0.9999...=1
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0.9999...=0.9+0.09+0.009+...
=Σ[k=0..∞]0.9*1/10^k
=0.9Σ[k=0..∞]1/10^k
=9/10*1/(1-1/10)
=1
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| | Σ[k=0..0]1/10^k = 1
Σ[k=0..1]1/10^k = 1.1
Σ[k=0..2]1/10^k = 1.11
Σ[k=0..3]1/10^k = 1.111
∴
N < ∞なら、Σ[k=0..N]1/10^k < 10/9😀
1.111…は9倍しても、モピロン
9.999…になるだけ、10にならないので
N = ∞でも、Σ[k=0..N]1/10^k ≠ 10/9😁
😀と😁より、
Σ[k=0..N]1/10^k > 10/9
で、両辺を9倍すると、なんと
9Σ[k=0..N]1/10^k ＞ 10
∴ 9.99… ＞ 10
∴ 0.999… ＞ 1 😜 １÷３＝０．３３３…
１÷３×３＝０．３３３…×３
１＝０．９９９… ０．３３３・・・×３はどうして０．９９９・・・になるの？ >>8
3*Σ(3*10^-n)=Σ(3*3*10^-n)=Σ(9*10^-n) >>9
どうして
3*Σ(3*10^-n)=Σ(3*3*10^-n)
なの？ どうして有限個の項に関する法則がΣに適用できるの？ だって、無限個なんてあらためて定義がなければ理知の外でしょ。 改めるということは元々は有限個の項に関する法則だと思ったんだと思うが
なんで有限個の項に関する法則だと思ったんだ？ 結局>>15は特に理由も無くそう思ったってことでいいのか？ そう思われないように「あらためて」と仮名で書いたんだけど。 あなたは私の議論の相手ではないことは分かった。
結局このスレはどこまでも続きそう、ということで幕。 いいや、「有限数列の極限値」という説明以外にこのスレを続ける人達への易しい説明はないのか？ということ。 >>15
無限個の項の和って無限級数のこと？
違うなら定義を書いてみて。
同じなら「コーシー列a_nに対し、b×(lim[n→∞]a_n)=lim[n→∞](b×a_n) が成り立つ」ってだけのことだよね？ 位取り記数法の性質を利用した証明参照
c=0.999…
10c=9.999…
10c-c=9.999…-0.999…
9c=9
c=1
9.999…-0.999…=9
無限小の誤差があります
9.999…-0.999…=9-α (α=無限小)
例)
9.99-0.999=9-0.009
この方法では、0以外の全ての数で誤差が生じるのに、上記の循環小数では誤差が考慮されていない >>31
残念でした｡
0.999…;…999…;…999…;…
小数、無限小桁小数、そのまた無限小桁小数、そのまた無限小桁小数、そのまた無限小桁小数、…
結果、如何に何重もの無限小桁小数、更に、無限重もの無限小桁小数を以てしても､
どこまでやっても、どうやっても 1 と 0.999… との差は現出しない｡
差を現出する方法ではなく「各桁表示が違うなら、差とする」構成を優先しる方法で、漸く差とする事が出来る｡
つまり「答え、先に有りき」の「決め付け、決め打ち」の構成法に成ってしまう｡ 循環小数とは、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。繰り返される数字の列を循環節という。(wiki参照)
循環小数とは、無限に繰り返される小数限定の数ですが、小数点以下数桁繰り返される小数も循環小数と考えると、
小数点以下6桁の循環小数
0.999999
0.232323
小数点以下∞桁の循環小数
0.999…9 (小数点以下無限桁)
0.999…∞…9 (イメージ表記)
無限に繰り返される小数を無限循環小数
0.999…
無限に繰り返される小数を無限循環小数、無限には繰り返さないが小数点以下数桁まで繰り返される小数を小数点以下数桁の循環小数と考える
いままでの循環小数っぽい小数に名称をつけただけですが、この考え方が>>31の無限小の考え方に繋がります >>39
指摘されて気づきました。全ての整数は、実数、小数であるの循環小数であるバージョンですね
>>37は循環小数の無限に繰り返される循環部分を小数第何位で切り捨てた小数限定になります
例
0.16666…は、(無限)循環小数
0.1666は、小数点以下2～4桁の循環小数
0.999999は、
0.9999990000…の(無限)循環小数とすると、
0.999999000は、小数点以下7～9位の循環小数
無限に循環する部分を切り捨てるので、
0.999999000…を小数第7位で切り捨てた
0.999999は対象外になります
循環小数っぽいではなく、循環小数の循環部分を切り捨てた数になるので、例えとして相応しくなかったかもしれません 無限小や循環小数は、集合か一つの数かについて
(例えで説明しようとして失敗したので、問を使って説明します)
問.
