【悲報】自然数は10個しかない

1 ◆4duhI.9sP2 · 2021/08/08(日) 08:54:15.75

10進数は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は10個(10進数)、つまり10個(10進数)になります

2進数は0,1の2種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は2個(10進数)、つまり10個(2進数)になります

16進数は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,fの16種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は16個(10進数)、つまり10個(16進数)になります

60進数は0-59の60種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は60個(10進数)、つまり10個(60進数)になります

まとめるとX進数の符号の種類の数を数えると、必ず10個(X進数)になります
では全ての自然数を使って、自然数進数とでも呼ぶべきものを考えてみます。

自然数進数は「全ての自然数」種類の符号を使用する数です。
全種類の符号の個数は可算無限個(10進数)、つまり10個(自然数進数)になります
自然数は10個(自然数進数)しかない説明でした
いかがでしょうか。

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/13(木) 08:17:15.45

>>229
>>AやCがあなたの考える自然数進数ではないとは、驚きです。
自然数進数は表記であって、自然数ではない
ここでもまた自然数と勘違いしたということですね
10以上をサポートするのは表記であって、自然数ではないです
Nとの1対1対応は、ここでは否定します。(ただし、表記との対応であれば話は少し変わりますね)

何進数を適用しても、自然数自身が変わるわけではないです
自然数進数を適用した自然数の集合は、全てが1桁の数であり、10以上の自然数は存在しません

ただし、進数を適用していない自然数との違いはあります。
それは自然数自身が、自分が何進数かを知っているということです。

自然数進数をN進数と置いた場合、自分がN進数なのかN+1進数なのかは知っていて
例えばN進数ではN種類の記号の集合が表記の世界に存在していることを知っているということです

>>「表記の世界で定義されたペアノの自然数」
これです。
表記の世界で定義されたということを除けば、値の自然数と全く同じです

1. 0は自然数である。
2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
3. 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4. 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
表記が必要なら表記も追加したほうがいいかもしれないくらいです

>>214で自然数を表記として使えることを認めてもらえたので、
ただ表記の世界で自然数を定義すればよいですね

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/13(木) 08:19:11.34

>>230
全ての自然数には対応する表記が存在し、自然数は無限にあるので
表記も無限にあることになります
というか、無限ではない表記(例えばランダム表記)は自然数の表記として採用できません
つまり、表記の生成ルールは無限でなければいけません。例えば自然数のような。

そして、自然数に自然数進数を適用すると、全ての自然数が1桁の値になります
どうみても全てが1桁の数であるペアノの自然数という表記が存在するので表記は可能です
問題があるとしても、そこではないです

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/14(金) 18:12:11.25

>>228
>231で、「「〇〇進数」と書いたときに、あなたがそれを自然数だと勘違いするのがよくあるパターンのようですね」
と書いておきながら、最初のほうを読み返したら私がぐちゃぐちゃでした。
すみません

「進数」という表現を辞めて、「進数表記」か「進数(表記)」で書くようにしてみます

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/14(金) 18:13:03.22

>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題

この命題が、自然数に与える重大な影響です
そして、この命題に答えることによって得られるのが「進数の公理」もしくは定理ですね
結局自分で見つけてしまいました

同等のことは今までも言ってきましたが、今のところこの表現が一番しっくりきます
とりあえず真か偽か判定をお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/16(日) 01:00:41.72

遅くなってすみません。
少しずつ前進している気がします。
>>231
>>yes
わかりました。やっと>1の理解に1歩近づけました。

>>①'②'
(表記の世界の中の)ペアノの公理　と
(値の世界の)ペアノの公理　の違いを具体例を交えて教えて下さい。また、
(表記の世界の中の)自然数　と
(値の世界の)自然数　の違いを具体例を交えてを教えてください。

>> そのつもりで書いてます
そういうことでしたら、
「進数を適用した全ての自然数集合にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題は偽です。
反例は、
X進数を適用した(一つも2桁の数がない)自然数集合=ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・} です。

>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題
「X進表記のN」の中に>228の4つの集合が含まれているなら、上記と同様に偽です。

>> 私が「〇〇進数」と最後が進数で終わる場合は全て表記の話をしています
なるほど。そう認識してこれまでのやりとりを読み返してみましたが、疑問がたくさん残りました。

語句について、ちょうど私も
「〇〇進数」ではなく「〇〇進表記」という言い方を提案しようと思っていました。意見が合いましたね。
例　10進表記で表された4は、2進表記では100と表される。
　16進表記によるbは、10進表記では11である。
「自然数進数」については、
「自然数進表記」あるいは「加算無限進表記」または「加算進表記」と書くのはどうでしょう？どれがしっくりくるでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/16(日) 01:04:20.88

>>232
>> 10以上をサポートするのは表記であって、自然数ではないです
>>Nとの1対1対応は、ここでは否定します。
「サポートする」とは「1対1対応が存在する」と認識していたのですが違うようですね。
「表記が10以上をサポートする」という言葉の意味を具体例を上げて説明してください。

>> それは自然数自身が、自分が何進数かを知っているということです。
急に擬人法を出されてもわけがわかりません。詩を書きたいんですか？説明しようと頑張ってくださるのはありがたいですが、比喩より具体例での説明の方がわかりやすいのでお願いします。

