【悲報】自然数は10個しかない
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
10進数は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は10個(10進数)、つまり10個(10進数)になります
2進数は0,1の2種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は2個(10進数)、つまり10個(2進数)になります
16進数は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,fの16種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は16個(10進数)、つまり10個(16進数)になります
60進数は0-59の60種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は60個(10進数)、つまり10個(60進数)になります
まとめるとX進数の符号の種類の数を数えると、必ず10個(X進数)になります
では全ての自然数を使って、自然数進数とでも呼ぶべきものを考えてみます。
自然数進数は「全ての自然数」種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は可算無限個(10進数)、つまり10個(自然数進数)になります
自然数は10個(自然数進数)しかない説明でした
いかがでしょうか。 自然数進数なんて普通考えないです
でも、イッチはそれについて考えたところ
あれ、なんか自然数の範囲から外れた値作れるくね?
と思ったんじゃないでしょうか?
すごく面白いので僕は支持する立場ですが
10進数での最大値があるナイではなく
自然数進数で考えたら無限を数として扱える説をどう考えるかについて語り合いたいのではないでしょうか?
>>1
違ってたらすまん 何進数かが決まればというのは当然
自然数進数の話ですよ
自然数進数が10(9+1)進数なら自然数の最大値は9です
全ての自然数が1桁の数であるときの話なので
2桁の数である10は自然数ではない
10が存在して操作できるためには、自然数より大きい数を扱うことのできる公理系が必要ですね 何進数かが決まればというのは当然
自然数進数の話ですよ
↑
意味不明なので、自然数進数とやらをちゃんと定義してください
自然数進数が10(9+1)進数なら自然数の最大値は9です
↑
10は9よりも大きいですよ
全ての自然数が1桁の数であるときの話なので
2桁の数である10は自然数ではない
10が存在して操作できるためには、自然数より大きい数を扱うことのできる公理系が必要ですね
↑
∞を扱える超準解析というものがすでにありますよ >>131
ありがとう！
まさしくその通りです
自然数進数がそもそも成立するのか、成立したら何が言えるのかってことですね >>133
最初見た?
定義してあるよ～
9が最大値の公理系を考えると
10って存在しないよね～
同じように自然数進数を考えると
自然数に最大値があるように扱えるよ!
ってことだと俺は思ってる 違うでｗ
確かにそう見えてもおかしくないくらい
かばってるからしょうがないけどｗ >>133
自然数進数は、>>1にある通り、全ての自然数を使った進数です
何も条件のない自然数との違いは、自然数進数では全ての自然数は1桁の数でなければいけないというだけです
何進数のどんな自然数だろうと、それが存在するなら、自然数進数の1桁の数に変換することができます
全ての自然数が自然数進数で表すことができるので、2桁の自然数進数である10は全ての自然数より大きい
あってるかどうかは別として、ここまででわからないところはありますか
超準解析についてはごめんなさい
勉強不足により内容を把握していないです
wikiをみたところ、いくつか私の手法と似たようなものもあり、
内容の把握は必須と感じましたが、1～2週間で把握できる内容とも思わないので、
ここでキリがついたら後ほど勉強します
超準解析に詳しいあなたに軌道修正してもらえると大変ありがたいです >>135
9が最大値の公理系で無理やり無限公理を適用したらできちゃったってのが最終的に言いたいことです
間違っている可能性は大ですが、掘り下げれたらいいなとは思ってます
ちなみに9が最大の「集合」では成立しません
9が最大の公理系では、全ての自然数という単語の意味が9＋1個になり、普通の自然数とは意味というか定義域が変わることを利用します >>138
自然数進数の10進数とはなんですか（>>132） >>140
132の内容は>>138の内容が真であることを前提としているので、>>138の内容を少なくとも理解できなければ意味がありません
>>138の内容はどうですか？現時点での賛成/反対の立場も出してもらえるとありがたいですね >>141
>>138は「∞を10と書く」以上の情報がないように見えるので、真であるとかないとかそういう議論はできません
それにしても、「真であることを認めれば説明してやる」という態度はひどくないですか？
はやく>>140を説明していただきたいのですが >>142
確かに10進数での∞を10とおいているように見えますが決定的に違いがあると思います。
∞+∞は計算したらどうなるかという問題と
自然数進数の１０+１０を計算するときとは
数字の利便性の面で圧倒的に自然数進数のほうが優れていると思います
便利な理論や、新しい理論を創り出すのも数学の楽しみだと僕は思ってるので真っ向から否定するのではなく反論という形で理論の穴探しをしてみてはどうでしょう? あと、>>140に関してはおそらくで言い間違いでは? >>142
前提条件を共有できなければ話ができません
意地悪しているわけではなくて、その場合は先に前提条件の話をしましょうということです
真であることの同意が必要なんてことは言ってません。
というか>>138の話は普通の基準なら偽になるはずです
見る限り現状の認識では>>132の内容を語るには不十分ですね...
そこを理解せずに先の話をだしてしまってもうしわけない
>>138の内容及び、今までのまとめと進数について私が真と考えている
重要なところを取り出しました
このレス内ではオリジナル要素はほぼないので、そのまま考えてもらえればいいかと思います
この①～⑥について、現状の認識を真、偽、保留、不明あたりで出してもらってもいいですか
①自然数と同じ数で1桁の数しかない場合、それは自然数進数だ
自然数の個数より小さい進数の場合、かならず2桁の10が含まれてしまいます
自然数の公理系内において、自然数より大きい進数は作れません
つまり全てが1桁の数は自然数進数です
②存在しないものは自然数進数の1桁の数に変換できない
自然数進数の1桁の数に変換することができるのは存在するものだけです
また1桁の数で表せないものは、自然数としては存在しないです
③10進数は自然数ではない
10進数のある値は自然数との対応が取れて初めてその自然数と同じものといえる
10進数は自然数のある値を指し示すものであって、10進数は自然数そのものではない
④あるn進数の10が存在する場合、自然数進数がn進数より大きいからだ
nは、2～∞の大きさを持つが、それでも結論が変わらない（ただしn≠自然数進数）
⑤X進数の10以上の数は、その値より大きい進数上で1桁の数になる
自然数進数でも同様である
⑥公理系A,Bがある時、公理系A内にある自然数進数より大きい自然数進数を公理系B内に作れる
別の公理系なら別の自然数進数を作れます >>143
それくらいのスタンスでいてくれるとありがたいです
少なくとも、自然数より小さい無限として進数を上げた人は私は見つけられなかったので、
そこを考えてみるのは面白いと思います
10進数があまりにも当たり前になりすぎていて、盲点になっている可能性は高いと思ってます
上の>>145の①～⑥も考えてみてもらえると例え否定であっても議論は進むかなと思います >>143
10+10=20ができたとしても2∞という謎の記号を20と書いているだけですね
はっきり言って1は10というなじみのある数字で∞を置き換えて混乱させているだけですね
例えば109では「普通は自然数が10個なんてあり得ない」と言っていますね
138あたりを読むと，1は自然数進数の10に対してはしっかりと無限大の類似物という認識があるので
109の10は明らかに普通の10ですよね
一方で，116では「自然数進数のつもり」などとと明言しています
つまり，意図的かどうかはともかく，普通の10と自然数進数の10を混用しているわけです
>>145
あなたは119で「何進数かが決まっていれば、その最大値は簡単に特定できます」
と書いていますね
なので，10進数にしました
はやく最大値を教えてください 訂正します
自然数進数の10か普通の10か明確でないため，>>147の最後4行を以下のように訂正します
あなたは119で「何進数かが決まっていれば、その最大値は簡単に特定できます」
と書いていますね
なので，2進数にしました
はやく最大値を教えてください >>147
訂正しとくと∞+∞=∞です
∞と置き換えたのが悪かったのかもしれません
a=∞の定義とはそもそも
「任意の x>0 に対して a>x が成り立つ数」
ですのでどんな数より大きい数ではありますが
特定の数値ではありません
(これはイッチの言うところになにか矛盾しそうな気もしますが)
ぼくが思うこのイッチの理論の面白いところは
自然数の個数個+1個(0も使うため+1)の記号を使う
自然数進数について考えると自然数の範囲から外れる数値が出てくることです。
これが、演算の拡張などになにか役立つのではないかと思い議論している次第です。
自然数の定義とも取れる、「ペアノの公理」
とも矛盾しないかいま考えてるのでなにか面白い発見があるかもしれないですね! >>145
⑥について
特定の公理内での無限が他の公理系で考えると可算なことから計算できるってことでいい?
でも、その公理系の最大値超えてるからカンストもしくはそれに類似した状態になるってことでおk? >>147
ありがとうございます
こちらが伝えたことがどこまで伝わっているかが一番知りたかったことで、それがある程度分かりました
想像以上にぐっちゃぐちゃになっていますね..
