実数の連続性について

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/09(金) 14:23:03.18

アルキメデスの性質、
デデキント切断、
コーシー列などについて論ずる
ε-δ論法も歓迎

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/27(火) 11:36:46.23

Bolzano-Weierstrassの定理および中間値の定理の含蓄は多大

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/27(火) 13:34:00.86

数学板になぜか居ついてしまったトンデモくん安達弘志（自称京大文学部卒）に実数の連続性とは何かを教えてやってください。
ただしこいつは筋金入りの馬鹿なので根気よく教えることに自信のある方にお願いします。
こいつの常駐先は下記です。
ケーキの問題とサル石　その２
0.99999…は１ではない　その23

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/30(金) 09:27:08.60

連続性という言い方があんま好きくない
連結姓とはいわんの

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/30(金) 09:27:34.14

漢字まちがえた

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/30(金) 18:37:07.88

完備性でそ

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/30(金) 20:17:00.22

>>6
完備性と連続性は違うぞ

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/04(火) 03:11:14.89

関数が零でないものを定義し続けていた

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 02:41:54.49

解析入門1の第一章を読んでいきます。確実に途中で挫折するでしょうけどよろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 02:52:51.26

第一章実数と連続
§1 実数 p1
§2 実数列の極限 p9
§3 実数の連続性 p17
§4 R^nとC p33
§5 級数p44
§6 極限と連続 p50
§7 Compact集合 p64
§8 中間地の定理 p74〜p80

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 03:17:35.14

関数は実数またはその組み合わせで表される。
実数全体の集合Rの性質は17個ある。この17個の性質を全て満たすものは本質的に実数しかない。

四則演算
和と積について次の10個の条件
1 和の交換律
2 和の結合律
3 0の存在、単位元
4 -aの存在、逆元
5 積の交換律
6 積の結合律
7 分配律
8 1の存在、単位元
9 逆元の存在
10 0以外の元の存在
和、差、積、商を加法、減法、乗法、除法と言う
この1から10は体の定義なのでRを実数体と言う。その他に有理数体、複素数体などがある。
その他、加群、可換群、環、可換環の定義をする。
整数全体の集合は可換環である。
問1は後でやる予定。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 03:44:56.42

順序
a≦bについて次の6個を満たす。a≦bは、a<bまたはa=bの意味である。
11 反射律
12 反対称律
13 推移律
14 全順序性
15 a≦b →a+c≦b+c
16 a≧0、b≧0→ab≧0

正の数、負の数の定義。

どんな実数a、bに対しても、a>bまたはa=bまたはa<bのうちの1つそして唯1つが成り立つ。

a≧0 ↔ -a≦0
証明 15を用いる。
a≧0の両辺に-aを加える。0≧-aの両辺にaを加える。

任意のaに対し、a^=(- a)^2≧0
証明 16においてひ

1>0

1〜16を順序体、11〜13を順序集合、11〜14を全順序集合

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 04:17:10.98

順序
a≦bについて次の6個を満たす。a≦bは、a<bまたはa=bの意味である。
11 反射律
12 反対称律
13 推移律
14 全順序性
15 a≦b →a+c≦b+c
16 a≧0、b≧0→ab≧0

正の数、負の数の定義。

・どんな実数a、bに対しても、a>bまたはa=bまたはa<bのうちの1つそして唯1つが成り立つ。
証明
14より、両方が成り立つ場合には12よりa=bとなる。
両方が成り立たない場合
次のとちらか
a≦bかつb>aの時、a<b
a≧bかつb<aの時、a>b

・a≧0 ↔ -a≦0
証明
15を用いる。
a≧0の両辺に-aを加える。0≧-aの両辺にaを加える。

・任意のaに対しa^=(- a)^2≧0
証明
16においてb=aとする。14においてb=0とすると、任意のaに対してa≧0または-a≧0が成り立つ。また任意のaに対してa^2=(-a)^2が成り立つ。この事の証明は飛ばしたp2の例1を多分使うので後でやる。

・1>0
証明
a=1とすると1^2=1≧0、10より、1>0。

1〜16を順序体、11〜13を順序集合、11〜14を全順序集合と言う。
17は少し後に出てくる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 05:16:21.43

p2問1
1) 0とbの2個あると仮定する。a+0=aかつa+b=a
それぞれのaにb、0を代入するとb+0=bかつ0+b=0。1を使うとb=0。
2) -aとbの2個あると仮定する。a+(-a)=0かつa+b=0
3より-a=-a+0=-a+(a+b)
2より=-a+a+b=b。
3) 1よりa+(-a)=0↔(-a)+a=0よって(-a)の逆元はa。
∴-(-a)=a。
4) 3においてa=0とすると、0a=(0+0)a
0a=0a+0a (7より)
∴0a=0 (3より)
5) a+(-1)a
=1a+(-1)a (8と5により)
=(1+(-1))a (7より)
=0a=0
よって(-1)aはaの逆元-aである。
6) 5でa=-1を代入して
(-1)(-1)=-(-1)
=1 (問の3より)

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 17:15:49.88

続き。
6) (-1)(-1)=-(-1) (問5より)
=1 (問3より)
7) ab+a(-b)=a(b+(-b)) 分配
=a0 (4より)
=0a (5より)
=0 (問6)
よってa(-b)はabの逆元で
-ab。(-a)bに、ついても同様。
8) (-a)(-b)=-(a(-b)) (問7)
=-(-(ab)) (問7)
=ab (問3)
9) b=0の時、成り立つ。
b≠0の時、(1/b)が存在して、両辺に右から掛けるとab(1/b)=0(1/b)=0 (問4)
a(b(1/b))=0 (6より)
a1=0
∴a=0
10) (-a)(-(a^(-1)))
=a(a^(-1) (問8より)
=1
よって(-a)の逆元(-a)^(-1)は-(a^(-1))でもある
11) ab ((b^(-1))(a^(-1))
=a bb^(-1) a^(-1)
=a1a^(-1)
=aa^(-1)
=1

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 17:26:51.78

・a^2=(-a)^2が成り立つ。証明問8のbにaを代入する

・1>0
証明
まず、1^2=1・1=1 (8より)
前問でa=1とすると
1^2=1≧0。10より1>0

例1
集合の全ての部分集合の集合は、順序集合であるが、一般には全順序集合ではない。反例は含む含まないの関係に無い2つの集合。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 12:51:28.88

実数の連続性について、一つの勉強法
１．解析概論第１章を読む（最初は、読んで理解するよりも書き写すくらいでいい）
２．定理１４個の主張を書いてすべて証明してみる（但し定理１は証明しない）
３．練習問題を解く（分からなかったら、ネットや大学や都立府立県立図書館で調べる）
（２，３は、何も見ず、定理、問題文から始めて自力で証明や解答が再現できるようになるまで）
が終わったら、
４．森毅、現代の古典解析、の１－３章を読む
の１－４．を３周くらいしたら、いつのまにか分かってくる。
頑張れば、２か月ぐらいで。
そうしたら、解析概論の２章以降を勉強するなり他の本を勉強すれば、
１変数微積分はわかってくる。
１年後くらいには、さらにほかの分野理論の勉強もできるようになる。

実数の連続性は、距離空間の完備性という観点から見直すと、位相空間論一般論や
関数解析につながり、一つの例として理解できるようになる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 23:20:44.29

