面白い問題おしえて～な 35問目
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過去ログ(1-16問目)
//www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
//w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
34 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
(前スレ) 数列pn,qnが以下で定められている
p0=4,p1=0
p(n+1) = (2n+1)pn+ n^2p(n-1)
q0=2,q1=1
q(n+1) = (2n+1)qn+ n^2q(n-1)
lim pn/qnを求めよ 訂正
数列pn,qnが以下で定められている
p0=4,p1=0
p(n+1) = (2n+1)pn+ n^2p(n-1)
q0=1,q1=1 ←ココ!
q(n+1) = (2n+1)qn+ n^2q(n-1)
lim pn/qnを求めよ こんな数列の問題を思い出した
数列a(n)は
a(0)=0,a(1)=1
a(n+2)=a(n)×1/2+a(n+1)
a(n)に出てくる整数は有限個か わかった
bn=(12 an^2-(-2)^(n+1))/2^(n+1)
とおくとbnは漸化式
b0=1,b1=2,b(n+2)=4b(n+1)-bn
を満たす
この時bnが4の倍数となるのはないので十分大きなnでanは整数ではない 最初の方の項は
a(0)=0
a(1)=1
a(2)=1
a(3)=3/2=1.5
a(4)=2
a(5)=11/4=2.75
a(6)=15/4=3.75
a(7)=41/8=5.125
a(8)=7
a(9)=153/16=9.5625
a(10)=209/16=13.0625
ここまでの整数は0,1,1,2,7の5つだけど… やり直し
数列bとcを
b0=0, b1=1, bn= 2(b(n-1)+b(n-2))
c0=2, c1=1, cn= 2(c(n-1)+c(n-2))
で定める
an = 2bn/(2^n)
なので問題は bnが2^(n-1)の倍数となるのはいつか？ になる
vを2進付値としてcnのv値は
v(c) : 113233545576...
は容易、特にn≧3の時v(cn)<n
同じく漸化式だけで
v(b) : ≧<≧<≧<≧<≧<‥
も容易で特にv(bn)=(n-1)/2 ( if n odd )も容易
よって奇数項で条件を満たすのはn=1のみである
偶数項についてはb(2n) = bn cnと先に述べたことから
b(2n)≧2n-1 only if b(n)≧n-1 for n≧3
ココでn:0～16で条件を満たすのがn=0,1,2,4,8しかないからn≧17に条件を満たす偶数は存在しない >>8
> vを2進付値としてcnのv値は
> v(c) : 113233545576...
> は容易
これは何で？ >>8
帰納法
a,a,a+2,a+1
cn=2(c(n-1)+c(n-2))
だから前２つの付値が違う時は小さい方+1
なので次の２つがa+2,a+2まで確定
cn=16c(n-3)+12c(n-4)で
a,a,a+2,a-1,a+2,a+2
の次は３つ前からのa-1+4と4つ前からのa+2+2の小さい方+1でa+4確定
最後のa+3も同様 訂正
cn=16c(n-3)+12c(n-4)より
a,a,a+2,a+1,a+2,a+2のa+1+4とa+2+2の小さい方でした >>3
p_n / q_n → {(1-π/4)p_0 + (π/4)p_1} / {(1-π/4)q_0 + (π/4)q_1},
特に q_0 = q_1 = 1 のときは
p_n / q_n → (1-π/4)p_0 + (π/4)p_1 = 4-π = 0.8584073464102… あ、いや
失礼しました
オレが出題ミスしてる
orz もう答え書きますね
p0=0,p1=4なら>>3の漸化式でπに収束します
ガウスの超幾何関数というやつでした
出題ミスしといて何をいうかですけど... ちなみに漸化式が線形なので(p0,p1)=(4,0)のときは
(4,0)= (4,4) - (0,4)
より>>14さんの指摘通り4-πに収束します
p 0 = 4
p 1 = 0
p n = (2*n-1) * ( p$ n-1)+ ( n-1) ^2 * ( p $ n-2)
q 0 = 1
q 1 = 1
q n = (2*n-1) * ( q$ n-1)+ ( n-1) ^2 * ( q $ n-2)
main = do
print $ ( p 10) / ( q 10 )
print $ 4-pi
----
0.85840745955346
0.8584073464102069 >>3
p_0 = 4, q_0 = 1, r_0 = 4,
p_1 = 0, q_1 = 1, r_1 = 0,
p_2 = 4, q_2 = 4, r_2 = 1,
p_3 = 20, q_3 = 24, r_3 = 0.83333333
p_4 = 176, q_4 = 204, r_4 = 0.86274510
p_5 = 1904, q_5 = 2220, r_5 = 0.85765766
p_6 = 25344, q_6 = 29520, r_6 = 08585365854
p_7 = 398016, q_7 = 463680, r_7 = 0.85838509
p_8 = 7212096, q_8 = 8401680, r_8 = 0.858411175
p_9 = 148078656, q_9 = 172504080, r_9 = 0.85840669
p_10 = 3397674240, q_10 = 3958113600, r_10 = 0.85840746
・・・
となったが。。。 >>20
はい
>>3のままの出題だと4-πに収束します sin_N(x):=sin(sin(…sin(sinx))…)(N回合成)とおく
sin_N(x)=Σa_n(N)x^n/n!と展開したとき
各係数a_n(N)はNの多項式になることを示せ >>22
sin_N(x) = Σ a[N,k]x^kとおく
sin_(N+1)(x) = Σ a[N,k](sin x)^k
の右辺を展開した時の係数はa[N,k]についての線形変換であり、a[N,k]はk次以上の項にしか寄与しないから
a[N+1,k] = Σ[l≦k]S[k,l] a[N,k]
とおける
すなわちa[N,k]を列ベクトル、S[k,l]を行列と見做して
a[N+1] = S a[N]
とかくとき、Sは下三角行列になる
さらにsin(x)のマクローリン展開の定数項が0で一次の項がxてある事によりSの対角成分は全て1である
以上によりS^Nの全ての成分はNの多項式である >>3 を初等的に解いてみた
p[n],q[n]の一般項は以下のように表される
p[n]=(4+2π)f[n](1)-8g[n](1), q[n]=f[n](1)
ここで
f[n](x) = (1/2)^n (d/dx)^n {(1+x^2)^n},
g[n](x) = (1/2)^n (d/dx)^n {(1+x^2)^n arctan(x)}
(∵f[n](x),g[n](x)はともに漸化式 f[n+1](x)=(2n+1)xf[n](x)+n^2f[n-1](x) を満たす)
n→∞の漸近評価をすると
g[n](x) = (1/2)f[n](x)(arctan(x) + π/2 +o(1))
より
g[n](1)/f[1](x)→3π/8 (n→∞)
∴
lim[n→∞]p[n]/q[n] = 4-π
ちなみに問題の初期値
>p0=4,p1=0
を
p0=0,p1=4
に変更すると答がπになる >>18
πに直ぐに近づいた
> data.frame(n=n,pq=y)
n pq
1 1 4.0000000000000000
2 2 3.0000000000000000
3 3 3.1666666666666665
4 4 3.1372549019607843
5 5 3.1423423423423422
6 6 3.1414634146341465
7 7 3.1416149068322983
8 8 3.1415888250921244
9 9 3.1415933118799275
10 10 3.1415925404465401
11 11 3.1415926730303347
12 12 3.1415926502502449
13 13 3.1415926541633663
14 14 3.1415926534912950
15 15 3.1415926536067063
16 16 3.1415926535868897
17 17 3.1415926535902923
18 18 3.1415926535897079
19 19 3.1415926535898087
20 20 3.1415926535897918 >>25
おお、GJ
コレは面白い
一般の超幾何関数でもできるのかな？
一般のケースだと係数がnの多項式にはなるけど一個おきに変化するからなぁ
ちょっと考えてみよう >>27
対偶を示す。
連続な f:R→R が lim_(x→∞)f(x)=0 を満たさないと仮定する。
正の無限大に発散する実数列 {a_n}_(n=1,2,…) であって
全てのn≧1について f(a_n)=1 を満たすものが存在すると仮定してよい。
（∵必要であれば f を実数倍すれば良いため）
正の幅を持つ閉区間の列 {T_i}_(i=1,2,…) と、
単調増加な正の整数列 {m_i}_(i=1,2,…) を次のように定める。
まず T_1=[1,2], m_1=1 とする。
そして i≧2 に対しては、まず次(★)を満たす m>m_(i-1) を任意にとり m_i と定める：
(★) ある t∈T_(i-1) と正の整数 n が存在して tm=a_n.
