Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 53

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 09:48:25.28

テンプレは後で

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/12(金) 23:55:55.28

>>169
>「劇場」ってのはモッチーの造語？
>ど素人考えだと適切な数学用語とは思えないけどｗ

AKBか欅坂か
それを頭に浮かべながら
数学を考えたんじゃねぇ？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 00:12:07.20

気持ち悪いな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 00:45:13.02

国際数学雑誌PRIMSってすごいの？
京大が出してる同人誌みたいなのちゃうの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 05:03:26.61

Rank Journal　　　　　　　　　　　　　　　Cites　IF EF

184 JJM　　　　　　　　　　　　　　　　　　422　0.667　0.000710
184 TOHOKU MATH. JOURNAL　　1,041　0.667　0.001180
194 NAGOYA MATH. JOURNAL　　　992　0.638　0.001650
249 Kyoto Journal of Math.　　　　　　198　0.500　0.001340
256 JMSJ　　　　　　　　　　　　　　　　1,376　0.496　0.003400
259 Hokkaido Math. Journal　　　　　　332　0.488　0.000300
270 Kyushu Journal of Math.　　　　　142　0.432　0.000490
272 PRIMS　　　　　　　　　　　　　　　　1,096　0.425　0.001390
281 OSAKA JOURNAL OF MATH.　　957　0.414　0.001720
297 Kodai Math. Journal　　　　　　　　415　0.321　0.000910
300 Tokyo Journal of Math.　　　　　　328　0.311　0.000550
301 PJA SERIES A　　　　　　　　　　　569　0.309　0.000560

http://people.math.harvard.edu/~ctm/links/math/math_j_rankings.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 07:53:52.14

>>170
IUTがこれだとするだ
www.youtube.com/watch?v=qiLFkyEKhUQ&ab_channel=%E5%B9%B3%E6%89%8B%E5%8F%8B%E6%A2%A8%E5%A5%88

Perfectoidはこれかな
www.youtube.com/watch?v=ng8mh6JUIqY&ab_channel=BABYMETAL

平手、欅坂脱退したってよ…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 07:54:13.64

>>171
>気持ち悪いな

似た批判は、以前からある
IUTは、”新規な用語”が大杉で

しかも、「劇場」？って感じで、
それまでの数学用語による類推が利かないネーミングになっている

だから、多くのプロ数学者にとって
「？？？」ってなるらしい　：ｐ）

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 08:12:00.23

>>3より
PRIMS宇宙際タイヒミューラー理論に関する論文4篇の出版を記念した新論文（下記）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
[9] On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller Theory in Terms of Logical AND "∧"/　Logical OR "∨" Relations: Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers on Inter-universal Teichmuller Theory. PDF NEW!! (2021-03-06)
(引用終り)

これで、
・新論文公表後、望月先生の訂正・修正がありません
・望月先生の従来の傾向では、ツッコミがあると、細かく訂正・修正をアップしていきます
・今回の新論文は、公表後約一週間経ちますが、それはありません
・この喧嘩を売るような論文で、「おまえの間違いだ！！」と啖呵を切ったのに、間違いや訂正だらけでは、笑いもの
　さすがにそれは無さそうだ。かつ、上記なので、弟子や取り巻きも、十分チェックしているでしょうから、
　まあ、正しそうです
・この状況が続いて、望月新論文の正しさが確定すれば、「やっぱりショルツェ氏が間違っていたんだ」ってことですね
　（この論文は、わずか65ページで、数学的に難しい部分わずかで、残りは一般的な文ですから、多くの人が読めるはず（私にはムズですが））

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 08:17:04.41

>>176
>喧嘩を売るような論文
人格攻撃は数学以前に人間として正しくないので、
誰も相手しないのでしょう

数学界は5chの数学板じゃないですからねぇ…

Ｍの数学人生は「怪文書」発表で終わった、といってよさそうです

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 08:34:48.24

今月の２大注目は
東京オリンピックと3/18のIUT Q&A
かな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 09:34:51.94

>>158
>選択公理文献貼るよ

ホモトピー型理論入門貼るよ
これ分かりやすいね

https://www.slideshare.net/ssUser0745d1/ho-tt-introjp20160909
ホモトピー型理論入門 2016/09/09 H Koba

2. アウトライン・ホモトピー型理論(HoTT)入門・集合論・関連する話題・触れなかった話題・主にThe HoTT book (https://homotopytypetheory.org/book/)に沿った説明を行う 2
3. ホモトピー型理論(HoTT)入門・型を空間としてみなす・高階コンストラクタ(点ではなく、点の間の等式を生成する)を持つ型を作ることができる・例: S1: base ∶ 𝑆1, loop: base = base (Section 6.1) ・ Interval: 0I: I, 1I: I, seg: 0I = 1I (Section 6.3) ・等式を道だと思って、コンストラクタで生成される空間を考える 3

4. ホモトピー型理論(HoTT)入門・型 = 空間について・型を亜群(groUpoid, 射がすべて可逆な圏)だと思うことができる・実際は射の間に2-cell,3-cell,…がある場合があるので、∞-亜群というべき・亜群は空間っぽい(対象が点、射が道、2-cellが道の間に張られた膜、…) (Chapter 2)
5. ホモトピー型理論(HoTT)入門・型の構成・ Uは型の型(宇宙と呼ばれる) ・ 0,1,2,…は型(帰納的に与えることができる) ・ Π, , ×, +, →, ￢などで型から型を作れる