>>17
すこく勉強になる。
解析入門1の第一章で同じ勉強マニュアルを作っていただけると嬉しいです。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/22(土) 23:49:22.76

問2
1) 両辺に-aを加える。
2) 更に両辺に-bを加える。
3) 16から、(b-a)(-c)>0。
4) 1・4と9。
5) 第一式の両辺にcを加える。
第二式の利用辺にpを加える。
6) 今度は5) の等号が外れる。

命題1・1
証明
実際に存在を示せば良い。
c=(a+b)/2とする。証明終。
Rは稠密順序集合である。
任意の順序体の持っている性質。

1・5
証明
a>0⇒a>ε>0となる。よってa=0。

最大元と最小元。

例2
最小元は存在する。
最大元は存在しない。

空でない任意の有限部分集合に対し、最大元、最小元が存在する。

1・6
Rには最大元、最小元は存在しない。
絶対値。

命題1・2
証明。
a=(a+b)+(-b) と変形する。
符号を付けた距離を考える。

例3
字引式順序。最高次の係数の符号で決める。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 00:13:06.56

定義1
上界。下界。
上界、下界の集合。
上に有界。下に有界。
上にも下にも有界の時、
単に有界と言う。

最小上界→上限
最大下界→下限
存在すれば、の話。

例4
上限下限は最大値最小値と一致することもあるが、しないこともあるから注意。

命題1・3
上界であることと
最小であることが必要十分。

例5
任意の順序体。順序集合。
有理数と実数の違い。

17 連続の公理
有理数と違って、
上限が存在する。
下限が存在する。

例6
平方根の一意性、存在の証明。

命題1・5
集合A⊂集合Bの時の
上限と下限。

命題1・6
集合の和A+Bと集合の積ABの
上限と下限。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 00:32:04.54

§2 実数列の極限
この節では連続の公理は用いない。

自然数。空集合。
自然数は有限集合の元の個数を表す。

定義1 継承的。
定義2 Rの全ての継承的部分集合に含まれる実数を自然数と言う。

Nは最小の継承的集合である。
数学的帰納法の原理。
例1 数学的帰納法の流れ。
例2 二項定理。二項係数。

上への一対一写像=全単射。
有限集合。数学的帰納法で証明する。

整数。有理数。実数列。N→R。
第n項。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 14:57:16.57

>>18
それは自分でやってくれ、計画など
定義、定理や補題（証明まで）、問題解答を自分で再現できれば、一段階進んだことになる
自分でやらないと経験値が上がらない、試行錯誤をふくめて

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/23(日) 23:53:10.47

>>22
分かりました。頑張ります。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 00:03:30.23

1) 「定義、定理、命題、例、例題」の証明を再現できるようにする。
2) 「章末問題」が解けなかった時でも理解して解けるようにする。
3) 「一通り全部」何も見ないで再現できるようになることが、取り敢えずの最終目標。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 10:23:38.57

余計かもしれないけど
全部を理解再現できるまで繰り返そうとすると、１年たっても終わらない（多分）
それよりも、
あくまで個人的意見だけど、８割再現できたら先の章に進む

理解はあとからやって来る（ことが多い）ので、”わけわからんノート”を作っておき、
そこに、疑問不明感じたことを書き込んでおく。ときどき読み返す。
一冊の本を最後まで一通り終えたと思ったら、また振り返るといいと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 13:17:00.96

さらに、余計なこと　これは無視してくれて構わない

本に載っている定理、補題、問題、例の証明の別証を考えてみること

これは時間がかかり、時にはムダになるが、証明の論理構造を分析して、定理や
使っている論理を洗い出し、他の方法がないかを検討する
（時に、３通り以上のやり方がを見つけたときは感動した）
そこまでやると、本当にその証明を理解したことになる
あくまでも、１周目、２周目で理解するほうをあくまで優先させてほしい

>>24 の健闘を祈る

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 13:59:25.81

さらに、さらに、余計なこと

田島一郎　数学解析入門　好学社　（岩波全書　解析入門　とは別の本）

で、上極限、下極限、連続性、一様連続性、などの扱いを知った。
一変数微積分の初歩までしか書かれていないけど、実数の連続性のイメージ
が出来ない、かつ　国公立の大学図書館に入れるようであれば　探してみて下さい。
戦前に出版され、１９６０年に復刊された古い本です。
この本の定理の証明、問題が解ければ一変数微積分初歩は卒業と言ってもいいかと。

至る所微分できない連続函数の例も載っています。
これも一度自力で証明してみて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 15:54:42.28

さらに、さらに、さらに　　余計なこと

イプシロンーデルタ論法(イプシロンーN論法）を理解したとは
収束数列の問題
収束しないということはどういうことか説明する
収束しない数列の問題
の三つをこの論法で説明できるようになることが最低限ですけど、あと

部分列が任意の値に収束する（だけど元の数列は収束しない）数列を構成できる
（集積点が１つ以上ある数列）
（自分の言葉で）ことが意外と大事

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 17:16:45.05

わんこら式、とでもいうのか、完璧な理解解答を目指さないかつ繰り返すのは他にも言ってる人がいる
自分にあった、自分ができる、続けられるやり方を見つけてやるしかない
ＰＤＣＡサイクルで、続ければたどり着けるものがある、それがあなたに宿った数学
最初の苗木を（できれば大木まで）大きく育てていけばいい

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 22:06:58.55

ありがとうございます。がんばります。

例4 素数列。

定義5
実数列a(n)が実数aに収束する
とは、
どんな正数ε>0に対しても
ある自然数n0が存在して、
n≧n0を満たす全ての自然数nに対して|a-a(n)|<εもなることを言う。

極限。発散する。aのε近傍。
有限個を除く全てのnに対して
a(n)∈aのε近傍。

例5 アルキメデスの原理。
例6 アルキメデスの原理。
例7 二項定理。

命題2・3
証明
極限値が2個存在すると仮定し
∀n≧n0 ∃ε>0、|a-b|<εを示す

命題2・4
証明
数列a(n)とa±1を比較する。
一意性ではなく有界性だから
これで良い。
a±2でもa±3でも有界は有界。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 22:07:29.69

定理2・5
証明
1) 和と差。(ε/2)。
2) 積。(ε/2)(1/M)、
(ε/2)(1/(|a|+1))
3) 商。分母の収束が言えれば
2)に帰着。(ε/2)(|b|^2)

例8 練習。
定理2・5により
極限操作と四則演算の交換。
実数体における四則演算が
連続であることを示す。

定理2・6 大小関係の保存。
極限操作は順序を保存する。

注意2
a(n)<b(n)でもa<bとは限らない
a=bの場合もある

命題2・6 系。
命題2・7 挟み撃ちの原理。
証明
2つの数列の収束。

例10 挟み撃ちの原理
(2つの数列の収束)を使う。

節末問題はいったん飛ばす。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/24(月) 22:28:19.88

§3 実数の連続性
連続の公理。
実質的に連続の公理と同値。
位相空間論の基本的な幾つかの概念の原型。

p27 同値命題の種々の表現。
W 連続の公理。上に有界な
空でない集合は上限を持つ。
M 上に有界な単調増加数列
は上限に収束する。
A アルキメデスの原理。
n→∞
K 区間縮小法。
BW ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理。有界数列は収束部分列を持つ。
C コーシーの収束条件。
任意のコーシー列は収束する。
D デーデキントの公理。順序体の任意の切断は1、2のどちらかに限られる(最大元と最小元)。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 01:27:39.75

