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分からない問題はここに書いてね 470
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/28(土) 02:31:20.47ID:/bfuN8G4
さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 469
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1626533729/

(使用済です: 478)

数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

☆激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
http://web.archive.org/web/20181107033930/
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.htm
0002１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/28(土) 06:35:55.30ID:9oaXJGDf
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0003１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/28(土) 06:36:03.71ID:9oaXJGDf
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0005１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/19(金) 21:47:10.70ID:gX11WkbE
次の固有値、固有ベクトルを作る行列Pを求めて、対角行列に変換せよという問題
 [[8 2 -5],
[-6 0 5],
[12 2 -9]]

 (8-λ)(0-λ)(-9-λ)... とガリガリと計算して
= -(λ^3+λ^-10λ+8)
(λ-1)(λ^-2λ-8)
= (λ-1)(λ+4)(λ-2)

 よって　λ = 1, 2, -4 だと導き出したのですが、テキストには固有値がなく、この時点で間違っているのかどうかすら分からず。正解の行列Pに合致しません。
固有方程式の過程と固有値を教えていただきPを求める過程を教えてもらえないでしょうか？
テキスト通りにやったつもりなのですが、現状こんな感じで解けません。
0006１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/19(金) 22:21:26.48ID:pnsTrLcv
単純計算の答え合わせはwolfram先生に尋ねればいいよ
0008１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/22(水) 14:37:55.84ID:0oSbMCVk
>>5

固有ベクトルは一意的ではないので、 P も一意的ではありません。
0011１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 16:15:12.46ID:pwN5ZTjo
ここ使えばいいだろ、どうせ問題だしっこ公房と馬鹿アスペしかいない
0012１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 17:34:19.84ID:jHsnXa/8
https://i.imgur.com/ZXwnyyf.jpg

赤い線の式の x に A と可換な任意の行列 M を代入することが出来る。

det(x * E_n - A) * E_n

=

x^n * E_n + x^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + x * a_1 * E_n + a_0 * E_n

=

(x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0)

代入すると、

(M - A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)

=

M^n * E_n + M^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + M * a_1 * E_n + a_0 * E_n

=

φ_A(M)

が成り立つことがわかる。
0013１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 17:36:37.12ID:jHsnXa/8
A は A 自身と可換であるから、

φ_A(A)

=

(A - A) * (A^(n-1) * C_{n-1} + A^(n-2) * C_{n-2} + … + A * C_1 + C_0)

=

O * (A^(n-1) * C_{n-1} + A^(n-2) * C_{n-2} + … + A * C_1 + C_0)

=

O

が成り立つ。
0014１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 17:37:43.73ID:/Ity8DIK
えー、まだケーリー・ハミルトンやるの？
0015１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 17:39:23.60ID:jHsnXa/8
したがって、

https://i.imgur.com/ZXwnyyf.jpg

の最下部の計算は、明らかに無駄なことをやっている。
0016１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 17:41:16.33ID:jHsnXa/8
>>14


>>12-13

が正しいことをようやく納得したということですね？
0018１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 18:33:35.43ID:jHsnXa/8
A を任意の n 次複素正方行列とする。

ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、

P^T * A * P は上三角行列になる。

という定理があります。

明らかに、

ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、

P^T * A * P は下三角行列になります。

なぜ、この下三角行列のバージョンの定理は教科書に書かれることが少ないのでしょうか？
0019１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 18:42:01.34ID:jHsnXa/8
A^T に定理を適用して、転置を取ればいいわけですが、

直接、

ユニタリー行列 P をうまく選ぶと、

P^T * A * P は下三角行列になる

ということを証明している本はないようですね。

同じように証明できるのに、上三角行列のほうを優遇しています。
0021１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 19:08:24.96ID:oiq/qm1H
>>12
間違っている。まず、任意のスカラーλに対して

det(λI - A) * I

= λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I

= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)

が成り立つ。特に2行目と3行目に注目すると、

λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)　… (1)

が任意のスカラーλに対して成り立っている。
MとAを可換として、λ を A に置き換えたときに、君は証明なしに

M^n * I + M^(n-1) * a_{n-1} * I + … + M * a_1 * I + a_0 * I
= (M * I- A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)

という等号を導出してしまっているが、この部分は全く自明ではない、と
前スレで既に指摘しているのである。それなのに、君はこの部分を相変わらず
証明なしに等号で結んでしまっている。
0022１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/30(木) 19:12:31.21ID:oiq/qm1H
正しくは前スレのようにして証明する。まず、

λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)　… (1)

