論が必要ですね。
1_H * 1_H = 1_H = 1_G * 1_H
G におけるright cancellation lawにより、 1_H = 1_G である。
a を H の任意の元とする。
a * (a_H)^{-1} = 1_H = 1_G = a * (a_G)^{-1}
G におけるleft cancellation lawにより、 (a_H)^{-1} = (a_G)^{-1 である。 気になるならそれで納得したらいいですけど
定義に含まれてますから不用だと認識した方が
よりよいと思いますけど >>939-940
群 G の部分群 H の定義は、 H がそれ自身で群になっていることです。
定義に含まれていません。 どう考えてもお前が今相手にしてもらってる相手の方が数学力上なんなんでわからんねん？能無し
そうやって意味不明な自信過剰でひとつも数学力上がっていかんのなんで認められんの？
認められんからその歳になってもなんもできんクズのままなんかもしれんけどな 数列{a[n]},{b[n]},{c[n]}を、
a[0]=b[0]=c[0]=1
a[n+1]=pa[n]+qb[n]+rc[n]
b[n+1]=qa[n]+rb[n]+pc[n]
c[n+1]=ra[n]+pb[n]+qc[n]
により定める。
n≧1のすべてのnに対してa[n],b[n],c[n]が互いに素となるように、正整数の定数p,q,rを定めることはできるか。 なにそれ？
a[1]=b[1]=c[1]=p+q+rですら互いに素になんかできませんやん 【訂正】
数列{a[n]},{b[n]},{c[n]}を、
a[0]=2,b[0]=3,c[0]=5
a[n+1]=pa[n]+qb[n]+rc[n]
b[n+1]=qa[n]+rb[n]+pc[n]
c[n+1]=ra[n]+pb[n]+qc[n]
により定める。
n≧1のすべてのnに対してa[n],b[n],c[n]が互いに素となるように、正整数の定数p,q,rを定めることはできるか。 >>946
渾身の問題なのでよろしくお願いいたします。 >>946
(pqr)=(100)なら2,3,5入れ替わるだけでずっと互いに素
(pqr)=(111)ならa2=b2=c2=10であとは3倍になっていくだけ
互いに素な3数に一定の数を足しても互いに素だから
(pqr)=(100)+(111)=(211)でよいのでは G, G' を群
f を G から G' への準同型写像
N を Ker f
とする。
G の N を含む部分群 H と G' の部分群 H' は
H → f(H)
H' → f^{-1}(H')
という対応により、1対1に対応する。
H が G の N を含む正規部分群であれば、 f(H) は G' の正規部分群である。
H' が G' の正規部分群であれば、 f^{-1}(H') は G の正規部分群である。
H を G の N を含む正規部分群とする。
G/H と G'/H' と (G/N)/(H/N) は互いに同形である。 この定理の証明ですが、
G' と G/N は同形
H' と H/N は同形
であることまでは示しても、
H/N が G/N の正規部分群であることを証明している本がありません。
G' と G/N は同形
H' と H/N は同形
ですが、
G'/H' と (G/N)/(H/N) とが同形であることはやはり証明しなければならないことです。
しかし、まじめに証明している本がありません。
非常におかしなことです。 >>953
他の明らかなことには証明をつけているにもかかわらず、
>>952
の事実には証明をつけていません。
フェアじゃないですよね。 >>952
せめて、「明らかに、H/N が G/N の正規部分群である」や「明らかに、G'/H' と (G/N)/(H/N) とが同形である」と書くくらいはすべきです。
それすら書いていない本ばかりです。 G を群とする。
N を G の正規部分群とする。
H' が G/N の正規部分群であるための必要十分条件は、 N を含むような G の部分群 H を用いて H' = H/N と書けることである。
この命題が必要ですよね。 厳密といわれるブルバキの本にもこのような命題は書いていないんでしょうか？ G を群、 N をその正規部分群とする。
G' を群、 N' をその正規部分群とする。
G が G' と同形であるとする。
N が N' と同形であるとする。
このとき、
G/N と G'/N' は同形である。
この命題も必要ですよね。 >>958