>>28
部分列が任意の値に収束するてのは集積点が無限にある数列だろ
有理数全部を並べた数列とか

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 03:04:14.15

俺はノータッチで。

定義1
単調増加。単調減少。
狭義単調増加列。
狭義単調減少列。

定理3・1 W→M の証明。

同値命題が全部で7個。
それらに関する証明が
全部で10個。その1番目。

証明
上に有界な単調増加実数列の
集合をA(≠Ø)とする。

Aは上に有界だからWにより
上限sが存在する ∴a(n)≦s。
∀ε>0に対して s-ε<s。
∴ s-εはAの上界ではない。
よって ∃n0∈N, s-ε<a(n0)。
数列a(n)の単調増加性により
∀n≧n0, s-ε<a(n0)≦a(n)≦s
が成り立つ。
すなわち無限個のnに対して s-ε<a(n)≦s が成り立つ。
よって示された。

※下に有界な場合も同様にして証明される。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/26(水) 03:50:56.54

例1 単調増加列∧上に有界。
図によって明瞭に理解される

定義2 +∞ に発散する。

定理3・2 M→Aの証明。
A⇔「定数bは、数列[na]の
上界ではない」

bが上界であると仮定する。
すると数列[na]は上に有界な
単調増加列ということになり
上限sに収束する。よって
∀n∈N, na≦s・・ⅰ)
s-a<s であるから、
s-aは上界ではない。
よって、∃n0, s-a<(n0)a
⇔s<(1+n0)a・・ⅱ)
ⅰ)とⅱ)は矛盾する。終。
(全ての自然数nに対して
ⅰ)だからある自然数1+n0
に対してもⅱ)になって
しまってはならない)。

アルキメデスの原理は
n→+∞ (n→∞) または
ⅰ/n →0 (n→∞) と同値である

例2
字引式順序の順序体では
アルキメデスの原理は成り立
たない。カースト制の社会の
ようなもの。
実数体は同質的な集合で、
単一の階層から成る。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 00:07:42.74

定義3
有界閉区間。有界開区間。
半開区間。
無限開区間。無限閉区間。
区間。

定理3・3 M→K。
証明
有界閉区間I(n)=[an, bn]とする。
Inが単調減少とは
anが単調増加∧bnが単調減少であることを意味する。
よってanは上に有界な単調増加数列、bnは下に有界な単調減少数列であるからそれぞれ極限値a, bを持つ。a≦bであるから
共通部分[a, b]≠Øが存在する。
これで前半が示された。

∀c∈[∩In], ∀n∈N、an≦c≦bnであるから、0≦|a-c|≦bn-an。
挟み撃ちの原理によりc→a。終。

この区間縮小法は方程式の根を数値的に求める場合の基本原理。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 00:13:02.92

区間縮小法とアルキメデスの原理は、それぞれ単独では連続の公理になれない。2個セットで、他の命題と同レベルになれる。

※コーシー列も同じでアルキメデスの原理と2個セット。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 03:23:19.20

例3
m乗根は唯1つ存在する。
証明の方法が中間値の定理の証明に使える。

例4
部分列。無限個取る。
順番を変えない。
定義4 狭義単調増加性。
部分列が収束しなければ
元の数列は収束しない。

逆に
例5 収束しない数列であってもその部分列が収束することはよくある。

区間縮小法とボルツァーノワイヤストラスの定理は、どちらも有界閉区間がコンパクトであることを述べている。

定理3・4 K+A→BW
数列anは有界であるから
∃b, c∈R, an∈I=[b, c]。
dn=(bn+cn)/2によって
区間を縮小していく。
すなわち2つの区間[bn, dn],
[dn, cn]のうち無限に多くの元
を含む方を次の区間にしていく。
両方の区間ともに無限個の元を含む時はどちらでも良い。
アルキメデスの原理により
cn-bn→0。
よって区間縮小法により
∃a∈R, bn→a, cn→aとなる。
元の数列には∃nに対して
その先の項は無限個ある。
よって部分列にも∃kに対して
その先の項は無限個ある。
挟み撃ちの原理により
有界な実数列は常に、収束する部分列を持つことが示された。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 03:57:48.94

ボルツァーノワイヤストラスの定理。
an は有界実数列だから
∃b, c∈R, ∀n∈N,
b≦an≦cとなる。

当たり前のことだが
区間 [b, c] にanの項が
無限個入っている。

anは収束するとは限らない。しかしその部分列の中には、収束するものが必ず存在するということ。

区間の中点で2つに分けて区間を縮小していく。
2つの区間のうち、無限個の項を含む方を次の区間にする。
両方とも無限個の項を含んでいたらどちらでも良い。
どちらか一方は必ず無限個の項を含む。

anの部分列 a(n, k) について
a(n, k)∈In=[bn, cn] ・・・(ⅰ)
の形が作れた。
アルキメデスの原理により
cn-bn=(c-b)/2^n→0 (n→∞)(ⅱ)
従って区間縮小法により
n→∞の時、
bn→a ∧ cn→a ∧ a(n, k)→a

ボルツァーノワイヤストラスの定理が証明された。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/27(木) 10:07:58.92

>>33
>部分列が任意の値に収束するてのは集積点が無限にある数列だろ
>有理数全部を並べた数列とか

>>26
>さらに、余計なこと　これは無視してくれて構わない
>>28
>さらに、さらに、さらに　　余計なこと
だから、余計なこと＝無視しても構わない、ということわり書きがある
人に教わること（聞く耳を持つこと）も大事だけど、
自分で、（納得がいくまで）やることが重要なんだよ
雑念雑音を遮断して、自分の思考世界を思想錯誤しながら構築することを最優先する
余計なこと、には　その意味がこめられていると思う

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/28(金) 01:03:24.32

定義5 コーシー列。基本列。
極限値は分からないが、
収束することだけは分かる。

例6コーシー列の例。
平方数の逆数の和=π^2/６。
→後で証明する。
2乗n^2を
連続2整数の積(n-1)nで
評価して進める。

命題3・5

定理3・6 BW→C。
証明
必要性。
数列{an}がaに収束する時、
∀ε>0, ∃n0∈N,
n≧n0⇒|a-an|<ε/2となる。
今、m, n≧n0⇒
|an-am|=|an-a+a-am|
≦|an-a|+|a-am|
<ε/2+ε/2=ε。よってanは
コーシー列である。

十分性。
コーシー列は有界である。従ってボルツァーノワイヤストラスの定理より、コーシー列は収束する部分列を持つ。すると命題3・5により、コーシー列自身も収束する。

注意2
+∞に収束するという言い方
はしない。
+∞に発散すると言う。

注意3
十分性の議論は一般の順序体では成り立たない。
例として、√2に収束するような有理数の列は、幾らでも極限値に近付くが(コーシー列であるが)収束しない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/28(金) 02:06:17.57