>> 表記の世界で定義されたということを除けば、値の自然数と全く同じです
表記の世界で定義されたということを除かない、値の自然数の意味を聞いているのですが、説明願えませんか？

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/17(月) 18:03:59.35

>>236
話を進めたいので
一旦、命題の話に集中したいです
結局それが一番早いかと思います

以下の命題に答えるということは、次の①～③のどれかを選んでくださいということです
>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題

①進数の基数は有限なのでこの命題は真であり
ペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進数のNではない

②進数の基数は有限とは限らないのでこの命題は偽であり
ペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進数のNである

③その他
進数の基数は有限だがペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進数のNである等

①を選択したら、「ペアノの表記はX進数のNではない」ことを認めることになりますが反論はありますか？
また①を選択した場合、Nに「必ず10が含まれる」なら以下が成り立つことになりますがこちらに反論はありますか？
(どんなに底の変換を繰り返しても)「1桁の数にできない表記10が存在する」

②を選択したら、X進数の基数が有限ではない場合があるということになりますがが反論はありますか？
これを選択するなら、あなたが今まで主張してきた「X進数の基数が有限」であるというあなたの主張を撤回するということでよいでしょうか

①でも②でもないならその他の③になると思いますが、どういうことか説明してください

「X進数の基数が有限」を撤回したうえで、②を選択するということであれば、②を前提に以下の質問に答えてください

X進数とは記号を複数並べた記号列が、a(m)*X(m) +...+a(1)*X + a0となるものです
②の「10」にあたるのは、「|| |」という記号列であり、それが意味するのは
|| | = ||*X+| という式です

||*X+|の答えとなる値は、ペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10=|| | が含まれない)の中には存在しません

つまり、以下が成り立つはずですが、以下が真か偽かそれ以外か答えてください
|| | = ||*X+| =　値無し
もしそれが真なら「1桁の数にできない表記10が存在する」が成り立つことになります

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/18(火) 22:43:49.50

>>238
>> 一旦、命題の話に集中したいです
わかりました。>236>237で私が説明を求めている語句については、使わないか、語句の意味の説明を加えてから使うようお願いします。

その前に語句について提案です。
小学1年から習う｛0,1,2,3・・｝を「通常の自然数」と呼ぶのはどうでしょう？0の有無については必要なら都度明記します。
「通常の自然数」は厳密にはペアノの公理によって定義されますが、ペアノの公理を満たす集合(や表記)は「通常の自然数」の他に無数に存在するのでそれらと分けるためです。一般的には単に「自然数」と言えば「通常の自然数」を指しますが、今回の議論では「X進数をサポートした自然数」「進数の公理を満たす自然数」「表記の世界の自然数」などの語句が登場しているのでこれらと区別するために「通常の自然数」とします。
いかがでしょう。

また、>>228で登場した
X進数を適用した(一つも2桁の数がない)自然数集合=ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・}
は
「一つも2桁の数がない自然数表記」
または省略して
「1桁表記」
または直接
{|,||,|||,・・・}
などと表すのはどうでしょう？(他にいい案があれば教えてください)
背景として二つ。「X進数」のXが何を表すのか不明瞭なこと。(任意の(通常の)自然数なのか加算無限濃度なのかその両方か)
>>182で私が提示した{|,||,|||,・・・}は、ペアノの公理によって定義される自然数の一例です。
ペアノの自然数表記={|,||,|||,・・・}
と書くと、ペアノによる自然数表記が{|,||,|||,・・・}だけだと誤解を生みそうなのでそれを避けるためです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/18(火) 22:47:41.42

さて>>238の選択は③です。
>>231であなたが、
「一つも2桁の数がない自然数表記」={|,||,|||,・・・}は
「進数を適用した全ての自然数集合」のひとつであり、「進数を適用した全ての自然数集合」とは
X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)だと確認しています。
つまりあなたの認識により
｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進表記のNです。

以下の命題なら真です。
xを2以上の任意の(通常の)自然数とし、x進表記で表されたN(ペアノによる自然数の集合)をN(x進法)とする。
「全てのxに対してN(x進法)の要素に(x進表記による)2桁の「10」が存在する」

なお、x進表記にx種類の記号の定義が必要ということなら、具体的に｛|,||,|||,・・・,||･･(x本)･･||}などで定義できます。この定義では、上記の命題の2桁の「10」は「|| |」となります。

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/19(水) 12:11:53.79

>>239
なるほど。まるで伝わってないのがわかりました
{0、1、2…}は1という表記から機械的に2という表記を生成できません
そういう意味でそれ単体でペアノを満たしてるとはいえません
また{0、1、2...}はどうみても10進数を連想しそこには10が含まれます。少なくとも私はそれをペアノの自然数だとは扱っていないため認められません。

つい横道にそれましたが、この話題を続けるなら、命題の話が決着した後にお願いします

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/19(水) 12:12:11.29

>>240
さすがに全く答えになっていないのでもう一度同じ問題に回答をお願いします
>240の前半は、>238の命題が偽であり>238の②を選択したということでよいですか？
その前提で読み進めます

またあなたの提示した以下の命題をPとします
>>xを2以上の任意の(通常の)自然数とし、x進表記で表されたN(ペアノによる自然数の集合)をN(x進法)とする。
また、>238の命題をQとします