10. ホモトピー型理論(HoTT)入門・公理・ HoTTに必要なのはUnivalence(同型な型は等しい、 A = B =~ (A =~ B)) ・ FUnext(関数外延性、(Π x: A f x = g x ) → (f = g)) ・ Axiom of choice (ZFCの選択公理と同値であることが知られている) ・ Law of exclUded middle(排中律、Π A: u is Prop A → A + ￢A) ・ここでは紹介にとどめる 10

13. 集合論・累積的階層(cUmUlative hierarchy)VはZFの公理の一部を構成的にしたものを満たす(Thm.10.5.8) ・外延性、空集合、対、無限、和集合、関数集合、∈-帰納法、置換、分出・関数集合
・ ACを認めれば、VはZFCのモデルになる・分出公理が有界な論理式以外にも適用できるようになる・ ACからLEM*)は証明できる

15. 関連する話題・触れなかった話題・宇宙の階層について・すべての型に単一の型uがつくと仮定するとパラドックスが発生する
・宇宙の階層構造u0: u1: u2: u3: ・・・が必要
・すべての型A: uについてのコンストラクタがあるので、Vには1段階上の宇宙の型がつく

（注*)”LEM”が分からない）

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 09:46:21.84

>>179 補足

基礎論は詳しくないが（詳しい分野がないけどねｗ）

1）ホモトピー型理論は、ホモトピー理論をロジックに応用したような理論らしい
2）「型を空間としてみなす・高階コンストラクタ(点ではなく、点の間の等式を生成する)を持つ型を作ることができる」がミソかな
3）「 Uは型の型(宇宙と呼ばれる) 」とかで、”宇宙”が登場。だけど、望月先生の宇宙との関連不明（関連してそうな雰囲気あるけど）
4）「Axiom of choice (ZFCの選択公理と同値であることが知られている)」使っているみたい。ホモトピー型流の選択公理かな
5）「ACを認めれば、VはZFCのモデルになる・分出公理が有界な論理式以外にも適用できるようになる」とあるので、ZFCを包含していると解せる
6）「宇宙の階層について」「宇宙の階層構造u0: u1: u2: u3: ・・・が必要」だって。でも、IUTには、「宇宙の階層構造u0: u1: u2: u3: ・・・」は不要と思う
　∵たかだか、楕円曲線、素数ｐ、整数Z、複素数C、辺りを抽象化して扱えば間に合いそうだからね（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 09:56:36.64

>>175
ただ、さすがに9年も経ってるからだいぶ整理されて、
例えばフロベノイドも既存の言葉、グロタンディークファイブレーションなどを用いて定義できる事が分かっている
そしてその結果、複雑な定義以上に得るものはないだろうと

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 10:02:21.57

>>181
(引用開始)
ただ、さすがに9年も経ってるからだいぶ整理されて、
例えばフロベノイドも既存の言葉、グロタンディークファイブレーションなどを用いて定義できる事が分かっている
そしてその結果、複雑な定義以上に得るものはないだろうと
(引用終り)

ありがとう
なるほどね
IUTもだんだん普通の数学に近づいている
ってことかな

数学史上、そういう例は
過去にも
沢山あったよね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 10:04:03.94

>>180
追加貼っておくよ
https://m-a-o.はてなブログ.com/entry/20130629/p1
2013-06-29
Coqと少しの圏論が分かる人向けのhomotopy type theory(その1)

The HoTT Book
http://homotopytypetheory.org/book/
が完成したらしいけど、どっちかというと、数学者向けに書かれてて500ページもある。homotopy type theoryで今できてることって、CoqやAgdaで書いたら、せいぜい数千行とか、そんなもんじゃないかと思うので、長すぎる気がする

一応、HoTTに関わる知識は、型理論の他に、ホモトピー論や圏論(モナドとかHaskell関連で出てくる類の知識はあまり知らなくてもいいけど、higher categoryとか教科書に書いてなさそうな話題や、モデル圏とかを知ってるといい)があって、全部真面目に勉強しようと思うと、それぞれのテーマで一冊以上の本が書ける。ただ、実際には、ホモトピー論や圏論はアイデアや視点を提供しているだけで、あくまでCoqやAgdaで書かれてる部分が重要なので、ホモトピー論や圏論の知識がなくても、無心にCoqやAgdaのコードを眺めてれば何とかなる(べきである)気がする(まぁでも、基本群って何?とかgroupoidっておいしいの?とかいうレベルだと辛いのかもしれない。というか、誰かが書いた解説を読んでも、用語レベルで詰まりそうではある)

前置き(1)homotopy type theoryで何が出来るのか
homotopy type theory(以下HoTT)は、2006年頃、VoevodskyとAwodeyが創始したということになってて、HoTTの研究は、type theoryという名前だけど、現在数学者主導で進められている。現在、HoTTには2つの側面があるように思う
(1)数学の新しい基礎(univalent foundation)としてのHoTT
(2)形式化されたホモトピー論としてのHoTT

(1)はVoevodskyが言い出したことになっていて、特にunivalent foundationという標語は、Voevodskyによるものだけど、CoqやAgda(のベースとなっているMartin Lof type theoryやCIC)に、"何らかのextensionality principle"を追加しようという試みは、HoTTより、ずっと以前からなされていて、計算機科学方面の人にとっては、HoTTは、そのような試みの一つとして捉えられているらしい(別の試みとしては、例えばAltenkirchという人のObservational Type theoryとかがある)。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 10:28:53.98