この m_i に対して
T'_i = { t∈T_(i-1) : f(tm)≧1/2 }
と定めれば、これは(★)を満たすある n について (a_n)/m を元に持つ。
よって f の連続性より、T'_i は (a_n)/m を元に持ち正の幅を持つようなある閉区間を含むので、
そのような閉区間を任意にとり T_i と定める。
このように定めた列 {T_i} は T_(i-1)⊃T_i を満たすので、
全ての T_i に含まれるような実数 α>0 が存在する。
この α は f(α･m_i)≧1/2 を満たすので、
lim_(m→∞) f(αm)=0 は満たさない。（終わり）
補足
(★)を満たす m>m_(i-1) が必ず存在すること
整数kに対して kT_(i-1) = { kt : t∈T_(i-1) } と定めると、
∪_(k=1,2,…) kT_(i-1)
は十分大きな全ての実数を含む。
よって、十分大きな a_n の元は全てその集合に属するので、
kt=a_n を満たす k>m_(i-1) と t∈T_(i-1) を任意にとって、その k を m とすれば良い。 仮にTiが[1.97,1.98]とかになった時
(k+1)1.97>k1.98⇔1.97>0.01k⇔k>197
でむしろkが大きくなるほど区間の隙間はでかくなっていくのでは？ >>30
イヤ、違う
だから有限個除いて重なるのか
吊ってくる >>27
ε>0 を任意にとる
Xk = { δ>0 : ∀n≧k に対して |f(δn)| < ε/2 } とすると
与えられた条件から ∪_(k≧1)Xk = (0,∞)である
ベールのカテゴリー定理より、あるkと開区間(a,b) (0<a<b)に対して
Xk∩(a,b) は(a,b)において稠密である
(N+1)a < Nb かつ k<N をみたす十分大きいNをとると、∪_(m≧N)(ma,mb) = (Na,∞)
Na = r とおき、x∈(r,∞)を任意にとる。あるM≧Nについて x∈(Ma,Mb)である
このとき x/M∈(a,b)なので、任意のc>0に対して、あるδ∈Xkが存在して
|x/M - δ| < c/M をみたす。よって |x - δM| < c
cを十分小さくとればfの連続性から |f(x) - f(δM)| < ε/2 となる
δ∈Xk および M>k なので |f(δM)| < ε/2
よって |f(x)| ≦ |f(x) - f(δM)| + |f(δM)| < ε
以上より x > r ⇒ |f(x)| < ε b 0 = 0, b 1 = 1
b(n+2) = 2b(n-1) + 2bn
で与えられる数列と二進付値vにおいて
v(b(n)) = [ n/2 ] + v(n)
を示せ 前スレの問題だけど
Σ[k:-∞～∞]exp(-πk^2×n)
の計算n=3,5の場合はわかったけどn=7の場合はどうやるんだろう？ 厚さが一定で長軸の長さ２０cm、短軸の長さ１０cmのステーキを単軸方向に１直線で分割して２：１に分割したい。
切断線の長さは何ｃｍか。小数３桁まででよい。 θ_3(0, e^(-π×n))
関係ないけど、Ｔ．新社の接待の「お代」は一人あたり7万4203円らしいから、
ステーキにしても相当の大きさだろうなあ。(涎)
エンゲル係数が飛び上がるかも。。。 >>34
とりあえずコレ↓見つけてなんとかn=3,5の場合の証明は目で追った
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X03009090
しかし結局はラマヌジャンがやった事を整理してるに過ぎない(とはいえ恐ろしくキレイにまとまってるのでLast notebook読むよりは遥かに楽)
しかしキーのtheorem 4.4, theorem 4.5はlast notebook読むしかない
結局のところラマヌジャンがやった事を辿るしかないんだろうかねぇ？
任意のnでφ(exp(-nπ))の計算アルゴリズムはまだ夢の彼方なんだろうか？ 数列a0,a1,a2,…を
((1/x)+Σaix^i)を何乗しても1/xの係数が常に1になる
ように定める(何乗=1乗,2乗,3乗,…)
このときΣaiは収束する、その値は何か？ 何項か計算してみたら見覚えのある数字が
[1 % 2,1 % 12,0 % 1,(-1) % 720,0 % 1,1 % 30240,0 % 1,(-1) % 1209600,0 % 1,1 % 47900160,0 % 1,(-691) % 1307674368000,0 % 1,1 % 74724249600,0 % 1,(-3617) % 10670622842880000,0 % 1,43867 % 5109094217170944000,0 % 1,(-174611) % 802857662698291200000,0 % 1,77683 % 14101100039391805440000,0 % 1,(-236364091) % 1693824136731743669452800000,0 % 1,657931 % 186134520519971831808000000,0 % 1,(-3392780147) % 37893265687455865519472640000000,0 % 1,1723168255201 % 759790291646040068357842010112000000] >>38
できた
fx) = 1/x + ‥
とおく
条件からマクローリン展開の係数が一意に定まるので存在すればただ一つ
f(x)=1/(1-exp(-x))
である事を示す
それにはΓを原点の周りに正の向きに一周する周回路として∫[Γ]f(z)^ndz =2πiを示せば良い
n=1で明らか
ここでf(z)^(n+1)-f(z)^n=exp(-z)/(1-exp(-z))^(n+1)はΓ上で原始関数を持つからf(z)^nのΓ上の線積分値は全てのnで等しいから主張が従う
特に求める値は
f(1)=e/(e-1)
である >>44
正解です！(Σaiはf(1)-1なので1/(e-1)ですね)
まさしく複素積分を使った答えを期待していました >>34
７次のモジュラー等式のまとめ(Ramanujan's Notebooks IIIのChapter19 p314 Entry19)
でq=e^(-π)に相当するモジュラスを√α=1/√2と置いて(i)式を解くと
β=(1/2)-3*2^(1/4)*7^(1/8)√(167611-72864√2*7^(1/4)+63351√7-27540√2*7^(3/4))
と求まり(q=e^(-7π)に相当)これを(ii)式に代入してKの倍率を求めると
m=7^(7/8)√(61√2+23√14-53*7^(1/4)-20*7^(3/4))
したがって
Σ[k=-∞,∞] e^(-7π k^2) = m^(-1/2) Σ[k=-∞,∞] e^(-π k^2)
= (7+4√7 + 7^(1/4) (5+√7)√2)^(1/4) π^(1/4)/(√7 Γ(3/4))
と計算できる >>46
おお、thx
確認してみます
結局のところアルゴリズム化は今のところされてない感じですかね？ f(x) = 1/{1 - e^(-x)},
a_0 = - B_1 = 1/2,
a_i = B_{i+1}/(i+1)! (i が奇数)
= 0 (i≧2 が偶数) 前スレの話の続きばかりで申し訳ないんですけど、ramanujan の lostnotebook って再編されたバージョンがあるんですかね？
例えばLosnotebook part IIIで検索すると多くの文献で参照されてるやつと、springerのシリーズに入ってるのと２つヒットしてすごい鬱陶しいんです
作者もタイトルも同じだから後者が前者の再編バージョンだと思うんですけど
しかしページ番号もセクション番号の振り分けも全く違うので後者の方は全く役に立たないorz >>49
勘違いしていたらすまないが
"Ramanujan's notebooks"と"Ramanujan's lost notebook"を
検索エンジンが混同しているのでは
前スレと本スレで引用しているのは前者のほう
簡潔な違いの説明は
https://www-math.ias.tokushima-u.ac.jp/~katayama/suori/lostnb.pdf >>50
あざっす
そういう事ですか
別物なんですね
とりあえず今chapter19に挑戦中です >>25 関連の問題:
f[n](x) = (1/2)^n (d/dx)^n {(1+x^2)^n}
で定義される関数列 f[n](x) が漸化式
f[n+1](x)=(2n+1)xf[n](x)+n^2f[n-1](x)
を満たすことを、なるべく簡潔に証明せよ。 >>52
とりあえず
i^nfn(-ix)/n! = Pn(x)
とおけば
Pn(x) = (d/dx)^n(x^2-1) /2^n/n!
すなわちPn(x)はLegendre pilynomialのRodriguesの定義式に一致して示すべき等式は
(n+1)P(n+1)(x) = (2n+1)Pn(x) -nP(n-1)
すなわちBonnetの関係式になる
つまり求められてるのは
「Legendre多項式をRodriguesの定義式で定める時、定義式からBonnetの関係式を導出せよ」
になるのかな？ とりあえず帰納法
まず直交性
(Pm,Pn) = ∫[-1,1] .Pn(x)Pm(x)dx = 2δmn/(2n+1)
は初等的に証明できる
https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
最高次数はRodriguesの定義式からも容易にえられるから(n+1)P(n+1)のそれと(2n+1)xPnの最高次数は一致する事も容易
(2n+1)xPn-nP(n-1)がn次以下の全ての多項式と直交する事を言えば良い
n-2次以下で自明
P(n-1)との直交性は帰納法の仮定から
xP(n-1)=(nPn-(n-1)P(n-2)/(2n-1)
が言えているから
(2n-1)((2n+1)xPn-nP(n-1), P(n-1))
= ((2n+1)Pn (nPn-(n-1)P(n-2)),1) - (P(n-1), P(n-1)) = 0
Pnとの直交性はxPn^2が奇関数になる事から明らか
以上により(n+1)P(n+1)と(2n+1)xPn-nP(n-1)は最高次と(n次以下の多項式においての直交補空間が一致する等しい >>54
正解です。
想定していた解答は、ε>0としてCauchyの積分公式のn階微分
f[n](x) = n!(1/2)^n(1/(2πi))∫[|z-x|=ε](1+z^2)^n/(z-x)^2 dz
を
f[n+1](x) - (2n+1)xf[n](x) - n^2f[n-1](x)
に代入し、二回部分積分して0になることを確認する方法です。
この方法だと直交性などの性質は必要なく、直ちに証明が得られます。 訂正:
×f[n](x) = n!(1/2)^n(1/(2πi))∫[|z-x|=ε](1+z^2)^n/(z-x)^2 dz
〇f[n](x) = n!(1/2)^n(1/(2πi))∫[|z-x|=ε](1+z^2)^n/(z-x)^(n+1) dz >>55
なるほどうまい
まぁ回り道してjacobi多項式周りの理論勉強できたからよしよう そうか
wikiのページにBonnetの公式を生成関数の係数比較で証明する方法が載ってたけど、肝腎要の生成関数が1/√(1-2xt+t^2)になる事の証明が載ってなかった
難しそうと思って手つけなかったけどコレも
1/(2πi)∫[|z|=suff. large] 2/(-tz^2+2z-2x+t)dz
積分するだけなんだ あ、いやsuff. largeではなくsuff. small
しかしどのみち無限和が一様可積分に収束するためにはtを十二分に小さくせねばならず、結果路がどんなに小さくとも極が路の中に入ってくるのか
これもしかして高木貞治に載ってた？ > 肝腎要の生成関数が 1/√(1-2xt+t^2) になる事の証明が載ってなかった
練習問題５-(17) にある。(266頁)
1/√(1-2xt+t^2) = Σ[n=0,∞] P_n(x) t^n, (1)
[解] tに関して微分して (1) と比較すれば 121頁公式 (7) が
得られるから、P_n(x) が Legendreの球函数であることが分かる。
・循環公式
(n+1)P_{n+1}(x) - (2n+1)x P_n(x) + n P_{n-1}(x) = 0. (n≧1) (7)
これを出すのに {P_n(x)} の直交性 >>54 を使う。
* 「解析概論」改訂第三版， 岩波書店 (1961) >>60
ですよね
やっと大昔やったの思い出した
懐かしき思い出 スレ違いかもしれないですが、考えて欲しいです。
例えば4月は10個5円、5月は3個20円のものがあれば、5月と4月の差は
30*20-10*50=10円で計算できますが、この計算式以外に5月と4月の差である10円を算出する方法はありますかね >>62