あ、これだと成り立たないかもしれないですね。 >>951
>f を G から G' への準同型写像
全射？ G を群、 N をその正規部分群とする。
G' を群、 N' をその正規部分群とする。
G が G' と f により同形であるとする。
N が N' と f|N により同形であるとする。
このとき、
G/N と G'/N' は同形である。
これなら成り立ちそうですね。 >>960
あ、全射準同型でないと駄目ですね。
ありがとうございます。 >>959
G = G' = Z （加法群）
N = Z
N' = 2*Z
恒等写像は Z から Z への同型写像。
N ∋ n → 2*n ∈ 2*Z は同型写像。
G/N = 単位群
G/N' = Z/2*Z
これらは同形ではない。 ということでいかにも成り立ちそうな
>>958
が成り立たないわけです。
ですから、
>>958
と似た命題である
>>961
はちゃんと証明する必要があると思います。
が、証明している本がありません。 >>965
>いかにも成り立ちそうな
え？成り立ちそうに思えないけど
同型写像1つ決めないと 鈴木通夫著『群論』ってどうですか？
オンデマンドなのが嫌ですが。 というか一つの本に全青春をかけるくらいの気持ちで本というのは取り組むもんだ
特にお前みたいな初心者は特に
ところがお前はどの本読んでも中途半端なところで投げ出して次から次へと参考書を渡り歩く
ひとつも何にも頭に入ってない、力がついてない
そしてその事実からずっと目を背け続けていつかなんとかなると思ってるパープー
お前には数学は無理
学問を修める人間に求められる心構えがひとつもわかってない
やめとけって 連立方程式
x=4y^2-1
y=4z^2-1
z=4x^2-1
が持つ実数解の個数を求めよ。 >>940
J. J. Rotman著『An Introduction to the Theory of Groups』
では、部分群の定義が以下です：
G を群とする。 S を空でない G の部分集合とする。
s ∈ S ⇒ s^{-1} ∈ S
s, t ∈ S ⇒ s * t ∈ S
が成り立つとき、 S を G の部分群という。
そして、この定義のすぐ後に、以下の定理が来ます：
定理1
S が G の部分群 ⇒ S はそれ自身、群である。
部分群をRotmanの本のように定義するならば、確かに、定義に含まれますが、「S はそれ自身、群である」を G の部分群の定義にすると、
当然、 1_G ∈ S などは証明しなければなりません。
永田雅宜さんの本では、証明すべきことが証明されていないわけです。 やはり高齢の方の書いた本は避けるべきということでしょうか？ >>952 H/N が G/N の正規部分群であることを証明している本がありません。
f:G/N → G/H gN→gH （N⊆H）
H/NはKerfだからG/Nの正規部分群であるのはすぐわかるでしょう。 3次方程式
x^3+ax^2+bx+c=0
がx=a,x=b,x=cを解に持つための、整数a,b,cについての必要十分条件を求めよ。 自分の書架にある
雪江の群論入門、星の群論序説、新妻の群環体入門、松坂の代数系入門
では、群であることが部分群の定義になってるね
Wikiもそうなってるようだ
まぁはっきり言って行間読めなさすぎててただのイチャモンだとしか思えないけど そもそも“教科書を読む”とは”適切な行間の巾”を感じとる作業なのだ
どんな細かい行間も許さず“自明”という言葉を使わず何もかも書き込んでいけばそりゃ間違いもなくなる
しかし無限の時間も忍耐力もない人間は多少の間違いが入り込む危険を冒してでも適切な“行間”を入れて議論をせざるを得ない
初心者のうちはなるべく詰めて細かく、しかし勘助が掴めてくるにつれ少しずつ“容易、自明”で済ましてしまう巾を広げていく
しかし自明でもなんでもない事を“自明”で済ませる事はもちろん数学ではない、それが本当に“自明”と思えるくらいに、証明を求められれば一瞬で完成させられる力をつけていく作業
しかしどの程度のことは飛ばすべきなのか、詰めて議論すべきなのか、その“間合い”をプロの数学者の文章から読み取って自分の中に積み上げていく、それが教科書を読む意味の半分はあると言っていい
このカスにはまぁ理解できんやろ >>977
星のうんこぅはお好きですか？
マドモアゼル愛←男性です。
興味がおありですか？
そんなロマンチックな貴方は
♓魚座かなにか？ >>978
助けて！ｫ賢者様ﾝ!
14星座のホロスコープ、何年ググってもﾋｯﾄしません!