が任意のスカラーλで成立している。右辺を普通に手作業で展開してλ^kごとに整理すれば、

λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= λ^n * C_{n-1} + λ^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + λ * (C_0 - A * C_1) - A * C_0

が任意のスカラーλで成立することになる。両辺の λ^k の係数を比較すれば(これが大事なポイント！)

a_0I ＝ - A * C_0,　　a_1I ＝ (C_0 - A * C_1),　　a_2I ＝ (C_1 - A * C_2),　　……

などが成り立つ。要するに、ここで初めて、a_k と C_k の具体的な関係が明らかになる。
そして、「両辺の λ^k の係数を比較する」という操作が可能なのは、以下の補題が理由である。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
補題：n≧0 とする。A_0,…,A_n は d×d の正方行列で、任意のスカラーλに対して
Σ[k＝0～n] λ^k A_k ＝ O とする。このとき、A_0＝…＝A_n＝O である。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

そして、いま手に入った a_0I ＝ - A * C_0, a_1I ＝ (C_0 - A * C_1), …… という等式を用いれば、今度こそ、

M^n * I + M^(n-1) * a_{n-1} * I + … + M * a_1 * I + a_0 * I
= (M * I- A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)

が導出可能になる。君のやり方には、このようなロジックが全く存在していない。だからダメ。
0025イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/12/30(木) 20:00:27.04ID:wRlcR3KH
>>23存在する。
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;11^2+5^2=121+25=146=12^2+2;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;/ ∩∩∩∩￣/＼;;;;;;;;;簡単。;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;/((^o`-｡-)) /「;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;/っц' υ⌒υ ／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖￣UUυυ￣‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖　□　□ 　‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖________‖／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖ ￣￣￣￣ ‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖　□　□ 　‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖________‖／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖ ￣￣￣￣ ‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖　□　□ 　‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖________‖／|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖ ￣￣￣￣ ‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
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;;;;;;;;;;;;‖ ￣￣￣￣ ‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;‖　□　□ 　‖　|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
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;;;;;;;;;;;;‖;;;;;;;;;;;;;;;;‖;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
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;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
>>24デカルト。
0028１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/31(金) 02:03:47.58ID:cSDwbWgL
f(x)は3次式とする。
xy平面上の曲線y=e^(-x)*f(x)の接線で、傾き-1/2のものは何本あるか。
0029１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/31(金) 13:50:02.80ID:IinABhno
本年最後の出題です。傑作中の傑作をご用意いたしました。
解いてください。

a,bは整数、p,qは有理数とする。
p+q√3が方程式x^2+ax+b=0の解であるならば、p,qはともに整数であることを示せ。
0032１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/31(金) 15:16:04.07ID:YEByNMq5
xy平面上に原点O(0,0)と定点A(1,0),B(0,1)がある。
y=x^3-xのx<0の部分をCとし、C上を動点Pが動く。
∠OPA+∠OPBを最大にする点Pの座標を求めよ。
0033１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/31(金) 15:44:13.69ID:mhAv9qAm
上限値π
最大値なし
0034１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/31(金) 21:15:11.90ID:YEByNMq5
a,bを相異なる実数の定数とする。
xy平面上の曲線C:y=(x^2021)(x-a)(x-b)について以下の問いに答えよ。

（1）Cとx軸とで囲まれる領域の面積S(a,b)を求めよ。

（2）bがa+b=2022を満たしながら動くとき、S(a,b)の取りうる値の範囲を求めよ。

今日中に解答ください。よろしくお願いします。
0035１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/31(金) 22:03:31.13ID:YEByNMq5
2021!/(2^2021)は整数か。

今日中に解答ください。よろしくお願いします。
0036１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/01(土) 00:05:13.51ID:EdZz+tuI
一般にn!/2^nが整数となるのはn=0のみ
∵) 反例があるとして最小反例は容易に偶数となる
nを最小反例として
[ n/2 ] + [ n/4 ] + ... ≧ n
とすればnが偶数だから[n/2]=n/2
∴[ n/4 ] + [ n/8 ] + ... ≧ n/2
n>0よりn>n/2となり最小反例より小さい反例が得られたから矛盾

あけおめ
0037１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/01(土) 15:01:35.50ID:ft2bOEHs
本年初の出題です。分からないので教えてください。よろしくお願いいたします。

【問題】
C[2022,n]が奇数になる最小のnを求めよ。
0043１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/01(土) 18:17:51.23ID:r2tURRV5
ミルナーのモース理論の以下の記述が分かりません
何を読めばわかるとかでも構わないので分かる人いたら教えて下さい(和訳だとp111です)