>>182
>ありがとう
>なるほどね
>IUTもだんだん普通の数学に近づいている
>ってことかな

余談ですが
理論のパイオニアに分かり易さを求めるのは酷
理論のパイオニアは、とにかくキチンと理論を構築するのに必死
出来上がった理論を突いて分かりやすくするのは、その後の話ですね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 10:34:43.54

>>179
>（注*)”LEM”が分からない）

Law of Excluded Middle　排中律

p10に書いてある

IZFではAC(選択公理)からLEM(排中律)が導ける
ただしLEM(排中律)からAC(選択公理)は導けない

つまりLEM(排中律)よりAC(選択公理)のほうが強い条件

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 10:46:05.79

>>180
> 4）「Axiom of choice (ZFCの選択公理と同値であることが知られている)」使っているみたい。ホモトピー型流の選択公理かな
> 5）「ACを認めれば、VはZFCのモデルになる・分出公理が有界な論理式以外にも適用できるようになる」とあるので、ZFCを包含していると解せる

（補足）
不正確かもしれないが、AKBないし欅坂風＊に、説明すると（注＊：未定義用語ですｗ）
1）選択公理の起源は、整列可能定理にあると言われる（下記）
2）整列可能定理で説明するよ。有限集合に対して可能な操作（整列）を、無限集合に対して行いたいという欲求があるのです
3）一方、公理は最小限で済ませる必要がある。他の公理から、整列可能定理（＝選択公理）は独立なことが分かっている
4）だから、選択公理を否定すると、無限集合に対して行いたい操作（整列など）が出来なくなって
5）で、基礎論的には、選択公理を否定するだったら、「代わりにどんな公理にするんだ？」ってこと
6）これを言わずに、単に「選択公理否定」だけ言われても、議論はかみ合わないよね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
集合に整列順序が与えられれば、そこでは集合の全ての元に対する命題の超限帰納法を用いた証明を考えることができる。
自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる。
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、略選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。確かに、無限個の集合からなる集合族の場合、上のような操作を想定しても「順に選び出す」操作は有限回で終了することはないのだから、このような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない。
選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示された（クルト・ゲーデル、ポール・コーエン）が、これは公理的集合論における大きな成果であろう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 11:22:56.96

>>185
>>（注*)”LEM”が分からない）
>Law of Excluded Middle　排中律
>p10に書いてある
>IZFではAC(選択公理)からLEM(排中律)が導ける

ありがとう
IZF：直観主義集合論の公理系 IZF（下記）ってことね
そして、正確には、p13
” ・ ACを認めれば、V�はZFCのモデルになる
　　・分出公理が有界な論理式以外にも適用できるようになる
　　・ ACからLEMは証明できる”
とある
下記が参考になるね

http://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/pdf/teach/computability2019fall_draft.pdf
2019 年度計算可能性理論特論・講義ノート*1 *2
木原貴行
名古屋大学情報学部・情報学研究科
最終更新日: 2020 年 3 月 10 日

P41
もうひとつ，構成的数学における有名な定理をこれから証明しよう．その
定理とは，スローガン的に言えば，「選択公理は排中律を導く」というものである．というわけで，
これらの構成的数学の基本定理を表す 3 つのわかりやすいスローガンを並べてみよう．
「選択公理は構成的に正しい」「排中律は構成的に偽である」「選択公理は排中律を導く」
おや，どうやら，これらの 3 つのスローガンを組み合わせると矛盾しているようである．一体
なぜだろうか……というと，簡単な話で，スローガン的な主張というものは，同じ言葉をほんの
ちょっと違う意味で用いていたり，前提条件が必要なのにそれを省略して書かれていたりするも
のである．とくに，数理論理学や数学基礎論では，矛盾が起きないギリギリの瀬戸際を攻めてい
る議論が多いので，少し前提を間違えたりすると簡単に矛盾が発生する．

P42
少し仮定を曖昧に
して，外延的な選択公理から排中律を導く方法を述べることにする．

P46
直観主義集合論の公理系 IZF

§ 3. 論理式から型構造そして空間へ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 11:33:34.12

>>187
>下記が参考になるね

でもあなたの引用では参考にならない
あなたの引用箇所のあとの箇所を引用しなくては無意味
---
定理 2.4 (ディアコネスクの定理).

　外延性公理と選択公理を組み合わせると排中律を導く
---
IZFではもちろん外延性公理があるから、
選択公理によって排中律が導ける

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 11:40:00.68

>>187 追加

参考にメモ貼る

キーワード検索”集合論 - Set theory - Wikipedia nipponkaigi.net”より
下記の”nipponkaigi.net”の内容は、英文 Wikipediaからの訳のように見える
（日本語のWikipediaより詳しいので、参考になるね（訳がおかしいところも多いが））

https://nipponkaigi.net/wiki/Set_theory
集合論 - Set theoryWikipedia site:nipponkaigi.net

NFUではなくNFが、選択公理が成り立たない集合を生成するためです。

CST、CZF、IZFなどの構成的集合論のシステムは、古典論理ではなく直観主義に集合論を埋め込みます。Wikipedia site:nipponkaigi.net

https://nipponkaigi.net/wiki/General_set_theory
一般集合論 - General set theoryWikipedia site:nipponkaigi.net
一般集合論（GST ）は、公理的集合論Zの断片に対するGeorge Boolos （1998）の名前です。 GSTは、無限集合を必要としないすべての数学に十分であり、