3*20-10*5=10円の間違いです。 前スレにあった「正方形を4片に分けて任意の比率の正方形を2つ作る」問題について
当初はこう考えて
https://i.imgur.com/sPsIHd4.jpg
1:1のほかには、斜辺と長い辺の差が1のもの、つまり(2m+1):2m(m+1)の分割のみ可能だと思ってたが
こうわければ
https://i.imgur.com/qVkKhdv.jpg
1:n (n>√3)を全て網羅できることに気づいた
あとは1/√3≦n<1, 1<n≦√3の場合が分かれば… >>36
座るだけで５万円かかる店らしいから、巨大ステーキではないと推測。 >>64
コレ今のところ確認できる「××片に分ければできる」といえる××は何片？ あ、いや、もしかして「任意の」だとそもそも必要最低分割個数は上に有界ですらないのかな？ >>67
5片だと確実に全ての比で分けれて何通りもあるっぽいです
最後の1:n (n>√3)なら4片でできるっていうのは盛大な間違いです >>69
5片でできるんですか？
面積10001の正方形を1×1と100×100にわずか4片で組み替えられるんですか？ わずか5片でした
なんか前スレで3平方の定理の証明の奴を使えばできるって言ってた記憶があるけどどうやるんでしょう？ >>35
0≦x≦aの範囲で部分積分する。
四半分のさらに1/3だから、
∫[0→a](25-x^2)^(1/2)dx=25π/12
2√｛25-(1.22276685862)^2｝=9.69635832866……
≒9.696 >>74
平面ハトメ返し
カンタベリー・パズル
ボヤイ・ゲルヴィンの定理
ハドヴィゲール・グリュールの定理 前>>75補足。
切断線はy軸に平行だから、
楕円よりもx軸方向に縮めた円で考えると楽。
直径10cmの円x^2+y^2=25を描き、
点(a,0)を通りy軸に平行な直線x=aで切ると、
切断線の端っこ(a,√(25-a^2)と(a,-√(25-a^2))の距離は、
2√(25-a^2)
y=√(25-x^2)を0≦x≦aの範囲で部分積分する。
半径5cmの円の四半分のさらに1/3だから、
∫[0→a](25-x^2)^(1/2)dx=25π/12
(上げてそのまま、上げて下げる)
※下げるのところで25-a^2を微分した-2aを掛けるのを忘れがち。割ったりしがち。
a(25-a^2)^(1/2)-a(-2a)/(25-a^2)^(1/2)=25π/12
a(25-a^2)+2a^2=25π√(25-a^2)/12
75a-3a^3+6a^2-(25/4)π√(25-a^2)=0
左辺が限りなく0となるaを探す。
a=1.22276685862のとき、
切断線2√(25-a^2)=2√｛25-(1.22276685862)^2｝
=9.69635832866……
≒9.696 奇数nに対して
f(n)=1/√nΣ[k=-n,n](-1)^k exp((-3k^2/n+k)π)
の値は-1,0,+1のどれかに非常に近い値になる
どのnがどの値に近くになるか？
また、なぜそのようになるか？ >>54
力技の別解
Rodriguesの定義式から直ちに
Pn(1-2y)=2F1(-n,n+1,1,y)
でこの置き換えにおいてBonnetの公式は2F1(-n,n+1,1,x)とおくとして
-(n+1)F(n+1)+(2n+1)Fn-nFn = 2(2n+1)xFn
左辺のk次の係数×(k!)^2×(n+k)×(-n+k-1)/(-n)_k/(n+1)_kを計算すると
(n+1)(k+n+1)(k+n)+(2n+1)(n+k)(k-n-1)+n(k-n)(kk-n-1)
=(4n+2)k^2
でコレは右辺のk次の係数に等しい >>78
f(n)を無限和に置き換えたものをg(n)と置くと
f(n) = g(n) + O(exp(-2πn)/√n)
g(n) = 1/√nΣ[k=-∞,∞](-1)^k exp((-3k^2/n+k)π)
Cを実軸からa (aは任意の正の数)離れた上下2本の直線とすると留数定理より
= 1/(2πi√n)∫[C](π/sinπz) exp((-3z^2/n+z)π) dz
= 2/√n Re∫[-∞-ai,+∞-ai]1/(1-exp(-2πiz))) exp((-3z^2/n+z-iz)π) dz
= 2/√n ReΣ[k=0,∞]∫[-∞-ai,+∞-ai]exp(-2πikz)) exp((-3z^2/n+z-iz)π) dz
和の各項に関して a=n(2k+1)/6, z=t+n(1-(2k+1)i)/6 と置くと(平方完成+ガウス積分)
g(n) = 2/√n Σ[k=0,∞]Re∫[-∞,+∞]exp(-3πt^2/n-πn(i+2(1+i)k+2k^2)/6) dt
= 2/√3 Σ[k=0,∞]Re exp(-πn(2k(1+k)-(1+2k)i)/6)
ここでk=2までの和で近似すると
g(n)= 2/√3 cos(πn/6) (1 + O(exp(-2πn)))
したがって
f(n)≒2/√3 cos(πn/6)
n≡±1 mod 6 のときほぼ (-1)^(floor((n+3)/6))
n≡3 mod 6 のときほぼ 0
誤差はO(exp(-2πn)) >>81
正解です！nに関してmod 12周期になってるのがポイントです
背後にη関数の保型性があって、それを使った証明を想定していたんですが直接複素積分で示してしまうとは驚きです 誤差がexp(-2πn)くらいなので非常に整数に近く、
例えばこれを利用すると次のような問題が作れる
【ひっかけ問題】
Σ[k=1,25] (-1)^k exp(-0.12k^2 π) cosh(kπ)
= 1.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999984…
しかし和を∞まで計算しても2に収束するわけではない！ >>84
n=12m±3のときはkと4m±1-kの項が打ち消し合う
n=12m±1,±5のときは五角数定理を使ってq=exp(-2π/n)のη関数形にして、さらに保型性でq=exp(-2πn)の形にする
というものでしたが、改めて考えるとη関数を経由させるより直接θ関数の保型性(ヤコビの変換公式)を使って示す方がnを一斉に扱えて良いかも知れません >>52
とりあえず
二項公式で展開する。
f[n](x) = (1/2)^n Σ_{k=[(n+1)/2], n} C[n,k] x^(2k-n),
f[n+1](x) - (2n+1) x f[n](x) - n^2 f[n-1](x)
における x^(2k+1-n) の係数は
(1/2)^n {(k+1)(2k+1)C[n+1,k+1] - (2n+1)(2k+1-n)C[n,k] - n^2 2C[n-1,k]}(2k)!/(2k+1-n)!
ここで
C[n,k] = n!/(k!･(n-k)!),
を使えば 0 となる。
高校生向け (簡潔かどうかは？だが) 訂正…
f[n](x) = (1/2)^n Σ_{k=[(n+1)/2], n} C[n,k] (2k)!/(2k-n)!・x^(2k-n),
でした。 >>86
η関数を使う場合
n=6m±3のとき
f(n)=1/√nΣ[k=-n,n](-1)^k exp(k((2m±1-k)π/n)
はkと2m±1-kの項が打ち消し合うので
=1/√nΣ[k=-n,-n-1+2m±1](-1)^k exp(k((2m±1-k)π/n)
=1/√n(-exp(-(4m+1±2))(1+1/n)π)+…)
=O(1/√n exp(-2nπ/3))≒0
n=6m±1のとき
f(n)=1/√nΣ[k=-∞,∞](-1)^k exp(-(k-m)(3(k-m)-(±1))π/n+(n-1/n)π/12)+O(1/√n exp(-2nπ))
ここで±(k-m)→kと置き直すことで
=(-1)^m/√n Σ[k=-∞,∞](-1)^k exp(-k(3k-1)π/n) exp((n-1/n)π/12)+O(1/√n exp(-2nπ))
ここで五角数定理を使って
=(-1)^m/√nexp((n-1/n)π/12)Π[k=1,∞](1-exp(2πk/n))+O(1/√n exp(-2nπ))
ここでη関数の保型性を使って
= (-1)^mΠ[k=1,∞](1-exp(2nπk))+O(1/√n exp(-2nπ))
再び五角数定理を使って和に直しk=0以外を誤差にして
=(-1)^m+O(exp(-2nπ))≒(-1)^m
θ関数を使う場合
n=12m+δのときτ=3i/n, z=-δ/6とおくと
g(n)=√(τ/3)Σ[k=-∞,∞](-1)^k exp(πiτ(k-2m)^2-2πiτz(k-2m)+(1/(4τ)+τz^2-1/4)πi)
ここで(k-2m)→kと置き直すことで
=√(τ/3) exp(1/(4τ)+τz^2-1/4)πi)θ_4(τz,τ)
ここでヤコビの変換公式を使うと
=1/√3 exp(πi/(4τ)) θ_2(z,-1/τ)
=2/√3 Σ[k=0,∞]exp(-nπk(k+1)/3) cos((2k+1)δπ/6)
ここでk=0以外を誤差にして
=2/√3 cos(2πδ/12)+O(exp(-2nπ/3)) よく考えたらポワソンの公式
Σ[k=-∞,∞]exp(-πt(k+z)^2)=1/√t Σ[k=-∞,∞]exp(-π/t k^2+2πikz)
を使うのが一番すっきり示せるのかな
(まぁ実質どれも同じ計算なわけだけど) η関数出発で問題作ったから12周期が出てきたけど、別に任意の4a周期は作れるのか
1/√nΣ[k=-∞,∞](-1)^k exp((-ak^2/n+k)π)
=1/√nΣ[k=-∞,∞]exp(-aπ/n(k-(1+i)n/(2a))^2+πin/(2a))
=1/√aΣ[k=-∞,∞]exp(-nπ/a k^2+πi(1+i)n/a k+πin/(2a))
=2/√aΣ[k=0,∞]exp(-nπ/a k(k+1))cos((2k+1)πn/(2a))
≒2/√a cos(2πn/(4a))
2/√a cos(2πn/(4a))がa=2,3のときは奇数nで整数値をとるから他のaと比べて良いというだけか >>91
なるほどJacobi Identity使って分子の3が分母に来るわけですね >>83
n Σ[k=1,n] (-1)^k exp(-(3/25)kkπ) cosh(kπ),
--------------------------------------------
05 2 - 82.4235015159937590911
10 2 + 7.84587270100255882648 × 10^(-6)
15 2 + 4.12392098419745533985 × 10^(-21)
20 2 + 1.40629318948221261560 × 10^(-44)
21 2 + 2.96668015619495580720 × 10^(-50)
22 2 + 2.94452331880591894796 × 10^(-56)
23 2 - 1.37502090401921851199 × 10^(-62)
24 2 - 1.20840444689289931250 × 10^(-68)
25 2 - 1.51050555080910277112 × 10^(-68)
26 2 - 1.51050551958101577434 × 10^(-68)
27 2 - 1.51050551958101729310 × 10^(-68)
28 2 - 1.51050551958101729310 × 10^(-68) 連続関数f:[0,1]→Rに対して
{x∈[0,1] | f(x)=0}の境界の1次元ルベーグ測度は0か？ >>100
[0,1]内の全ての有理数を適当に番号づけて {p_n｜n≧1} と置く。
連続関数 f_n：[0,1] → [0,1/2^n] であって
{x∈[0,1]｜f_n(x)＞0} ＝ [0,1]∩(p_n－0.1^n, p_n＋0.1^n)
を満たすものを何でもいいから1つ作る。
f：[0,1]→[0,1] を f(x)：＝Σ[n＝1～∞] f_n(x) で定義すると、
右辺は [0,1] 上で一様収束するので、f は連続である。また、
{x∈[0,1]｜f(x)＝0} ＝ [0,1]－∪[n＝1～∞](p_n－0.1^n, p_n＋0.1^n)
となることが分かる。右辺は内点を持たない閉集合であることが確かめられる。
特に、{x∈[0,1]｜f(x)＝0} の境界はそれ自身である。そして、
μ(∪[n＝1～∞](p_n－0.1^n, p_n＋0.1^n)) ≦ Σ[n＝1～∞] 2 * 0.1^n ＜ 1
なので、{x∈[0,1]｜f(x)＝0} の境界の1次元ルベーグ測度は正である。 nが2進数表示でe桁とする
e>1と1～nの中に2^(e-1)の倍数がただ一つある
この時vを2進付値とすればv(Σ1/k)=-e+1<0であり整数ではない
∴整数となるのはn=1の時のみ (大意)
n < 2^e
n>1 のとき e>1
1～n の中に 2^(e-1) の倍数がただ一つある … 2^(e-1).