断面曲率K(U,V)は「光学」の術語で言い表せる
観測者をp∈Mとし，そこから単位ベクトルU∈TMp方向にある1点q=exp(rU)を見る
単位ベクトルW∈TMpに対応するqにおける長さLの小さな線分は，観測者には長さ
L(1+r^2/6*K(U,V))+(rの高次のベキ)
に見える
0044１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/01(土) 19:54:18.51ID:ft2bOEHs
新年良問出題大会です

a,b,cを実数の定数とする。
実数xが|ax^2+bx+c|≦1を満たしながら変化するとき、|cx^2+bx+a|の取りうる値の範囲を求めよ。
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/01(土) 20:55:18.13ID:V+iWiEjr
A を実3次直交行列とする。

det(A) = 1 とする。

L_A : R^3 ∋ x -> A*x ∈ R^3 とする。

L_A はある軸の周りの回転であることを証明せよ。
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/01(土) 21:32:05.77ID:V+iWiEjr
>>45

解けました。

φ_A(λ) = det(λ*I_3 - A) = λ^3 - tr(A)*λ^2 + c_1*λ - det(A) = λ^3 - tr(A)*λ^2 + c_1*λ - 1

φ_A(0) = -1 < 0
lim_{λ->∞} φ_A(λ) = +∞
φ_A は連続関数であるから、中間値の定理によって、 φ_A(λ) = 0 となるような正の実数 λ が存在する。
λ に属する固有ベクトルで長さが 1 であるようなものを t1 とする。
A*t1 = λ*t1
t1^T * t1 = t1^T * A^T * A * t1 = (A*t1)^T * (A*t1) = (λ*t1)^T * (λ*t1) = λ^2 * t1^T * t1
両辺を t1^T * t1 で割ると、
1 = λ^2
λ は正の実数であるから、 λ = 1 である。

グラム・シュミットの直交化法により、 t1, t2, t3 が正規直交基底で右手系をなすようなものが存在する。
3次直交行列 T を T := {t1, t2, t3} で定義する。
T^{-1} * A * T は明らかに行列式が 1 であるような直交行列である。
T^{-1} * A * T * e1 = T^{-1} * A * t1 = T^{-1} * t1 = e1 であるから T^{-1} * A * T の第1列は e1 である。
T^{-1} * A * T の3個の列ベクトルは正規直交基底であるから、 T^{-1} * A * T の第2列、第3列の第1成分は 0 である。
よって、 T^{-1} * A * T = {{1, 0, 0}, {0, a, b}, {0, c, d}} と書ける。
2次正方行列 {{a, b}, {c, d}} は行列式が 1 であるから、回転行列である。
よって、 {{a, b}, {c, d}} = {{cosθ, sinθ}, {sinθ, -cosθ}} と書ける。
よって、 T^{-1} * A * T = {{1, 0, 0}, {0, cosθ, sinθ}, {0, sinθ, -cosθ}} と書ける。
これより、 L_A が、 t1 を方向ベクトルとする原点を通る直線を軸とする角 θ の回転であることが分かる。
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/01(土) 21:43:55.16ID:V+iWiEjr
>>46

Mathematica風の書き方をするなら、

T := {t1, t2, t3}

ではなく、

T := {t1^T, t2^T, t3^T}^T

と書かないと駄目ですね。

でも、 T := {t1, t2, t3} と書いても、文脈から T は第i列が ti であるような行列であると分かると思います。
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 03:10:05.28ID:V3XTiNQj
お願いします。

Oを中心とする半径1の円に外接する正n角形P1P2...Pnと円内の点Aがある。
OA=aとして、⊿APkPk+1を辺PkPk+1を軸として回転させた立体の体積をV(k)とし、k=1～nのV(k)の合計をVnとする。lim(n->∞) Vnを求めよ。　(Pn+1=P1とする)
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 11:50:34.52ID:n/+sbqXO
わかるんですね（笑）
0057１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 12:37:35.70ID:bTMXpddk
わからん
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 13:06:31.43ID:VJAPunju
↓以下の事実を直感的に説明できますか？


A を 3次実対称行列とする。

L_A : R^3 ∋ x -> A*x ∈ R^3

とする。

ある座標系に関して、 L_A で表わされる3次元空間の点の移動を考える。

原点を動かさずに、うまく座標軸を回転させるとその座標系に関して、この3次元空間の点の移動は、

x_1 -> a*x_1
x_2 -> b*x_2
x_3 -> c*x_3

と表わされる。
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 13:09:28.28ID:VJAPunju
>>58