（根拠→基礎（基礎公理）の誤訳でしょう）
https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:TjpSBbKm74kJ:https://nipponkaigi.net/wiki/Non-well-founded_set+&cd=3&hl=ja&ct=clnk&gl=jp
Google に保存されている https://nipponkaigi.net/wiki/Non-well-founded_set のキャッシュですWikipedia site:nipponkaigi.net
根拠のない集合論 - Non-well-founded set theoryWikipedia site:nipponkaigi.net
根拠のない集合論は公理的集合論<103の変形です>集合がそれ自体の要素であり、さもなければ十分な根拠の規則に違反することを可能にする。十分に根拠のない集合論では、ZFC の基礎公理はその否定を意味する公理に置き換えられます。Wikipedia site:nipponkaigi.net

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 11:47:03.06

>>189
コピペやめたら？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 12:57:16.48

＞＞190
維新さん、激励ありがとさん
下記アンチすれ44は、どうしたの？ｗ
アンチすれ43でさ、「ホモトピー型理論（HoTT）」の議論になって、あなた押されていたよねｗｗ
根拠レスのグダグダの議論になってさｗｗｗ

Inter-univeral geometry と ABC予想44
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579331327/1-

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 12:57:57.39

>>180
まとめると

1）ホモトピー型理論（HoTT）は、ホモトピー理論をロジックに応用したような理論らしく、プログラミング(CoqやAgda)への応用がある（>>183）
2）内部にZFCのモデルを持つ。だから、ZFCと矛盾するものではない（ZFCより広い）
3）なので、望月IUT IVのセクション3に、ZFCに関する記載があるからと、非難されるべきものではないだろう
4）望月IUT IVのセクション3は、あくまで望月IUTの補足説明であって、セクション3は無くても、望月IUTは残りの部分で完結していると考えるべき
5）セクション3は、望月先生の「宇宙」という用語を、主にグロタンディーク宇宙からの着想として説明している
6）しかし、ホモトピー型理論（HoTT）など21世紀の基礎論で使われる「宇宙」の用語の使い方とは、微妙にずれている気がするね
7）ここらは突っ込んでも、4項で述べたように、”あくまで望月IUTの補足説明”だから、数学的にはクリティカルではない気がする

　（だれか基礎論に詳しい人が、「宇宙」という用語の歴史的変遷も含めて、すっきり解説してくれると有難いね）

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 13:06:54.04

>>191 補足
>アンチすれ43でさ、「ホモトピー型理論（HoTT）」の議論になって、あなた押されていたよねｗｗ
>根拠レスのグダグダの議論になってさｗｗｗ

例えば下記な
”根拠レスのグダグダの議論”ｗｗ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1577518389/984-
Inter-universal geometry と ABC 予想 43
999１３２人目の素数さん2021/03/10(水) 21:29:11.35ID:EplnUdUQ
>>992
「線形代数わかってますか？」

って、

「俺の持ってる牛乳キャップサラピンやけど、綺麗じゃない！？」

くらいの言葉にしか聞こえん。

線形代数に関していえば、

行列計算ができて、
平行移動が行列でかけて、
回転がかけて、
鏡映が行列でかけ、

elementary な操作ができれば、
あとは米田の補題使ったら、

線形代数できるわけやろ？

っていってもにわか放射能にはさっぱりわからんやろうが。

カーネルがどうだってのは、
機械ができる（コ）ホモロジーの計算にあけくれて、
機械の仕組みをしろうとしない

ただの原始人であって、
お前のカスマウントなど、

こっちにはありがたいだけですから、
さっさと棺桶でも用意しとけ！

それか、早く質問に答えろ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 15:55:32.63

>>187

" 木原「以下が参考になるね。つ自分のノート」"

草wwww

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 16:00:32.19

>>194
言っている意味分からん

（参考）
https://ie.u-ryukyu.ac.jp/~kono/presentation/2020/kono-prosym61/zf-in-agda-presen.html
Agda 上でのZF集合論の構成
Menu
河野真治
数学をプログラミングする
プログラミングとはデータ構造をλ項で処理すること
数学を直観主義論理を使ってλ項で取り扱える

証明を値として関数型プログラミングするだけで数学になる
ZF集合論を Agda を使ってプログラムしてみる

目標は
　　ZF集合論のモデルをAgda上に作る

Agda で証明できない部分
Internal parametricity というのがダメらしい。Free therom が証明できないので圏論のFunctorのuniqunessが示せない

https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/download/229782/4f589cb82e1990e47c382b19e4b72650/6962?col_no=2&;frame_id=698549
圏論的双対性の理論入門丸山善宏
2012 年 9 月

P8
• 無限的 (infinitary) ストーン型双対性。
　– 無限項演算を持つ代数と非コンパクトな空間に関わる。無限項演算を許しているので、選択公理により無限を有限に落とす必要はない。一般的に言って、直観主義集合論 IZF で証明可能である
　– プログラム意味論の一種であるドメイン理論に見られる論理的構造や、トポス理論で重要な幾何的論理などは、無限引数の論理結合子を持ち、この範疇に入る。– Johnstone や Porst-Tholen の双対性理論などの圏論的な一般理論が特に有効と考えられる（モナドの代数などの圏論的代数概念は自然に無限項演算まで含み、特に集合の圏上のモナドの代数の圏であることと無限項演算を許す等式クラスの圏であることは同値）。そういった圏論的理論は基本的に反変随伴の理論で、反変随伴を反変圏同値に制限する際には場合に応じて個別の議論が必要になることが多い。

https://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_set_theory
Constructive set theory

2.8 Constructive Zermelo–Fraenkel
2.8.1 Metalogic
2.8.2 Breaking with ZF
2.9 Intuitionistic Zermelo–Fraenkel
2.9.1 Metalogic
2.9.2 History
2.10 Intuitionistic Z
2.11 Intuitionistic KP

Intuitionistic Zermelo–Fraenkel
The theory {IZF} is {CZF} with the standard Separation and Power set.