・Pが①と同じであれば、①と②の両方を選択するということでありQが真であり偽であるので矛盾します
・Pが①と同じでなければ、Qの命題と関係ないのであなたは>238の②を選択したことになり、あなたが③を選んだことと矛盾します
・あなたが「X進表記のN」のことを、Pだと思っているならそれは①であり、②を選択したということと矛盾します

結局あなたが命題Qに真と答えたか偽と答えたのか、①を選んだのか②を選んだのか③を選んだのかさえよくわからない状態です
言っていることと内容が全くかみ合っていません
PがQと関係ないなら、関係ない話は出さないでほしいです

また、理解も納得もしていない私の意見を根拠にしないでください
ここでは私の主張の理解度チェックではなく、あなたの意見、もしくは一般的な意見を聞いています
まず以下の命題に対して真か偽を答え、>>238の①～③のどれかを選択してください
>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題

ここではX進表記のNについては、私の意見は考慮しなくて大丈夫です

「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」は真
なぜならばX進表記のNとはPだからです。といいたいならそれで問題ありません
その場合、①を選択したことになります。①との差があるならそれを提示してください
また、>>238の「①を選択したら、..」の部分を回答してください

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/19(水) 14:10:05.68

>>241
>> 少なくとも私はそれをペアノの自然数だとは扱っていないため認められません。
なるほど。あなたの認識はわかりました。
ではせめて、私が｛0,1,2,3・・｝を「通常の自然数」と認識していることはご了承ください。

>>242
>> >240の前半は、>238の命題が偽であり>238の②を選択したということでよいですか？
いいえ。

>> 結局あなたが命題Qに真と答えたか偽と答えたのか、①を選んだのか②を選んだのか③を選んだのかさえよくわからない状態です
命題Qは偽です。
反例は「一つも2桁の数がない自然数表記」={|,||,|||,・・・}です。(>>236で書いています。)
選択は③です。(>>240で書いています。)

>> また、理解も納得もしていない私の意見を根拠にしないでください
それは困ります。
命題Qを考え提示したのはあなたなので、あなたの意見に頼るほかありません。

私からも質問がありますが、混乱させてしまいそうなので一旦あなたの返事を待ちます。

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/19(水) 17:03:09.13

>>243
>>命題Qは偽です
回答ありがとうございます
命題Qについて、私の意見がこうであると予測して選んだわけではなく、
あなたの意見として、(私の意見に多少は納得いく部分もあって)私の意見の内容を根拠として使うのは問題ありません。あくまで内容を根拠としてください
また、後で意見を覆してもなんとも思いません。ただし、一つのレス内ではぶれないようにしてください

命題Qは偽であるという前提で見れば、Pと②との差異が私にはわかりません
>>②進数の基数は有限とは限らないのでこの命題は偽であり
>>ペアノの表記｛|,||,|||,・・・}(10が含まれない)はＸ進数のNである

②は「進数の基数が有限とは限らない」です。
進数の基数が有限の時にPの性質を持つことは②の内容に含まれます
X進数の表記を適用した集合は、
集合のサイズ <= X のときに全て1桁の数になります
集合のサイズ > X のときに10が含まれます
今回の場合、自然数の個数は無限なので進数の基数が有限の時にPの性質を持つことは②でも自明です

つまり、Pが②ではないことを表す反例になっていません
あなたが②を選んだということなら、>240の内容は全て理解できます

②ではない理由がP以外にあるならそれを提示してください

ないのであれば、>>の238の「②を選択したら..」の回答と、②(の基数が無限の時)を前提とした「|| | = ||*X+| =　値無し」の真偽判定をお願いします

ちなみに私が①～③のどれが正しいと思ってるかわかりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/20(木) 19:02:33.18

すみません、>>244を読んで、どうやらあなたと私で①～③の「進数の基数は有限」という言葉の認識に違いがあると感じました。先にそれをはっきりさせましょう。

私の>>243の回答は次の二つを前提としています。
・「進数の基数は有限」とは「進数の基数が無限集合(の濃度)にはならない」という意味である
・「一つも2桁の数がない自然数表記」={|,||,|||,・・・}は「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)に含まれる(>>231より)

あなたは「進数の基数は有限でない」とは「進数の基数はいくらでも大きくなる」という意味で捉えていると思われますがどうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/21(金) 07:05:32.57

補足説明します

xを2以上の(通常の)自然数として
進数表記の基数は

2進表記による自然数集合={0,1,10,11...}
3進表記による自然数集合={0,1,2,10,11...}
・
・
x進表記による自然数集合=｛0,1,2,...,(x-1),10,11...｝
(x進表記に必要なx種類の記号の定義は割愛します)
・
・

と、いくらでも大きくすることができます。
しかしいくら基数を大きくしても
一つも2桁の数がない表記の自然数集合={|,||,|||,・・・}
になることはありません。
このことはご理解、納得していただけるでしょうか

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/21(金) 07:27:24.57

>>245
いいですね。そこに気づくとは一歩進んだ感があります

>>「進数の基数はいくらでも大きくなる
これはQの命題が真ならNo
Qの命題が偽ならyesです
10が含まれないＸ進数のNは基数が自然数の個数以上の場合でなければ作れないのでQが偽なら当然基数が無限濃度になりえます