この事実は、代数的に証明してみて初めて分かることですか？
0061１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 13:56:54.82ID:VJAPunju
(1) n 次実対称行列 A は、直交対角化可能です。
(2) n 次実正方行列 A は、固有ベクトルのみからなる基底が存在するとき、対角化可能です。

L_A は、(1)の場合が一番分かりやすいです。
L_A は、(2)の場合も分かりやすいです。

(1), (2)以外の場合、 L_A はどんな写像になるんですか？
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 13:58:43.38ID:VJAPunju
n = 2 として、 A が回転行列である場合には、(1)でも(2)でもありませんが、 L_A は分かりやすいです。
0063１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 14:01:34.50ID:VJAPunju
(1)でも(2)でもない場合に、 A を分かりやすい行列に分解することはできますか？
0064 【小吉】
垢版 |
2022/01/02(日) 15:26:45.46ID:BBcGQXha
前>>27
>>32
y=x^3-x
y'=3x^2-1=1
x=√2/√3=√6/3
y=6√6/27-√6/3=(2-3)√6/9=-√6/9
∴P(√6/3,-√6/9)
0065１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 17:21:11.46ID:/NpXhhXK
>>54
立体の形状は簡単につかめるでしょ
だから体積も簡単に出るでしょ
和をとって極限もいけるでしょ
はい出来た、この通りにやってね
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 19:50:50.49ID:VJAPunju
A を n 次複素正方行列とする。
A の異なる固有値に対する固有空間が直交するならば、 A は正規行列であることを証明せよ。
0067１３２人目の素数さん
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2022/01/02(日) 20:00:43.00ID:VJAPunju
A の異なる固有値を α_1, …, α_k とする。

α_1 に対する固有空間を V_{α_1}
…
α_k に対する固有空間を V_{α_k}

とする。

V_{α_1} の正規直交基底、…、V_{α_k} の正規直交基底をすべて並べたものは、正規直交系をなす。

この正規直交系が基底になることはどうやって示すのでしょうか？
0068１３２人目の素数さん
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2022/01/02(日) 20:09:29.39ID:VJAPunju
佐武一郎著『線型代数学』

特異値についても一応、例として書いてあるんですね。
0069１３２人目の素数さん
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2022/01/02(日) 20:11:46.73ID:VJAPunju
>>67
なんか成り立たない反例がありそうな気がします。
反例をお願いします。
0071１３２人目の素数さん
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2022/01/02(日) 21:12:59.65ID:VJAPunju
>>67

V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例があるような気がします。
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例を教えて下さい。
0072１３２人目の素数さん
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2022/01/02(日) 21:17:32.47ID:VJAPunju
佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>67
は成り立たないのではないかと思います。


p.175

定理7

複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。

A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。
0073１３２人目の素数さん
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2022/01/02(日) 21:18:05.62ID:VJAPunju
訂正します：

佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>66
は成り立たないのではないかと思います。


p.175

定理7

複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。

A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。
0074１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/02(日) 21:19:28.48ID:VJAPunju
>>73

わざわざ、「かつ V がそれらの直和になることが」と書いてあるので、この条件は省けないのではないでしょうか？

>>66
が成り立たない例をお願いします。
0076 【大吉】
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2022/01/03(月) 00:02:40.86ID:TlyTpMFR
前>>64
>>32(別解)
A(1,0),B(0,1),P(p,p^3-p)
加法定理よりcos(∠OPA+∠OPB)=cos∠OPAcos∠OPB-sin∠OPAsin∠OPB
=(→OP・→AP)(→OP・→BP)/(OP・AP)(OP・BP)-sin∠OPAsin∠OPB
=｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝√｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√｛p^2+(p^3-p-1)^2｝-√1-｛p(p-1)+p^2(p^2-1)^2｝^2/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√1-｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p-1)^2
これを微分して=0を与えるpがこれを最小にして∠OPA+∠OPBを最大にするんじゃないか？
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/03(月) 02:12:19.75ID:a6/1CByL
>>66

A := {{1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}}

とすると

A は正規行列ではありません。

そして、 A の異なる固有値に対する固有空間は直交します。

したがって、

>>66

はやはり成り立ちません。
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/03(月) 09:55:40.72ID:MvPkQRfA
a,b,cを実数の定数とする。

（1）|ax^2+bx+c|≦1を満たす実数xが存在するために、a,b,cが満たすべき必要十分条件を求めよ。

（2）実数xが動くとき、|cx^2+bx+a|の最小値をm(a,b,c)とおく。a,b,cが（1）の条件を満たしながら動くとき,m(a,b,c)の最小値を求めよ。
0079１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/03(月) 10:02:38.08ID:a6/1CByL
>>75