History
In 1973, John Myhill proposed a system of set theory based on intuitionistic logic[7] taking the most common foundation, {ZFC}, and throwing away the Axiom of choice and the law of the excluded middle, leaving everything else as is. However, different forms of some of the {ZFC} axioms which are equivalent in the classical setting are inequivalent in the constructive setting, and some forms imply {LEM}. In those cases, the intuitionistically weaker formulations were then adopted for the constructive set theory.

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:18:30.95

>>191
維新って誰？　
コピペ以外の楽しい趣味　見つかるといいね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:20:36.14

>>192
同類が共鳴しちゃったみたい
理解してないこと自慢しあって空しくない
僕だったら空しいな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:26:46.31

>>193
＞線形代数に関していえば、
＞平行移動が行列でかけて、
＞回転がかけて、
＞鏡映が行列でかけ、

これ書いた人、線型代数わかってないな

平行移動は線型変換じゃないよ
線型変換は原点が動かないでしょ

線型空間上の原点を含まない
ある超平面を動かさない線型変換として
平行移動を表すことはできるけどね

ついでにいうと、ローレンツ変換は
光円錐及び双曲面を動かさない線型変換

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:36:58.39

平行移動が線型変換でないことも分かってない人が
米田の補題とかいっても空しいだけ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:51:10.85

>>199
> 平行移動は線形変換でない

正気??
マジで草www
マジで線形代数わかったつもりか知らんけど、痛すぎる。
ジョルダン標準形、及び複素行列なんも意味わかってない素人やないか

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:52:14.89

理解できないことをコピペしないと
心の安定が保てない精神の病気が
治るといいですね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:53:43.12

ま、素人は、
「平行移動は線形変換でない」
から入門するのが、鉄板やが、
IUT どうこういう前に、
HoTT どうこういう前に、
ダメ出しする前に、
線形代数やれや、56すぞ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:54:39.22

wwwww
まじでわかってないの痛すぎるwww

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:55:03.83

>>200
>>平行移動は線形変換でない
>正気??
じゃ原点（０，０）を点（１、０）に移動する２×２行列を書いて見せてください

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:56:19.55

>>201
お前にとっての行列の定義は、
2x2 の正方行列までなんやな。
よくわかりました。

頭パンクしてんねんな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:57:15.33

>>204
お前にとっての線形変換は 2x2 の正方行列
wwwwwwwww

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:57:47.98

しょうもないカスマウントとんな
56すぞ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:57:55.29

>>205
３×３なら書けるんですか？
じゃ、なんでもいいですから書いて見せてください

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:58:55.70

＞５６すぞ
５６さなくても、あなたはもう４んでます

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:01:58.14

>>209
209 is dead.
========================
GAME OVER

========================

contuinue ? ( yes/no )

====================

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:02:31.59

continue ごじっとるやないか　

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:03:07.25

リーマン球面（＝複素射影直線）上の一次分数変換は２×２複素行列で書けますが
リーマン球面の一次分数変換自体は「複素直線」の線型変換ではありません

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:04:04.28

>>208
かけるんですか？

やないやろ。

かけるんですよ。

www

z = 1 の平面上に平行移動したいものがのった平面置いてみ。
あとはじぶんでやれ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:09:17.26

＞z = 1 の平面上に平行移動したいものがのった平面置いてみ。

「ｚ＝１の平面」は３次元線型空間の２次元超平面ではあるけど
２次元線型部分空間ではない、というのは知ってますか？

つまり、線型空間自体の変換の中に「平行移動」はありません
見た目が平面だから、線型部分空間の筈、と思うのは素人です
「ｚ＝１の平面」には原点がないのだから、線型空間になりようがないですね

そんな初歩的なことにも気づかない人が米田の補題・・・意味ないですね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:09:47.52

それはまた別の話や、
リーマン球上の４つの変換群の話や。

お前が思う、「二次元の線形変換」の線形変換ではないわな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:11:08.64

>>214

頭wwwwww

勝手にお前の変な設定もってくんな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:11:24.40

線型空間自体の変換と、
線型空間の中の部分集合の変換を、
混同したら阿呆になります

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:12:47.95

「知ってますか？」やないやろ。

「ねえねえ、ほめてほちいんだけど、ねえ、こでちってる？」

やないか。

言葉遣いに気をつけろ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:14:42.79

はじめは、混同しゅるよね。
よちよち。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:15:23.53

＞勝手にお前の変な設定もってくんな。
それはこちらの台詞ですよ

（原点を中心とする）回転と
（原点を通る超平面での）鏡映は
線型変換です

しかし、平行移動は「いかなる点も動かさない」自明な場合を除き
線型変換ではありません

ｚ＝１の平面の平行移動は、
３次元線型変換の平行移動ではありません
おわかりですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:17:00.02

>>219
混同したのはあなたですよ
それじゃ圏論も全く理解できないでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:17:25.64