>>・「進数の基数は有限」とは「進数の基数が無限集合(の濃度)にはならない」という意味である
これが真ならQの命題は真で①です

>>・「一つも2桁の数がない自然数表記」={|,||,|||,・・・}は「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)に含まれる(>>231より)
残念ながらこれが真になるのはQの命題が偽で②の場合だけです

①と②は同時には成立しません
どちらか選んでください

というわけで改めて聞きます
Qの命題は真ですか？偽ですか？まず答えた上で>>238の「①もしくは②を選んだら…」の質問に答えてください

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/21(金) 07:28:01.61

話を進めたいので真偽値表を作りました
矛盾する組み合わせは選ばないか、矛盾を解消する説明をお願いします

https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTIGYiseefS4RiYUsdrdMNLxMHE3l_d6mrq6Aqz3RovPcTaT6380avWa7GJ5QGlBs0QjJ3sykcytUZw/pubhtml?gid=654237133&;single=true

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/22(土) 16:32:12.83

>>247
>>「進数の基数はいくらでも大きくなる
>> これはQの命題が真ならNo
>>Qの命題が偽ならyesです
そんなことはありません。
まずはここを議論しはっきりさせましょう。
命題Qの真偽、および一桁表記={|,||,|||,・・・}の認否によらず、
2以上の(通常の)自然数をxとして
「x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる」
ことが言えます。
証明としては、任意の自然数xに対してそれより大きいx+1が存在することより示せます。
このことをご理解、納得していただけるでしょうか

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/23(日) 07:21:41.62

>>249
いいでしょう。進数の基数が有限か無限かだけ先にやりましょう

あなたの主張は進数の基数は有限であり無限になはらない。
それに対して進数の基数はどんなx進数でも底の変換によりx+1進数が作れる(>>249)ので無限であることも成り立つ

よってあなたの主張は矛盾するので納得できません

一般に無限とはxからx+1を作れることを言いますが
あなたは違うようなので、有限と無限の定義をお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/23(日) 08:53:44.88

>>250
>> いいでしょう。進数の基数が有限か無限かだけ先にやりましょう
ありがとうございます。
「有限」「無限」という語句は混乱のもとになるので、これらは使わずに以下のように表現したいと思います。

>> あなたの主張は進数の基数は有限であり無限になはらない。
私の主張は>>246のように、
2以上の(通常の)自然数をxとして
「x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる」
しかしいくら基数を大きくしても
一桁表記={|,||,|||,・・・}になることはない。(一桁表記と同一な表現を示す自然数x(進表記)は存在しない)

この主張の前半部分は「進数は有限でない」、後半部分は「進数は有限である」とも言えるので混乱のもとです。以前私が混用してレスしたものがあったかもしれません。すみません。
あなたは私の上の二つの主張に対していかが考えますか？

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/23(日) 10:58:14.49

>>「有限」「無限」という語句は混乱のもとになるので
だめです。有限か無限かは必ず明記してください
最小の無限は自然数と同じ可算無限ですので、無限なら最低でも自然数と同じ無限になります
あなたの主張が自然数より小さい無限といいたいなら別ですが、それならきちんと定義してください

x進数があるときx+1進数を作れるものを無限と呼ぶかどうか決めてください
それが無限でないなら定義を出してください

>>一桁表記={|,||,|||,・・・}になることはない。(一桁表記と同一な表現を示す自然数x(進表記)は存在しない)
これ自体は、基数が無限である場合でも矛盾しません
ただしそれは基数が自然数より小さい無限の場合だけです。それを主張しますか？

Qの命題再掲します
>> 「X進表記のN(ペアノによる自然数の集合)にはかならず2桁の「10」が含まれる」という命題

以下のA,B２つの命題は逆の関係なので、逆は必ずしも真ならずで同じ命題ではありません
A.Qの命題が偽なら進数が無限である
B.進数が無限ならQの命題が偽である
私が言ったのがAであなたが言ったのはBで別物です。
Aの対偶は、「進数が有限ならQの命題が真」です。これがあなたが>>245で発言したものですね

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/23(日) 11:32:22.63

>>252
>> 最小の無限は自然数と同じ可算無限です
これは正しくは
無限集合の濃度のうち最小のものは、自然数と同じ加算無限濃度である
ですね。

>> だめです。有限か無限かは必ず明記してください
>> x進数があるときx+1進数を作れるものを無限と呼ぶかどうか決めてください
困りましたね。ここでの有限、無限を定義するのは構いませんが、あとで困惑することになりますよ。
なお、一般(学部初年度レベル)では、集合論による無限なのかイプシロンデルタ論法による無限なのか使い分けて明記します。
それでも有限、無限を定義してほしいということなら、あなたの認識を確認した上で定義します。

ひとつずつ確認します。
2以上の(通常の)自然数をxとして
「x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる」
このことは正しいと認識していますか？

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/23(日) 12:57:42.24

>>253
ありがとうございます
私は集合論ベースだと思うので、そちら側の説明でお願いしたいです

>>「x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる」
>>このことは正しいと認識していますか？
はい、正しいと思ってます。
ただしxはx種類の記号の集合の個数を表すものであるという認識は伝えておきます。
x種類の記号の集合が自然数と一対一対応するというのが考えのベースです