N = 2^(e-2)･LCM{3,5,7,…,2[n/2]+1}
とおくと
n≠2^(e-1) のとき N/k は自然数。
n=2^(e-1) のとき N/k = (奇数)/2,
N･Σ[k=1,n] 1/k = (自然数) + (奇数)/2,
∴ n>1 のとき 左辺は整数ではない。 懐かしいな。高校生のとき帰納法で解いたわ。
n≧2 のとき Σ[k＝1～n] (1/k) ＝ 奇数 / 偶数 が成り立つことを、n≧2に関する帰納法で示す。
n＝2のときは明らか。次に、m≧2を任意に取る。2≦n≦mのときは成り立つとする。
n＝m＋1のときを考える。nが奇数ならば、
Σ[k＝1～n] (1/k) ＝ Σ[k＝1～n－1] (1/k)＋1/n ＝ 奇/遇 ＋ 1/奇 ＝ 奇/遇
であり、成立。nが偶数ならば、n＝2M, M≧2 と表せて、
Σ[k＝1～n] (1/k) ＝ (1/1＋1/3＋1/5＋…＋1/(2M－1)) ＋ (1/2)(1/1＋1/2＋…＋1/M)
＝ 整/奇 ＋ (1/2)(奇/遇) ＝ 整/奇 ＋ 奇/遇 ＝ 奇/遇
であり、やはり成立。数学的帰納法により、成立。
↑nが偶数のときの計算がポイント。 >>107
部分和ってのはn番目以下の項の和のことでしょ
勝手に部分を取っていいなら1/2+1/3+1/6=1とかあるし >>106
結局2進付値やね
Σ1/奇数 は2進整数、1/偶数=1/2Σ1/(偶数÷2)は帰納法の仮定より2進整数でない この三角形の生成規則がわかるだろうか
https://i.imgur.com/BH7OmVH.jpg
答えは「左斜め上にも右斜め上にも未登場の最小の自然数を並べたもの」(俺は当てられなかった)
例えば3段目の1番左は、右上に1と2が既に出てるので3が
6段目の左から3番目は、左上に4と3、右上に3と4と1が出てるので2があてはまる
この三角形は「2の累乗段目には全て同じ数が並ぶ」ことを説明せよ 全体から1引いて2進数表記にすると,
000 001 010 011 100 101 110 111 : i xor 000
001 000 011 010 101 100 111 : i xor 001
010 011 000 001 110 111 : i xor 010
011 010 001 000 111 : i xor 011
100 101 110 111 : i xor 100
101 100 111 : i xor 101
110 111 : i xor 110
111 : i xor 111
たとえば4段目に3が並ぶのは, i xor (011 - i) = 011 (0 <= i <= 3)だから つまりi+j段目の左からi番目は(どちらも0から数える)xor i j になるということか
うーん法則としてそうなってるとして証明はどうするの？
簡単？ あ、イヤできた
i+j段目の左からi個目について件の┛のライン上に同じ数字がならばない事は容易
0～i xor j -1 までの数学が全て現れる事も帰納法で言えるからi xor jが来るのか じゃあ隣のスレから
オイラーのトーシェント関数をφ, そのk回合成をφ^kと書くことにする. このとき正の整数mに対して, nをφ^n (m)=1を満たす最小の自然数と定める.
このときn=O(log(m))となるか? もし異なるならば最も良い上界を与えよ. >>119
それは答え出そうにないな
wikiに載ってたオイラートーシェントーシェントの評価全部見回しても答えられそうな評価式ひとつもない いや緩い上界は簡単に見つかる
例えば素数pについてφ(p)=p-1だから, n=O(m)が言える >>119
2以上のmについて φ(φ(m))≦m/2 を示せば十分。
正の偶数 k について φ(k)≦k/2 であるから、mが偶数の時は
φ(φ(m))≦φ(m)≦m/2.
また、mが3以上の奇数の時は φ(m) が偶数になるため
φ(φ(m))≦φ(m)/2≦m/2.
以上により示された。 >>103
一般に、等差整数列の逆数の有限和
Σ[j=1,n] 1/(a+jd) (a>1, d>0)
は整数にならない。
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集, 日本評論社 (1977)
●87 あ、むりか
ちょっと考えればすぐにわかることだった p(k)=Σ[1≦i≦n](x_i)^kとおく
p(k)=1 (1≦k≦n-2), p(n-1)=2, p(n)=n のとき
p(k)(k>n)の値も自動的に決定する
p(k)が整数値になるk>nが存在することを示せ 解と係数の関係から
x^n-x^(n-1)+ax+b=0 (x=x_1,x_2,…,x_n)
となるa,bの存在を利用する感じなのかな
どっちも有理数ということはわかるけど… >132
a = (-1)^n/(n-1)
b = (-1)^(n-1)(n^2-3n+1)/(n(n-1))
かな
なのでp(k) (n+1≦k≦2n-1)で分母に来れるのはn(n-1)の約数だけでしかも(n+1≦k≦2n-3)まではnの約数しか来れないところまでは簡単
頑張らないといけないのはk=2n-2とk=2n-1のときだな 違う
> a = (-1)^(n-1)/(n-1)
> b = (-1)^(n-1)(n^2-3n+1)/(n(n-1))
だ
n=4→p(k) = p(k-1)+1/3p(k-3)+5/12p(k-4)
n=5→p(k) = p(k-1)-1/4p(k-4)-11/20p(k-5)
n=4→p(k) = p(k-1)+1/5p(k-5)+19/30p(k-6)
‥ >>134
まだ違う
a = 1/(n-1)
b = (n^2-3n+1)/(n(n-1))
だ
n=4→p(k) = p(k-1)+1/3p(k-3)+5/12p(k-4)
n=5→p(k) = p(k-1)+1/4p(k-4)+11/20p(k-5)
n=6→p(k) = p(k-1)+1/5p(k-5)+19/30p(k-6)
...
か
なのでpn～p(2n-3)までは公差(n-1)/nの等差数列でp(2n-3)=(2n^2-4n+3)/n
∴ p(2n-2)
=p(2n-3)+1/(n-1)p(n-1)+(n^2-3n+1)/(n(n-1))p(n-2)
=(2(n-1)^3+n^2)/(n(n-1))
p(2n-1)
=p(2n-2)+1/(n-1)p(n)+(n^2-3n+1)/(n(n-1))p(n-1)
=2n 正方形をいくつかの三角形に分割する
全ての辺の長さが整数になるとき、正方形の大きさが最も小さいものを答えよ よく簡単に見つけられるなあ。すばらしい。
それはさておき、そうすると 12x12 も満たすのでそれ以下ということになるな。 根と係数の関係から
x^n - q(1)x^{n-1} + q(2)x^{n-2} - ････ + (-1)^{n-1} q(n-1) + (-1)^n q(n) = 0,
ここに q(j) は {x_1, x_2, …, x_n} のj次の基本対称式。
p(1) = q(1) = 1,
p(2) = q(1)^2 - 2q(2),
p(3) = q(1)^3 - 3q(1)q(2) + 3q(3),
p(4) = q(1)^4 - 4q(1)^2･q(2) + 2q(2)^2 + 4q(1)q(3) - 4q(4),
…
漸化式
p(k) = Σ[j=1,k] (-1)^{j-1} p{k-j} q(j), 漸化式
p(k) = Σ[j=1,k] (-1)^{j-1} p{k-j} q(j),
= p(k-1) - a･p(k+1-n) - b･p(k-n),
= p(k-1) + (1/(n-1))p(k+1-n) + ((nn-3n+1)/n(n-1))p(k-n),
ここに
a = - 1/(n-1),
b = - (nn-3n+1)/(n(n-1)),
なお、基本対称式は
q(0) = n,
q(1) = 1,
q(2), … q(n-2) = 0,
q(n-1) = (-1)^n /(n-1),
q(n) = (-1)^{n-1} (nn-3n+1)/(n(n-1)), 正数解 α ≒ 1 + (1/(n-2))W(n-1),
負数解 β ≒ - 1 + log(2)/(n-1), (n：偶数)
他は虚数解… β ≒ - 1 + log(2)/n + {3 + (1/2)log(2)(1-log(2))}/nn
= - 1 + 0.6931472/n + 3.1063471/nn f:R→Rがf(f(x))=e^xを満たすとする(fは一意に決まらない)
f(1)の値として取りうる範囲を求めよ 前>>75
>>136
3:4:5の直角三角形を2枚ずつてれこで貼りあわせた長方形を、
縦横3枚4枚並べると、
一辺12の正方形ができる。
三角形の数をできるだけ少なくするには、
3:4:5を2つ
5:5:6を3つ
6:8:10を2つ
10:10:12を1つ
の8分割にするといい。 >>136
まずn×nを分割した三角形の面積をSiとでもすると
n^2=ΣSi
かつヘロンの公式からSi^2は有理数
よって両辺のトレースを計算することによりSiは全て有理数とわかる
ここで3辺がa,b,cの時面積は
1/4√(-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2)
であるが、a,b,cのうち奇数が3個、又は1個の時ルートの中がmod 4で3に合同となり平方数になり得ないので不可能
よって組み合わせとして許されるのは全部偶数か奇数2個のみ
奇数2個の場合ルートの中は32の倍数で面積は偶数、全部偶数の時はa/2,b/2,c/2に議論を還元してやはり面積は偶数とわかる
同様に考えて3の倍数である事もわかり面積は6の倍数である
よってnも6の倍数とわかる
6×6が不可能で12×12が可能であるのも容易にわかるから、求める分割可能な最小の正方形は12x12 >>147
g(x)=e^xとおくとする
f^(2)=gとなるfを以下”gの平方根”と呼ぶとする
任意の実数が0以下の実数rと非負整数nを用いてg^(n)(r)と一意に表される事に注意する
0以下の実数rに対しGr = { g^n(r) }とおくとする
よってgの平方根fは0以下の実数のペアリング
(-∞,0] = ∪ { ri,si }
を用いて
f(g^(n)(ri) = g^(n)(si)
f(g^(n)(si) = g^(n+1)(ri)
を満たすものに限られる
特に1はG0に属し、1=g(0)であるからf(1)として得られる実数は負の実数rを用いてg(r)かもしくはg^(2)(r)と表されるものである
以上によりf(1)の取りうる値の範囲は
(1,e) ∪ (e,e^2)
である 某スレより
問：999999999999以下で最も多くの種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる数は何か？
解説：ピタゴラス三角形とはご存じの通り、辺長がいずれも正整数の直角三角形のことであるが、
例えば 24 は (24,7,25),(24,10,26),(24,32,40),(24,70,74),(24,143,145) の5種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる。
(ここで「底辺」は斜辺でない辺のいずれかを指す)
24未満の正整数で5種類以上のピタゴラス三角形の底辺となりうる数はないので、
「24以下で最も多くの種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる数は何か？」の解は24である。
上の問いは、同様のことを1兆未満の正整数で求めよというもの。
計算機で総当たりするより理詰めで解く方が向いていると思ったのでこちらのスレに移動してみる。 ようは2mnか(m+n)(m-n)の形で最も多く書ける数を調べればいいわけだ
単純に約数の個数が最大のものとはならないんだろうか 多分だけど1兆の2つ手前の高度合成数に2の累乗をかけて1兆に近づけたやつが答えなんじゃないだろうか 単純に約数の種類が多ければいいってもんじゃないかもしれないけど、高度合成数に考え方は似てるよね
思いきって、１兆以下の１兆に一番近い高度合成数が最大だと予想しておく >>150
解き方としては大正解です
最後がもったいないミス こんなの解ける人間には簡単
整数論のイロハのイ
ガウス環の素因数分解だよ >>136
コレもしかして6n×6nで分割可能なのはnが偶数の時に限られたりしない？
反例ある？ 長方形で分割するなら必ず偶数になるね
それ以外の複雑な分け方ってあるんだろうか 例えば60×60で36-48-60の直角三角形を60の辺を正方形の辺に合わせておけば中に斜めってる12×12が残ってそれを埋めるとかで長方形を分けていくのとは違うのができる
どのみち「長方形に分ける方法ではできないからどうやっても無理」は通らないし 分割数最小は
12×12で
(0,0)から(12,9)
(8,6)から(0,12)
(8,6)から(8,12)
(8,12)から(12,9)
に線分を引いた5分割でいいのかな 最小の方は最小性の証明ができん
３分割不可能の証明すら思いつかない ちなみに３分割不可能の証明は多分不定方程式
2xy=2zw=x^2-y^2+z^2-w^2
が整数解を持たない事とかになると思うんだけど、でどうしたものか >>164
変数4つは多すぎる
3分割なら正方形の1辺を1:nにわけるとかでできないか >>165
「存在するなら1:nの形」が言えるならもちろん終わり
(n+1)^2+1^2が平方数になるnは存在しない
変数の数増やすだけなら
楕円曲線
((s^2+2s-1)/(2s))^2+1 = t^2
が0<s<1である有理点を持たない事を示す
でもいい
しかしできるんかねぇ？
コンピュータに調べさせたら4桁/4桁くらいまでは解なし
オレは出題者も答え持ってないと踏んでる >>151
底辺 N のとき、ピタゴラス三角形の種類の数を P(N) とする
N の素因数分解表示を N = 2^e Π p_k^e_k (p_k は奇素数) とすると、P(N) = |2e - 1| (Π(2(e_k) + 1)) - 1) / 2
N = 931635825120 = 2^5 × 3^3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 のとき、
P(N) = ((9 × 7 × 3^8) - 1) / 2 = 206671 >>168
N=24=2^3･3^1のとき、
P(N)=((2･3-1)(2･1+1)-1)/2=7
151の設問と合ってないような >>170
P(24)=7で正しい
151の例示に抜けがある 上で出てきた高度合成数（＝A002182）は、約数の個数の記録を更新する正整数のこと
1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, ...