>>220
しゅごいね。よくできまちたね^^

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:18:27.19

>>221
ちゃんねは、圏論はちょっとはやいかもしれないね
もうちょっとおおきくなってからかんがようね^^

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:18:28.82

>>218
＞言葉遣いに気をつけろ。

あなたが数学書の言葉遣いに真っ先に気をつけましょう
それでは圏論の本は全く読めないですから

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:19:15.16

>>224
おりこうちゃんだね^^
よちよち^^

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:19:48.44

>>223
あなたには圏論もHoTTも早すぎることもやっと気づけましたか

いいことです

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:21:10.74

>>225
あなたは数学板以外で暴れることをお勧めします
数学板ではあなたの「芸」は通用しませんから

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:22:16.21

>>226

ぼくちゃん、
迷惑かかるから少し静かにしようね。
またアチタ。おやちゅみ。

（あぼーん

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:22:40.84

数学を全く知らない人が
数学を分かった人を演じる芸を
数学板で披露したがる傾向がありますが
大体失敗するのでやめたほうがいいですよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:23:50.35

>>228
＞（あぼーん

４にましたか

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:24:39.07

なんで、こんなにアホが多いんだこの板？（真顔

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:27:17.00

>>231
＞なんで、こんなにアホが多いんだこの板？

自分以外がみなアホに見えるときは
まっさきに自分がアホかもしれんと疑いましょう

だいたい他人を馬鹿にしたがるのは馬鹿の証拠です

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:31:09.06

数学板で自分から書き込みを始める人は大体数学が分かってません

それでも「分からないので教えてください」というのは健全です
分かった風な書き込みをしてる人は大体精神を病んでます
おそらく数学で挫折したことが原因でしょう

数学だけが人生じゃない、と悟るのが一番ですが
なぜかそういう人に限って自分は数学も分かってるといいたがります
なぜそんな風に思いたがるのかわかりませんが
（嘘をついてまで自分の完全性を主張するのは病んでます）

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:33:49.01

あぼーん氏

はじめてまともなこと言ってて草wwww

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:35:45.79

と思ったら、
自分以外のコメントはすべてねじ曲げて解釈する
お得意芸がはじまったwwww

（さようなら

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:38:06.53

>>233
維新さん、あんた、押されているよね
頑張っているけどさｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:58:32.38

>>234-235
見栄地獄から抜け出せるといいですね
>>236
愛国地獄から抜け出せるといいですね

自分は最高！とおもったら精神病

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:59:33.09

国立大学を出たら馬鹿になります
自分の馬鹿を否定できなくなったら大馬鹿ですから

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:00:25.89

他人に勝ちがたる人はその時点で自分に負けてます

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:01:07.86

まず全てに負けましょう
自分は馬鹿だと認めましょう
それが正常になる第一歩です

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:02:39.94

私は何も分かってない馬鹿だと自覚した瞬間に正常になれました
あなたがた国立大学卒も自分が馬鹿だと自覚して正常になれるといいですね
旧帝なんて自慢したら負けですよ　学歴なんて中身がなければ恥ずかしいだけですから

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:03:44.69

その点僕は私立大学卒だから見栄をはる必要がなくて実に快適です

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:05:13.83

IUTが何だか知りませんが、
30年前の森重文の業績も
当時も今も全く理解できませんでしたから
同じことですよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:08:00.57

ただ生きているだけで幸せであることに気づきましょう
数学が分からなくても死にはしません

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:14:05.57

悩める子羊におくる歌
www.youtube.com/watch?v=dDFI-f-V8gs&ab_channel=ion13

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:15:45.19

これを聞くと体中の力が抜けて楽になれます(´・ω・｀)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:25:39.33

平行移動が線型変換がどうかで揉めるレベルでIUTとか理解できるのか。。。？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:29:16.55

お前らどうせ所詮学士だろ
よくもまあ偉そうに博士の査読にもの申せるよね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:41:47.18

>>246-247
同意です
維新さん、皆からバカにされるの図かｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 20:08:45.06

>>204-208
(引用開始)
>>平行移動は線形変換でない
>正気??
じゃ原点（０，０）を点（１、０）に移動する２×２行列を書いて見せてください

お前にとっての行列の定義は、
2x2 の正方行列までなんやな。

３×３なら書けるんですか？
じゃ、なんでもいいですから書いて見せてください
(引用終り)

これは、下記の論争かな？？ｗ（＾＾
（３×３行列はコピペできないので、原文ご参照下さいｗｗ）

https://qiita.com/yuba/items/7fb6a49adfda8fa466d8
Qitta
@yuba
が2014年06月03日に更新
アフィン変換/平行移動だって変換行列で

アフィン変換を使うと図形の回転・ズ－ム・移動がすべて行列で表現できて便利になるのをご紹介します。

余分な一次元が、水平移動を可能にする
2次元のベクトルに2×2行列を掛けるだけの変換では、水平移動を記述することはできません。が、余分な一次元を加えることで、簡単にそれが実現できてしまうのです。

余分な一次元ってなに？
それは、座標(a,b)をこう書くことです－－(a,b,1)。
ダミ－の次元を付け加えて、値を1としておく。これだけです。座標が3次元表示になるから、変換行列は3×3になりますね。
ズ－ムと回転の変換行列は、こうなります。

次に平行移動。ここで初めて、3×3行列の余った場所を使います。

うわ、ほれぼれするくらい簡潔に移動が記述できましたね！

使い道
ダミーの次元を加えるというこのアフィン変換、初めて知った人にはかなりトリッキーなやり方に思えるかもしれません。でもこれは、図形を扱うシステムではわりとよく使われる技法です。