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/23(日) 19:28:09.71

>>254
>> はい、正しいと思ってます。
わかりました。

次の確認です。xは2以上の(通常の)自然数とします。
>> x種類の記号の集合が自然数と一対一対応するというのが考えのベースです
さて、そのような自然数xが存在すると思いますか？

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/24(月) 07:45:02.25

>>255
xは少なくとも自然数としては存在しませんね

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/25(火) 00:44:28.92

>>256
>> xは少なくとも自然数としては存在しませんね
その通りです。
>>246や>>251で説明した通り、
①x進数の基数であるxをいくらでも大きくすることができる
②xをいくら大きくしても、1桁表記={|,||,|||,・・・}にはならない。
この2つは矛盾しません。これはとても重要なことです。
ご理解いただけますか？
そして理解してなお、「有限」「無限」という言葉の意味を定義した方がいいと思いますか？

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/25(火) 07:21:31.14

>>257
なるほど。ひとまずそこまでは理解しました

ただしまだ話は終わっていません
いくつか確認事項に答えてもらってから、定義が必要か考えます
>257の前提を用いて以下に答えてください

①進数は、あらかじめ用意した記号の集合をもとにx進数を作成します
x進数のxが、あるnの時にn+1が作れていくらでも大きくなるなら、その元となる記号の集合も同じ特徴を持ちます
記号の集合の要素はあるnがある時n+1を作成でき,n+1も記号の集合の中に含まれます。
私にはこの記号の集合は自然数と一対一対応し、無限にあるように見えますが記号の集合は有限ですか？無限ですか？

②あなたは>>215で、Nのすべてを2桁以上の数がない状態にできると発言しました
>>全ての自然数を1桁に変え切って、2桁以上の数がない状態にできますか？
>>できます。
これは>257と矛盾しますが>215の方を撤回するということで良いですか？

③あなたは名前にこだわりがあるようで、実際それにかなり引きずられるようです
あまり適切でない名前を私達は採用してきましたが、それをここでは変更したいです

それは2進数や3進数と言った「Ｘ進数」という単語です。
2進数の記号は{0、1}なのに未定義の「2」という記号が出てきて大変わかりにくいです。また2進数より一つ大きい基数を表すのに未定義の2を使わなければいけないのは大変使いにくい
例えばそのルールなら>>206の①なら2進数ではなくb進数と呼ぶべきとなってしまいます。2進数を説明するためにまず10進数を理解しなければいけないのはおかしな話です

未定義の記号を使わず、数学的にも誤解の無いと思う表現があります
それは、一桁の最大値をMとした上で、「M+1」進数と呼ぶことです。これなら未定義の記号は出てこず誤解を生みにくいと思います
つまり2進数とよばずに1+1進数と呼ぶということです
いかがでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/25(火) 08:06:40.45

無限をωとおいて考える巨大数の考えみたいなことしてるな

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/25(火) 19:18:34.04

>>258
>> なるほど。ひとまずそこまでは理解しました
>>いくつか確認事項に答えてもらってから、定義が必要か考えます
わかりました。理解いただいてよかったです。

以下、xを2以上の自然数とします。
>>① 前半部分
その通りです。
>> 私にはこの記号の集合は自然数と一対一対応し、無限にあるように見えますが記号の集合は有限ですか？無限ですか？
x進数の基数xが(あるひとつの)自然数である限り、「x種類の記号の集合」は有限です。(全ての)自然数と一対一対応はしません。

>>② これは>257と矛盾しますが>215の方を撤回するということで良いですか？
一桁表記={|,||,|||,・・・}は存在します。(理論上構成できます)これを用いれば全ての自然数を一桁で表せます。しかし、一桁表記はx進数ではありません。(あなたが>256で確認した通り、一桁表記に対応する自然数xは存在しません)
つまり、>215と>257は矛盾しません。

>>③ 2進数の記号は{0、1}なのに未定義の「2」という記号が出てきて大変わかりにくいです。また2進数より一つ大きい基数を表すのに未定義の2を使わなければいけないのは大変使いにくい
私はそうは思いません。
>> 例えばそのルールなら>>206の①なら2進数ではなくb進数と呼ぶべきとなってしまいます。2進数を説明するためにまず10進数を理解しなければいけないのはおかしな話です
こちらも、そうは思いません。

○○進数と言ったときに○○に当てはまる表記は、さすがに10進表記(小学1年生が習う普通の表記)で良いと思います。日本国民全員が義務教育で学習しているはずなので、共通認識として問題ないことだと思います。

>> それは、一桁の最大値をMとした上で、「M+1」進数と呼ぶことです。
私はしっくりこないので基本的に使うつもりはありません。あなたがそう呼びたいのであればどうぞ使ってください。そのように解釈します。

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/26(水) 07:30:06.33

>>260
では、私は適宜x進数のx=M+1を使いますね

記号の集合の特徴が有限ということですが
この有限は、最大値Mがあるということでしょうか？
それともM+1進数のようにあるnがある時n+1も記号の集合に含まれるという特徴も持ちますか？