一応書いておくと、109も119も138も自然数進数と、自然数進数の10の話です
そして109も119も138も無限大の類似物の認識はありません
ただ混用しているというのはいい表現ですね
混用させるのがある意味このスレの一番の目的です！
普通の自然数と、自然数進数がまったくの別物というのは薄々かハッキリとかはわからないですが気づいてますよね？
それなのに、私が自然数進数として書いたものが
あなたには普通の自然数に見えて、最後まで自然数進数と気づかなかったとします
その場合、それはもうあなたにとっては自然数なんですよ。
自然数というインターフェースに対して、自然数進数という実装を当てはめて
問題なく動くなら自然数進数は自然数なんです >>150
はい。その通りです
⑥が成り立つならそのままですね
自然数進数の10は、他の公理系ではただの自然数なので普通に計算できます
一応補足しておくと、他の公理系として、私はペアノの公理を使います
あと⑥を理解していただけたならもうわかると思うのですが
④、⑤、⑥のどれか一つを認めるということは、以下を認めるのと同じだと思ってます
・自然数進数はペアノで作った自然数をすべて列挙することはできない
自然数進数の10を認めるということは、最大サイズの自然数を作れないという意味なので
自然数進数を作れないペアノの公理より必ず小さいサイズになります
ペアノで作れないと思ったのは、ペアノではn+1が自然数と明記してあるためです
無限公理では∃が使われているだけなので、∃の解釈に付け込む隙があったということです
カンストについては、数学には上限でループする数（p進数）、エラーになる数(自然数における負数)はあるのですが
カンストする数があまり扱われてこなかったと思います
実は自然数がそうというのが私の主張です
∞とカンストはあまりにも特徴が似ています
カンスト時の全単射とかは、意味は全くの別物になりますが、
一言一句変えずに成り立つのも面白いです わざと無視してるのでしょうか
↓にお願いします
あなたは119で「何進数かが決まっていれば、その最大値は簡単に特定できます」
と書いていますね
なので，2進数にしました
はやく最大値を教えてください >>151
>一応書いておくと、109も119も138も自然数進数と、自然数進数の10の話です
嘘はいけませんね
109の10は明らかに普通の10ですね
>そして109も119も138も無限大の類似物の認識はありません
>>125とその前後を読んでください
明らかに（明言こそしていませんが）10を無限大の類似物だと認識していますね さらに言うと，依然として定義されていない自然数進数の10と，普通の10を混用しないでください。
次からはどちらか明示してくださいね
こちらもできるだけそうするので なんつーか
はやくしろとか
ケンカごしでしか話ができねえ奴ってつまんねーんだよな
数学以前の問題なんだわ
そういう奴は数学板から出て行けよ
つまんねーんだよ >>153
自然数進数が2進数の時、その自然数の最大値ですよね
もちろん最大値は1です
ちなみにその話題関連でいうと、自然数進数はいつ何のために使うのかという点は押さえておくべき事項です
日常生活において自然数進数の用途はほぼ一点、対象が自然数かどうかを確認するときです
それ以外の用途でわざわざ自然数進数を持ち出す意味がありません
例えば8進数の15+14=31となりますが、これだけだと31が自然数か超自然数か区別がつきません
自然数と確定させるためには、自然数進数でカウントする必要があります
ただ31が自然数か超自然数かどうかに興味がある人なんていないんです
全員が、別に超自然数でも構わないし自然数が混在しても構わないと思ってます
だから誰も自然数かどうか調べようとしないので、自然数進数は基本誰にも使われません
そこに興味があるのは、マニアな数学者と、プログラマぐらいですかね 自然数進数が2進数である、というのはどういうことでしょうか
すべての自然数種類の符号を使った進数が2進数であるというのは支離滅裂です >>160
どういうとは理由でしょうか、状態でしょうか
ここでは状態について答えます
最大値が1の自然数の公理系では自然数の個数は{0,1}の2個です
N={0,1}
当然最大値は1。
すべての自然数種類の符号は{0,1}の2種類で自然数進数は2進数です。
全ての自然数とは、あくまでその公理系の中にある自然数がすべての自然数です
公理系の外側にどれだけ自然数があってもそれは検出できません
そこが集合と公理系の違いです 最大値が1の自然数の公理系などというものは存在しません
自然数の公理をご確認ください >>162
個数に関しては、無限公理くらいだと思いますが、
そこにはサイズが2の自然数公理系が作れないとは書いていません
具体的にどの公理ですか？ 公理系が無限に存在しそれらを一個大きい公理系が存在して包含していると考えれませんか? >>164
後者があるっていうやつのことですよね
それがまさに無限公理です
無限公理には個数が2個しかないものはダメとは書いていません
個数が2個しかない自然数の公理系が無限公理を満たせばそれでみんな納得できて円満解決です
一見完璧に見える無限公理も2点欠陥があります
①n+1が解のない式の場合、ループが止まります
②公理系のサイズより大きいものを入力した時の動作が未定義です 「解」という言葉は、文字式に対してではなく方程式に対して使うものです。
例:実数xの方程式x^2=1 の解は±1である。
自然数nの方程式 n^2=2の解は存在しない。
文字式に対しては「値」や「数値」と言います。
例:n=3のとき n^2 -2n の値を求めよ。
誤解がないときは「値」や「数値」という言葉を省略してもかまいません。
例:nを自然数とする。√(10-n)が自然数になるようなnはいくつあるか。 >>1さんの主張は集合論を使って説明できます。
(ここでは0を自然数に含むものとする)
自然数の(有限)部分集合Aを
A=｛0,1｝で定める。
Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
この表記を2進表記と呼ぶことにする。
Aの全ての要素は2進表記で1つの記号で表せる。
ここで、1+1は(無限公理により)自然数として存在するが、Aの要素ではない。
1+1を2進表記で表すと10である。
一般化して
自然数の(有限)部分集合Aを
A=｛0,1,2,・・・,n｝で定める。
Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
この表記を(n+1)進表記と呼ぶことにする。
Aの全ての要素は(n+1)進表記で1つの記号で表せる。
ここで、n+1(の値)は(無限公理により)自然数として存在するが、Aの要素ではない。
n+1(の値)を(n+1)進表記で表すと10である。
いかがでしょう？
この説明であなたの主張に足りていないものはありますか？ そろそろ>>1の「X進数をサポートした自然数の公理系」を定義します
重要な点は以下になります。これらを要素を盛り込んだ論理式を作成します
・値のない式10が存在する
・10は自然数ではない
・10は別の(自身より大きい)公理系上の自然数を指す式である
いろいろ工夫してまとめると「X進数をサポートした自然数の公理系」は以下の論理式を持ちます
∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)）
(Aは集合ではなくクラス)
意味は、「0を持ち、全てのxについてその後者(x+1)を含むA(ペアノの自然数)が存在する」となります
まったくの偶然ですが、自然数の無限公理と同じ論理式となりました。
同じすぎて違いが分からないと思うので少し解説を入れます
・普通の自然数ではAは集合ですが、「X進数をサポートした自然数の公理系」からみるとA、つまりペアノの自然数は公理系より大きいものなので集合ではありません
ただしAが集合の場合はペアノの自然数と同じとなり成立します。(Aは集合ではなくクラス)という注釈は本来必要ありません
・公理系より大きいAにたいして(∀x∈A)を計算すると、公理系に存在するものしか検出できません。つまり(∀x∈A) < Aになります
具体的にサイズが2の自然数の公理系を考えてみます
サイズが2の自然数の公理系が持つ要素は{0,1}
N={0,1}
全ての自然数{0,1}のそれぞれのx+1がペアノの自然数内に存在すればよい
0+1 → 値はペアノの自然数内に存在します
1+1 → 値はペアノの自然数内に存在します
0+1も1+1も成り立つのでこれは上記の論理式を満たしますね。
1+1=10は値のない式であり、この公理系内で評価すれば値なしとなりますが
ペアノの自然数内で評価すると、ただの自然数となります >>168
解と値についてはありがとうございます！！
そこはまったく区別がついていなかったです。以後気を付けます
>>169
まとめてくれてありがとうございます
この問題は集合で解釈すると、非常に簡単に理解できます
集合論としてもいくつか足りない点があるので、追加しての考慮をお願いします
①私はX進数は無限の大きさを持つと想定しているので
有限と限定されるのは認められません
私の主張は、あるn進数ではたしかにnは有限ですが
X進数の公理系の数が無限であるとしています。
自然数も同じですよね。自然数は有限値だが個数が無限にある。
なのでX進数を一般化するには無限個のX進数をカバーしてほしいです
②X進数の個数が無限個の場合、自然数と1対1で対応してしまい>>1の問題が発生します
こちらの回避策を考えてほしいです
結論として何か制限を加えればできそうな気がしますが、そのままでは認められないです
ただし、仮に集合論で説明できても
わざわざ公理系として表現するには2つ理由があります
一つ目は、公理系とした場合のみ、自然数と互換性のあるものができるかもしれないからです。自然数と互換性があるなら面白いですよね
というか自然数とリンクできなければ、わざわざスレたてするほどの内容でもないので
スレを閉じる方向に行くと思います
二つ目は、思想の問題です
そもそもの発端が「2つの公理A,Bを満たす場合、その公理系{AB}は、AとBの積空間となるA＆Bとなる」という理論が必要で探していて、なかったから作った結果できたのが>>1です
だから集合論で説明できてもこのアプローチをやめる気はありません >>170 >>171
気になるところがたくさんあってどう伝えたら良いか困りますが、、
あなたはペアノの公理とは別の公理(そして自然数に代わる集合)を作ろうとしているようですね。
「X進数をサポートした自然数の公理」は
∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)）
(Aは集合ではなくクラス)
だけですか？
ペアノの公理を参考に、あなたの作りたい「X進数をサポートした自然数の公理」を具体的に書いてみてください。
ペアノの公理(wikipediaより引用)