空間図形の座標は4次元表示。3次元の図形を移動するには4×4行列を使うんですね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 21:01:21.50

皆からバカにされてるのは瀬田でしょ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 22:13:31.31

>>251
いえいえ、バカにされているのは
あなたと、おサル＝維新さんですよｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 22:19:46.37

>>252
ID:wXZjOTyr氏
https://rio2016.5ch.net/test/read.史cgi/math/1614346039/254
0.99999…は１ではない　その21
254: 03/13(土)20:10 ID:wXZjOTyr(13/14)
実数に収束しない有理コーシー列を早く例示して下さいねー
できたら数学史がひっくり返りますよー
(引用終り)

自分が何言っているのか
分かっているのでしょうか？
「実数の定義」は、なんだった？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 22:32:04.10

>>253
え？できるってこと？
じゃ示して

自分が何言っているのか
分かっているのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 23:34:01.69

>>253 蛇足

有理コーシー列を用いて実数を定義するのが、スタンダードです
”定義”であれば、「反例」を論じるのが変
”定義”は、”Well-defined”かどうかを論ずべき

https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
Well-defined

https://rikei-jouhou.com/cauchy-sequence/
生命系のための理工学基礎
2019.07.08 2019.10.27
【１変数】コーシー列の定義と収束の証明を実数の構成から解説

1 コーシー列の定義

極限を求めずに数列が収束するかどうかを確認する方法はないのでしょうか。

この問題を解決したのがコーシーのアイデアです。

2 実数の構成
有理数の項のみで構成されたコーシー列を有理コーシー列と呼ぶことにします。

2.3 実数の定義
有理コーシー列の同値類を実数の定義とします。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 00:01:21.52

>>255
スタンダードであることを証明してみて

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 00:11:17.89

>>250
(引用開始)
>>平行移動は線形変換でない
>正気??
じゃ原点（０，０）を点（１、０）に移動する２×２行列を書いて見せてください

お前にとっての行列の定義は、
2x2 の正方行列までなんやな。

３×３なら書けるんですか？
じゃ、なんでもいいですから書いて見せてください
(引用終り)

https://qiita.com/yuba/items/7fb6a49adfda8fa466d8
Qitta
@yuba
が2014年06月03日に更新
アフィン変換/平行移動だって変換行列で

余分な一次元ってなに？
それは、座標(a,b)をこう書くことです－－(a,b,1)。
ダミ－の次元を付け加えて、値を1としておく。これだけです。座標が3次元表示になるから、変換行列は3×3になりますね。

次に平行移動。ここで初めて、3×3行列の余った場所を使います。

使い道
ダミーの次元を加えるというこのアフィン変換、初めて知った人にはかなりトリッキーなやり方に思えるかもしれません。

空間図形の座標は4次元表示。3次元の図形を移動するには4×4行列を使うんですね。
(引用終り)

IUTスレで、突然議論の相手に、無関係な線形変換の議論をふっかけて
知ったか＆ハナタカしようとした維新さん（＾＾
”３×３なら書けるんですか？
じゃ、なんでもいいですから書いて見せてください”だって？？

ところが「ダミーの次元を加えるというこのアフィン変換、初めて知った人にはかなりトリッキーなやり方に思えるかもしれません」
と、平行移動も3×3行列のアフィン変換の守備範囲内だってさ～ｗｗ

自分から線形変換でケンカを売って
アフィン変換知らなかったって、なんだかねｗｗ（＾＾；

維新さん、Mumfordのレッドブック読んだのじゃなかったんか？（下記）
今更、アフィン変換知らなかった？？ｗ

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1604268050/206
206１３２人目の素数さん2021/02/01(月) 06:23:20.11ID:ZFsykc4D
今月からMumford「代数曲線とヤコビ多様体」の中の
「ヤコビ多様体とテータ関数の起源」を読む

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 00:12:47.36

>>256
スタンダードであることの証明は無いな
常識ではあるけどね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 00:19:20.10

>>255
>https://rikei-jouhou.com/cauchy-sequence/
で同値関係と云われてるものが確かに同値関係であることを示してみて

>”定義”は、”Well-defined”かどうかを論ずべき
違います。
>有理コーシー列の同値類を実数の定義とします。
で定義された実数が実数の公理を満たすかどうかを論ずべきです。
分かってませんね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 00:23:01.31

仮にwell-definedであっても、定義された実数が実数の公理を満たさないならゴミ箱に捨てるべきですね。
”実数とは異なる何か”の定義としてなら価値があるかもしれませんが。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:05:27.44

>>257
>アフィン変換

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E5%86%99%E5%83%8F
アフィン写像
始域と終域が同じであるようなアフィン写像はアフィン変換（アフィンへんかん、英語: affine transformation）と呼ばれる。
3 アフィン変換の表現
拡大係数行列 (augmented matrix) を用いれば、双方を行列の積を用いて表すことができる。この場合は、どのベクトルも最後に余分な成分として 1 を付け加え、どの行列も 0 のみからなる余分な行を下に追加して、平行移動を表す列を右に加えることになる（ただし、右下の角には 1 を追加する）。

＜アフィン(affin)という術語＞
https://twitter.com/q_n_adachi/status/1144745239061512193
足立恒雄 on Twitter: "数学にアフィン(affin)という術語がある
2019/06/28 — 数学にアフィン(affin)という術語がある．アフィン空間など．近接した，疑似的といった意味で，語源はaffīnis （近接した）で，ad（の近く）＋finēs（finīsの複数対格）から．finīsは「境界，終点，完成」という意味の名詞．