連続性最後の定理C+A⇒W。
証明
A(≠Ø)・上に有界なRの部分集合
B・・・Aの上界の集合。
C・・・RにおけるBの補集合
とする。

Aは上に有界 ∧ A≠Ø
であるからB≠Øである。
∃a∈Aに対してa-1∈C
であるからC≠Øである。

今、∀b∈B, ∀c∈C,
∃a∈A, c<a≦b。
dn=(bn+cn)/2とすると
dn∈Rである。
定義によりR=B∪C。

定義によりdn∈B ∨ dn∈C
のうち一方のみが成り立つ。

[c(n+1), b(n+1)] を
dn∈Bの時 [cn, dn] とし、
dn∈Cの時 [dn, bn] とする。

このように定義すると
bnは単調減少列、
cnは単調増加列となる。

∀p, q≧n, |bp-cq|≦bn-cn
アルキメデスの原理により
→0 (n→∞)であるから
bnはコーシー列である。
cnも同様。従って極限値b=c

最後にb=c=sを示す。
bはAの上界である。
cn→bより、
∀x<b,∃n0, x<cn0<b。
cnはAの上界ではないから
∃a∈A, x<cn<a≦b。証明終。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/28(金) 04:42:36.84

注意5 完備化。順序体。
区間縮小法。コーシー列。
帰謬法。

BW→A
証明
1/2^n→0 (n→∞) ではないと仮定すると、∃δ>0, c=b+δとなり
極限値が定まらない(bのε近傍にcが入らない)。
すなわち収束しない部分列を持つことになる。証明終。

定理3・7
ガウスの記号。
集合Aに対する上界の集合B⊂Zが存在する時、Bには最小値mが必ず存在する。しかしmがAの上限とは限らない。

定理3・8
実数と実数の間には必ず有理数が存在する。その事実を「QはRにおいて稠密である」と言う。

定理3・9 実数の十進小数展開。
背反な10個の箱を用意すれば
そのどれかに入る。

十進小数表示。
l(≧2)進小数表示。
唯一、1.0000...と0.9999...
の場合だけ、2通りの表示を持つが他の場合は唯一に定まる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/28(金) 05:07:13.22

節末7
D→Wの証明。
A(≠Ø)を上に有界な集合、
BをAの上界の集合、
CをBのRにおける補集合
とすると、〈C, B〉は、
Aに上限があっても無くても
切断の条件を満たす。

W→Dの証明
切断〈A, B〉に対してsupAが
存在する。ここて、
supA∈A または supA∉Aの
どちらであっても切断の条件
を満たす。
すなわちAに最大元があり
Bに最小元が無いまたは
Aに最大元が無く、
Bに最小元がある。
のどちらかである。終。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/29(土) 01:07:56.24

§4 R^nとC
n次元ユークリッド空間。

定義1
n次元数ベクトル。
n次元数空間。点。
平行四辺形。幾何学的意味
直線。一対一の対応がつく

命題4・1
実ベクトル空間。R^nは加群
平行移動。アフィン空間。

例1
分点の公式。
内分点と外分点。中点。

例2
中線。重心。2:1。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/29(土) 04:00:56.92

定義2
内積、スカラー積。
n次元ユークリッド空間。

命題4・2
・分配律と加法の交換律
・結合律と分配律
・乗法の交換律
・半正値性

ノルムまたは長さ、絶対値。
・余弦定理
・パップスの中線定理
・シュワルツの不等式
等号成立は1次従属の
時に限る。

正射影。直交する。
ピタゴラスの定理。

例5 平行四辺形において
対角線が直交する⇔菱形

命題4・4
・絶対値
・三角不等式
・半正値性
距離。3つの性質。点列。
有界。ノルム。収束する。
コーシー列。
この辺の事柄に関しては
全て点列と数列は同じもの。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/29(土) 04:05:53.73

定理4・5
全て今までにやったことの
繰り返しで証明出来る。

例6 三角形の重心。
相似。収束。
重心に収束する。

命題4・6 線型性。
複素数の定義。

命題4・7
加法に関し加群を作る。
乗法単位元。

定義3・3
複素数体。複素数。
虚数単位i。
実部Re、虚部Im。
ここでの複素数の定義は
普通の複素数の定義と
一致する。

共役複素数。極表示。
代数学の基本定理の証明
は後で。
代数的閉性。

n=1, 2の時のみ。
乗法の交換律を放棄すれば
n=4も追加される。
実数、複素数、四元数。

命題4・9
複素数列の収束
積商の収束。

節末問題から太字を
チェック

アフィン空間
直交行列
正規直交基底
シュミットの直交化法
超平面
鏡映または対称変換
垂直二等分超平面
九点円
閉球
乗法の交換律
非可換体
四元数体
R上の多元体
フロベニウスの定理
R、C、Hに同型なもの
に限られる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/29(土) 04:13:38.93

§4はベクトルの内容であった。
証明は今までの数列を点列に読み替えるだけのものであった。
例として、

数列{an}の収束は
an→a (n→∞)。

点列(an, bn, cn)の収束は
(an, bn, cn)→(a, b, c) (n→∞)。
といった具合。
成分ごとに数列の収束を考えるだけ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/30(日) 01:57:18.81

§5 級数
定義。級数。無限級数。
第n部分和。級数は収束する。
その和。発散する。

例1 収束しない。発散する
例2 無限等比級数。収束する
その和。

定理5
級数に関するコーシー列。
「和snがコーシー列である」
と見れば良い。

定理5・1
例3 発散する。∵an→1≠0
例4 発散する。
∵s(2n)-s(n)≧1/2≠0。

定理5・2 絶対収束する。
条件収束級数。
例5 log2に収束する級数

命題5・3
収束する級数の線型性。
ここまで全て、
複素数列に関して成り立つ

絶対収束級数が扱いやすく
特に便利である。
→正項級数の収束判定条件

定理5・4
単調増加列となるので
上に有界、がその条件。

定理5・5 別の形。
比較定理。
和と積で比較する。
「∀n」は「∃n0, ∀n≧n0」
としても同じである。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/30(日) 02:11:41.52

定理5・6 級数の収束条件
比較定理を用いる。

定理5・7
比較定理より、
挟み撃ち(収束)か
追い出し(発散)。

例6 冪乗・指数関数と階乗
→1/e。
注意2 この定理においてl=1となる場合は、収束するとも発散するとも判定出来ない。

例7。l=1で発散する場合と
l=1で収束する場合。

ここから→
絶対収束の場合の級数の積
定理5・8
Σ(Σa(k)b(n-k))=ab。
例6
←ここまで良く分からないので少し考えてみる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/30(日) 02:22:20.20

§5 級数が終わった。

証明は、級数sn(=Σan)を数列anに置き換えて既出の定理を適用するだけなので、大体スムーズに進んだ。

最後の定理5・8で不明点が出た。そもそも定義の妥当性が不審なので、入って行けなかった。頭を慣らす必要を感じる。

後の章で詳しく扱うのでその時まで放っておいても良いかも知れないが、少し考えでみるのも面白そうだ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/30(日) 04:36:40.72

なるほど。
調べたら分かった。非常に面白いしすごい。そして難しい。有用そうな事例が1つストックされて良かった。

概略。
n×nの上の級数を求めたい。
そのために
□(n×n)の上の級数=
直角二等辺△(2n×2n)
の上の級数-
直角二等辺△(n×n)2個分
の上の級数。

n→∞で
直角二等辺△(2n×2n)
の上の級数=
直角二等辺△(n×n)
の上の級数
などが成り立つ。証明終。

初め、図形を見てab/2じゃないかと思った。しかし「級数s≒0になる部分は無視出来る」ので、結局abになった。密度がどんどん小さくなって行くイメージ。

例6 両辺をzで微分したもの
an=z^n、bn=z^(n-k)と置けば
OKになる。
これも対角線の一例。
調和級数は発散する。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/31(月) 00:52:19.04