自然数は次の5条件を満たす。
1. 0は自然数である。
2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
3. 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4. 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。 >>172
主要なものとして、少なくともこのあたりは問題なさそうと判断してますが
気になるものや足りないものはありますか？
外延公理 ∀z（z∈x <-> z∈y）－＞ x=y
対公理 ∀x∀y∃z∀u（u∈z <-> u=x ∨u=y）
和集合公理 ∃y∀z（z∈y <-> ∃u（u∈x∧z∈u））
ベキ集合公理 ∀X∃y∀z（z∈y <-> z⊆X）
空集合公理 ∃x∀y￢（y∈x）
無限公理 ∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)
裏に込めた意味はいろいろありますが、
計算だけを見るなら、入力値が公理系より大きいものだった時のみ(∀x∈A) < Aになるというルールを追加するだけです（∃はそのまま使える）
入力値が公理系以下の場合、(∀x∈A) = Aとなり、その場合は普通の自然数と全く同じ結果を生みます >>173
なるほど、ペアノの公理どころかZFの公理を改変しようと言う試みですか。「自然数」のみならず「集合」そのものの定義の認識を変えようというのですね。置換公理と正則性公理を外したのはあえてそうしたのでしょうか。
それから、
>>170
>>10は別の(自身より大きい)公理系上の自然数を指す
>>A、つまりペアノの自然数は公理系より大きいものなので集合ではありません
>>173
>> 入力値が公理系より大きい
などなど、「公理系と集合の大小」や「公理系と数値(スカラー)の大小」を論じているようですが、これらの定義(大小の区別のルール)がわかりません。
例として「集合と数値の大小」の考えうる定義をいくつか並べておきます。
A=｛0,1,5｝という集合と、数値4の大小を考える
・最大値で比べる
Aの要素の最大値は5
4<5 なので 4<Aと定める
・平均値で比べる
Aの3つの要素の平均値は2
2<4 なので A<4 と定める
・要素の数と数値を比べる
Aの要素の数は3
3<4 なので A<4 と定める
・包含関係で比べる
4はAの要素ではない
このとき A<4 と定める
これらのように定義次第で大小は変化します。
あなたはどういう定義のもとで「公理系より大きい(小さい)」と主張なさっているのか教えてください。 >>176
そうですね。ターゲットにしているのはかなりコアな部分です
未定義だった「入力値が公理系より大きい場合」の∃と∀の追加規定なので
改変というよりは拡張というイメージですが、改変は改変です
置換公理と正則性公理も問題なさそうに見えますね
>>「公理系と集合の大小」や「公理系と数値(スカラー)の大小」
集合の比較は、集合同士の個数の比較になります
公理系と数値の比較は、自然数と10の比較のことだと思います。
これは正確には「全ての自然数(の各要素)」と10の比較です。
A=｛0,1,5}と4の比較だと
・全ての値との比較 0<4, 1<4, 5>4なので、4はAより大きいとは言えない
という結論になります >>177
>>173に置換公理と正則性公理を加えるのであれば、それはZFの公理系と同じです。以後、ZFの公理系を認めた上で議論するということでよろしいですね。
>> 公理系と数値の比較は、自然数と10の比較のことだと思います。
私から質問しておいて失礼ですが、あなたは「公理系」の意味をはきちがえていると思われます。
公理系とは公理の集まり、またはそれらの公理によって導き出される体系のことです。つまり、そもそも公理系と数値は比較できるものではありません。
それを知ってなお「公理系と数値の比較」を試みるのであれば質問をします。
ここでの「自然数」は通常の自然数(ペアノの公理を満たす自然数)でいいですか？
また、「10」の定義がわかりません。
>>170では
>> ∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)）
(Aは集合ではなくクラス)
とありますが、これによってどう「10」が定義されるのかわかりません。
ZFの公理を認めた上で、あなたの考える「10」あるいは「X進数をサポートした自然数」の満たすべき条件を、ペアノの公理を参考に書いてみてください。
上記2つがなければ、「自然数」と「10」の大小が判断できません。
>>4はAより大きいとは言えない
「大きいとは言えない」とは「大きくない(等しいかまたは小さい)」と解釈していいですか？それとも「小さい(大きくないし等しくもない)」と解釈すべきですか？ >>178
順番は前後しますがまずこちらから
>>4はAより大きいとは言えない
ここで私が言いたいのは、集合と値の比較はしていないということです
公理系と値の比較もしていません
あくまで「全てのAの個々の値と値Xを比べてXはそれら全ての個々の値より大きい」ことをXはAより大きいと表現しました
比較を行っているのはあくまで全て値同士です。集合と値の比較はしていません
「全てのAの個々の値と値Xを比べて、Xはそれら全ての個々の値より大きい」場合以外は
XはAより大きいとは言えません。等しいかどうか、小さいかどうかは定義していません
つまり4はAより大きいとは言えず、等しいとも言えず、小さいとも言えません
わかりにくければ、「全てのAの個々の値と値Xを比べてXはそれら全ての個々の値より大きい」の解釈で読み替えていただければありがたいです
ここは下手に略した表現をしたこちらの問題かなと思います。すみません
>>以後、ZFの公理系を認めた上で議論する
はい。問題ないです。∃と∀の拡張を認めたうえであればという条件が付きますが。
∃と∀の拡張を認めたものをZFと呼んでいいかは私には判断がつきません
残りの項目はあと1日考えて回答します >>178
公理について話をする前に、知っていたら教えてほしい
もしなければ一緒に考えてほしい問題があります
それは、進数とは何なのか、です
ペアノの自然数もZFもご存じと思いますが
ペアノの自然数でもZFでも進数の概念は定義されていません
数学ではX進数(通常は10進数)を前提とした議論もありますが
その進数という概念はいつ追加されて、どのような根拠や制約をもつのでしょうか
例えば底の変換は無条件にできるのか、何か制限はあるのか
X進数のXの範囲は有限なのか自然数と同値なのか自然数より大きくてもよいのか
個数が３しかない有限集合にX進数の概念は導入可能なのか自然数のみしかダメなのか。非可算集合にも導入できるのか
そもそも自然数の10は存在するのか
結局、進数の公理とはなんなんでしょうか。ないというのは乱暴な感じがします
私が探した範囲では進数の公理は見つかりませんでした(少なくとも日本語のwikiには見つけれませんでした)
>>178さんも普通の自然数の公理系で10を気兼ねなく使っていると思いますが、それはどういう根拠で使われているのでしょうか >>179
とてもわかりやすい説明ありがとうございます。あなたの考えを理解できました。以後、
「全てのAの個々の値と値Xを比べてXはそれら全ての個々の値より大きい」とか
「Aの要素のうち最大の値よりXは大きい」などと書きましょう。
>> ∃と∀の拡張
とありますがこの意味がわかりません。
どんな論理式のどの変数に対しての∃(存在記号)や∀(全称記号)を考えているのですか？
参考としてwikipediaの∀の記事を引用しておきます。
「Px」という開論理式 (open formula) が与えられたとき、これが意味するところは「……はPである」ということだけで、これだけでは真偽が確定しない。そこで、「Px」に現れている自由変項「x」を量化記号によって束縛することにより、新たに閉論理式 (closed formula) が得られる。このような閉論理式は、しかるべき解釈を施すことにより真偽を確定することができる。一般に量化記号には、「全ての」を意味する全称記号「∀」と、「存在する」を意味する存在記号「∃」の2種類がある。このうち全称記号「∀」によって束縛した場合には「∀xPx」という閉論理式が得られ、これは「全ての（任意の） x について、x は P である」（より簡単には「全ての x は Pである」）という意味になる。 >>180
進数(進法、または位取り記数法)とは、自然数(ペアノの公理による)を表記する方法のひとつです。あくまで「表記方法」なので、位取り記数法によって自然数などの体系を定義しているわけではありません。
ペアノの公理によれば、ただ線を並べたもの
｜
｜｜
｜｜｜
｜｜｜｜
｜｜｜｜｜
｜｜｜｜｜｜
これらは自然数です。
ですが、おわかりの通りこのままではとても使いづらいので、自然数の要素に表記(数字)を対応させてわかりやすくしています。
wikipediaの位取り記数法のページに詳しく載っています。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95
また、負の数や実数や複素数を含む位取り記数法の定義をwikipediaより引用しておきます
各用語の詳しい定義を紹介する。
0 を含む連続した整数の集合 z をとり、その元を位(あるいは桁)と呼ぶ。 特定の位をさしたいときには、0番位や 1番位と単位をつけることにする。 そして、任意の n∈z に対して空でない実数の有限集合 mn をとり、 その元を n番位の仮数と呼ぶ。そして、任意の n∈z に対して実数 Kn を定め、 この Kn を n番位の重み(あるいは意味)と呼び、 Kn+1/Kn を n番位の底(あるいは基数)と呼ぶ。 これらをもとに数を表す方法を記数法(あるいは位取り記数法)という ( mn の元や Kn は複素数でもよい)。 この z, mn, Kn による記数法をK進法(あるいは K進記数法)とする。 >>「自然数」と「10」の大小が判断できません
それを理解するには私の主張の全体像が見える必要があります
私の主張の構成について説明します
まず合意したい前提条件について説明します
①自然数の公理により自然数を作成します。この公理系を公理系①、そこに存在するすべての自然数を集合①とします
②進数の概念が導入され、暗黙的に進数の公理が追加されます。追加された公理を公理②とします
③自然数の公理+公理②が、「X進数をサポートした自然数の公理系」です。
その公理系を公理系③、そこに存在する全ての自然数を集合③とします
集合①、集合③はどちらも自然数の公理を満たすので、どちらも自然数です
ここまでは全員の同意を得られると考えていたんですが...>>181をみると
ここですでにずれてますかね
とりあえずここの合意の段階では②の影響は0か極小であるととらえて問題なければそうしてください