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12190495607
yahoo
boo********さん
2018/5/17 13:35
代数幾何学ででてくる「アフィン」という単語の由来は何ですか？

ベストアンサー
このベストアンサーは投票で選ばれました

テレンス・タオパイパイさん
2018/5/17 13:37
Wiki
https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_geometry
によれば、Eulerが初めて「affine」を使ったらしいです。
自分では文献を調べていないのでわかりません。

テレンス・タオパイパイさん
2018/5/17 13:39
ここ
http://jeff560.tripod.com/a.html
に色々な単語の由来があります
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:05:49.03

>>251
>皆からバカにされてるのは瀬田でしょ
>>252
>いえいえ、バカにされているのはあなたですよｗｗ

あくまで「バカなのは他人だ」と思いたがるSET A
旧帝(阪大)出てもバカがリコウになるわけじゃないんだけどな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:06:27.38

>>253
>>実数に収束しない有理コーシー列を早く例示して下さいねー
>自分が何言っているのか分かっているのでしょうか？
>>254
>え？できるってこと？じゃ示して
>自分が何言っているのか分かっているのでしょうか？

SET A、さっそくブーメラン食らってる
バカだねえ…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:06:50.93

>>255
>有理コーシー列を用いて実数を定義するのが、スタンダードです
>”定義”であれば、「反例」を論じるのが変

SET A君、それ
「全ての有理コーシー列が収束するとは限らない」
と言い出したあなたのお友達の安達君に言ってあげなよ
阪大より1ランク上の京大を出た安達君にさ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:07:45.14

>>257
>平行移動も3×3行列のアフィン変換の守備範囲内だってさ～

それ、もう>>198で言及されてる
こいつ、完全に釈迦の手の中の孫悟空だなｗｗｗ

「線型空間上の原点を含まない
　ある超平面を動かさない線型変換として
　平行移動を表すことはできるけどね」

SET Aは日本語読めない朝鮮人か？

Proper Class Zはいくら数学科の底辺といっても
工学部卒の馬鹿のお前よりは全然上だよ
全部わかってて、Hotto君をおちょくってる
彼がドヤ顔でアフィン変換を書いてきたら
確実にこう返される

「それ、３次元空間の平行移動ですか？
　だからいってるじゃん　平行移動は線型変換じゃないって」

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:08:46.75

>>255
>”定義”は、”Well-defined”かどうかを論ずべき

では、SET Aに質問

Q.「実数とは無限10進小数である」という定義はWell-definedか？
　そうでないとした場合、どこが"Ill-defined"か？

いい問題だ…大学1年生向けの…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:24:09.99

>>174
脱退では無い。ソニーミュージックにクピを言い渡された
当時の平手はこれ
↓
・ダンスパフォーマンスの低下
・ライブ中常に下向いて前を見ない
・客を見ない、メンバーのみと会話
・周りの大人へのタメ口
・グループ仕事拒否(ｹﾔｷｾ/ﾛｰｿﾝｺﾗﾎﾞ/けやかけ等)
・ブログ、メッセージ、拒否
・グリーティング動画拒否
・周りを唖然とさせる傲慢な態度と発言
・地方ライブでの手抜き、サボり、不貞腐れた態度
・ライブ後客席への挨拶拒否
・相手の顔を見ないで会話(広瀬すず対談等)
・握手会永久免除
・気に入った仕事だけ首を縦に振る(ﾋﾟﾝCM,映画等)
・気に入らない仕事は拒否

とうとうシングルCDリリースを拒否する傍若無人ぶりでソニーミュージックに大損害を与えたことから堪忍袋の緒が切れたソニーから切られた
ソニーの意向には秋元も逆らえず、それまでの酷い行状の蓄積もあり、平手を守るのは無理だった

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:29:21.00

>>267
ふーん、でもてちは相変わらずSeed & Flowerの所属じゃなかったっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 08:29:22.20

>>258 補足

維新さん ID:rDuVsdR+(>>246) が、某スレに書いています
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1614346039/221
0.99999…は１ではない　その21　
221: 03/13(土)06:30 ID:rDuVsdR+(1/6)
>>206
>実数が完備であるとはどういうことですか？

実数が完備、とは有限小数を１桁づつ延長する数列、例えば
3.1,3.14,3.141,3.1415,…
が、必ず収束する、ということ
上記の例の収束値を3.1415･･･と表す

0.9,0.99,0.999,…　も同様
上記の数列の収束値を0.999…と表す
そのとき0.999…=1である
(引用終り)

・実数とは、直感的には、有限小数と無限小数とから成る数です
・無限小数展開が、コーシー列になります。例えば、上記の通り円周率π＝3.14159・・
・πを与える公式（コーシー列）は、複数あります。複数あるコーシー列は、全てπを表すのに使える。だから同値類を考えるってことです
・コーシー列以外に、デデキント切断や超準解析に基づく構成もあります

詳しくは、下記を
常識ですｗ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数（じっすう、仏: nombre réel, 独: reelle Zahl, 英: real number）とは連続な量を表すために、有理数を拡張した[[数]]」の体系である。

目次
1 定義
2 実数の表示
3 実数の様々な構成
3.1 コーシー列を用いた構成
3.2 デデキント切断による構成
3.3 超準解析に基づく構成