§6 極限と連続
解析学で最も基礎的な概念。

定義1
aを中心とする半径εの
開球を、aのε近傍と言う。
触点。接触点。閉包。

例1 円の内部に対して
円の内部+円周が閉包。
Aの点列。

命題6・1
選択公理を用いる。

定義2 εδ論法。
(∀ε>0), (∃δ>0), (∀x),
(|x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε)。
lim f(x)=b (x→a)。

例2 εが任意に与えられたとして、δはεの関数となっても良い。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/31(月) 09:31:10.40

定義3
B内でaに近付く時の
f(x)の極限値。
x→a+0、x→a-0の場合。
例3
x→0の極限値は存在しない。

例4
極限値が存在しない事が
分かった時、
異なる方向から近づけて
それらの値が異なる事を
示せば良い。

定理6・2
内容は当たり前の定理だが
証明が難しい。
選択公理を用いる。
点列を選び出す。
「x→aであるが、f(x)→bではない」ので、
∀点列xn→aの中に、δ=1/nとして、、あるε>0が存在して、f(xn)がbのε近傍に入ってこない項が無限個存在する。
点列xn→aの中には1/nより収束の速いものも遅いものもあり得るが、速いものだけ取り出すということ。δを任意にしているので普通と論法が違う。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 13:24:29.57

がんば

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 07:02:12.21

定理6・2系
部分列の収束。同じこと。
例 5
注意1

命題6・3
極限は、存在するとすれば唯1つ、の証明。
注意2
定義4 開球。有界。Aで有界。

命題6・4
m次元における極限。
定義5 連続。Eで連続。

命題6・5
関数の連続性に関する4つの同値命題。
例6
例7 不連続関数の例。
第一種不連続点。グラフに切れ目がある。
例8 無限回振動しているので不連続。グラフに切れ目は無いが不連続。

例9 Qで不連続、Rで連続な関数。
分母が工夫されているので有限個に抑えられる。面白い。
例10 演習問題。放物線上で原点に近付ける。

定義6 実ベクトル空間。環となる。体とならない。g(x)≠0であっても、∃x, g(x)=0になれば逆数は取れない。

定理6・6 線型性。連続性。積と商の連続性。

三角不等式による。
有界性を用いる。最大値(上限)Mを設定して関数を上から抑える。
全体的に難しくない。

定義7 合成可能。合成関数。
例11 2次関数とlogの合成関数。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 07:53:22.28

定理6・7
合成関数の連続性。
極限値が定義域Eから少し外れても、そこは定義域Eのε近傍にすることが出来る。
注意3
例12 注意3の例(かなり特殊？)

定理6・8

定義8
∞も極限値に含める。補完数直線。
命題6・9
∞の関わる極限値。
触点。触点の全体を閉包と言う。
広義積分の収束条件。

定理6・10
コーシーの条件。
三角不等式による。関数の収束にもコーシー列が出て来る。
一様収束。
定義9 関数列の各点収束。
アーベルの指摘。
例14

定理6・11
上限の存在が収束を保証する。
連続関数の有限個の和。優級数。

例15 優級数を出して来て、それの収束を示す。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 08:11:16.90

§7 コンパクト集合
ボルツァーノワイヤストラスの定理の一般化。

定義1 点列コンパクト。
例1 Rnの任意の有限部分集合は点列コンパクトである。
例2 点列コンパクトの例[a, b]
例3 かなり難しい。
例4 直積集合A×Bも点列コンパクト。
Rnの有界閉区間は点列コンパクト。全有界。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 10:23:43.87

なんか前にも似たような奴見たことあるな

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 10:26:11.92

定義2 閉集合。
定義3 内点。内部。開集合。
命題7・1
3つの同値命題。補集合。
閉包。内部を表す記号。

例5 円の内部と外部。閉集合と開集合。
閉集合でなければ開集合であるなどと早合点してはならないとのこと。
開集合であり∧閉集合である例。
注意1 難しい。

定理７・２
全有界⇔有界。
点列コンパクト⇔有界閉集合。
証明
Ｋが点列コンパクトならば定義により全有界である。また定義により閉包=Ｋとなる。
Ｋが有界閉集合とする。すると点列コンパクトの条件をみたす。Ｋは閉集合だから閉包=Ｋを満たす。
従って、2')または2)を満たす。

例6 球面は点列コンパクト。
有界閉集合。
例7 一葉双曲面は点列コンパクトでない。
例8 全有界であるが、点列コンパクトでない例。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 10:56:02.60

最大値。最大値に達する。最大点。最小値。
例9
定理7・3
閉集合は証明において便利だと思った。
例10 微分法が有効。

区間縮小法を拡張したものがコンパクト。Rnに関しては同値。

定義4 被覆。開被覆。任意の開被覆から有限この開集合を選んでコンパクト。

例11コンパクトの例。いきなり難しい。
定理7・4 ハイネボレルの定理。
開球。難しい。

節末問題野中の太字。
一様ノルム。
有限交叉性。
区間縮小法の拡張。
一様収束。
上半連続。下半連続。
鞍点。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 11:18:12.58

§9 中間値の定理
定理8・1
区間縮小法と関数の連続性から中間値の定理を導く。面白い。

例1
ニュートンの方法。

開集合の連結性。
直和。
定義1 連結。領域。開集合の連結性は弧状連結性。A内で結ぶ連続曲線。
例2 凸または凸集合。星形。折線。

定理8・2
同値な3個の連結性の定理。
論理の積み重ね。長い。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 11:29:47.02

定理8・2系
凸集合。
例3 弧状連続。円に関するジョルダンの定理。ジョルダン閉曲線。一般のジョルダンの定理。
アレクサンダーの双対定理。
ジョルダンの定理の証明は「トポロジー入門」。

定理8・3
相対開集合。
相対閉集合。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 11:42:19.21

解析入門1の第一章の通読が終わった。分かった所とよくわからない所があるが、次はとりあえず、節末問題を解くこと、微分法に進むこと、位相について勉強すること
の3つがある。

で、先に進まずに位相を勉強することにする。このスレは位相のスレだから続けていてもOKだし。
それが終わったら節末問題を解こうと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 12:11:45.05

アドバイスに従って分からない所はとばして後で考える。
最終的には全て理解し、自力再現できるようにすることが目標。

位相空間に興味が出てきたので、集合・位相入門の後半を読む。
第4章位相空間
§1 Rnの距離と位相
§2 位相空間
§3 位相の比較、位相の生成
§4 連続写像
§5 部分空間、直積空間

第5章連結性とコンパクト性
§1 連結性
§2 コンパクト性
§3 分離公理

第6章距離空間
§1 距離空間とその位相
§2 距離空間の正規性
§3 距離空間の一様位相的性質
§4 コンパクト距離空間、距離空間の完備化
§5 ノルム空間、バナッハ空間
§6 ウリゾーンの距離付け定理