ちょこっと作って広告料稼いでみてくれても…ばれへんか…
作ってくれよな～頼むよ～
そのくらいﾁｮﾛｨんでしたっけね、諸賢さん? >>972
どういう状況を言わんとしているか分かれば
定義の条件がどれだけ少なくできるかとか
意味ないことも理解できると思うけどね >>975
(x-a)(x-b)(x-c)=0
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
x^3+ax^2+bx+c=0
係数を比較して
a=-a-b-c
b=ab+bc+ca
c=-abc
よってb=-2a-c,b=ca/(1-a-c),b=-1/a
この連立方程式が解けません
よろしくお願いします 3次方程式f(x)=0は相異なる3つの素数を解に持つ（素数は正とする）。
またxy平面において、3次関数のグラフy=f(x)は極大値と極小値をもち、いずれの極値についてもその絶対値は素数であるという。
このようなf(x)をすべて求めよ。 群の定義は
μ:G×G→G
ι:G→G
ε:G→G
という特殊な射
それと
Δ:G→G×G（Δ(g)=(g,g)）
1:G→G（1(g)=g）
という一般的な射
について
μ(μ×1)=μ(1×μ)
μ(ε×1)Δ=μ(1×ε)Δ=1
μ(ι×1)Δ=μ(1×ι)Δ=ε
が成立することで
部分群は
i:H⊂G
によってμ,ι,εがHに制限できること
というのがスマートよ >>982
c=-abc
c(1+ab)=0
c=0
a=-a-b
b=ab
b(1-a)=-2a(1-a)=0
(a,b,c)=(0,0,0)(1,-2,0)
ab=-1
(a,b)=(1,-1)(-1,1)
c=-2a-b=-1,1
(a,b,c)=(1,-1,-1)(-1,1,1)
-1=-1+1-1 OK
1=-1+1-1 NG
(a,b,c)=(0,0,0)(1,-2,0)(1,-1,-1) >>982
>(x-a)(x-b)(x-c)=0
これでいいのかな？
x=a,x=b,x=cを解に持つというのはこれらが解であることの意？
それとも解のすべてがちょうどx=a,x=b,x=cであるということ？
後者の解釈で解いているけれど
前者の解釈なら
a^3+a^3+ab+c=0
b^3+ab^2+b^2+c=0
c^3+ac^2+bc+c=0
から始めるべきでは無いだろうか c^3+ac^2+bc+c=0
より
c=0またはc^2+ac+b+1=0
c=0なら
a(2a^2+b)=0
b^2(b+a+1)=0
a=0または2a^2+b=0
b=0またはb+a+1=0
(a,b,c)=(0,0,0)が1つ出てきて
a≠0ならb=-2a^2≠0より
-2a^2+a+1=0
-(2a+1)(a-1)=0
よってa=1
(a,b,c)=(1,-2,0)も出てきて
c≠0なら
2a^3+ab+c=0
b^3+ab^2+b^2+c=0
c^2+ac+b+1=0
うーんもう少し変形できるけどこの先ドンドン面倒になりそう >>830
G を群とする。
#G = p^n とする。
すると、 Z(G) ≠ {e} が成り立つ。
このことを使って、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つことを示せ。
---------------------------------------------------------------------------------
p を任意の素数とし、 #G = p^n とする。
n = 0, 1 のときには、明らかに、上の主張は成り立つ。
k ≧ 2 とする。
n = k - 1 のときには上の主張が成り立つと仮定する。
n = k の場合を考える。
Z(G) | >>830
G を群とする。
#G = p^n とする。
すると、 Z(G) ≠ {e} が成り立つ。
このことを使って、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つことを示せ。
---------------------------------------------------------------------------------
p を任意の素数とし、 #G = p^n とする。
n = 0, 1 のときには、明らかに、上の主張は成り立つ。
k ≧ 2 とする。
n = k - 1 のときには上の主張が成り立つと仮定する。
n = k の場合を考える。
#Z(G) | #G = p^k かつ 1 < #Z(G) だから、 #Z(G) = p^l, l ≧ 1 である。
Z(G) はアーベル群であり、 p | #Z(G) だから、アーベル群に対するコーシーの定理により、位数が p である元 a を Z(G) は含む。
i ∈ {1, …, k} とする。
φ : G → G/<a> を標準的な全射準同型とする。