記号の集合が有限であるということが理解できなくて困っています

記号の集合に最大値Mがあると仮定するとM＋1が存在するので矛盾

>255のように記号の集合が無限であると仮定した時にM+1が自然数ではないことを利用しようとしても、あるMがある時M+1は記号の集合に含まれるので矛盾します

M+1進数のM+1が自然数であるという要素をどのように使えば良いでしょうか

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/26(水) 07:41:58.52

>>259
巨大基数ですかね
似ているような似ていないような…

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/27(木) 00:15:38.86

>>261
あなたの言葉を借りて説明します。
>> この有限は、最大値Mがあるということでしょうか？
(1+1)進数による(1+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれは1です。
(2+1)進数による(2+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれは2です。
同様に
(M+1)進数による(M+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれはMです。
ここで注意ですが、(M+1)進数による(M+1)種類の記号の中に(M+1)は存在しません。

以上のように、x進数によるx種類の記号の数は有限であり最大値が存在します。

>> 記号の集合に最大値Mがあると仮定するとM＋1が存在するので矛盾
これは正しくありません。上の注意の通りです。
正しくは、(M+1)進数より基数の大きい(M+1+1)進数の記号の中に(M+1)が存在する。です。

わからなけらば何度でも質問してください。

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/27(木) 07:13:20.30

>>263
前半の最大値Mは意味が違います
問いを明確にすると、最も多い個数の、記号の集合は何個ですか？です。
個数が有限なら最大値をMが存在するはずですが、底の変換によりM+1が存在するので矛盾します

またx進数のxはこの記号の集合の個数を表します
あなたはxの特徴として以下を挙げました(ここではあなたの主張なのでxのままとします)
①有限である
②xが存在する時x+1も存在し、いくらでも大きくできる
③xは2以上の自然数である

なので当然、記号の集合の個数も、有限であり、2以上の自然数であり、要素aが存在する時a+1が存在しますよね？
②と③を前提とすると、①のこの記号の集合の個数が有限であることが示せません
記号の集合の個数(最も大きなもの)が有限であることを示す方法を教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/27(木) 10:29:31.69

>>264
>> 最も多い個数の、記号の集合は何個ですか？です。
>>記号の集合の個数(最も大きなもの)が有限であることを示す方法を教えてください
「最も多い個数の記号の集合」は存在しません。
基数xをいくらでも大きくできるからです。

>> 個数が有限なら最大値をMが存在するはずですが、底の変換によりM+1が存在するので矛盾します
矛盾しません。
>263で説明した通り
(M+1)進数による(M+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれはMです。
ここで注意ですが、(M+1)進数による(M+1)種類の記号の中に(M+1)は存在しません。
(M+1+1) 進数による(M+1+1)種類の記号の中に、最大値(を示す記号)が存在しそれはM+1です。
当たり前ですが、底を変換すれば最大値も変わります。

>> ②と③を前提とすると、①のこの記号の集合の個数が有限であることが示せません
xは2以上のあるひとつの自然数です。
「要素数がxの集合」は有限集合です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/27(木) 10:30:22.21

2進表記に必要な記号の集合={0,1}←有限集合
3進表記に必要な記号の集合={0,1,2}←有限集合
・
・
x進表記に必要な記号の集合=｛0,1,2,...,(x-1)｝←有限集合
(x進表記に必要なx種類の記号の定義は割愛します)
・
・

こんな感じです。
基数xをいくらでも大きくできますが、あるxに対するx進表記に必要な記号の集合は必ず有限集合です。一言で言えば
「有限集合」が無数にある。
といったところです。

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/28(金) 07:13:10.63

>>266
それを満たす記号の集合の定義もお願いします
無限に大きくできる(ように見える)記号の集合の定義がランダムってわけではないですよね
記号の集合が存在する根拠を教えてください

あとあなたが>>255で確認したのはあなたが注意点として書いた項目です
M+1進数の記号の中にM+1という記号がありますか？という質問と解釈しておりそれはどの進数でもNoなので>256でNoと答えています
その質問にNoと答えることと、M+1進数が存在しないことには全く関係がないので>255の質問は何の意味もない質問だと考えていますがいかがでしょう
>255の質問がM+1進数が存在すると思いますか？ならyesです。

無数に存在する有限集合についても質問です
その無数にある有限集合の個数は何個ですか(集合内の要素の数ではなく集合が何個あるか)
その無数とは有限ですか？無限ですか？
その無数の集合と自然数は一対一対応しますか
またそれら無数の有限集合の和集合は有限集合ですか

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/28(金) 10:29:02.54

>>267
>> それを満たす記号の集合の定義もお願いします
>240で定義しているので再掲します。
>>なお、x進表記にx種類の記号の定義が必要ということなら、具体的に｛|,||,|||,・・・,||･･(x本)･･||}などで定義できます。

>> その無数にある有限集合の個数は何個ですか(集合内の要素の数ではなく集合が何個あるか)
>> その無数とは有限ですか？無限ですか？
「「有限集合」の集合」が無限集合です。
言い換えると、「「有限集合」の数」が無限です。