以下私が考えたオリジナル要素を述べます
④公理系③から公理系①の集合①にアクセスできる。これを法則④とする。
⑤公理系③は公理系①の真部分集合であり、公理系①内で集合③＜集合①が成り立つ。これを法則⑤とする
この法則④は、概要しかみてませんがこのスレでおすすめされた超準解析の超準モデルとかなり似ています(違ったらごめんなさい)
ただ超準解析とは異なる部分もあります。
超準解析では、集合①より大きい集合を考えることで、大きい自然数と小さい自然数を作ります(違ったらごめんなさい)
法則④は、集合①より小さい集合③を考えることで、大きい自然数と小さい自然数を作ります
このスレででてくる「10」の値は、集合③には存在しないが集合①内に存在します。
集合③が法則④、法則⑤を持っているようにしか見えない(>>1)ので、
法則④、法則⑤⊂公理②です
以上が全体像になります。 集合①を自然数と呼ぶか、集合③を自然数と呼ぶかで非常に迷って私は集合③を自然数と呼びました
これも人によっては混乱に拍車をかけたかなと思います
また私が∃と∀の拡張とよんでいるのは公理系外の要素を渡したときの動作です。
公理系③内において、集合③<集合①となる別の公理系①の自然数集合①を公理系③で定義された∃と∀に渡すとどうなるかということです。
公理系③内で集合①を考えると、パターン①か②になりますが
外延公理を生かしたいと思うので、私はパターン②を採用しています
パターン①(公理系外のものも列挙できる)：∀(集合①)=集合①
パターン②(公理系内のもののみ列挙できる)：∀(集合①)=集合③ >>183
>> ①自然数の公理により自然数を作成します。この公理系を公理系①、そこに存在するすべての自然数を集合①とします
ここでいう「自然数の公理」は「ペアノの公理」ということでいいですか？
>> ②進数の概念が導入され、暗黙的に進数の公理が追加されます。
たくさん書いていただいてすみませんが、この部分がわかりません。②がわからないので③がわからず、それ以降あなたのコメントのほぼ全てわかりません。あなたの考える「進数の公理」を、ペアノの公理を参考に具体的に書いていただけないでしょうか？
もしくは、「進数の公理」を新しく作りたいがどのようにすればわからない、という立場ですか？
>>184
>> また私が∃と∀の拡張とよんでいるのは公理系外の要素を渡したときの動作です。
「公理系外の要素」というのは「公理系によって定義される集合外の要素(つまり公理系を満たさない要素)」ということでいいですか？
また、「渡す」という考えがわかりません。
例として、自然数の集合に2.5を渡す(?)としても「2.5は自然数の条件(ペアノの公理)を満たさない」で完結します。何も矛盾はありません。 >>185
>>ここでいう「自然数の公理」は「ペアノの公理」ということでいいですか？
違います。
集合①はペアノの公理でも構いませんが、集合③はZFが必須のため
「自然数の公理」はZFです
>> ②進数の概念が導入され、暗黙的に進数の公理が追加されます。
まず、ペアノの自然数でもZFでも進数の概念は定義されていません
一般的には、進数はあくまで「表記方法」なので自然数に影響を与えることはないというのが通常の見方ですね
だから一般的には自然数を10進数で考えても問題ないとされています
私の主張は、進数という概念が自然数に重大な影響を与えているというものです
この主張が理解できないのか、理解はできるけど賛同できないのかがわからないので
そこを伝えてほしいです
>>「進数の公理」を新しく作りたいがどのようにすればわからない、という立場ですか？
スレ立て当初の思惑だと、集合③の存在と、それがZFを満たせば十分と思っていました
そのストーリーの場合、「進数の公理」は存在だけ示せばよく、それが何かを示す必要がありません。このため私からは最後まで「進数の公理」を出すつもりはありませんでした
スレ立てしてよかったと思うのは、「進数の公理」を出すのはやっぱり必要かなと考えが変わってきたことです。
ただ元々必要ないと思ってきた項目なので、今は用意していません
手伝ってもらえたらありがたいです
少し考えてみた感じだと、おそらく公理系③からは公理②は証明できません
やるとするなら超準解析や強制法が必要だと思いますが、私がそれを使ってやるなら2年くらいはかかりそうな感じです
公理系①からだったら簡単そうなのでそちらのアプローチを考えてますが
何度か修正しつつという感じになると思います >>②と③について
ここで出すべき例は、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学です
(こちらも概要しか知りませんので間違ってたらごめんなさい)
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学は、どちらも共通の4つの公理を満たすという意味で同じものです。
厳密には間違ってますがここではわかりやすさを重視して、非ユークリッド幾何学は4つの公理しかもっていないとしましょう
ユークリッド幾何学の公理 = {A, B, C, D, E}
非ユークリッド幾何学の公理 = {A, B, C, D}
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の差は、公理Eがあるかどうかだけです
それぞれの公理系で「全ての三角形」を列挙します
ユークリッド幾何学 = {平面の三角形}
非ユークリッド幾何学 = {平面の三角形, 曲面の三角形}
当然ユークリッド幾何学では、 曲面の三角形が列挙されません
これは、公理Eを追加することより三角形の個数が減った(曲面の三角形がなくなった)ことを意味します
では、(4つの公理というインターフェースから見て)全て三角形の集合である{平面の三角形, 曲面の三角形}の集合の中にある全ての三角形を、ユークリッド幾何学で列挙します
∀{平面の三角形, 曲面の三角形} = {平面の三角形}
当然、ユークリッド幾何学内では平面の三角形しか列挙されません
入力値には曲面の三角形が含まれますが、
ユークリッド幾何学で「全ての三角形」を列挙すると曲面の三角形が消えます このユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の関係と同じことを自然数にも適用します。ここで重要なのはロジックのみです。実際に{自然数A、自然数B}の2種類の自然数があるかどうかは別問題です。
ここでは2種類の自然数があるとして読んでください。
まずこのロジックが正しいかどうか、そしてこのロジックを自然数に適用できるかの2段階のステップで考えてください。
ロジックを自然数に適用できるかは、このロジックを理解していただいた後に議論しましょう
公理系③は、公理系①に「新しい公理」を加えたものです
公理系①の公理 = {自然数の公理}
公理系③の公理 = {自然数の公理、新しい公理}
それぞれの公理系で「全ての自然数」を列挙します
公理系① = {自然数A、自然数B}
公理系③ = {自然数A}
公理系③の公理では、 自然数Bが列挙されません
これは、「新しい公理」を追加することより自然数の個数が減った(自然数Bがなくなった)ことを意味します
では、自然数の集合である{自然数A、自然数B}の集合の中にある全ての自然数を、公理系③で列挙します
∀{自然数A、自然数B} = {自然数A}
当然、公理系③内では自然数Aしか列挙されません
>>例として、自然数の集合に2.5を渡す(?)
この例を使うなら、自然数の公理系において、
集合Aの全ての値を列挙することを考えます
A={1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}
自然数の公理系において、値とは自然数のことなので、
「全ての値」は自然数のみが列挙されます
∀A={1, 2, 3, 4} >>186～>>188
あなたの主張の雰囲気は伝わってきました。しかし厳密な部分がわかりません。
>> 「自然数の公理」はZFです
この時点でわかりません。ZFの公理は「集合」とは何かを定めるルールです。有理数全体も、実数全体も、複素数全体も、｛BTSのメンバー｝もZFの公理を満たします。あなたはこれら全てを「自然数(集合①)」として捉えるのですか？
>> 集合Aの全ての値を列挙することを考えます
>>A={1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}
上記と同様に、あなたはこのAを自然数と捉えていますか？
上の２つの質問の応えがどちらもyesなら、それはもはや一般の自然数ではないので、混乱を避けるために「自然数」という表現をやめるのが賢明ですがどうでしょう。
>> 私の主張は、進数という概念が自然数に重大な影響を与えているというものです
この主張が理解できないのか、理解はできるけど賛同できないのかがわからないので
理解できません。「重大な影響を与えている」とは、進数という概念が、ペアノの自然数の公理に何かを付け足しているということでいいですか？
一般的には、前にも書きましたが、進数(位取り記数法)とはあくまで表記法なのでペアノの公理とは無関係です。もちろん私も同意見です。
この一般論を覆そうというのがあなたの目的だが、肝心の「進数の公理」はまだ用意できていない。
というのがあなたの今の立場ですね？
>187と>>188についてはもう少し考えます。 >>189
うーん
このレスを見る限り、>>1を理解していない感じがします。それらの回答は>>1にあるので先にそちらを解決したいです
>>1を見た上で、これらについて教えて欲しいです
もちろん普通の自然数、普通の解釈で構いません
・自然数とx進数の数はどちらが多いですか？
・自然数進数は作れますか？
・自然数進数が作れる場合、自然数進数の10とはなんなんでしょう
・進数では底の変換によりどこまでも大きな進数に変換ができますが、その上限はどこでしょう 一応もう一つおまけで
・全ての自然数は1桁の数で表記できる
これが真か偽かもお願いします
1桁の数というのは要するにただユニークな単一の値であればいいんですが、ペアノの自然数が要求しているのが全く同じくユニークな単一の値であることです >>190
はい、私は>>1を理解していません。というより、>1の
>> 自然数進数は「全ての自然数」種類の符号を使用する数です。
>>全種類の符号の個数は可算無限個(10進数)、つまり10個(自然数進数)になります
この表現が曖昧なので定義になっていないと考えます。無限集合をどう扱うのかの具体的な記述が必要です。(1対1対応、数学的帰納法、イプシロンデルタ論法などがあります)
>>それらの回答は>1にあるので
とのことですが、>1を読んでも私の質問の回答になっているとは思えません。
あなたの>>190>>191の質問に応えるので、あなたも私の質問に応えてください。
>>・自然数とx進数の数はどちらが多いですか？