同じようにP(N)の記録を更新する数を列挙すると、高度合成数と重なる部分もあるが微妙に異なっている
3, 8, 12, 24, 48, 60, 120, 240, 360, 420, 720, 840, 1680, 2520, 3360, 5040, 9240, ...
法則をどう見つけたら良いだろうか もちろん単純に約数の個数とピッタリ一致するはずもないからねぇ？
いつものごとく思考0で解くんでしょ？
ひたすら法則見つかるまで計算機で計算し続けたらええやん？ 素因数分解の問題になるから大雑把な法則はあるかもしれないが次の数を予測するようなものはなさそう
P(N)との重なりを調べるよりもP(N)×1/2でとの重なりを調べた方がいい気がする >>174
いくら計算しても計算機は答えしかくれないからね
法則は人間が見つける必要があるよ 高度合成数は、約数の数が評価関数になっている。
これに対して、P(N)は、
Nが偶数の時は (N/2)^2の約数の数
Nが奇数の時は N^2の約数の数
が、評価関数になっている。(正確には、(約数の数-1)/2)
似た傾向を持つことも、完全には一致しないことも納得できると思うが。 評価関数はP(N)そのものではないの？
約数関数をd(N)として、P(N)とd(N/2)を比べても増減の傾向が厳密には一致していないから、記録更新の箇所が異なるんでしょ >>175
P(N)の記録を1/2にしたものと比較（×は不一致）
×1, ×2, 4, 6, 12, 24, ×36, ×48, 60, 120, 180, ×240, 360, ×720, 840, 1260, 1680, 2520, ×5040, 7560, ...
×3/2, 4, 6, 12, 24, ×30, 60, 120, 180, ×210, 360, ×420, 840, 1260, 1680, 2520, ×4620, 7560, ...
公比2の等比数列となっている部分を抜き出して並べ替え
(1, 2, 4), ( , 6, 12, 24, 48), 36, ( , 60, 120, 240), (180, 360, 720), ( , , 840, 1680), (1260, 2520, 5040), , (7560, 15120), ...
( , , 4), (3/2, , 6, 12, 24, ), , (30, 60, 120, ), (180, 360, ), (210, 420, 840, 1680), (1260, 2520, ), 4620, (7560, ), ... >>179
一般に約数関数といえば、約数の和を指すので、
ここでのd(N)は、Nの正の約数の個数を表す関数ということで、いいですよね。
高度合成数の数列は、当然、d(n)が評価関数になっています。
>>173の下の数列を、高度ピタゴラス数の数列と呼ぶこととすると、高度ピタゴラス数は
d(N^2/4) または、d(N^2) が評価関数となります。(前者か後者かは、Nの偶奇によります)
d(N/2)は、この議論に関係ありますか？ 関係あるのはd((N/2)^2)のはずですが。 >>181
失礼しました。175の話題とごっちゃにしていて ^2 を見落としてました。
評価関数がP(N)そのもの、という点に誤りはないと思っています。
ただ、偶数のNに限れば 2P(N)+1 に等しい d((N/2)^2)の増減傾向は P(N)と変わりありませんので、d((N/2)^2)を評価関数とすることに異論はありません。 n = 2^a1 * 3^a2 * 5^a3 * ... * pn^an
と素因数分解できるとき、高度合成数の評価関数は
(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)* ... * (an+1)
であり、高度ピタゴラス数の評価関数は
|2*a1-1|*(2*a2+1)*(2*a3+1)* ... * (2*an+1)
となります。
これを踏まえれば、「似た傾向を持つことも、完全には一致しないことも納得できると思うが。」
という意見を>>178では書きました。 そうか、二乗か・・・。と思ってリストに当てはめようとしましたが
そもそもどちらのリストにも殆ど平方数は含まれていないので、
2倍とかと同じように調整して重なる部分を単純に比較する、ということはできないですね。 >>180
NとP(N)を両対数軸でプロットしたところ
青い線は公比2
http://imgur.com/G1mroq0.png
P(N)を増やすにはNを2倍するのが最も効率が良いかと思われるけど指数 e が増えると効果が低くなる
そのような場合は奇素数の指数 ek を増やして補うと良い >>187
Nを偶数に限って考えてみる。N=2nとして、評価関数にP(N)の代わりにD(n)=d(n^2)を採用する(dは約数関数)。
nに素数pで乗じたときのD(pn)は、nの素因数分解のpにおける指数をeとして、
D(pn)/(2(e+1)+1)=D(n)/(2e+1), よって、D(pn)=(1+2/(2e+1))D(n)
横軸をnと縦軸をD(n)で取った両対数軸のグラフにD(n)とD(pn)をプロットすると、
線分(log n, log D(n))-(log pn, log D(pn))の傾きが
((log D(pn))-(log D(n)))/((log pn)-(log n))=(log (1+2/(2e+1)))/log p となる
n<499999999999の範囲でD(n)が最も大きくなるnを見つけるためには、
この範囲で、グラフ上で線分の傾きが最も大きくなる素数を選んで掛け合わせていくと良い
まず、n=1 から始める。nの素因子の指数はすべて0なので、1→pの傾きはpが最も小さいときに最も大きい。よって次のnは2*1=2
n=2 について、2→4, 2→6 の傾きはそれぞれ log(5/3)/log(2), log(3)/log(3) であり、2→6 の傾きが大きいので次のnは6
同様にして、評価関数グラフの傾きが大きい素因子を選択すると以下のようになり、
1→2→6→12→60→420→840→2520→27720→360360→6126120→116396280→232792560→5354228880→155272637520→465817912560
N=2n=931635825120=2^5*3^3*5*7*11*13*17*19*23*29 のときD(n)は最大値D(n)=d(n^2)=9*7*3^8=413343をとる
このとき、P(N)も最大でP(N)=(d(n^2)-1)/2=206671
なお、Nが奇数の場合も評価関数をd(N^2)とすることで同様に考えることができ、
N=902522205585=3^3*5*7*11*13*17*19*23*29*31のときP(N)=(7*3^9-1)/2=68890 ダメやろ
使える素数の数がひとつ増えた時、値が最大になる解が前の最大解にひとつ素数を追加したものであるのは決して自明ではない
それで答えが合うにしても「答えあってるからいい」ならプロおじレベル
それでいいならいいが 実際に「高度(非斜辺)ピタゴラス数」を計算させてみた。偶数限定なので、3を加えると、順番は一つずつズレる。
68:{53542288800, 82012},69:{64250746560, 84199},70:{80313433200, 89302},71:{107084577600, 100237}
72:{155272637520, 114817},73:{214169155200, 118462},74:{310545275040, 147622},75:{465817912560, 160744}
76:{621090550080, 180427},77:{776363187600, 191362},78:{931635825120, 206671},79:{1242181100160, 213232}
80:{1552726375200, 246037},81:{1863271650240, 252598},82:{2329089562800, 267907},83:{3105452750400, 300712}
84:{4658179125600, 344452},85:{6210905500800, 355387},86:{9316358251200, 420997},87:{9626903526240, 442867}
88:{14440355289360, 482233},89:{18632716502400, 497542},90:{19253807052480, 541282},91:{24067258815600, 574087} >>192
御託だけは一丁前だな
期待値も分からないくせに まぁ考えてみるのは勝手だから挑戦してみればいい
要するに問題は
束縛条件
Σei log(pi) ≦ logN
における
S=Σlog(2ei+1)
の最大値を求める問題
束縛条件を満たす領域は条件が線形だから超三角形というか、超四面体というかそんな感じの領域
Nを少しずつ増やしていったときSを最大にする点PNについて次のP(N+1)はPNに隣接しているのかという問題
もちろんSがどんな凸関数取ってきても成立するわけではない
今回問題になってるSだとなんかの特殊事情で成立してるかもしれない
成立してると思うなら挑戦してみるのはいい事ではある
しかし証明できるまではただの妄想に過ぎない
問題の性格上68位でやってみた結果なんかひとつもあてにならんしな 押すと(1/2)^nの確率でn億円貰えるけど
一度押したら当たるまでその部屋から出られなくなるボタン
nは押すたびに1→2→3……って1ずつ増えてく
押す？ 前>>148
>>162
いい。
12×12内に最大の9:12:15をとり、
逆側から3:4:5
その谷間に5:5:6
残る台形を6:8:10
と10:10:12に分ける。
たしかに5分割。 >>199
語るに落ちてるじゃないか。底無しのバカとお見受けする。
そんなお前は出禁だぞ。 期待値有限で出られない可能性あるならやる価値はないな 1/2 < 1 - 1/2 < e^(-1/2),
(1/2)^{1/2} < 1 - 1/4 < e^(-1/4),
(1/2)^{1/4} < 1 - 1/8 < e^(-1/8),
…
(1/2)^{1/2^(k-1)} < 1 - 1/(2^k) < e^(-1/(2^k)),
…
辺々掛けて
1/4 < P < 1/e,
0.25 < P < 0.36788 カタルニア落ちた
カタルニアにしてもスコットランドにしても…
還付金とか、取るに足らんイザコザをあげつらって「独立運動」と言ってるが
本気で独立する気なら、だれを首相にするのか？
今の首相よりいいのか？ >>195
無限ループ回避のため、ボタンを押す回数の上限を1000回に設定してシミュレーションプログラム1万試行してみたら
獲得賞金の期待値
> mean(y)
[1] 1.0947
1000回までに賞金が獲得できない（＝部屋から出られない）確率は
> mean(y==0)
[1] 0.2828
オマケ（Rのコード）
sim <- function(MAX=1e3){
n=0
win=FALSE
while(!win & n < MAX){
n=n+1
win=rbinom(1,1,(1/2)^n)
}
return(ifelse(n==MAX,0,n))
}
y=replicate(1e4,sim())
hist(y,breaks='scott',ann=F, axes=F) ; axis(1)
mean(y)
mean(y==0) >195を改題
押すと(1/2)^nの確率で2^n億円貰えるけど
一度押したら当たるまでその部屋から出られなくなるボタン
nは押すたびに1→2→3……って1ずつ増えてく
押す？ >>195
５回以内くらいに当たらないと部屋から出られる確率がぐんと減るんだな。
https://i.imgur.com/Mbb4Xsf.png １０億円以上の賞金を獲得して部屋から出られる確率を計算させてみると
0.0005647745 >>172
24のときの正しい例示は
> Pithago(24)
[[1]]
[,1] [,2] [,3]
[1,] 7 24 25
[2,] 10 24 26
[3,] 18 24 30
[4,] 24 32 40
[5,] 24 45 51
[6,] 24 70 74
[7,] 24 143 145
[[2]]
[,1] [,2] [,3]
[1,] 7 24 25
[2,] 24 143 145
[[2]]の方は原始ピタゴラス数の組み合わせ。 サイコロを6の目が6回連続で出るまで振り続ける時、サイコロを振る回数の期待値はいくつ？ >>216
1回連続から15回連続までの試行回数の期待値
> E(1/6,1:15)
[1] 6 42 258 1554 9330 55986
[7] 335922 2015538 12093234 72559410 435356484 2612139164
[13] 15672839570 94037367119 564224202719 >>219
どんな形状の分布になるのか興味が湧いたので数を減らしてシミュレーション
https://i.imgur.com/TitE0sw.png xyz空間において、x軸からの距離が1以内かつ、y軸からの距離が1以内である領域の体積を求めよ。 >>221
原点を中心とする単位球と対象の領域を平面z=aで切断した断面積の比は常にπ:4だから
(4*π/3)*(4/π)=16/3 >>221
どんな形状になるのんだろ？
円柱を円筒でくりぬいた立体になるのか？？ >>224
すごいな、4本や6本の場合も意外とシンプルな体積になるんだ
どうやって計算するんだろう >>225
受験で出てくる直角に公差する場合と同じでしょ？
全部半径1とする
各円柱を[-π,π)×Rに展開した時、他の円柱との公差はただのサインカーブ
円柱が何本あろうが位相差が出るだけ
なので表面積は楽勝
1/3倍すれば体積 >>226
もう少し詳しく頼む
何本あろうが、ってある程度キレイに交差してないとダメなんじゃないの？それも関係ない？ >>223
モンテカルロ法で描画と求積
https://i.imgur.com/7psy12u.gif
Geogebra使いがもっと分かりやすい動画をあげてくれるかも。
体積は
N=1e7
moca=cbind(runif(N,-1,1),runif(N,-1,1),runif(N,-1,1))
f <- function(x) x[2]^2+x[3]^2<=1 & x[1]^2+x[3]^2<=1
P=moca[apply(mc,1,f),]
nrow(P)/N*2^3
> nrow(P)/N*2^3
[1] 5.335401
>222の16/3と近似。 >>227
軸が共有点持てばいい
２つの柱の公差部分は平面２つとの共有部分に等しい
証明もそんなに難しくない
(cos(t),sin(t),z)
と平面px+qy+rz=0の共有点はpcos(t)+qsin(t)+rz=0よりz=-(pcos(t)+qsin(t)/rなので振幅が√(p^2+q^2)/rのサインカーブで位相は(p,q)の偏角で決まる
どんなサインカーブになるかは２つの柱の軸の公差角だけで決まる >>223
|y| ≦ cos(x) (-π/2≦x≦π/2)
のグラフを4つ切り抜いて 貼り合わせた形？ >>219
E(0) = 0; E(n) = 6*E(n-1) + 6.