>> その無数の集合と自然数は一対一対応しますか
します。

>> またそれら無数の有限集合の和集合は有限集合ですか
Ｕを全体集合、Nを自然数の集合、xを集合族の元(つまり集合)とします。
可算集合族の和集合は、
集合族{A_n}_n∈Nの要素である少なくとも１つの集合に属する要素からなる集合
U_n∈N(A_n) ={x∈Ｕ| ∃n∈N:x∈A_n}
として定義されます。
A_1={0}
A_2={0,1}
A_3={0,1,2}
・
・
・
A_n={0,1,2,...,n-1}
・
・
この集合族{A_n}_n∈Nの和集合は
U_n∈N(A_n) ={x∈Ｕ| ∃n∈N:x∈A_n}
= {0,1,2,...} となり、これは可算無限集合です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/28(金) 10:30:33.95

>> あとあなたが>>255で確認したのはあなたが注意点として書いた項目です
違います。
>> M+1進数の記号の中にM+1という記号がありますか？という質問と解釈しており
解釈が間違っています。

>255の質問を説明します。
2以上の自然数xに対し

2進表記に必要な記号の集合={|,||}←有限集合
3進表記に必要な記号の集合={|,||,|||}←有限集合
・
・
x進表記に必要な記号の集合=｛|,||,|||,...,||･･x本･･||}←有限集合
・
・

を構成します。
これらのうち、一桁表記={|,||,|||,・・・}←無限集合
を表す自然数xは存在しますか？

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/01/31(月) 11:51:07.84

>>268
大分あなたの全体像が見えてきました
ありがとうございます
思ったより共通点も多く、あなたの意見の理解は進んだかなと思いますがやっぱり納得できない点もあります

>>>> その無数の有限集合と自然数は一対一対応しますか
>>します。
M+1進数のM+1の部分は{0-M}の有限集合のサイズを表します
その有限集合が自然数と一対一対応するなら、有限集合の最大値を表すMやサイズを表すM+1も自然数と一対一対応しますよね。
最大値やサイズをもたない有限集合がなければ、「「有限集合」の数」が無限なら「「有限集合のサイズ」の数」や「「有限集合の最大値」の数」も無限で自然数と一対一対応しなければおかしい
「「有限集合」の数」＝「「有限集合のサイズ(M+1)」の数」＝「「有限集合の最大値(M)」の数」です
その解釈ならM+1が有限というのが理解できません

>>解釈が間違っています。
>>2以上の自然数xに対し
>>これらのうち、一桁表記={|,||,|||,・・・}←無限集合
>>を表す自然数xは存在しますか？
進数という観点に立てば、全てが1桁の数字になるのはその集合内の全ての要素より大きい進数が適用された時だけそうなります。
進数という観点では、そのようなM+1が存在することに何か問題があるようには見えません
具体的には全ての自然数（0-M）より大きいM+1進数が存在し、M+1は値のない式であるとなります。その場合、M+1は1桁の数字にすることができないことを除けば自然数と全く同じ性質を持ちます

それが自然数と組み合わせたときに本当に問題が出るなら、矛盾であると結論するのが私の解釈です

>>Ｕを全体集合、Nを自然数の集合、xを集合族の元(つまり集合)とします。
表記の話をしているのに、自然数の話が出てくるのがおかしい
あとはそこが一番大きな溝な感じがします

あなたは数値と、その数値を表す表記の区別がついていないように見えます

数値と表記を分けるのが間違っているというなら、そうかもしれませんが
納得はいかないですね

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/01(火) 00:27:41.21

すみません、ひとつ訂正
>>Ｕを全体集合、Nを自然数の集合、xを集合族の元(つまり集合)とします。
この部分は正しくは
Ｕを全体集合、Nを自然数の集合、A_nを集合族の元(つまり集合)、xをA_nの元とします。
です。

>>270
すみません、全体的におっしゃっている意味がわかりません。

>>その有限集合が自然数と一対一対応するなら、
誤解されています。あるひとつの有限集合が自然数と一対一対応しているわけではありません。「「有限集合」の集合」が自然数と一対一対応しています。

>> 進数という観点に立てば、～
よくわかりません。
>>269の質問にyes/noでお答えください。

>> 表記の話をしているのに、自然数の話が出てくるのがおかしい
あなたからの質問が、可算集合族の和集合についてのことでしたので、自然数と対応させるのはごく当然のことです。定義の論理式もごく一般的なものです。納得いただけないなら、
>> またそれら無数の有限集合の和集合は有限集合ですか
回答:いいえ。可算無限集合です。
という結論のみご承知ください。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/02(水) 10:11:45.27

すみません、私の誤解だったようです。
>> M+1進数のM+1の部分は{0-M}の有限集合のサイズを表します
>>その有限集合が自然数と一対一対応するなら、有限集合の最大値を表すMやサイズを表すM+1も自然数と一対一対応しますよね。
>>最大値やサイズをもたない有限集合がなければ、「「有限集合」の数」が無限なら「「有限集合のサイズ」の数」や「「有限集合の最大値」の数」も無限で自然数と一対一対応しなければおかしい
>>「「有限集合」の数」＝「「有限集合のサイズ(M+1)」の数」＝「「有限集合の最大値(M)」の数」です
>>その解釈ならM+1が有限というのが理解できません