xは自然数として捉えます。どちらも無限集合なので、要素の個数では多い少ないを比べることができず、濃度を比べることになります。自然数とxの間に1対1対応が存在します。よってどちらの濃度も等しいです。(加算無限集合)
>>・自然数進数は作れますか？
その質問の解釈によります。
「>1によって定義された自然数進数によって(一般の)自然数を表現できるか？」という意味なら、上記の通り私は>1を自然数進数の定義として不十分だと考えているので応えられません。
「>1とは関係なく、自然数進数という表記を定義できるか？」という質問なら、それは可能です。
実際にやってみると、
2以上の自然数xに対し、x進法によって表される数を自然数進数と呼ぶ。(x進法については>>182参照)
となります。 >>・自然数進数が作れる場合、自然数進数の10とはなんなんでしょう
上の質問と同様です。私は>>1を自然数進数の定義として不十分だと考えているので応えられません。
上ので私の作った自然数進数であれば、
任意の自然数xに対して、自然数進数、つまりx進法によって表される10はxを意味します。
>>・進数では底の変換によりどこまでも大きな進数に変換ができますが、その上限はどこでしょう
ここでの進数を「x進法表記(xは2以上の自然数)」すと捉えます。最初の質問と同様、x進法表記(の集合)と自然数はどちらも加算無限集合なので、上限はありません。
・全ての自然数は1桁の数で表記できる
真です。>>169の通りです。
自然数の(有限)部分集合Aを
A=｛0,1,2,・・・,n｝で定める。
Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
この表記を(n+1)進表記と呼ぶことにする。
Aの全ての要素は(n+1)進表記で1つの記号で表せる。
これは(1以上の)任意の自然数nで成り立つ。 次にこちらの質問を並べるので応えてください。
>>189の質問の再掲です
・有理数全体も、実数全体も、複素数全体も、｛BTSのメンバー｝もZFの公理を満たします。あなたはこれら全てを「自然数(集合①)」として捉えるのですか？
・>> 集合Aの全ての値を列挙することを考えます
>>A={1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}
上記と同様に、あなたはこのAを自然数と捉えていますか？
・一般的には、進数(位取り記数法)とはあくまで表記法なのでペアノの公理とは無関係です。
この一般論を覆そうというのがあなたの目的だが、肝心の「進数の公理」はまだ用意できていない。
というのがあなたの今の立場だということでいいですか？ >>194
ありがとうございます
>>1の問題を共有できていなかったということですか
ここで確認しといてよかったです。
>>・有理数全体も、実数全体も、複素数全体も、｛BTSのメンバー｝もZFの公理を満たします。あなたはこれら全てを「自然数(集合①)」として捉えるのですか？
ここは勉強不足もあり、多分私の認識が間違っていたと思います。
指摘ありがとうございます
ただ大筋は変わりません。この質問はNoです。
公理②(進数の公理)によって、集合③(自然数進数)は、集合①(ペアノの公理)の真部分集合(もしくは同等のもの)であると規定されると考えています。
それにより集合③は自然数です。
集合③はペアノの公理によってではなく、その部分集合という意味で自然数です
>>A={1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}
>>上記と同様に、あなたはこのAを自然数と捉えていますか？
明確に初めからNOです。
これは別の公理系(有理数とか実数とか)の公理系にある集合です
それを無理やり自然数の公理系内で∀Aするとどうなるか、という問題です
>>・一般的には、進数(位取り記数法)とはあくまで表記法なのでペアノの公理とは無関係です。
>>この一般論を覆そうというのがあなたの目的だが、肝心の「進数の公理」はまだ用意できていない。
これは半分yes
少なくとも現時点では、>>1が進数が自然数に対して「重大な影響を与えている」証拠だととらえています。その論旨でいえば問題が解決するなら「進数の公理」は必ずしも必要ありません。
それはそれとして、「進数の公理」はあったほうがいいとは考えています
回答いただいたものは後でじっくり見ようと思いますが一つだけ
全ての自然数のはずが、任意の自然数にすり替わっていますが、全ての自然数にできない理由はありますか？
>>・全ての自然数は1桁の数で表記できる
>>これは(1以上の)任意の自然数nで成り立つ。 >>全ての自然数のはずが、任意の自然数にすり替わっていますが、全ての自然数にできない理由はありますか？
ありません。この場合「全ての自然数」と「任意の自然数」は同じ意味だと捉えています。
そのような質問をなさるということは、あなたはこの二つに違いがあると捉えているのでしょうか。
>> 少なくとも現時点では、>>1が進数が自然数に対して「重大な影響を与えている」証拠だととらえています。その論旨でいえば問題が解決するなら「進数の公理」は必ずしも必要ありません。
すみません、全くわかりません。>>1の内容が曖昧であることと、「重大な影響を与えている」がどういう意味で使われているのかわかりません。
>>189の再掲ですが
「重大な影響を与えている」とは、進数という概念が、ペアノの自然数の公理に何かを付け足しているということでいいですか？ >> ただ大筋は変わりません。この質問はNoです。
>>明確に初めからNOです。
では>>183に戻ります。
>> ①自然数の公理により自然数を作成します。この公理系を公理系①、そこに存在するすべての自然数を集合①とします
あなたはこの「自然数の公理」はZFだとおっしゃいました。(>>186)そしてそのZFによって定められる集合は「自然数」とは捉えていないとおっしゃいました。(>>195)
つまり>>183の①(の「自然数」という部分)を訂正する必要があるということになりますがいかがでしょう。
183,184,187,188,195あたりを読んで推測するに、あなたの言いたいことは積集合(A∩B)のことだと思われます。
A=｛有理数全体の集合｝
B=｛自然数全体の集合｝とすると
AとBの積集合(A∩B)=B です。
さらに
C=｛正の偶数全体の集合｝とすると
BとCの積集合(B∩C)=Cです。
「∃と∀に渡す」「∃と∀の拡張」「無理やり自然数の公理系内で∀Aする」などのよくわからない言葉を使う必要はありません。
それでもなお
>>171
>>だから集合論で説明できてもこのアプローチをやめる気はありません
というつもりなら、あなたの考える「進数の公理」 を具体的に示した上で、183,184,187,188,195の内容を練り直してください。現状では、集合論で説明がつく、で終わりです。 >>196,
>>「>1とは関係なく、自然数進数という表記を定義できるか？」という質問なら、それは可能です。
半分ネタのつもりだったかもしれませんが、それで問題ない気がしてきました。
あなたの作ってくれた「自然数進数」は、
10より大きい自然数が存在し、10に対しての演算が自然数として何も問題なくできます
多少手を加えたい部分もありますが、あとで修正すればいい程度の差だと思います
>183 の集合③の作り方はあなたがだしてくれた「自然数進数」ほぼその通りです(>1の要素がないので、全く同じではない)
その集合を公理①の世界で見れば、集合論で説明がつくただの部分集合です。
それを認めたうえで、以下はおそらくNoです
>>現状では、集合論で説明がつく、で終わりです。
それ以外、>196, >197で指摘していただいた事項はどれも>1を前提としたものなので
>1を考慮していない指摘に意味はないです
この見解の相違の原因は、>1の有無です。
一番重要な要素を無視して議論してもすれ違うのは当然です
私が>1の間違いに気づくか、あなたが>1を理解しないと議論が先に進むとは思えません というわけで、>>1の何が曖昧で、何が問題なのか教えてもらえないでしょうか。ただ曖昧だといわれるだけだと、何が問題なのか皆目見当がつかないのです
>>1を表現するためのいくつかのアプローチでだしていくので、都度指摘していただけたらありがたいです。
>>182 で出してもらった例ですが
自然数とはペアノの公理によれば、ただ線を並べたものです
｜
｜｜
｜｜｜
｜｜｜｜
｜｜｜｜｜
｜｜｜｜｜｜
「線」という表記が存在していますので、
全く何も変えずこの「線」の表記を全て使った進数をつくります。(0，1、2みたいな一般的な符号に置き換えるのではなく線自体を符号として使います)
私は作れると思うのですが、作れない理由、もしくはあいまいな点について、ヒントだけでも教えてもらえないでしょうか >>182 でペアノの自然数そのままの線の表記は使いにくいとありましたがとんでもない
ことこの話題に限り、これ以上使い勝手のいい表記はありません
自然数と同じ数であり、存在が自然数により保証されている最高の表記です >196 さんが忙しそうなので、>>1が成立すると何が起こるかを説明していきます
>>1だけで自明かなと思ってたんですが、どうやらそうではなさそうなので。
その前段階として、数学内にある、誰でも見つけることができる矛盾について説明します。
矛盾とはある命題Pがあるとき
①Pが真である
②Pが偽である
①かつ②が同時に成り立つときに矛盾と呼びます。
実は誰もがよく使う、ある命題は矛盾しています。
それは、「AとBは同じである」という命題です
実際にAとBの「値が」同じであるとき
①「AとBは同じである」は真(値が同じなので)
②「AとBは同じである」は偽(A,Bを別のものとして認識しているので)
①かつ②が同時に成り立ちます
実際上記は矛盾なのですが、簡単に解消することができます
①「AとBは値が同じである」は真
②「AとBは符号が同じである」は偽
このように、常に何が同じかを明記して場合分けすれば、矛盾が解消します
しかし、「値が」なんて絶対書きたくない、
「AとBは同じである」とかいて矛盾を解消しろというわがままな人たちがいました
そこでひねり出したのが、公理系を分けることです
①(値を扱う公理系で)「AとBは同じである」は真
②(符号を扱う公理系で)「AとBは同じである」は偽
このように、公理系を分けてしまえば判定する基準が別になるので
その公理系の中では一意の答えとなり、矛盾が解消します
(一応厳密な話をすると、「AとBは同じである」という命題は間違いで、「{A,B}のサイズは1である」といった命題にする必要があります)
他の例だと素朴集合論と公理的集合論も、矛盾が発生したせいで別の公理系に分離されています
矛盾が発生したらその公理系はダメになるというイメージが強いですが、
実際には公理系を分けるというのが対策としてセオリーです 値と符号を二つの公理に分けることで、ある疑問がわきます
値の公理系にある自然数と、符号の公理系にある自然数
どちらが大きいの？という疑問です