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 12:43:34.58

第4章位相空間
§1 R^(n)の距離と位相

数列の収束や関数の連続性
代数的な性質
位相的な性質
位相構造。
位相付ける。位相空間。
ブルバキの流儀。
ユークリッド空間。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 13:12:23.77

この本は、ざっと見た所、定理の証明が一部節末問題に回され、しかも解答が付いていないので不安であるが、頑張ろうと思う。

A～Gまで分かれている。

A) 直積。
n次元ユークリッド空間。
三角不等式の証明。
シュワルツの不等式の証明。

B) 内部、外部、境界
aを中心、εを半径とするRnの球体ball。開区間。円板。
内点。内部または開核。M゜。
外点。外部。
境界点。境界。
直和。
球面と球体。
円板と円周。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/06(日) 13:15:52.48

今の所、解析入門1と較べて非常に読みやすい。続く所まで頑張ります。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 11:55:14.81

とりあえず、１年間続けてみれば？そのうち、位相空間論を人に説明できるかも
理解は後から（遅れて）やってくる、がんがれー

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 14:07:11.78

数学の独学は無理だよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 14:09:55.62

上の奴なんか典型的な悪い傾向に陥っている
何が重要かが分かってる人が指導していないから、

「簡単にわかるもの」「自分の腑に落ちるもの」「なんとなく数学っぽいもの」

に手を広げたがる。んで、具体例を念頭におかずに集合位相のつまらない議論にハマってしまう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 18:59:59.83

>>69
ありがとうございます。頑張ります。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 19:09:38.38

>>70
無理ではありません。可能です。現に当初の目的であった「実数の連続性」については解析入門1§3を読んてよく分かりました。今はその先に進んでいるところです(従って、もうおまけみたいなもんです)。集合と位相の入門書の内容を身につけられるように頑張ります。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 19:11:05.93

>>71
たかが数学で偉そうてすね。頑張って生きて行ってください。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/09(水) 19:21:19.19

今までマイペースで楽しく進めて来ましたが、若干の観客(辛口)が生まれたようなのでやり方を少し変えます。

>>71の示唆に従って、演習しながら進めます。テキストを変えます。解けなかったら答えを写します。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 00:22:13.46

「はじめよう位相空間」を読む。所々に問が挟まれており、巻末に解答があるので確認しながら進められる。姉妹書として演習書があるので併用する。

コンパクト性と連結性の勉強をしたいのだが、全12章の11、12章に出てくる。本当はそこから始めたいが我慢して最初からやることにする。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 00:44:02.73

問の数は7、11、10、9、10、11
7、8、10、15、9、13で120問。これらには解答が付いているのでやる。章末問題はとばす。その後、演習書をやる。

もちろんメインは本文の解説部分と命題の証明。例題も入っているので進むのが遅くなりそう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 00:52:02.91

文句だけ言ってマウント取ってくる奴がいるけど、やり方の基本姿勢は今まで通りとします。
つまり、分からなかったらとばす。後で考える。一通りざっと進みたいのです。

ちなみに本を普通に読んでいれば「大事な所」は分かります。著者が強調するから。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 01:23:04.89

1 ユークリッド幾何学と
トポロジー

位相幾何学と位相空間。
1・1 合同変換。

問1
AQ=R(30)APより、
Q=R(30)AP+A。

問2
A∈L∧P∉Lとする。(P∈Lでもいい)
AH=(AP・L/|L|^2 )L
OQ=OP+2PH。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 10:03:10.32

>数学の独学は無理だよ
数学の独学は難しい、けどやり続ける人の応援は（気が付けば）する

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 10:32:57.13

一生、開集合の性質の言い換えやってそう(笑)

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 14:54:10.30

>>81
お前は何処で学習が止まってんの笑

「自分が数学出来ない」からって人も同じだと思わない方が良いよ。何か根本的な勘違いしてる。

数学出来ないくせに数学に思い入れの強い数学馬鹿が見ているのは何か面白いけど。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/10(木) 15:01:29.93

取り敢えず今やってる教材で挫折することは無さそう。
別の理由でこのスレへの書き込みをやめることはあり得るけど。

あと、このような馬鹿の出現は充分予想できていたし、別にその事自体嫌ではない笑

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/11(金) 16:52:06.66

>一生、開集合の性質の言い換えやってそう(笑)
定義定式化の根本を見直すことが意外な発展につながったりして（笑）
多くの数学者に分析されつくされて残ってないと思うが、無いことも証明されてない

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/11(金) 22:07:01.33

五十歩百歩だよみんな、そんなに変わらない

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/11(金) 23:58:09.03

たかだか有限
せめて有界コンパクトなことしか
この世の存在は扱えまい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/12(土) 10:47:42.38

有限、有界は制限として大事なんだけど
全有界と完備、有限次元とは限らない距離空間での制限の基本は
コンパクト性よりもゆるい条件で結果を得ようとすると途端にぼやけたことしか得られない
有限次元かつ有界閉のありがたみ

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/13(日) 23:10:28.64

実数空間、有限次元ユークリッド空間、距離空間、位相空間
これらの各空間で、さまざまな概念、定義定理（の定式化）を比較整理しながら、
位相空間論や微積分（特に極限、収束）の問題を見返すと、関数解析につながる
道、関数空間の構造が見えたりする

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/19(月) 10:47:47.65

ところで、実数の連続性の分析は終わったの？
位相空間の基礎部分（距離空間というべきか？）で成立する諸概念と諸定理を
（有理数体から）実数体に適用したときのもろもろの論理展開のこと

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/29(木) 15:52:45.74

勉強すると公言して挫折防止するのって大抵挫折するね
人目を当てにする事自体が意思薄弱の証拠みたい

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 22:48:24.82

自分自身が数学に挫折してるんだろうな
そして他人を自分の尺度でしか測れないんだろうな(=他人も自分と同じように挫折すると思い込む)

でもいつか現れるかもと期待してこのスレを開いちゃうんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 23:11:00.84

ユークリッド幾何学は合同変換で不変な性質を研究する幾何学。
ピタゴラスの定理。
c^2=a^2+b^2。
相似変換。相似幾何学。

問3
(x-1)^2+(y-2)^2=2^2と変形出来るので、中心(1, 2)、半径2の円。
相似変換によって、
(s-2)^2+(t-4)^2=4^2に変わる。
x=s/2、y=t/2を元の式に代入する。中心(2, 4)、半径4の円。

注意1
写像、関数、変換という言葉
合成写像g・fは、fでうつしてからgでうつす。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 23:16:47.55

Surreal number とか Hyperreal number とかあるらしいがもう40年近く前興味を持って、イプシロン-デルタなんていらねえじゃん、けどなんかいいことあるのかと思って無視してる
feynman 経路積分の正当化とか, Nelson の確率量子化とかに関係あんのかねえ?