と云う数列らしい。
http://oeis.org/A105281 k回目の「(n-1)個連続」で初めて「n個連続」となる確率は (5/6)^{k-1}･(1/6)
それに要する回数の期待値は (E(n-1)+1)･k
E(n) = {E(n-1)+1}Σ[k=1,∞] (5/6)^{k-1}･(1/6) = 6{E(n-1)+1},
したがって
E(n) = (6/5)(6^n - 1), 訂正
E(n) = {E(n-1)+1}Σ[k=1,∞] ｋ･(5/6)^{k-1}･(1/6) = 6{E(n-1)+1},
でした。 前>>198
>>221
半径1の樋を鉢合わせにしたような円筒が直交してる部分の体積だから、
π×1^2×2=2π
∵直交部分の斜め45°切りした片方を斜め45°に180°回転すると高さが2になる。 前>>198
>>221
半径1の樋を鉢合わせにしたような円筒が直交してる部分の体積だから、
π×1^2×2=2π
∵直交部分の斜め45°切りした片方を斜め45°に180°回転すると高さが2になる。 前>>238訂正。
>>221
>>235の図のように円筒の端も円筒状に削って、
半径1の樋を鉢合わせにしたような円筒が直交してる部分の体積は、
π×1^2×2×(π/4)=π^2/2
または(π^2/2)(π/4)=π^3/8 前>>239
>>228見てわかった。
緑の生命体をz=tで斬った断面は一辺2√(1-t^2)の正方形。
V=2∫[t=0→1]｛2√(1-t^2)^2｝dt
=8∫(1-t^2)dt
=8[t-t^3/3](t=1)
=8(1-1/3)
=16/3 >>240
>235のタイガース配色より>228のモノリスの方が見やすかった？ 前>>240
>>241
なんかしらんかわいくて、緑の奴を斬ったらどうなるかと、
気づく瞬間があった。
全体の形を把握しやすいのはタイガースのほうだったけど、
動いてる緑の奴見て、斬ったよ、あ！ 正方形だ！ ってなった。 等脚台形が1つと、その等脚台形と相似で辺の長さを2倍にしたやつが2つ、3倍にしたやつが3つ、4倍にしたやつが4つある
これら10個の図形を並び替えると、元の等脚台形と相似で辺の長さを10倍にした図形ができあがった
元の等脚台形の辺の比を求めよ >>217
k回目に初めて 6以外の目が出る確率は
(5/6)(1/6)^{k-1}, (1≦k≦6)
(1/6)^6 (k≧7 の合計)
それに対する、サイを振る回数の期待値は
x+k, (1≦k≦6)
6 (k≧7 の合計)
したがって
Σ[k=1,6] (x+k)(5/6)(1/6)^{k-1} + 6(1/6)^6
= [ {1-(1/6)^n}(x + 6/5) - n ](n=6) + (1/6)^5
= {1-(1/6)^6}(x + 6/5) - 6 + (1/6)^5
= x - (x - 55986)/(6^6), 前>>242
>>243
4倍したやつの上底をxとおくと、
2x+4=6+3x/4
x=8/5
8/5:4=2:5
∴2:5 前>>242
>>243
4倍したやつの上底をxとおくと、
2x+4=6+3x/4
x=8/5
8/5:4=2:5
∴2:5 前>>247
等脚台形の側辺の下底に対する角度を45°にするとUFOらしくなる。
上底を2,下底を5,高さを1.5とすると、
最初の等脚台形の面積は｛(2+5)×1.5｝/2=5.25
相似比2の2個の面積はともに5.25×2^2=21
相似比3の3個の面積はともに5.25×3^2=47.25
相似比4の4個の面積はともに5.25×4^2=84
すべて足すと5.25+21×2+47.25×3+84×4=525
これは最初の等脚台形の面積の100倍
∴切り貼りして相似比10の等脚台形を作ることができる。 撤回と言ったのに・・・
答えはあるから解いてもいいけどさ >>250
ドユコト？
自明解的なものがあるとか？ 前>>248
>>249
そんな感じで切って貼ってみて。
絶対きっちり埋まるから。 切っていいならどんな形でもいい
そういう問題じゃない 配置はこんな感じ
https://i.imgur.com/1NqFxkq.jpg
別解の有無については知らないというし、あまり数学的な問題ともいえないので撤回した 問題の一般化
1つの平面図形と、2≦k≦nであるそれぞれのkについて元の図形と相似比がk倍のものがk個あるとき、それらを切らずに組み合わせて元の図形と相似なものを作ることは、2以上のどの自然数nで可能だろうか >>258
いつも思うけど、これ系マジで何食えば思いつくんだよ >>259
n=4,等脚台形に限っても割と難しいのに一般化して解けるんだろうか
2や3ですら解けるかどうか・・・ まぁこの手のパッキングプロブレムはいろんなタイプが数学愛好家の間で研究されてて論文誌に掲載されたりするレベルのやつもあるからな
数学のメインストリームには上がらないにせよ一部マニアの間では根強い人気のあるテーマではある
ともかくこの手の問題はひたすら根気あるのみか計算機に頼るしかない事が多いわな 前>>254
>>261
オマール海老のフリカッセ。 >>258
このパターンは等脚台形じゃなくてもいいみたいで
http://imgur.com/XY0RnzN.png
裏返してもよければ反対側に傾けてもいい xy≡1 mod N ⇒ x≡y mod N
が成り立つのはNがどんな時か？ 環Rの単数群をR^とする
Z/nZ^が位数3以上の元を持たない事が必要
m|nのときZ/mZ^はZ/nZ^である
pが5以上の素数のときZ/pZ^は位数(p-1)の元を持つからnが5以上の素因子を持たない事が必要
Z/9Z^は2を含む類の位数が6だからnが9で割り切れない事が必要
Z/16Z^は3を含む類の位数が4だからnが16で割り切れない事が必要
Z/24Z^≡Z/8^×Z/3Z^≡(Z/2Z)^3だからnが24のとき適、前述の通りその約数も適 x1+x2+x3+...+x9=9を満たす非負整数で
x1,x2,...,x9を並べて
000000009から900000000までの数字を作るとき12345番目の数字は何か？ 8本の“|”と9個の“○”の並べ替え図を各数字に対応させる。例↓
000000009:||||||||○○○○○○○○○
900000000:○○○○○○○○○||||||||
103020111:○||○○○||○○||○|○|○
一番左に|が来る場合、残り|が7本と○が9個では、C[16,9]=11440通りの方法があり、12345には足りないので、一番左には○が来る
一番左を○に固定すると、11440通りの並べ替えを消費。残り12345-11440=905
“○|”と始まる場合、残り|が7本と○が8個で、C[15,8]=6435>905、
“○||”と始まる場合、残り|が6本と○が8個で、C[14,8]=3003>905、
“○|||”と始まる場合、残り|が5本と○が8個で、C[13,8]=1287>905、
“○||||”と始まる場合、残り|が4本と○が8個で、C[12,8]=495<905、なので、
“○|||○”が確定。495消費し、残り905-495=410
“○|||○|”と始まる場合、残り|が4本と○が7個で、C[11,7]=330<410、なので、
“○|||○○”が確定。330消費し、残り410-330=80
“○|||○○|”と始まる場合、残り|が4本と○が6個で、C[10,6]=210>80
“○|||○○||”と始まる場合、残り|が3本と○が6個で、C[9,6]=84>80
“○|||○○|||”と始まる場合、残り|が2本と○が6個で、C[8,6]=28<80、なので
“○|||○○||○”が確定。28消費し、残り80-28=52
“○|||○○||○|”と始まる場合、残り|が2本と○が5個で、C[7,5]=21<52、なので
“○|||○○||○○”が確定。21消費し、残り52-21=31
“○|||○○||○○|”と始まる場合、残り|が2本と○が4個で、C[6,4]=15<31、なので
“○|||○○||○○○”が確定。15消費し、残り31-15=16
“○|||○○||○○○|”と始まる場合、残り|が2本と○が3個で、C[5,3]=10<16、なので
“○|||○○||○○○○”が確定。10消費し、残り16-10=6
“○|||○○||○○○○|”と始まる場合、残り|が2本と○が2個で、C[4,2]=6、なので
これに、○○||を付加して、○|||○○||○○○○|○○||
これは、100204200 に対応する並べ替え図 以下最上位に0を許す9桁の数として考える
上1桁が0である物 8H9 = 11400
上4桁が1000である物 5H8 = 495
上4桁が1001である物 5H7 = 330
上5桁が10011である物 4H6 = 84
上6桁が100111である物 3H5 = 21
上6桁が100112である物 3H4 = 15
コレで計12345
よって12345番目の数は上6桁が100112である最後の数
∴100112400 訂正
以下最上位に0を許す9桁の数として考える
上1桁が0である物 8H9 = 11440
上4桁が1000である物 5H8 = 495
上4桁が1001である物 5H7 = 330
上5桁が10011である物 3H6 = 28
上6桁が100111である物 3H5 = 21
上6桁が100112である物 3H4 = 15
上6桁が100113である物 3H3 = 10
上6桁が100114である物 3H2= 6
コレで計12345
よって12345番目の数は上6桁が100114である最後の数
∴100114200 訂正
訂正
以下、上位桁に0を許す9桁の数として考える。
上1桁が0であるもの 8H9 = 16C9 = 11440,
上4桁が1000であるもの 5H8 = 12C8 = 495,
上4桁が1001であるもの 5H7 = 11C7 = 330,
上6桁が100200であるもの 3H6 = 8C6 = 28,
上6桁が100201であるもの 3H5 = 7C5 = 21,
上6桁が100202であるもの 3H4 = 6C4 = 15,
上6桁が100203であるもの 3H3 = 5C3 = 10,
上6桁が100204であるもの 3H2 = 4C2 = 6,
コレで計12345
よって12345番目の数は上6桁が100204である最後の数
∴ 100204200. >>276 ダメだ
ポロポロ
>>277-278は無視して
寝ます >>279
なんでそうやってわざわざ他人の間違いを嘲笑うかのようなレスするの？
楽しいん？
お前数学がどうこういう以前の問題だよ ある呪文によると12345個めは
1 0 0 2 0 4 2 0 0との事です。
全部で24310個あるそうです。 さすがプログラム板だけあってもう答え上がってる