>>1の自然数進数はまさにそこを問う問題です
自然数(値)と、自然数(符号)はどちらが多いのか？
進数を導入するにあたり、結局その疑問に答えなければいけません
値と符号はそれぞれ別の公理系のためそこに答えはなく
本来は場合分けが必要です。
無理やり比較しても明確な基準なんてないので、
その命題は矛盾を引き起こします
結果生まれたのが10にまつわる矛盾です
①10より大きい自然数がある は真
②すべての自然数より10は大きい(>>1) は真
これが進数を導入したことによる「重大な影響」です
進数を導入すると、自然数は矛盾します 遅くなってすみません。年末年始も時間がとれず返事が遅くなると思います。あしからず。
>>一番重要な要素を無視して議論してもすれ違うのは当然です
同意見です。少し歩み寄れた気がします。
>>198 前半
概ね同意です。前にも書きましたが、進数(進法、または位取り記数法)とは、自然数(ペアノの公理による)を表記する方法のひとつです。あくまで「表記方法」なので、 自然数の各演算は当然行えます。
>> 私が>1の間違いに気づくか、あなたが>1を理解>>しないと議論が先に進むとは思えません
正確には私の立場は、>1の内容は曖昧なので間違っているとも正しいとも言えない、です。
あなたの立場をはっきりさせたいので質問に応えてください。
・>>1は「(あなたの考える)自然数進数」の定義として完全で絶対的なものと考えている yes/no
・「重大な影響を与えている」とは、進数という概念が、ペアノの自然数の公理に変更や追加をしているということである yes/no >>1の何が曖昧で、何が問題なのか教えてもらえな>>いでしょうか。
それは>>192で伝えています。
>>全種類の符号の個数は可算無限個(10進数)、つまり10個(自然数進数)になります
この表現が曖昧なので定義になっていないと考えます。無限集合をどう扱うのかの具体的な記述が必要です。(1対1対応、数学的帰納法、イプシロンデルタ論法などがあります)
補足説明します。
「自然数」という言葉は、「自然数の集合」を指すこともあれば、「自然数の集合の要素」を指すこともあります。
「自然数の集合の要素」から任意にひとつ(x)を取り出し、これを基数(底)として「x進法」を定める。これに関しては互いに異論はないと思います。
ですが、「自然数の集合(加算無限集合)」を基数とする位取り表記法を定義するには、上の方法では不十分です。
>>「線」の表記を全て使った進数
すみません、言っている意味がわかりません。
「全て」は「線」にかかっているようですが、ここでは「線」しか出てこないはずなので「全て」という言葉は必要ない気がします。ですが、「線」の表記を使った進数、と言われてもよくわかりません。
あなたの望む回答になっているかわかりませんが、私の見解を書いておきます。「線」をn個並べたものがnを表す(nは通常の意味での自然数)とし、この表記を「1進数」と名付ければ、「線」のみで表される進数ができたことになります。 >>203
私も年末年始はちょっとレス返せるかわかりません
無理はしないでくださいね
付き合ってくれるのはありがたいです
>>あくまで「表記方法」なので、 自然数の各演算は当然行えます。
私の主張は「表記方法」である進数自身を対象としています。
あなたはどうも、表記方法を適用した「値」を対象としているように見えます。
ここをもう少し掘り下げたいですね
質問については、>>1を理解していない時点では意味がないと思いますが一応答えます
・>>1は「(あなたの考える)自然数進数」の定義として完全で絶対的なものと考えている
そこまで念押しされるとNOですかね。主旨さえ変わらなければ定義の仕方を変えてもいいし、必要が有れば足してもいいです。そのあたり特にこだわりは無いです
でもあなたの指摘が何を言っているのかよくわからないです
間違っているという指摘なら問題が明確になるのですが…
・「重大な影響を与えている」とは、進数という概念が、ペアノの自然数の公理に変更や追加をしているということである yes/no
No
直接影響は与えません。問題を解決するには、何らかの修正を加えるのが自然だというだけですね
例えば、表記方法である進数は自然数より常に大きい実数濃度であることを認めるなら特に修正は必要ないですが、それは認めないですよね >>204
>>「線」の表記を全て使った進数
やっぱりここが核な気がします
進数は２個以上の符号を集めて作る記法です
符号についてはユニークであれば何を使ってもよい
それ以外に条件があるなら教えてください
例えば下記①、②、③は10個の符号があるので、10進数が作れます(③の488は３桁の数ではなく３文字まとめて一つの符号です)
① = {c,x,b,m,3,8,f,j,e,:}
② = {あ,ｓ,く,え,ｈ,げ,ｐ,ご,：,ん}
③ = {3,5,488,51,70,0.9,6,201,4,35}
ペアノの自然数で作られた「線」ですが
ペアノの自然数に限らず自然数では、異なる自然数が異なることが判別できなければいけません。nとn+1、n+2はそれぞれ当然区別がつきます(その相違点を符号として使います)
>>182 では正直線の長さなのか、線の数なのか、線の位置なのかどれを指しているのかはわかりませんでしたが、区別がつくということは自明です
なのでこの線の表記で10進数は当然作れます
線で表現された自然数10個の集合を符号にすれば良いです
④(線の数) = {|,||,|||,||||,|||||,||||||,|||||||,||||||||,|||||||||,||||||||||}
⑤(線の長さ) = {-,--,---,----,-----,------,-------,--------,---------,----------}
⑥(線の位置) = {-, -, -, -, -, -, -, -, -, -}
①～⑥でそれぞれ10進数を作って72を表現すると
72(10進数)=jb(①進数)=ごく(②進数)=201 488(③進数)=||||||| |||(④進数)=-------- ---(⑤進数)= - -(⑥進数)
進数は1桁の数については符号はなんでも良いですが、2桁以上の数については符号の組み合わせのルールが決まっています
線の表記で1進数しか作れないのか、X進数が作れるのかで意見が割れましたので
ここを詰めればかなり理解が進みそうですね >>204
>>「自然数の集合の要素」から任意にひとつ(x)を取り出し、これを基数(底)として「x進法」を定める。これに関しては互いに異論はないと思います。
読み返してみると、これには異論があります
この方法では、x進数のx種類の符号が未定義であいまいです。
x進数の作り方としては、上記の流れだと下記の①～③の手順となります
①x進数を作ることを決める
②x個の符号の集合を作る
③x進数を作る
どう考えても②は必須ですが>>204の方法では②が抜けています
①は必須ではないです
ただx個の集合があれば、個数は全射∀で数えればよいので
①の工程を踏まずに問題なく作れます
それを説明したのが>>1です。 N進数で必須の要件は>>182でだしてもらったリンクにも書いてあります
>>N 進法とは、数の表現方法の一種で、あらかじめ定められたN 種類の記号（数字）を列べることによって数を表す方法である。
N 種類の符号（記号）はあらかじめ用意しておかなければいけません
それが唯一といってもいいN進数の必須の要件です
>>「自然数の集合の要素」から任意にひとつ(x)を取り出し、これを基数(底)として「x進法」を定める。
この方法では、N 種類の符号が用意されていません そういう目で見ると、>>169も>>193もおかしいですね
自然数の部分集合Aを作るところまではいいですけど、その後未定義の表記と1対1対応させてます
その表記はどこから生まれたんでしょうか
>>206でランダム符号を外延的に採用しましたが、とてもn進数に拡張できる気はしません
実際には底の変換があるので、n進数だけではなくn+1進数に対応できなければいけません
どんなn進数, n+1進数にも対応できる符号というと…自然数そのものを使うのが一番無難な選択です。その例が例えば>>206の④です
それを認めない>204さんは、>1の自然数進数どころか、ただのn進数も作れていないように見えます 明けましておめでとうございます。
日々の生活が元に戻りそうなのでぼちぼち返信します。
まず、数学における「符号」とは、「+」(プラス、正の符号)と「-」(マイナス、負の符号)の２つしかありません。誤解がなくなるよう、あなたの言う「符号」は、「記号」や「数字」と言い換える方が良いでしょう。
>205
すみません、全体的に私の望む応えになっていませんでした。
私が確認したいことは、
もし既存の公理(ペアノやZF)と>1の間に矛盾が生じたとき、その回避法として、既存の公理を修正するのか、>1を修正するのか、どちらなのかをはっきりさせるということです。
私の推測ですが、あなたのしたいことは、
>1の内容は完璧ではないかもしれないが、>1の方針を貫いたまま、既存の公理を崩してでも「自然数進数」というものを作りたい。
ということだと思いますが、いかがでしょう？
>>206
全体的に同意見です。
>> 線の表記で1進数しか作れないのか、X進数が作れるのかで意見が割れました
あなたの言う通り、線の表記で1進数もX進数も定義できます。意見は割れていません。
(本題とは逸れますが、④の表記法で表された「| |」が、「2」なのか「11」なのかわかりにくいので、隙間を調整するなどの工夫で回避すれば問題なく定義できます)
>>207
>>この方法では、x進数のx種類の符号が未定義であいまいです。
それについては>169で説明しているので省略しました。誤解を招きすみません。
>>169
自然数の(有限)部分集合Aを
A=｛0,1,2,・・・,n｝で定める。
Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
この表記を(n+1)進表記と呼ぶことにする。
Aの全ての要素は(n+1)進表記で1つの記号で表せる。
1対1対応の記号を具体的に定めるのであれば、あなたの>>206の⑤(線の長さ)で十分です。他にも正の字をつなげて書いたものや、三角形をつなげて書いたものなどが考えられます。 私が今確認したいことは以下の2つです。
回答をお願いします。
もし既存の公理(ペアノやZF)と>1の間に矛盾が生じたとき、その回避法の方針はどれか
・既存の公理を修正する
・>1の内容を修正する
・どちらも修正する
・どちらも修正せずに矛盾を回避するルールを探す
・上のうちどれか特に決めていない
あなたの>1による「自然数進数」の「自然数」は何を指すのか
・自然数全体の中から任意に一つ選んだ要素(値)
・自然数の集合(加算無限集合)
・そのほかの何か >>210
明けましておめでとうございます。
線の表記を認めたことは一歩前進ですが、まだまだ理解は遠いですね...
