実数の定義って結局どれが一番優れてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 01:03:33.23

いくつかあるけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 04:07:43.80

定義というか構成か？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 13:27:57.46

デデキント流とカントル流（の理解）はマスト
定義よりも実数の基本性質を理解して使えるほうがより重要
詳しくは　森毅　現代の古典解析　３．実数の基本性質　嫁
読んでも実際に理解してるかどうは別の問題
微積分の問題を解いてみる、距離空間（位相空間）の一般論まで敷衍して考えることも大事だけど
意外にルベーグ積分など先に進むと自分の理解が不十分だと判明するので
個人的にはルベーグ積分に触れてみることを勧める
ルベーグ積分の理解が深まれば実数論の理解も深まっているはず

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 13:30:35.52

目的次第に決まっとる

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 14:52:10.82

完備化による方法が最も応用がある

が、昔自分でやってみたが順序を入れるのが面倒くさかった記憶がある

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 14:57:30.09

モデルによる方法と公理による方法があるよな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 15:01:16.47

デデキントの有理数の切断と
カントルの有理コーシー列の同値類が
理解できないようじゃ他の定義も理解できない

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 19:22:59.88

それができた上で目的に近い方を選ぶべし

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/10(火) 21:37:41.78

>>7
これ以外にあんの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/10(火) 22:02:58.06

無限小数の同値類としてもよいだろう

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/10(火) 22:43:55.66

実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
ウィキペディアによるとこれだな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/11(水) 09:16:56.71

>>9
あるよ　でも時間かけて学習する割には得るものほぼ無し
連続性、順序完備と様々なコンパクトの概念習得に比べたらカスみたいなもの
ノンスタンダードアナリシスとかルベーグ積分論とかの方が学べることが多い
以降の対象範囲が拡がるというメリットもある

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/11(水) 18:41:39.77

>>11
実数が特定できそうもないな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/11(水) 23:05:08.99

>>13
構成的な定義と同等であるからこれでもよい

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/12(木) 13:51:55.71

>>13
特定はワロタ
モデルに固有の性質は実数論で使わないぞ

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/12(木) 14:19:42.27

アルキメデス的完備順序体として定義して構成と一意性示して終わり

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/12(木) 18:42:07.65

どっちにしろ有限個の公理じゃ
構造が一意に決まらんしな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 09:21:27.42

>>17
どういう意味の一意性か知らないが
同等であるのでこれでよい

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 13:59:18.41

超限解析が可能な理由は
意外と知られてないんだな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 14:32:55.36

超限解析が有用な理由を一言で言うと？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 15:16:56.44

ε-δが簡単

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 15:22:07.73

超準解析って、標準と超準の区別で初心者が必ずつまづくんじゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 15:27:23.38

標準は無視

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 15:35:07.97

直感に近いちか宣伝して実は初学者殺し

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 15:48:30.60

>>23
君、区別の仕方言える？言えないんだろ？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 15:52:37.98

うん、言えない

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 16:29:50.73

どのモデルでも存在するのが標準で
モデルによって存在しない場合もあるのが超準

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 16:34:02.83

スゲー
天才だ

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 16:36:52.77

無限小数って本当にあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/13(金) 17:11:49.96

関連スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1628784821/l50

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/14(土) 13:00:25.74

>>29
「ある」の定義次第

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/14(土) 18:21:59.22

超越数や超実数
不完全性定理など

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/14(土) 19:11:15.50

>>32
チャイティンのオメガがいちばん数学的内容が多い実数。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/15(日) 01:21:11.45

細けぇこたぁいいんだよ！ドンッ！！
ってしたのが整数

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/15(日) 12:52:39.29

内容が多いと自慢する奴が一番役立たずの法則

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/16(月) 00:31:45.04

デデキント流とカントル流が定番
実数の基本性質の一つ、連続性と同等の性質を理解し、イプシロンデルタ論法
を使いこなして、微積分初級は終わり、あとはより進んだ解析学に移行

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/16(月) 05:30:44.11

>>35
まったく内部状態を持たないランダム実数選出オラクルが認証や暗号なんやらで最重要。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 15:24:55.39

お前か

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/19(木) 14:31:00.14

実数論は小平邦彦先生の解析入門の最初のデデキント流(だったと思う)を読んだことがあるけど、あまり覚えていない。
その後、困ったことないんだけど、なんかマズいの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/20(金) 10:15:00.77

困ってないのなら良いと思う
完備、コンパクト、連結の概念整理は定年以降でもいい、実数論は教科書書くなら整理すれば良い
個性ある研究対象を見つけることが重要、たとえ研究者で無くとも
特殊関数みたいなものを探す

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/20(金) 12:53:53.98

自分で何かの極限があるか証明しようとしなきゃ困らんわな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/20(金) 14:20:35.02

>>33
かなり具体的な不動点意味論としてもっと流布すればいいのに。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/20(金) 15:28:35.89

あっそ、で終わり

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 21:28:20.65

ttps://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/acampo-real.pdf
Zから実数構成する方法。

実数の定義だったら、「デデキントの定理を満足する順序体」かな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/19(日) 16:43:33.34

歴史的にはどれが一番最初だったの？デデキント？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 18:44:24.19