1/3=0.333…=1/3ですが、
(無限)循環小数0.333…を分数に直しなさい
0.333…=？ Ｑ１： １＝０．９９９９… か？
Ａ１： 「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。
Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
無意味である。
Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。
Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。 Ｑ５： Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５： 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。
Ｑ６： 「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６： 前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。 Ｑ７：Ｑ６の初等的証明とは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ７：
① １／３＝０．３３３３…
両辺を３倍して
１ ＝０．９９９９…
② ｘ＝０．９９９９… とおいて
１０ｘ－ｘ＝９．９９９９… － ０．９９９９…
９ｘ ＝９
ｘ ＝１
したがって １＝０．９９９９… である。
③ １／９＝０．１１１１…
２／９＝０．２２２２…
…
８／９＝０．８８８８…
９／９＝０．９９９９… ＝ １
④ ０．９９９９… は初項０．９公比０．１の無限等比級数だから、その値は
０．９９９９… ＝ ０．９／（１－０．１） ＝ １
⑤ ｎ÷ｎ を計算する際に商の一の位に０をたてると、０．９９９９…が得られるから
１ ＝ ｎ÷ｎ ＝ ０．９９９９… ⑥ ０．９９９９…と１が異なるとなるとすると、その間の数がある。
その間の数があるとして、各桁毎に比較することでその値を考えていくと…
１の位は比較して０
小数第１位は比較して９
小数第２位は比較して９
小数第３位は比較して９
…………
と、以下繰り返していくと、結局この間の数は
０．９９９９…
となってしまい、０．９９９９…と１の間の数にならないので矛盾。
⑦１と０．９９９９…を足して２で割った数は
１．９９９９…／２＝０．９９９９…となり、ｘ＝０．９９９９…とおくと、
（１＋ｘ）／２＝ｘ よって、ｘ＝１となる。 >>44 の修正
Ｑ５： Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５： 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
雑になるが、アルキメデス性を満たす数の範囲で考えることも可能である。
Ｑ８：１≠０．９９９９…となる数学モデルは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ８：違う表記の数をすべて違う数とみなす体系があげられる。ただ、副作用も多すぎる。
超準解析学を考えると１≠０．９９９９…となる数学の体系を構築することもできる。
コンウェイの超現実数では１≠０．９９９９…となる。 >>47 の修正
Ａ５：最後の行は「アルキメデス性を満たす数の範囲で考えることも可能である。」を
「アルキメデス性を満たす数の範囲（例えば実数ではなく有理数）で考えることも可能である。」 に >>47
> 超準解析学を考えると１≠０．９９９９…となる数学の体系を構築することもできる｡
ん？
> コンウェイの超現実数では１≠０．９９９９…となる｡
ん？
超現実数で不一致に成るんと違って無限二色ハッケンブッシュゲームで不一致に成るんじゃった筈｡ 再>>47
> 超準解析学を考えると１≠０．９９９９…となる数学の体系を構築することもできる｡
この場合の超準解析で現れる超実数の集合を dsR とすれば R∈dsR とは成らない｡
単純に R では 0.999…=1 と成る為 0.999…≠1 と成る dsR には属さぬ為｡
> コンウェイの超現実数では１≠０．９９９９…となる｡
その様にネット上でも言われて来たが、実は成らない｡
超現実数ではなく、超現実数の元となった無限二色ハッケンブッシュゲームでの話｡
ちなみにゲームは数とは事なり『＞(大なり)』『＜(小なり)』『=(等しい)』の他に『⊥(ファジイ)』という事が生じる｡ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