理解したうえでの意見をぜひ聞いてみたいです
符号→記号については、以降記号に変更します
>>もし既存の公理(ペアノやZF)と>1の間に矛盾が生じたとき、その回避法の方針はどれか
矛盾というのはほとんどの場合、区別しなければいけないものを区別できていないときに発生すると考えています
このため私の意見は>>201にある通り、矛盾が発生したら2つの公理系に分ける必要があると考えます
今回の場合でいうと、ペアノの自然数と、進数を適用した自然数の区別が必要なら別の公理に分ける必要があるというのが私の主張ですね
問題は、これがあなたが提示した選択肢のどれに当たるかわからないことです
どれも当てはまる気がするし、どれも違う気がします
私の主観でいいなら、「どちらも修正せずに矛盾を回避するルールを探す」です
また、方法論でいうと、例えば自然数にある+(自然数のみ扱える)と整数の+(自然数と負数が扱える)は別の意味を持つとも言えますが、
自然数の+ → 整数の+ を修正と呼ぶなら「どちらも修正する」が値するかなと思います
>>あなたの>1による「自然数進数」の「自然数」は何を指すのか
これは、「自然数は10個しかない」という文の自然数ですよね
それなら自然数の集合(可算無限集合)の個数です。
ここで注目すべきは自然数ではなく、「10個」のほうだと思いますよ
まずは進数について考えてみてください。
自然数進数の10は自然数ではなく具体的な表記の10(>>206の⑤なら-- -)であり、ある意味自然数とは無関係であることが重要です
あなたも何度も言っている通り、進数はあくまで表記であり自然数とは直接関係ない
この段階で自然数進数の10を自然数だと思って読むと誤読します
この進数を自然数に割り当てる前に、この進数の10という表記が(表記の世界で)存在するかどうか、そこがまずは焦点です。あなたはずっと自然数の話をしていますが、ここでは私は表記の話をしています
その進数を別の集合に割り当てれば、10が存在したりしなかったりとなりますが
ややこしくなるので、いったん進数までで話をとめましょう >>・全ての自然数は1桁の数で表記できる
>>真です。>>169の通りです。
>>A=｛0,1,2,・・・,n｝で定める。
>>Aの要素に対する表記が1対1で存在する。
>>この表記を(n+1)進表記と呼ぶことにする。
>>Aの全ての要素は(n+1)進表記で1つの記号で表せる。
こちらですが、あなたがそもそも>182で、自然数は線だと定義しました。私もそれをイメージしています
>>ペアノの公理によれば、ただ線を並べたもの
そうであれば、自然数の(有限)部分集合Aは、普通に作れば線の集合になります
A=｛|,||,|||,・・・,n}
これは>206の④と全く同じです。>206の④を割り当てるのは問題ないんですよね？
なぜAをそのまま進数の表記の集合として使わず、別の記号を割り当てるんですか？
Aの表記を(n+1)進表記と呼ぶというのが、できない理由がありますか？
全ての自然数は1桁の数で表記できるのが真を認めるということですが
念のため言い方を変えて、全ての自然数を1桁に変え切って、2桁以上の数がない状態にできますか？
2桁以上の数がない状態にできた場合は、ペアノの自然数の集合と同じ表記の集合になりますね
ペアノの自然数(線の自然数)では、2桁の数が作れないので ついでに底の変換についても触れてみましょうか
2進数の1は底の変換により2+1=3進数の1に変換できます
同様に4進数の1に変換できます
同様に5進数の1に変換できます
...
同様にn進数の1に変換できます
同様にどんなn進数の1からも、n+1進数の1に変換できます
進数の個数が有限ならば、最大値があるはずですよね
一番大きな進数は何進数でしょうか？2進数の1を知っているなら答えられますよね >>212
>> これは、「自然数は10個しかない」という文の自然数ですよね
いいえ。「『自然数』進数」の『自然数』はどう言う意味で使っているかを確認したいのです。
>> 今回の場合でいうと、ペアノの自然数と、進数を適用した自然数の区別が必要なら別の公理に分ける必要があるというのが私の主張ですね
>>自然数進数の10は自然数ではなく具体的な表記の10(>>206の⑤なら-- -)であり、ある意味自然数とは無関係であることが重要です
>>この段階で自然数進数の10を自然数だと思って読むと誤読します
なるほど、あなたの>1で言う「自然数進数の10」は(ペアノによる)自然数ではないということでしたか。それなら全て納得です。集合や表記法を自由に決めてもらってかまいません。あなた(製作者)が「存在する」と言えばその表記法は存在します。
以下、誤解を避けるため、||や|||などを一つ(一桁)の記号として認識する、と明記しておきます。
>>213
>> これは>206の④と全く同じです。>206の④を割り当てるのは問題ないんですよね？
はい、問題ありません。
>>なぜAをそのまま進数の表記の集合として使わず、別の記号を割り当てるんですか？
Aをそのまま進数の表記の集合として使って問題ありません。
>>Aの表記を(n+1)進表記と呼ぶというのが、できない理由がありますか？
ありません。
>>念のため言い方を変えて、全ての自然数を1桁に変え切って、2桁以上の数がない状態にできますか？
できます。
>>214
>> 進数の個数が有限ならば、最大値があるはずですよね
>>一番大きな進数は何進数でしょうか？2進数の1を知っているなら答えられますよね
「進数」は表記法なので大きいも小さいもありません。「進数」の底(基数)の大小で比べる(例えば2進数より3進数の方が大きい)という意味と捉えて答えます。
(1進数から数えて)進数の個数が有限の時、その最大値が存在して、これをNとする。このとき一番大きい進数はN進数です。 つまり
10進法でNまでの自然数の個数は、N＋1進法のもとでは10個になる。
ってことだろ >>215
なるほど。自然数進数の自然数ですか。
そんな造語に突っ込んでもと思いますが、この単語は「全ての自然数」を使うから付けたのでもちろん自然数の集合の意味です
ひとまず最初のステップである自然数進数の10は自然数ではないことが理解できて何よりです。
残念ながら以下はNOです
>>「自然数進数の10」は(ペアノによる)自然数ではないということでしたか
私が言ったのは、自然数の公理系の中にある数ではないということで、ペアノによるものではないとは言っていません
自然数進数の10は、表記の世界の中で、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数です
進数なので当然、底の変換によりもっと大きな進数に変換できます。もちろん表記の世界の中で
その場合自然数進数の10は1桁の数字になります。もちろん表記の世界で
ここまではまだ表記の世界です >>216
ニュアンス的にはそんな感じです
複数の公理系の中にそれぞれ自然数を定義したとき、どちらかの方が多いと規定しても矛盾は起きないはずです。
別の公理系なので 非負整数 n ごとに新しい記号 C_n を1つずつ作っておく。
超実数体 R^* において、無限大超実数 ω を1つ固定する。
任意の有限個の自然数 n_0,n_1,…,n_k に対して、
C_{n_0}C_{n_1}…C_{n_k} という記号列を考え、
C_{n_0}C_{n_1}…C_{n_k} ：＝ n_0＋n_1ω^1＋n_2ω^2＋…＋n_kω^k
と定義する。この定義のもとでは、C_{n_1}C_{n_2}…C_{n_k} は超実数である。
具体的には、一桁の C_n が表現する値は非負整数の n であり、
二桁以上の C_{n_0}C_{n_1}…C_{n_k} が表現する値は何らかの無限大超実数となる。 また、
C_0C_3 ＋ C_1 ＝ C_1C_3
C_8C_1 ＋ C_3 ＝ C_11C_1
C_0C_1 ＋ C_0C_1 ＝ C_0C_2
C_0C_1 ＋ C_2022C_2022C_4 ＝ C_2022C_2023C_4
などが成り立つ。
つまり、自然数進法が、桁ごとの計算による代数的構造も含めて
超実数体の中に実装可能である。
このことから、>>1の提唱する自然数進法に、数学的に面白いところは特にないと言える。 >>219
ちゃんと考える前に3つだけ教えてください
①それはZFを満たしますか？
②それを自然数と一対一対応させると必ずどこかで2桁の数と対応するということでいいですか
③それと自然数の偶数を一対一対応させることはできますか？またそれで自然数の偶数の総数を数えると偶数の個数は何個になりますか？ いつの間にか名前付け忘れたりしてたけど
まあわかるよね。なるべく忘れないようにします >>217
>> そんな造語に突っ込んでもと思いますが
造語だからこそ、どの人にも意味がわかるように詳しい説明が必要です。曖昧な意味の造語を使われ続けても理解は進みません。
>>この単語は「全ての自然数」を使うから付けたのでもちろん自然数の集合の意味です
なるほど。では次の確認です
2進数の底(基数)は2であり、
3進数の底(基数)は3であるように、
自然数進数の底(基数)は「自然数の集合」ということでいいですか？
>> ひとまず最初のステップである自然数進数の10は自然数ではないことが理解できて何よりです。
>> 私が言ったのは、自然数の公理系の中にある数ではないということで、ペアノによるものではないとは言っていません
>> 自然数進数の10は、表記の世界の中で、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数です
すみません、混乱するので以下の質問にはっきりと答えてください。
①(表記の世界の外で)自然数進数によって表された10は、「進数を適用した自然数」ではない。yes/no/どちらとも言えない
②(表記の世界の外で)自然数進数によって表された10は、「ペアノの公理を満たす自然数」ではない。yes/no/どちらとも言えない >>223
>>2進数の底(基数)は2であり、
>>3進数の底(基数)は3であるように、
>>自然数進数の底(基数)は「自然数の集合」ということでいいですか？
なるほど。あなたに対する返答としてはNOです
2進数は2種類の記号の集合を必要とし、2進数の底(基数)はその記号の集合のサイズです
3進数は3種類の記号の集合を必要とし、3進数の底(基数)はその記号の集合のサイズです
自然数進数は全ての自然数種類の記号の集合を必要とし、自然数進数の底(基数)はその記号の集合のサイズです
>①(表記の世界の外で)自然数進数によって表された10は、「進数を適用した自然数」ではない。yes/no/どちらとも言えない
>②(表記の世界の外で)自然数進数によって表された10は、「ペアノの公理を満たす自然数」ではない。yes/no/どちらとも言えない
私が答えるなら当然答えはどちらもyes。自然数ではない
ただあなたは>1を理解していない。
>1を理解していないという前提を加えるなら答えはNO。どちらも自然数です