しかも中々に美しい 呪文は実質１行ですむ。
https://ideone.com/KFeP2F
x1+x2+····+xk=ｍの非負整数解を列挙。 >>288
(a+1/a+b+2/b+c+3/c+d+4/d+e+5/e)^21の
a*b^2*c^3*d^4*e^5の係数を求めよ。
を解くための部品なので、場合分けして計算するには列挙が必須。
35通りだから手書きでもできなくはないとは思うけど。 >>289
> (a+1/a+b+2/b+c+3/c+d+4/d+e+5/e)^21の
> a*b^2*c^3*d^4*e^5の係数を求めよ。
これは面白い問題でもプログラミングの問題でもなく、ただのWolfram処理問題でない？
Wolfram Mathematicaに訊くと一瞬で
Residue[(Residue[(Residue[(Residue[(Residue[(a+1/a+x)^21/a^2,{a,0}]/.x->x+b+2/b)/b^3,{b,0}]/.x->x+c+3/c)/c^4,{c,0}]/.x->x+d+4/d)/d^5,{d,0}]/.x->e+5/e)/e^6,{e,0}]
=9738383692957920 {a+b+(2/a)+(1/b)}^7を展開したときのab²の係数を求めよ、という問題の数を増やしただけ。 半径1、中心Oの円周上の二点A,Bを、∠AOBが直角になるように取る
短い方の弧AB上に点Pを
長い方の弧AB上に点Qをおくとき、
P,Qの中点がとりうる領域の面積を求めよ. >>294
ごめんちょっと問題文不備の修正ですが
A,Bは固定した点
として考えてください 半径1、中心Oの円周上の三点A,B,Cを、∠AOB = ∠BOC = ∠COAとなるように取る
弧AB上に点Pを
弧BC上に点Qを
弧CA上に点Rをおくとき、
三角形PQRの重心がとりうる領域の面積を求めよ. >>300
合ってます
アスペクト比を調整してもらうとこんな感じになると思います
https://i.imgur.com/utoF6gm.png >>302
じゃあ、罵倒厨謹製の粘土細工でアップロードしてくれ。 自分で問題出して勝手に間違って間違いだと指摘したら罵倒厨呼ばわり >>306
>>304
図はたしかにそうなりますね
>>294と>>299は俺のオリジナル問題です
もちろん数学的な証明でもって完答になるけど
>>300は「図」だけなら合ってるということです >>312
問題>>294の図のこと？
それなら数学的にも>>301になることは証明できるよ 長さ1以下のベクトル３つ足して3で割って(1,0)になるには３つとも(1,0)になるしかない >>315
やっぱり誤解してるじゃん
>>300と>>301の図は問題>>294だよ？ >>294は
「三角形の重心」ではなくて「線分の中点」です だからp,q,rの重心の位置ベクトルは(op+oq+or)/3でopとoqもorと単位円の円周上やろ？ >>318
あなたは問題>>299と誤解してますが
図>>300,>>301は
問題「>>294」です
点rなんて出てきません >>319
僕をプログラムおじさんと決めつけたことを謝ってください >>322
だ俺はお前をプログラムおじさんといったことは一回もないぞ
あってないと言っただけ
お前もオレを誰かと間違ってる
いずれにせよこんなレベルの問題くだらないよ >>323
>>306だと僕も誤解してましたすみません
ちなみに証明はわかりますか？ >>325
方針はどんな感じですか？
ちなみに片方の点を固定して包絡線を求める方法だと計算地獄になるのでまずいです >>326
書かないって
つまんないし
それで不正解と言いたいならそれでいい >>328
わかる人なら方針は一言で言えるはずなんですが >>328
>>325で証明は「わかる」と書いてます
その方針を一言でいうとどんな感じですか？ うるさいなぁ
適当にアフィン変換したら1/4の円弧の右端を3/4の円弧に沿って動かすだけやろ？
π/2～2πまで動かすとして最初のπ/2～πまでの通過領域は簡単
ちょっと議論が必要なんはπ～3π/2までだけどその時の動いてる円弧の中心とある定点の距離を考えればそこまで難しくない
最後の部分は図の対称性から容易
このスレのレベルに達してない >>331
円弧を動かす領域の計算は結局包絡線の計算になると思うのですが
煩雑な計算になりませんか？
ちなみに方針次第でもっとはるかに簡単に解くことができます 「あってない」の件もそうですけど
色々決めつけは良くないですよ 何で包絡線なんか関係するんだよ？
普通に考えてさして難しくもないんだから問題そのものにはどうやって解いたらいいんだろうと考える面白みはない
大体作問者本人の「面白い解法がある」はあてにならんしな
多分反応したのがプロおじみたいだからプロおじが考えるんじゃない？
私はもうやりません >>334
あなたの方針はこんな感じ
https://i.imgur.com/1B7tc41.png
の円弧の動きをアフィン変換により「円弧に沿う動き」にするという方針
でいいですか？ その場合アフィン変換した後の通過領域は得られると思うのですが、引き戻した領域が>>301のような領域になる証明はどんな感じでするんですか？ 最後ね
そのマークのうち1/4円弧の右下隅の奇跡がわかる
元の1/4円の方の動点が(1,0)に固定されてる場合の中点の軌跡は容易
それが合わさるアフィン変換なんてすぐわかるでしょうに
こんなの“受験問題縛り”がなければそんな難しい問題でもないでしょ？ 297を解答しましたが
形は301のものを想定しました
二円の交点と二中心が一辺1/2の正方形に位置しますので
面積は適当に切り貼りして求めることができます 前>>266
前スレの702をだれか解いてよ。あってんのかな？ >>309
重心を内心に変えて作図。
https://i.imgur.com/27qk2xX.png
重心を外心にかけての作図は省略。面積は０になる。 >>311
罵倒厨は自分と意見が違う人間が全部、同一人物に見える病気なのよ。 >>340
垂心でやってみた。
外れ値があるから、エラー処理が不完全なんだろうな。
https://i.imgur.com/TM1aQRl.png >>343
PとQが一致して三角形を形成しないときも垂心の座標を計算させていたバグを除去して再度作図。
https://i.imgur.com/2ke3xbl.png >>344
これをモンテカルロ法で求積する方法が思いつかないや。 >>322
プログラムで作図できると認定されて名誉なことだぞｗ >>299
面積求めるんだったよね
(√3)/6+2π/9 病気なのは自分に不都合な相手を罵倒厨とかほざくプロおじのほうだよ笑
医者じゃなくて患者だろお前 >>345
↑OH = 3↑OG (おいら)
だから >>304 を3倍に拡大すれば おk
面積は >>348 の9倍 いくらなんでも垂心の位置ベクトルの公式知らないなんて事はないやろ
釣りやろ 345は思いつかないと思ってるんだよ
簡単のため 外接円の半径R=1 とし、
O (0,0,0)
A (cosα, sinα)
B (cosβ, sinβ)
C (cosγ, sinγ)
とおくと
G ( (cosα+cosβ+cosγ)/3, (sinα+sinβ+sinγ)/3 )
H ( cosα+cosβ+cosγ, sinα+sinβ+sinγ )
I ( cos((α+β)/2)+cos((β+γ)/2)-cos((γ+α)/2),
sin((α+β)/2)+sin((β+γ)/2)-sin((γ+α)/2) )
よって
↑OH = 3↑OG どうやろ？
いくら345がアホでも>>352を知らないとは思えないけどな
つい先日別スレで単位円に内接する三角形の内心、垂心、重心の話自分で書いてたとこやのに
R使ってるも一人のやつにモンテカルロで求積させようとしてるんじゃないの？
仲間が欲しいんじゃないの？
受験の時には知らなくてもついこないだ自分でふったテーマで出てきた話題で出てきたのに出来ないのはアホすぎる >>340
内心がとりうる領域は、幅√3 のルーローの三角形 。
半径√3, 中心角60° の円弧3個 からなり、
面積は (3/2)(π - √3) = 2.114312769 >>355
補助線の助けがないと答が出せないのは情けない。 とりうる領域の面積
外心O
0 >>340
重心G
(1/6)√3 + 2π/9 = 0.986806835 >>348
垂心H
(3/2)√3 + 2π = 8.881261519 >>350
内心I
(3/2)(π - √3) = 2.114312769 >>354
九心N (九点円の中心)
(3/8)√3 + π/2 = 2.220315380
一辺の中点M
(1/4)√3 + π/3 = 1.480210253 フェルマー点は円全体になる希ガス
××心と名前ついてる点は腐るほどある
キリがない では三角形から四角形,五角形,n角形に拡張して重心を求めるとどうなるだろう？ この問題、円みたいな凸図形を考えるよりもアステロイドのような非凸図形を考えた方が面白そう まぁ計算アルゴリズム見つかる計算機にも解ける問題の域はでないやろ
もちろんブロおじがやってるような意味じゃなくね 角の数を増やすと円に近づくから重心の面積は減ってくはず >>367
その前に補助線引けるようになろうな。笑 △ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をr、外心、内心、垂心、9点円の中心をO,H,I,Nとおく
cosA,cosB,cosCのi次基本対称式をsiとおく
以下を示せ
(1) r/R=2sinAsinBsinC/(sinA+sinB+sinC)=s1-1
(2) OH^2=4s1-8s2-3, OI^2=-2S1+3, OH.OI =s1-2S2
(3) R-2r = NI (1)
r = 2⊿/(a+b+c)
R = abc/(4⊿),
辺々掛けて
r R = abc/{2(a+b+c)},
これに正弦定理を使う。
(2) 右辺のR^2を省いた。
(3) (R-2r)/2 = NI
分かスレ４６６
481-482, 495-496を参照 おっと色々間違ってたな
ちなみに容易してる解答は
OA = a, OB=b, OC=c
とでもおいて
OH=R(a+b+c),
(sinA + sinB + sinC)OI=sinA a + sinB b + sinC c
aa = bb = cc = R^2
bc = cos2A, ca=cos2B, ab=cos2C
を使う
c=π-(A+B)でC消去してwolfram大先生にお願いすればやってくれるけど、全部合わせてもノート3ページほどで済むので興味ある人はやってみそ OH=a+b+c
bc=R^2cos2A,...
