>>22

sin_N(x) = Σ a[N,k]x^kとおく
sin_(N+1)(x) = Σ a[N,k](sin x)^k
の右辺を展開した時の係数はa[N,k]についての線形変換であり、a[N,k]はk次以上の項にしか寄与しないから
a[N+1,k] = Σ[l≦k]S[k,l] a[N,k]
とおける
すなわちa[N,k]を列ベクトル、S[k,l]を行列と見做して
a[N+1] = S a[N]
とかくとき、Sは下三角行列になる
さらにsin(x)のマクローリン展開の定数項が0で一次の項がxてある事によりSの対角成分は全て1である
以上によりS^Nの全ての成分はNの多項式である