結局質問が悪くて答えられないです。
無理やり答えてもあなたが混乱するという結果しか引き起こさないように見えます
私からもどうしても答えてほしい質問があります
あなたは常々進数の底は有限でなければいけないと主張しています
そうであれば、進数を適用した、無限である全ての自然数の中にはかならず2桁の「10」が含まれることになります
しかし、あなたは>>215で、全ての自然数の中には2桁以上の数がない状態にできることを認めました
「進数を適用した全ての自然数にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題が
真であり偽になりました。これは矛盾です
どういうことか説明してください >>224
>>集合のサイズ
とは、有限集合なら要素数、無限集合なら濃度、として捉えていいですか？
>> 私が答えるなら当然答えはどちらもyes。自然数ではない
>1を理解していないという前提を加えるなら答えはNO。どちらも自然数です
面白いですね。自然数進数によって表された10が自然数に属するかどうかは、個々人の理解によって変わるのですか。主観によって事実が変わるのなら、それは数学ではありません。
>> 私からもどうしても答えてほしい質問があります
例として(ペアノによる)自然数の10進法による「10」をあげると、
・10進表記ではもちろん2桁です。
・>206の④の表記では||||||||||という1つ(1桁)の記号です。
どちらの表記も可能であり矛盾はありません。
>>「進数を適用した全ての自然数にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題
すみません、命題の意味がわかりません。そもそも「進数を適用した全ての自然数」がわかりません。
>>186であなたが言っている「進数の公理」を満たす自然数のことでしょうか？
>>224を読んで、私からも確認があります。
A=｛|,||,|||,・・・｝
という表記は、あなたの言う「自然数進数」(という表記法のひとつ)ですか？
また、>>219の
>> 非負整数 n ごとに新しい記号 C_n を1つずつ作っておく。
これによって作られる
C=｛C_0,C_1,C_2,・・・｝という表記はあなたの言う「自然数進数」(という表記法のひとつ)ですか？ >>有限集合なら要素数、無限集合なら濃度、として捉えていいですか？
yes
>>個々人の理解によって変わるのですか。主観によって事実が変わるのなら、それは数学ではありません。
例えば、-5+1=4になるというのが私の主張
それに対してあなたが、「-符号とは何か理解できない。なので-符号を無視すると5+1=6なので、-5+1=4は間違っている。」等と主張すると、そんな感じの感想になります
前提条件共有できなければ、結論は明後日の方向行きますよという話です
>>・10進表記ではもちろん2桁です。
>>・>206の④の表記では||||||||||という1つ(1桁)の記号です。
私の質問は、一つの値ではなく全ての自然数という集合です
2進数を適用した自然数集合={0,1,10,11...}
3進数を適用した自然数集合={0,1,2,10,11...}
10進数を適用した自然数集合={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...}
基数が有限なら確実に自然数集合の中に2桁の表記（10）が存在します
あなたは>>215で一つも2桁の数がない自然数集合を作れることを同意したんですよね
実際ペアノの自然数の表記には2桁の数がありません
X進数を適用した(一つも2桁の数がない)自然数集合=ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・}
「進数を適用した全ての自然数集合にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題が
真であり偽になりました。これは矛盾です
どういうことか説明してください >>A=｛|,||,|||,・・・｝
>>C=｛C_0,C_1,C_2,・・・｝
>>という表記は、あなたの言う「自然数進数」(という表記法のひとつ)ですか？
進数というのは、あらかじめ用意された記号の集合をもとに作られる表記法です
①と②の違いは大丈夫ですか？
①：あらかじめ用意された記号の集合
②：表記法
進数という表記法は当然10以上をサポートしなければいけません。どちらかといえばそれがメインの機能です
なので、Aがあらかじめ用意された記号の集合ならA'がAの進数表記です
A'=｛|,||,|||,...|| |,|| ||,...||| |,||| ||...｝
C'={面倒なので、あなたが作ってください}
A＝「自然数進数」の表記法ではない(2桁以上の進数表記ができないため)。この集合は、表記の世界で定義されたペアノの自然数の部分集合
A'＝「自然数進数」の表記法です。あらかじめ用意された記号の集合が(表記の世界で定義されたペアノの)自然数の定義を満たし、かつ（値の世界で定義されたペアノの）自然数と同じ個数であり、進数表記できるため
C＝「自然数進数」の表記法ではない(2桁以上の進数表記ができないため)あとこれは自然数ではない
C'＝「自然数進数」の表記法ではない。（あらかじめ用意された記号の集合が自然数の集合ではないため） >>226
>>yes
では>>224と合わせて、あなたの主張は
自然数進数は全ての自然数種類の記号の集合を必要とし、自然数進数の底(基数)は加算無限濃度である
ということでいいですか？
>> それに対してあなたが、「-符号とは何か理解できない。なので-符号を無視すると5+1=6なので、-5+1=4は間違っている。」等と主張すると
確かに私は>1を理解していない(定義として不十分である)と考えていますが、だからといって無視して議論しているわけではありません。不十分だからこそ、あなたの考えを少しでも理解し、それを反映した>1より厳密な定義をしようと試みています。先の質問も今回の質問もそのためのものです。私の立場はずっと、あなたの考えを理解したいというものです。
>>217や>>224からあなたの主張は、
・(表記の世界の中で)自然数進数の10は、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数である
・(表記の世界の外で)自然数進数の10は、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数ではない
ということでいいですか？
>> 「進数を適用した全ての自然数集合にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題
もう一度書きますが、命題の意味がわかりません。
「進数を適用した全ての自然数集合」とは>>186であなたが言っている「進数の公理」を満たす自然数の集合のことでしょうか？
また、
2進数を適用した自然数集合={0,1,10,11...}
3進数を適用した自然数集合={0,1,2,10,11...}
10進数を適用した自然数集合={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...}
X進数を適用した(一つも2桁の数がない)自然数集合=ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・}
これら4つの集合はそれぞれ「進数を適用した自然数集合」ですか？
たくさん質問があってすみませんが、確認のためはっきりした回答をお願いします。 >>227
>> 進数という表記法は当然10以上をサポートしなければいけません。
それは初耳ですね。>1に追加するべきです。AやCがあなたの考える自然数進数ではないとは、驚きです。
A(またはC)とN(ペアノによる自然数の集合)には1対1対応が存在します。これにより、Nの要素はAの要素を使って1つ(1桁)の記号で表せます。このときAやCは加算無限濃度です。
一方「進数という表記法は10以上をサポートする」ということは、A^2とNに1対1対応(上記とは別の対応)を構成することになりますが、そういう認識でいいですか？(3桁(A^3)以上については、A^2が1対1対応できれば順次対応が構成されるので省略します)
>227の後半については
「表記の世界で定義されたペアノの自然数」の定義が書いていないのでよくわかりません。 んー自然数って無限にあるし自然数進数は表記不可能な気もする
だいたい加算の公理に矛盾しそうだし
ペアノの公理5番目はすべての数には次の数(後続数)が存在することを保障しているため
不可能では? >>228
>>自然数進数は全ての自然数種類の記号の集合を必要とし、自然数進数の底(基数)は可算無限濃度である
yes
>>①(表記の世界の中で)自然数進数の10は、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数である
>>②(表記の世界の外で)自然数進数の10は、ペアノの公理により構成された自然数かつ、進数が適用された数ではない
①はおそらく間違ってます。②は確実に間違ってます
修正したのが以下です
(表記の世界の外)＝(値の世界)とおきます
①'(表記の世界の中で)自然数進数の10は、(表記の世界の中の)ペアノの公理により構成された(表記の世界の中の)自然数かつ、進数が適用された数である
②'(値の世界の)自然数進数の10は、(値の世界の)ペアノの公理により構成された(値の世界の)自然数ではない。自然数ではないので数ではない
>>4つの集合は「進数を適用した自然数集合」ですか？
そのつもりで書いてます
>>「進数を適用した全ての自然数集合」とは
どういえば通じるんでしょう。X進数を適用したN(ペアノによる自然数の集合)とか、
X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)なら通じますか？それと同じものを指します。
私が「〇〇進数」と最後が進数で終わる場合は全て表記の話をしています
「〇〇進数を適用した自然数(集合)」と最後が自然数や自然数集合で終わる場合が、値の話、つまり自然数の話をしています(表記の世界のと注記を付ける場合を除く)
今までのやり取りを見る限り、「〇〇進数」と書いたときに、あなたがそれを自然数だと勘違いするのがよくあるパターンのようですね
上記の①、②の自然数進数の10も、単語が「進数」でおわってるのでもちろん表記のつもりで書いてますが、ここもまたずれそうですね..
疑問が解消したら、以下命題の回答をお願いします。少し表現を変えてみます
>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題
っ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
