数学"だけ"やるって意味ないよな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 03:13:36.41

「数学を使って何をしたか？」が重要
「数学しかやりません」は意味ない

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 05:22:50.86

I = [0, 1]とする。

Def:

X: 位相空間
Xのpathとは、IからXへの連続写像のこと。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 05:29:08.15

Def:

X: 位相空間
σ, τ: Xのpathで、σ(0) = τ(0), σ(1) = τ(1)をみたすもの

とする。

σ, τが"端点を保ってホモトピック"であるとは、連続写像H: I × I → Xが存在して

H(s, 0) = σ(s)
H(s, 1) = τ(s)
H(0, t) = σ(0) = τ(0)
H(1, t) = σ(1) = τ(1)

を満たすことである。このとき、

σ ～ τ rel(0, 1)

または

F: σ ～ τ rel(0, 1)

と書く。Fを"σからτへのホモトピー"という。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 05:36:11.43

Prop:

X: 位相空間
σ, τ, ρ: Xのpath

関係σ ～ τ rel(0, 1)は同値関係である。すなわち、

(1) σ ～ σ rel(0, 1)
(2) σ ～ τ rel(0, 1) ⇒ τ ～ σ rel(0, 1)
(3) σ ～ τ rel(0, 1), τ ～ ρ rel(0, 1) ⇒ σ ～ ρ rel(0, 1)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 05:41:24.53

>>4
Proof:

(1) H(s, t) = σ(t)（∀s）とすれば、H: σ ～ σ rel(0, 1)。

(2) H: σ ～ τ rel(0, 1)とする。
H'(s, t) := H(1-s, t)とすれば、H': τ ～ σ rel(0, 1)。

(3) H: σ ～ τ, G: τ ～ ρとする。

F(s, t) :=
H(2s, t)（0≦s≦1/2）
G(2s - 1, t)（1/2≦s≦1）

とすれば、F: σ ～ τ rel(0, 1)。□

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 05:41:31.93

Def:

X: 位相空間
σ: Xのpath

σがXのloopであるとは、x_0 := σ(0) = σ(1)となることである。

τ: I → Xを、τ(t) = x_0（∀t∈I）となるpathとする。

σ ～ τ rel(0, 1)のとき、σは"可縮"であるという。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 05:49:57.38

Def:

X: 位相空間
σ, τ: Xのpathで、σ(1) = τ(0)をみたすものとする

σとτの"積"τσ: I → Xを

τσ :=
σ(2t)（0≦t≦1/2）
τ(2t - 1)（1/2≦t≦1）

で定義する。また、σの"逆"σ^(-1): I → Xを

σ^(-1)(t) := σ(1 - t)

で定義する。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 05:53:44.06

Prop:

X: 位相空間
σ, σ', τ, τ': Xのpathで、σ(1) = σ'(1) = τ(0) = τ'(0)をみたすもの

とする。このとき、以下が成り立つ。

(1) σ ～ σ' rel(0, 1), τ ～τ' rel(0, 1) ⇒ τσ ～ τ'σ' rel(0, 1)
(2) σ ～ σ' rel(0, 1) ⇒ σ^(-1) ～ σ'^(-1) rel(0, 1)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 06:01:17.09

>>8
Proof:

(1) H: σ ～ σ' rel(0, 1), G: τ ～ τ' rel(0, 1)とする。
H(s, t), G(s, t)は、tを固定するごとにXのpathでH(1, t) = G(0, t)を満たすものであるから、GH(s, t)が定まる。GH: τσ ～ τ'σ' rel(0, 1)である。

(2) H: σ ～ σ' rel(0, 1)とする。
(1)と同様に、H(s, t)をtを固定するごとにXのpathと見なし、H^(-1)(s, t)が定まる。H^(-1): σ^(-1) ～ σ'^(-1) rel(0, 1)である。□

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 06:22:06.78

Theorem:

X: 位相空間
x_0∈X

Xのpath σで、σ(0) = σ(1) = x_0となるもの、関係>>3による同値類全体を

π_1(X, x_0)

と書く。これは>>7の積に関して群となる。これを、"x_0を基点とするXの基本群"という。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 06:42:19.11

>>10
Proof:

x_0で、常にx_0を取るpathを表すことにする。これの同値類[x_0]がπ_1(X, x_0)の単位元である（(2)で示す）。

(1) 任意の[σ], [τ], [ρ]∈π_1(X, x_0)に対して、ρ(τσ) ～ (ρ)τσ rel(0, 1)であること。

H(s, t) :=
σ(4s/(t +1))（0≦s≦(t + 1)/4）
τ(4s - t - 1)（(t + 1)/4≦s≦(t + 2)/4）
ρ((4s - t - 2)/(2 - t))（(t + 2)/4≦s≦1）

と定めれば、H: ρ(τσ) ～ (ρ)τσ rel(0, 1)。

(2) 任意の[σ]∈π_1(X, x_0)に対して、x_0σ ～ σ rel(0, 1)であること。

H(s, t) :=
σ(2s/(t + 1))（0≦s≦(t + 1)/2）
x_0（(t + 1)/2≦s≦1）

と定めれば、H: x_0σ ～ σ rel(0, 1)。

(3) 任意の[σ]∈π_1(X, x_0)に対して、σ^(-1)σ ～ x_0 rel(0, 1)であること。

H(s, t) :=
σ(2s)（0≦2s≦t）
σ(t)（t≦2s≦2-t）
σ^(-1)(2s - 1)（2-t≦2s≦2）

とすれば、H: σ^(-1)σ ～ x_0 rel(0, 1)。□

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 15:16:08.28

なんか数学板らしい荒らしいるな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 17:19:27.59

Def:

X: 位相空間
Xが弧状連結であるとは、任意のx, y∈Xに対して、σ(0) = x, σ(1) = yとなるXのpathが存在することである。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 17:22:27.26

Prop:

X: 弧状連結な位相空間
x, y∈X

とする。このとき、同型

π_1(X, x) ～ π_1(X, y)

が存在する。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 17:26:35.66

>>14
Proof:

Xは弧状連結なので、σ(0) = x, σ(1) = yを満たすXのpath σが存在する。

[τ]∈π_1(X, y)

に対して、

[σ^(-1)τσ]∈π_1(X, x)

を対応させる写像は群の準同型であり、逆写像は[ρ]→[σρσ^(-1)]で与えられる。□

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 17:28:19.14

Def:

>>15より、Xが弧状連結ならば、π_1(X, x_0)は点x_0の選び方によらず同型であるから、単に

π_1(X)

と書き、これをXの"基本群"と呼ぶ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 17:32:58.10

Def:
X, Y: 位相空間
x∈X, y∈Y。f: X → Yは連続写像で、f(x) = yとなるものとする。
このとき、基本群の間の写像

f_*: π_1(X, x) → π_1(Y, y)

が

[σ] →[f○σ]

で定まる。この写像は同値類の取り方によらず定まり、群の準同型になる。このf_*を、"fが誘導する準同型"と呼ぶ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 18:11:50.42

Prop:

X, Y: 位相空間
x∈X, y∈Y。f: X→Yは、f(x) = yを満たす連続写像とする。

(1) X = Y, fが恒等写像ならば、f_*は恒等写像
(2) Zを位相空間、z∈Z、g: Y→Zをg(y) = zをみたす連続写像とすると、(g○f)_* = g_*○f_*

Proof:
明らか。□

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 18:15:05.00

Def:

X: 弧状連結位相空間

Xが"単連結"であるとは、Xの任意のloopが可縮であることである。これは

π_1(X) = 0

と同値。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/18(木) 19:49:10.34

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