実数どうしの掛け算を定義するときにはコーシー列の類として扱った方が遥かに便利

実数[{a_n}]と[{b_n}]の掛け算を
ただ[{a_n×b_n}]として定義すればいいだけ

{a_n×b_n}がコーシー列なのは非常に簡単に示せるし、
代表元どうしの掛け算の定義のwell-definednessも一瞬で示せる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 18:46:47.49

というかもう定義はコーシー列による完備化だけでいいじゃん
ほかの定義は下位互換でしかないでしょ
なんかメリットあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 18:54:50.20

まずね、数が集合だと思ってる時点で論外
頭悪すぎ
数に内部構造とか無いから

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 22:10:01.67

>>48
生成元とその関係式が内部構造に相当するだろ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 13:39:30.29

>>49
何言ってるか分からんが、集合Rに構造があるという話と0とか1とかの数に構造があるという話は違う。数には構造がない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 15:04:40.14

>>50
数が集合でないならばどうやって数をZFC公理系から構築するの？

無知は黙った方がいいよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 17:44:45.86

数の構築とか言ってる時点でダメ
数に構造はないんだから
お前が言ってるのは>>30みたいなもん

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 22:57:11.66

実数(単なる集合)、実数体(代数構造、順序構造、位相構造をあわせ持つ)と言い換えるといいのかな？
まあ、単なる集合と構造を併せて考えたものを実数と呼ぶという暗黙の了解の元で議論するのが俺の理解なんだが、無知蒙昧と言われればそれまでだけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 23:31:38.04

>>52
いや言葉とかどうでもいいんだよ無知が
ZFC公理系から「どうやって数を定義するの？？？」
って聞いてるんだよ

おまえは並んでいる言葉だけをみて表面上の理解しかしてないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 23:36:04.89

定義そのものにイチャモンつけるゴミってほんとに何も数学わかってないってのが良く分かる

定義には流儀というものがあるし、絶対なものではない
(俺の思う「数」はこうだ！！！ )って言ってもそれおまえの感想でしかないから

数学やるなよそんなゴミ数学が汚れる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/07(木) 01:30:48.06

いくら分かりやすく書いても馬鹿には伝わらないんだな

仮に実数をコーシー列の同値類と定義するなら「1は無限集合です」とか「1は数列1,1,1,1,…を要素として含みます」とかが成り立つけど、1にそんな性質はないからな

お前は小学校で「1は集合です」って習ったのか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/07(木) 02:12:31.34

>>56
よくわかんねえけど実数をコーシー列を適切な同値関係で割った商集合として"構成"する
って言い方をしたらお前は納得してくれんの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/07(木) 07:30:56.43

>>56
ゼロだってプラス1マイナス1が打ち消し合ってるケースからプラス無限大マイナス無限大が打ち消し合ってるケースまで無限の内部状態を持ってる。
「真空」を自明だとでも思ってたら場の量子論なんてやってられん。

純粋数学的に見ても実数のインスタンスひとつひとつが位相構造を持った集合の要素だということは明白。実例が抽象を形作る。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/07(木) 07:39:55.80

まず学問の話で「学校(それも小学校)で習ったかどうか」を気にする神経がわからん

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/07(木) 09:47:36.48

お馬鹿さんがワラワラ集まってきてワロタ
集合論に毒されてんなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/07(木) 09:52:49.51

小学生の時はお前ら「1は集合です」とか言わなかったのに
集合論やってから頭悪くなってるよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/13(土) 03:29:00.97

はじめにコーシー列ありき。
それを完備化できればよい
standard でも non-standard でも…

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/13(土) 08:25:00.13

>>61
小学生は「質量とエネルギーは等価です」とか言わないのに
アインシュタイン頭悪いよ

こうですか？わかりません

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/14(日) 07:22:02.01

>>61
誤　1は集合です
正　1は集合{{}}として表せます

ちなみに0は{}

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/14(日) 15:23:35.93

帰納的に表現できれば自然数

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/14(日) 15:39:38.56

スレタイからずれるけど実数の連続性ってどれが一番人間の実数に対する感覚に根ざしてんの？
ウィキペディアは>>11で書かれてるけど普通はデデキントの公理使うよね

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/14(日) 17:15:55.54

上限性質かな

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/14(日) 18:23:02.25

>>66
>>11 のは証明が循環しそう

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/14(日) 20:25:10.44

>>68
問題ない

・任意の順序体は有理数体に同型な部分順序体を含む。

従って有理数体に対して
「空でない、上に有界な部分集合が上限を持つよう」
完備化すれば実数体になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/25(土) 19:51:41.53

定義には、構成的定義と公理的定義がある。
オレは、公理的定義をすすめる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/25(金) 13:42:02.63

有理数体を含むアルキメデス順序体で、連続性と同等の性質を満たすものを実数体というそれで、さっさと先に進め
それ以上は必要になったら勉強すればいい

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/25(金) 19:05:44.78

>>71
実数を定義するのに有理数を使っていいんですか？有理数は実数では？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/26(土) 15:06:15.29

>>72
有理数は加法乗法を定義すれば整数だけで完結するけど無理数はできず自明でない。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/30(水) 17:20:31.13

無理数が存在することは自明なの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/31(木) 09:23:42.68

全然自明じゃないから苦しい