この部分を何度も読んで、あなたは「「有限集合」の集合」が自然数と一対一対応している、と考えてくれているようだと考え直しました。失礼しました。

>>「「有限集合」の数」＝「「有限集合のサイズ(M+1)」の数」＝「「有限集合の最大値(M)」の数」です
この部分はその通りです。
サイズとは要素数のことですね。
「「有限集合」の集合」も
「「有限集合の要素数(M+1)」の集合」も
「「有限集合の最大値(M)」の集合」も
どれも加算無限集合です。

>>その解釈ならM+1が有限というのが理解できません
「M+1が有限」とは、
「「有限集合の要素数(M+1)」の集合」が有限集合である
という意味ですか？

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/02/02(水) 12:09:20.89

>>271
話のゴールというか論点が見えていない感じがしますね
私が想定している結論は、「矛盾がある」です

その場合、矛のことを調べずに
「盾の方が強いから矛が折れる」と言った論理展開に意味がありません
盾だけを見たらその主張は正しいですが、矛盾があるという指摘には意味のない主張です
別の検証可能な理由を根拠にする必要があります

>269については質問が悪いですね
自然数xはどんな条件でもNo、存在しません
私の主張は、「自然数ではないペアノの公理を満たすxが存在する」です

>>「M+1」が有限とは…
M+1=xが有限というのはあなたが主張していることであって、私はそれを(記号の集合という観点では)認めていません

記号の集合のサイズ(要素数)=M+1=xというのが繋がってないんですかね

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/02(水) 12:40:56.99

>>273
>> 私が想定している結論は、「矛盾がある」です～
すみません、よくわかりません。

>> 自然数xはどんな条件でもNo、存在しません
その通りです。
>254と合わせて
2以上の自然数xに対し
① x進数の基数であるxをいくらでも大きくできる
② xをいくら大きくしても、1桁表記={|,||,|||,・・・}を表すx(進表記)は存在しない
この二つが矛盾せず成り立つことをあなたに確認していただきました。>257と同じ内容です。

>>私の主張は、「自然数ではないペアノの公理を満たすxが存在する」です
始めに、xは2以上の自然数である、と定義しているので、「自然数ではないx」は存在しません。

>> M+1=xが有限というのはあなたが主張していることであって、私はそれを(記号の集合という観点では)認めていません
いえ、あなたが>>270で「M+1が有限」をどういう意味で使っているのか確認したいのです。
そもそも「有限」「無限」の意味について、私は>251で混乱の元となるので別の表現にした方が良いと提案しました。そして>257であなたに問いかけて以降それは決定していません。「有限集合」「無限集合」という言葉なら混乱することなく認識を共有できるのでこちらを使ってください。

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/02/03(木) 09:25:50.99

>>274
矛盾についてはよく考えてみてください
普通はAと！Aのどちらも正しいときに矛盾と呼びます。Aと！Aはそれぞれ単体では正しくて、組み合わせた時に問題が発生します
その時にAが真であることをもって！Aを否定することはできません

集合での比較が分かりやすいので、やはりまずはそれで進めましょう

私の設定した問いは、最も大きな記号の集合のサイズは何か？です。
あなたが>265で書いたように
>> 当たり前ですが、底を変換すれば最大値も変わります。
底を変換すれば最大値は大きくすることができるので、最も大きな、集合のサイズを求めるには限界まで底の変換を行う必要があります。あなたがこれ以上必要ないと思うまで底の変換を行なってください
あなたが提示したMから底の変換を行なって、M+1のサイズが作れるならあなたは私の要求を満たしていません

もしその記号の集合が無限だから最大値が出せないなら自然数と一対一対応できるか教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/03(木) 11:52:06.56

>>275
>>矛盾について～
なるほど、あなたの言いたいことが少しわかりました。

>> 私の設定した問いは、最も大きな記号の集合のサイズは何か？です。
文がどこで区切られているかわかりませんが、
最も大きな「記号の集合のサイズ」は何か？
と捉えて考えます。
>>最も大きな、集合のサイズを求めるには限界まで底の変換を行う必要があります。
限界はありません。x進表記の底であるxをいくらでも大きくできるからです。

>> もしその記号の集合が無限だから最大値が出せないなら自然数と一対一対応できるか教えてください
>>266で書いたように
あるxに対する「x進表記に必要な記号の集合」(これをA_xとします)は必ず有限集合です。
そして>>272で書いたように
「「A_x(有限集合)」の集合」も
「「A_x(有限集合)の要素数(M+1)」の集合」も
「「A_x(有限集合)の最大値(M)」の集合」も
どれも自然数と一対一対応します。

私から一つ確認させてください。
>>274の①と②が矛盾せず成り立つことをご理解いただけましたか？

1 ◆4duhI.9sP2 · 2022/02/08(火) 09:06:18.44

すみません
まとまった時間が取れなくなってしまい
中途半端ですがこの辺りで私は終了します
付き合ってくれたかた、ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/15(火) 19:19:09.48

>>277
そうですか。残念です。
あなたが>276を理解できたのなら、その上で>1を満たす定義を示すつもりでしたが、そこまでいけませんでしたね。また時間ができたらレスしてください。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/11(土) 18:24:39.10

考え方は順序数とほぼ同値
基本列は0,1,2,3,...で固定なのかな

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/12(月) 15:05:03.47

指が10本しかない

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/13(火) 01:10:49.60

集合論って便利なんだなって感じた

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 22:54:16.71

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