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 23:33:44.89

位相同型。定義は第5章でやる。
位相的な変形。切ったり貼ったりは出来ない。
A～～B。
位相的な性質。
穴の数。曲線で結べる。
トポロジー。位相幾何学。
ドーナツとコーヒーカップは位相同型である。

最大値・最小値の定理
中間値の定理
コンパクト性と連結性、位相的性質。

問4
位相同型な9個のグループ分け
CGIJLMNSUVWZ
EFTY
X
HK
DO
P
AR
Q
B

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/10(火) 00:25:04.12

注意2
トポロジーという言葉
等長変換。

補題11
証明法
背理法による。

補題12
証明
補題11より、あるとすればPは1個なので13、14よりf(P)=g(P)。Pは任意なのでf=g。証明終。

定理13
内容
平面上の等長変換は合同変換であり、それは平行移動、回転、鏡映及びそれらの合成に限られる。
向きが同じ場合は回転で、向きが逆なら鏡映である。

問5
内容
平面上の回転は2つの鏡映の合成として表せる。
ある軸に関して鏡映した後、別の軸に関して鏡映すると、ある回転になる。この表し方は一意的ではない。

問6
内容
平面上の等長変換は3つ以内の鏡映の合成として表せる。
証明
定理13において最初の平行移動を鏡映に換える事が出来る。
するとその後、逆向きならば合計2回の鏡映となり、同じ向きならば問5より2回の鏡映の合成として表されるから合計3回の鏡映である。証明終

問7
内容
一般に、2つの異なる鏡映の合成は変換の順序によってうつる先が異なる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/12(木) 02:01:34.16

2、ユークリッド空間とその図形

数直線・・・R
平面・・・R^2=R×R 直積集合

問1
A×B={1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b}
B×A={a1, b1, a2, b,2 a3, b3}
A^2A={11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}
B^3={aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb}

原点。距離。距離関数。

定義22
ユークリッド空間
集合ではなく空間になる。

問2
d=√(4+16+16+4)=2√10。

注意2
数学的空間は頭の中の模型である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/16(月) 23:30:43.74

図形とは何か。曖昧さをなくす。
定義23
閉区間、開区間、半開区間
直積集合I^2、I^3。
n次元閉球体B^n。
(n-1)次元球面S^(n-1)。

注意3
位相次元。

問3
B^4の切断面。
B^3またはB^0 :
x1^2+x2^2+x3^2=
0, 3/4, 1, 3/4, 0

注意4
アニュラス。位相同型。

問4
図示する問題。
正方形。
直線の下、円の外部
直線の上、円の内部。
直線の下、放物線の上。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/25(水) 23:54:30.71

例28
アニュラスとメビウスの帯
例29 トーラス
問5 トーラスの方程式を図示する問題。
問6 対角線で折る。外枠を糊付けする。膨らまして球面に出来る。
クラインの壺。射影平面。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/26(木) 00:30:16.35

位相同型なグラフ。

問7 可能。不可能。偶点と奇点。奇点の数が0または2。

例211 カントル集合は非可算集合
問8 1/4は三進法で、
0.020202...と無限に循環する。これはカントル集合の元であることを示す。1/4, 1/36, 1/324,
カントル集合の作り方と証明。濃度。

例212 シャルピンスキーのカーペット。作り方。自己相似な図形。フラクタル幾何学。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/26(木) 01:19:05.70

和集合、差集合、共通部分
交わる。交わらない。

集合族、集合系。部分集合族
和集合と共通部分の定義。

問9 第一象限と第二第三象限
第二象限と第三象限。

問10
ある整数xが存在して、全ての整数yに対してx=0となる。真。
全ての整数xに対して、ある整数yが存在してyy-xとなる。真。

問11 ドモルガンの法則の証明。有限集合の場合は直感的に把握できる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 19:03:43.76

完備性?

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/02(木) 03:06:55.93

図形の変形と写像
問1 ((1−y)cos2πx, (1−y)sin2πx, y)
円錐面。E1は底面の周。E2とE4は貼り合わせた母線。E3は頂点。

問2 折れ線の式。螺旋運動の式。
ホモトピーには触れない。

定義39 制限または制限写像
像と逆像

問3 b。bc。bc。24。Ø。24。

定義314 全射。上への写像onto。始域。終域。定義域。値域。単射。一対一写像one-to-one,。全単射。

一対一の写像は単射、
一対一の対応は全単射、
を意味する。違うので注意が必要である。
中への写像into。これは全射でないという意味。単射の場合も単射でない場合もある。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/02(木) 03:42:58.42

補題319 全射と全射の合成、単射と単射の合成、全単射と全単射の合成はそれぞれ全射、単射、全単射になる。

問4 [0, 4]。[-1, 0]∪[2, 3]。
0<a≦1の時、[3, -a^2+2a+3]
1≦a≦2の時、[3, 4]
2≦aの時、[-a^2+2a+3, 4]
0<b≦4の時、[-1, 1-√(4-b)]
∪[1+√(4-b), 3]
b=4の時、[-1, 3]
a^2-2a+(b-3)=0。
a=1±√(4-b)。

問5 単射。(0, +∞)
全射。R。
全単射。R。
どちらでもない。[-1, +1]

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/02(木) 04:36:32.39

問6 [1, 2) [0, 2) [2, 8) [0, 1]
(-∞, 1]。(-1, 0)∪(0, 1] (-1, 0]
∪(2n, 2n+1)。
逆写像は全単射に対してのみ。逆像は任意の写像に対して定義される。

定義320 逆写像は全単射に対してのみ定義される。恒等写像id。

定理323 逆写像の証明。
全射性と単射性を示す。
∀y∈Yに対して
y=ey=fgy=f(gy)∈f(X)。
∴全射であることが示された。
∀a, b∈Xに対してf(a)=f(b)とする。∴ gf(a)=gf(b)。
a=ea=gf(a)=gf(b)=eb=b。
∴単射である。
∀x∈Xに対して、gf(x)=ex=xより、g=f^(-1)。

定値写像。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/02(木) 05:58:54.06

点列。
問7 2(π/8)。(1/√2, 1/√2)。
(2/3)(3π/8)。(1/2)(0, 1)。
(2/5)(5π/8)。極限点。

問8。2/n<εより、n>nε≧2/ε=6666.66666...。nはn≧6667の任意の整数を取れるので無限個あり、無限集合である。

問9 (1,1) (1/2, 0) (1/3, -1/3)
(1/4, 0) (1/5, 1/5) |pn|≦√2/n
∀ε>0、∃nε∈N、n>nε⇒|√2/n-0|<√2/nε≦ε。nε≧√2/εとなるように取ればよい。

問10
n∉Dの時、an=1/n
n∈Dの時、an=1。
∀ε>0、∃nε、n>nε⇒|1/n-0|≦εが成り立つかどうか調べる。

成り立つならば|1/n-0|≦1/nε≦ε
ε=1/10^nとして、nε=10^nとしてもan=1となるnが存在する。しかも無限個存在する。従って収束しない。または、
n∉Dの時、an→0
n∈Dの時、an→1
となり、集積点が2個存在するので収束しない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/16(木) 07:16:02.31

図形を破らない変形と連続写像
問題A 図形が破れない変形を表す写像について
定義41 ε近傍
問1 UIxε=3/2, √5。
UExε=3/2, 5/2。UZxε=2
写像の連続性。連続写像。
例題46

問2 (1/2+1/(m+1, 1/2))
問3 x=1、ε=1/2の時、√2/2, √6/2より√6/2-1。
問4 点列xn=1/nとする。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/16(木) 10:20:07.83