#(G/<a>) = p^{k-1} だから、帰納法の仮定により、 G/<a> は位数が p^{i-1} であるような部分群 H' を持つ。
群の対応定理により、 H := f^{-1}(H') と置くと、 H は G の部分群であり、
H/Ker φ = H' が成り立つ。
Ker φ = <a> だから、
H/<a> = H' が成り立つ。
#(H/<a>) = #H / #<a> = #H' = p^{i-1}
∴ #H = #<a> * p^{i-1} = p^i
以上より、 G は位数が p^i であるような部分群を持つ。
G は単位群を部分群に持つから、 i = 0 のときにも、 G は位数が p^i であるような部分群を持つ。 >>986
a≠b≠c≠aなら
(x-a)(x-b)(x-c)となるから
>>985の考察からこうなるのは(a,b,c)=(1,-2,0)のみ
a=b=cなら
2a^3+a^2+a=0
a(2a^2+a+1)=0
より(a,b,c)=(0,0,0)のみ
あとはa,b,cのうち2つが等しい場合
a=b≠c≠0なら
2a^3+a^2+c=0
c^2+ac+a+1=0
(2a^3+a^2)^2-a(2a^3+a^2)+a+1=0
よりa=1,-1
(a,b,c)=(1,1,-3)(-1,-1,1)
(-3)^2-3+1+1=0 NG
1^2-1-1+1=0 OK
b≠a=c≠0なら
2a^2+b+1=0
2a^3+ab+a=a(2a^2+b+1)=0
b=-(2a^2+1)≠a=c≠0
b^3+ab^2+b^2+a=0
b^2(b+a+1)+a=0
(2a^2+1)^2(-2a^2+a)+a=0
(2a^2+1)^2(-2a+1)+1=0 NG
a≠b=c≠0なら
b^2+ab+b+1=(b+a+1)b+1=0
b=1,-1
(a,b,c)=(-3,1,1)(1,-1,-1)
2(-3)^3-3+1=0 NG
>>985より(1,-1,-1) OK
結局追加されるのは(a,b,c)=(-1,-1,1)の場合だけか 矢野健太郎先生の「社会科学者のための基礎数学」で自習していますが、以下の証明問題がわかりません。
定理6.2 ベクトルa1,…,anが1次独立で、a1,…,an,bが1次従属ならば、bはa1,…,anの1次結合で表され、その表し方は一意的である。
定理6.3 定理6.2でb≠0ならば、a1,…,anのうち適当な一つをbで置き換えたn個のベクトルの組も1次独立である。
【問題】定理6.2 6.3 を証明せよ。
【途中までの回答】
a1,…,an,b が一次従属であるから、
x1 a1 + … + xn an + xb = 0
が全てが0でない係数について成り立つ。
このとき、x=0とすると、
x1 a1 + … + xn an = 0
が全てが0でない係数について成り立つことになり、a1,…,anが1次独立であることに反する。
よって、x≠0であり、
b = (- 1/x) (x1 a1 + … + xn an)
とかける。
# 定理6.2の前半までは証明できたと思うのですが、そこから先と6.3が分かりません。 f(x)=x^3+3x^2+2x+7を割り切る2次多項式で、係数（定数項も含める）がすべて正の実数であるものは存在するか。 f(-3)=1よりx<-3に解x=αを持つ
∴残り２解の和は正
∴f(x)/(x-α)の一次の係数は負 定理6.2の後半
b=x1 a1 + … + xn an = y1 a1 + … + yn an とbが2通りで表せたとする。
(x1-y1) a1 + … + (xn-yn) an = 0
a1,… ,anは一次独立ゆえx1-y1 = 0,… ,xn-yn = 0
よってx1 = y1,… ,xn = yn
定理6.3の証明
b≠0なのでb = (- 1/x) (x1 a1 + … + xn an) と表したとき、、
x1,… ,xnの少なくとも１つは0でない。それをxn≠0とする。
aiをbで置き換えてz1 a1 + … + zi b + … + zn an = 0 (*)
左辺にbを代入
(z1-zix1/x)a1 + … + (-zixi/x)ai + … + (zn-zixn/x)an = 0
a1,… ,ai,… ,anは一次独立ゆえzixi = 0 xi≠0より zi = 0
(*)よりz1 a1 + … + zn an = 0
aiを除いたn-1個のベクトルも一次独立ゆえ
z1 = … = zn = 0 となり題意は成り立つ。 >>994
訂正：それをxn≠0とする。→ それをxi≠0とする。 任意の実数cに対して
∫[c,2c] f(x)dx = ∫[2c,4c] f(x)dx
が成り立つとき、f(x)は周期関数でないことを示せ。 AがBの必要十分条件であるとき、AとBは同値であると言って良いですか？ このスレッドは１０００を超えました。
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