任意の n 次実正方行列 A が A = Q * S と直交行列と対称行列の積に一意的に分解されるってすごい定理じゃないですか？
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/03(月) 10:18:33.44ID:a6/1CByL
>>79

この定理は、どの線形代数の教科書にも載せるべき驚くべき定理ではないでしょうか？

伊理正夫著『線形代数汎論』には書いてありました。

「
連続体の線形な変形を扱うとき、ユニタリ変換（回転や鏡映）を非本質的な変形とみなすと、どんな変形も、適当な直交座標軸を選べば、軸方向の伸縮として表せるということを意味している。
」
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/03(月) 10:25:43.80ID:a6/1CByL
ジョルダンの標準形もいいですが、

>>79

この定理を最終目標にして線形代数の本を書くというのもいいかもしれませんね。
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/03(月) 13:25:07.23ID:a6/1CByL
実2次形式のシルベスターの標準形って何か意味ありますか？
直交標準形だけでいいように思います。
0083１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/03(月) 20:07:10.06ID:MvPkQRfA
>>78
結論が気になるのですがこれが分かりません。調べてみるとminに限界があることまでは分かりましたが…
実際解こうとしても、放物線の軸の位置で場合分けしても場合分けだらけでそれ以上進めませんでした。何か別の発想が必要だと思うのですが分かりません。
よろしくお願いします。
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 11:26:31.67ID:uDWlT/5o
なぜ、内積を以下のように定義しないのでしょうか？
C^n の標準内積を先に勉強した読者にはこの定義が分かりやすいと思います。


V を C 上のベクトル空間とする。
V × V から C への関数 f が、ある V の1つの基底 v_1, …, v_n に対して、、

f(v, w) = x_1*conjugate(y_1) + … + x_m*conjugate(y_n)

（ただし、 v = x_1*v_1 + … + x_n*v_n, w = y_1*v_1 + … + y_n*v_n とする。）

とかけるとき、 f を V 上の内積という。
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 12:40:38.94ID:4FG0sDWQ
疑問のレベルがどんどん下がってるね
0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 13:57:07.17ID:uDWlT/5o
>>84

通常の内積の定義と一致しますが、こちらのほうが分かりやすいです。
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 17:40:27.96ID:uDWlT/5o
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』が明快すぎます。
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 18:06:48.16ID:mX8/CB4p
ならそれ読んでればいいだろ
何でわざわざ「分かりにくい本」を読んで批判してんの？
0091１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 18:45:37.03ID:nkgHVQcT
なんでそんな表現をするのか分からないからというある意味でメタな視点の疑問だろうな
こういう系の質問は似たようなものを連投できるようだし、キリがないようなら禁止すべきかもしれない
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 20:42:50.10ID:E9LIy6R6
>>78
どなたか解説お願いします
文字が多くなりすぎて計算では処理できず方針が立ちません
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 21:41:26.09ID:UewzoZKS
(1)は有名問題ですね
解法が天下り的なんで知ってるかどうかですな
0096１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/04(火) 22:33:21.25ID:sOVzlvGd
そうなの？aの正負で場合わけして最小値(もしくは最大値)が1以下(-1以上)になればええとちゃうの？
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/05(水) 01:05:47.27ID:Yo9DMVGD
>>96
だよね。
a=0,b=0 なら単純に　|c|≦1でxは任意の実数でよい。
a=0,b≠0なら、cが何であっても|bx+c|≦1となるxは存在する。
a≠0の場合は　>>96の通り。
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/05(水) 17:11:18.57ID:Ixv1Zj7J
佐武一郎著『線型代数学新装版』

p.29 「われわれはこれらの結果を見越して最初からこの形の行列によって複素数を定義したのである。」

これが何を言っているのか分かりません。
解説をお願いします。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/05(水) 17:37:41.69ID:zlnKMCBW
>>87　>>93
出題者では無いが、出題者が想定している解答方針は

|ax^2+bx+c|≦1
を
ax^2+bxy+cy^2 = t, |t|≦1,y=1
と読み替えさせるものだと思われる。

・yを導入することで、どのような見方が可能になるのか？
・tの変化で、図がどのように変化するか？

この辺に注目すれば、見通しが良くなると思う。
0100１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/05(水) 19:53:32.09ID:Ixv1Zj7J
佐武一郎著『線型代数学新装版』

p.29 「われわれはこれらの結果を見越して最初からこの形の行列によって複素数を定義したのである。」

この文の直前で、なぜ、 {{a_1, -a_2}, {a_2, a_1}} によって、 a_1 + a_2 * i を表現するのかを説明していると思われます。

それがさっぱり分かりません。

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