問5
x+yは連続。
xyは連続。技巧的な証明になる。

問6
球の内側半分の部分を固定して外側半分を回転させる写像。不連続。
リプシッツ写像。リプシッツ定数。縮小写像。

問7
fが連続写像であることの証明。
恒等写像はリプシッツ定数1のリプシッツ写像。定値写像はリプシッツ定数0のリプシッツ写像。
射影。射影はリプシッツ定数が1のリプシッツ写像。
問8
リプシッツ定数=|a|のリプシッツ写像。
リプシッツ写像ではない。
リプシッツ定数=1のリプシッツ写像。
問9
リプシッツ定数=2πのリプシッツ写像。
リプシッツ定数=1のリプシッツ写像。

連続性の表現(A)(B)(C)。
一度切ってから中を通してその後にくっつける写像はリプシッツ定数=1のリプシッツ写像であることに注意。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/26(日) 05:23:25.85

位相同型写像と色々な距離
定義51
位相同型写像。同相写像。
全単射かつ連続かつ逆写像が連続。XとYは位相同型である。同相である。
例53
位相同型な図形の例。

問1
y=(a-b)x/(c-d)+(bc-ad)/(c-d)
問2
f : J→J'は位相同型写像(全単射かつ連続かつ逆写像も連続)であるからJとJ'は位相同型である。
問3
f(x)=2^x、3^x。
補題
連続写像の合成は連続写像であることの証明。
同値関係であることの証明。
クラス。同値類。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/26(日) 13:04:49.85

n次元開球体。多項式関数。
有理関数。評価写像。
問4
有理関数の連続性、定値写像、恒等写像を使う。
問5
2xy, x^2+y^2。射影写像を使う。
sin(x^2-3y)π。sinxは連続関数である。
三角不等式の証明はシュワルツの不等式の証明に帰着。シュワルツの不等式の証明は相加相乗の不等式の証明に帰着。
ユークリッドの距離関数。
R^nにユークリッドの距離関数を定めるとE^nとなる。
色々な距離関数。
問6
10-23, 231-1
√35、11、4。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 09:46:35.47

問7
ピタゴラス数となる円周上の5点が取れる。
問8
距離関数に代入する。三角不等式を使う。
問9
d∞の方に注意する
問10
六角形。八角形。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 06:00:50.46

距離空間。距離関数。
定義
距離関数。
問1
距離関数の定義の確認。
距離関数ではない。
距離関数である。
問2
距離関数ではない。反例を考える。

定義
距離空間。距離関数。点。距離。
ユークリッド空間は距離空間である。集合としては同じでも別の距離関数が定義されていれば別の距離空間である。
部分距離空間または部分空間の定義。逆に関する議論。
以後における約束。図形→部分空間と呼ぶ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 06:33:15.64

例
S^2上に距離関数を定義すると距離空間になる。これはEの部分空間ではない。
測地線。
バスの運賃と距離。

問3
三角不等式が成り立たないので距離関数ではない。
例
離散距離関数。離散距離空間。
問4
距離関数の3条件の確認。
問5
X-{p0}。

補題
単射による距離空間。
誘導された距離関数。

例
行列の集合を距離空間と見なす。
問6
3√2
問7
角度を距離関数と見なす。
例
積分を距離関数と見なす。
連続性。
例
連続関数の集合を気と見なす。すなわち距離関数を定義する。

問8
距離空間であることの証明。3つの条件を満たすことを確かめる。
問9
積分する。
問10
積分と不等式。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 06:47:49.17

定義
極限点。収束の定義。
例
点列の収束。
問11
εδ論法による収束の練習。
約束
収束の意味。
補題
点列の収束と実数列の収束。必要十分条件。

例題
距離空間の中の点列の収束。
例題
関数列の収束。一様収束。
関数列の収束→点列の収束→実数列の収束。全部同じ。
例題
距離空間が違っても同じ値に収束する場合もある。

集合に距離関数が定義されて距離空間にならないと「収束」の意味は無い。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/22(金) 00:03:35.19

距離空間の間の連続写像と位相同型写像
定義 ε近傍。どの空間におけるどの点の近傍か。U(Xdxε)
問1 {x}。X。正方形。

連続性の表現。点列。εδ論法。
補題。
連続の定義と連続写像の定義
等距離写像。等長変換。合同変換。
問2
単射であることの証明。
例
リプシッツ写像とリプシッツ連続。リプシッツ定数。縮小写像。

問3
リプシッツ写像であること。
問4
合成写像の連続性。
A、B、Cのどれかに帰着させる。
問5
恒等写像。離散距離関数。連続でない。
リプシッツ写像なので連続である

問6
f : x→x (x∈Q)、x→0 (x∈R-Q)
g : 0→1、x→0 (x≠0)

問7
実数値連続関数fについて
∃x、f(x)>a⇒∀y、f(y)>a。
全単射、fと逆写像f^(-1)が連続である時、fを位相同型写像または同相写像という。この時、XとYは位相同型である。X~Y。
位相的に同値な距離関数。
別の距離空間を考えると、収束、発散が異なることがある。

例題。Q~Zではないことの証明。
注意。距離空間は常に位相空間である。

射影。制限写像。

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/04(木) 00:50:19.98

距離空間の開集合と閉集合
定義
境界点。境界。内部の点。
外部の点。
問1
{0, 1}。E1。Z。Ø。Øり
問2
{1}。{0, 1}。{1, 2}。
問3
(1, 0)、(1, π/2)。
{1, θ}。[0, π/2]。

定義開集合と閉集合。
注意2 常に開集合、閉集合。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/01(火) 11:25:09.97

距離空間の開集合系

連続写像の同値命題
部分集合が開集合であるかどうかに関して変えない写像のこと。

問1
∀x∈Xに対して
x∈f'(Y-F)、f(x)∈Y-F、
f(x)∉F、x∉f'(F)、x∈Y-f'(F)

問2
Uは開区間であるがf'(U)は開区間てはない。同様にFは閉区間であるがf'(F)は閉区間ではない。。

問3
∀開集合U∈E1。
0、1がUに含まれるかどうかで場合分けして調べるとf'(U)は開集合になる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/01(火) 23:10:35.74

位相空間
共通部分、和集合、開集合の基本3性質
離散位相、閉集合、
x-x=O∈x、X-O=x∈x
閉集合の無限個の和集合として開集合を表せる。
連続写像の定義
逆像

合成写像の連続性、
位相同型写像、同相写像
全単射、部分空間、近傍、
距離空間→距離空間
位相空間→位相空間
位相空間→距離空間
の同型写像。

距離化可能空間、ハウスドルフ空間、T2空間、

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 10:02:24.56

コンパクト性、被覆、
任意の有限開被覆、
位相同型写像、全単射連続写像
逆写像の連続性、

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 19:29:00.67

最小上界=上限
supA, infA
アルキメデス的順序体、完備順序体、実数の連続性、実数の完備性

連結性と中間値の定理
連結空間、非連結

101。0~9。
位相同型
0 1 2~3~5~7, 4, 69, 8
0469, 12357, 8

102。0~99。
26組。6+5+5+4+3+2+1=26
9組。3+3+2+1=9

103
輪っかを外す。
104
2つの輪っかの交差の1つを外す。
105
位相的に変形した図形
鉄道路線図

106
f=g○h○g^(-1)
y=R(θ)(x-a)+a
(a+(x-a)cosθ-(y-b)sinθ,
b+(x-a)sin+(y-b)cosθ)

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/18(水) 03:43:10.72

隣は必ず有るけど、定義できない

それだけのこと