C[x_0, ..., x_n]_k → H^0(X, O(k))を上の方法で定める。

これが同型であることを示す。

線形性は明らか。

単車性:
多項式fが零切断に移るとすると、各ファイバーL'_xに制限しても0。つまり、L_x上の関数として0。

(1) 包含L ⊂ P^n × C^(n+1)
(2) 第2成分への射影P^n × C^(n+1) → C^(n+1)
(3) f: C^(n+1) → C

を考える。(1)と(2)の合成は全射で、(3)はfが0でなければ零写像ではない。だから、すべてのファイバーに制限して0ということは、fは0である。

あとは全射性。