でしたorz
ノートではR=1で計算してるからな 気色悪いな
補助線すら引けないやつが能書き垂れてるのって 5桁の自然数のうち、いずれかの位を取り除くと1122になるものを考える。
例えば11232から十の位を取り除くと1122になる。
このように、ある位の数を取り除くと1122になる数は、11232を含めていくつあるか。 3～9の入れ方7×5=35通り
0を入れてできるもの : 10122, 11022, 11202,11220
1を入れてできるもの : 11122, 11212, 11221
1を入れてできるもの : 21122, 12122, 11222
計40個 >>375
ひたすら書き出す。
> num[f(N)]
[1] 10122 11022 11122 11202 11212 11220 11221 11222
[9] 11223 11224 11225 11226 11227 11228 11229 11232
[17] 11242 11252 11262 11272 11282 11292 11322 11422
[25] 11522 11622 11722 11822 11922 12122 13122 14122
[33] 15122 16122 17122 18122 19122 21122 31122 41122
[41] 51122 61122 71122 81122 91122
https://ideone.com/eNMqDh ７桁の自然数で111222になる数は
> N[f(N)]
[1] 1011222 1101222 1110222 1111222 1112022 1112122
[7] 1112202 1112212 1112220 1112221 1112222 1112223
[13] 1112224 1112225 1112226 1112227 1112228 1112229
[19] 1112232 1112242 1112252 1112262 1112272 1112282
[25] 1112292 1112322 1112422 1112522 1112622 1112722
[31] 1112822 1112922 1113222 1114222 1115222 1116222
[37] 1117222 1118222 1119222 1121222 1131222 1141222
[43] 1151222 1161222 1171222 1181222 1191222 1211222
[49] 1311222 1411222 1511222 1611222 1711222 1811222
[55] 1911222 2111222 3111222 4111222 5111222 6111222
[61] 7111222 8111222 9111222 なんでプロおじはもう終わった問題で数学ごっこしてるの？ 分数5/99997を小数で表したとき、小数点以下で0でない数が初めて5個以上並ぶのは、小数第何位からか。また、そこからの0でない5個の数を順に書け。（某高校入試問題） >>362
円に内接するn角形
￣￣￣￣￣￣￣￣
正n角形については、重心は外心Oと一致する。
(n-1)個の頂点を上記で固定し、残った頂点Pを外接円上で動かすと、
重心Gは、Oを通る半径R/n の円周を描く。（Rは外接円の半径）
頂点Pの選び方はn通りあるから、n個の円の和集合となる。
Oからの中心角が 2π/n の部分をとれば十分。
これは 頂角 (1-2/n)π のΔが2つと、中心角4π/n の扇形 からなり、
面積は {sin(2π/n) + (2π/n)}(R/n)^2
とりうる領域の面積
O 0
G {sin(2π/n) + (2π/n)}RR/n,
H (Gの9倍)
N (Gの 9/4 倍)
nについて単調減少 >>366 >>385
5/99997 = 5/(10^5 - 3)
= 5･10^(-5)／{1 - 3･10^(-5)}
= 10^(-5)･Σ[k=0,∞] 5･{3･10^(-5)}^k
= Σ[k=0,∞] 5･(3^k)･10^(-5-5k)
初めて
5･3^k > 10^4
となるのは k=7 のとき
k=6 ： 3645･10^(-35) = 3.645･10^(-32)
k=7 ： 10935･10^(-40) = 0.00010935･10^(-32)
小数第32位～
36451 >>386
(-1,0) から 弧 (cos(π/n), ±sin(π/n)) を見た円周角は π/n.
これは 半径 2cos(π/2n), 中心角π/n の扇形。
Iのとりうる範囲は n個の扇形の共通部分になる。
Oからの中心角が 2π/n の部分をとれば十分。
これは 上記の扇形から頂角(1-1/n)π のΔ 2つを引いたもので
面積は {[1+cos(π/n)](π/n) - sin(π/n)}RR,
とりえる領域の面積
I {[1+cos(π/n)]π - n sin(π/n)}RR, n=3の時でも外周は２つ固定して残り一個を動かした３つの円弧の合併になってない
答えの数値なんかどうでもいい
何故答えがあんな形になるのかの論述部分があってなければ意味はない 各頂点は、円周をn等分した区間(端点も含む)に拘束されるが
>>386 のような動き方は許される。したがって
>>304 >>344 (ミッキーマウス形)
になると思われ。 n=3の時のカタチは３つの円弧の中心角は240°
それが３つ集まってできる
一方で3個の動点のうち止める動点の決め方が3通り、どちら側に止めるかの決め方が4通りずつあり、全部で12通りある
外周の３つの円弧はこの12個の円弧のなかの１つが真ん中の120°、残りの60°+60°を12個の内の２つのうちの半分ずつが合わさってできている
形がどうなってるかなんかみたらわかるし、面積なんか小学生でも計算できる
そんな事やってもなんも意味ない
何故そうなるのかが数学 とりえる領域の境界にあるのは、
n個の頂点が最も偏って配置するときでしょう。
>>386 を参照。 >>386はおかしいって言ってんの
n=3の時に成立しとらんやろ アスペルガー症候群と高機能自閉症
「反復運動」と「限定された物事へのこだわり・興味」
３つの診断基準
①人とのやり取り、関わりが難しい（社会性の障害）
②コミュニケーションがとりにくい（コミュニケーションの障害）
③興味・行動の偏り、こだわり（限定的な行動・興味・反復行動）
ASD（自閉スペクトラム症、アスペルガー症候群）の症状
細部にとらわれてしまい、最後まで物事を遂行することが出来ない
視線があいにくく、表情が乏しい
切り替えが苦手、決まったパターンと違うと癇癪を起こす、集団での活動・遊びが苦手。
考え方や行動に融通がきかず、興味の対象が狭い範囲のものごとに限られる、
全体像を把握することが苦手、記憶することは得意だが、想像するのは苦手 三角形ABCの垂心をH、AからBCに下ろした垂線の先、BからACに下ろした垂線の先、CからABに下ろした垂線の先をそれぞれD,E,Fとする。直線ADと三角形ABCの外接円の交点でAでないものをGとする。このときの三角形EFHと三角形DEGの面積比を求めよ。 １対１ちゃうんかな
直線ADが外接円と接する場合はG=Aでいい？ >>400
DはGHの中点より
△DEG=△DEH=(1/2)HE×HDsinC=(1/2)HE×HBsinCcosC
同様にして
△EFH=(1/2)HE×HBsinAcosA
∴△DEG:△EFH=sin2C:sin2A >>402
A,Cが90°を超えるとsin2C:sin2Aは負になるので|sin2C:sin2A|かな。 電子微積分の問題
問1. 電子の大きさを小さくしたり、
電子を削って欠片を取り出すにはどのような方法があるか？
問2. 前述のことが実現できた場合、
2020年の集積回路の計算処理速度はどのように変化するか？
(西暦114514年度、 灘中学) >>398
あ、俺のことじゃん！
でもそれって生まれ持った性質だから
しょうがないよね、
おれは謝らないよ （ '‘ω‘) nを任意の自然数とする。(2^n+1)/(n+1)が整数とならないことを示せ。 1＋1=2
1＋5=2
2＋8=1
10＋10＋10＋10＋10=?
IQ80の問題です 前>>339
>>410
1＋1=2
1＋5=2
より1=5
2＋8=1だから2+8=10=1=5
10＋10＋10＋10＋10=1+1+1+1+1=5=1
題意にしたがったまで。
矛盾があったとしても題意に起因する。 問題が悪かったです
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古代ギリシャ時代からの３大作図問題 角の３等分 >>409
・n+1 が偶数のとき
(奇数)/(偶数) だから整数とならない。
・n+1 が奇素数のとき
フェルマーの小定理から
2^n + 1 ≡ 2 ≠ 0 (mod n+1)
・n+1 が合成奇数のときは？
n+1≡3 (mod 6) のとき
2^n + 1 ≡ 5 (mod n+1)
だといいんだけど… 前>>411
>>400
△DEG=△DEHだから、
△EFH:△DEG=△EFH:△DEH
=AE(BF/AB):CE(BD/BC)
=AE・BF・BC:CE・BD・AB
=(AE・BF)/(CE・BD):AB/BC
チェバの定理より、
(AE/EC)(CD/DB)(BF/FA)=1
(AE/CE)(BF/BD)=FA/CD
これを代入し、
△EFH:△DEG=FA/CD:AB/BC
=(FA・BC):(AB・CD)
1:1より若干△DEGのほうがおっきい気がするなぁ。 前>>418
どういう△ABCを書いたかによって△EFHと△DEGの比が違うんじゃないか？
CEを長くすると△DEGはおっきなるんじゃない？ 前>>419
>>400
△EFH:△DEG=FA/CD:AB/BC
=FA/AB:CD/BC
BとDをじゅうぶん近づけて、
つまり∠ABCを直角に近い鋭角にすると、
CDがおっきなるで△DEGがおっきなる。
比は三角形と外接円描く人のさじ加減。 辺を含めた正方形の中に無作為に４点A,B,C,Dを選ぶ。
A,B,C,D,Aの順に直線で結んだときに四角形ABCDができる確率を求めよ。 >>421
一定の値にはならない。
>402-403で答がでているので、
三角形を無作為に選んで、面積比を計算して|sin2C:sin2A|と比べてみる。
その体感動画
https://i.imgur.com/yO8DKEh.gif >>420
偏差値０はIQ25相当だから、マイナスになるね。 >>424
エクセルで計算
IQ 偏差値
0 -16.66666059
1 -15.99999197
2 -15.33332027
3 -14.66666013
4 -14.0000056
5 -13.33332854
6 -12.66666504
7 -11.9999998
8 -11.33333223
9 -10.6666658
10 -9.999999912
11 -9.333332686
12 -8.66666635
13 -8.000000059
14 -7.333333469
15 -6.666666645
16 -5.999999981
17 -5.333333379
18 -4.666666674
19 -4.000000051
20 -3.333333386
21 -2.666666721
22 -2.000000052
23 -1.333333388
24 -0.6666667228
25 -0.0000000558 >>422
４つの頂点を入れ換えたとき
(ABCD, ADCB)
(ACBD, ADBC)
(ACDB, ABDC)
の中の一組だけが四角形になる
∴ 1/3 3点以上が同一直線上に並ぶ確率を無視すれば、
>>425の様にどの点も他3点で作られる三角形の外部にあるパターン(凸配置とする)と、
>>426の様に1点が他3点で作られる三角形の内部にあるパターン(凹配置とする)がある。
4点が凸配置になると、>>429の通り凸四角形ができる確率は1/3である。
4点が凹配置になると、どの様に頂点を名付けても凹四角形ができる。
ゆえに、選ばれた4点が凸配置になる確率をpとすれば、四角形ができる確率は
p/3 + (1-p) = 1 - 2p/3
となる。pを求めるにはどうすれば良いのだろう。 プロおじは数学板出禁だぞ。日本語の勉強でもしてこい。 前>>421
>>422
まずABCが折れ線になる必要があり、
0＜∠ABC＜π
辺の長さはいずれも0より大きく√2より小さいさまざまな値をとりうるが、
平均的にAB=BCとすれば、
もっとも起こりうるcos∠ABCの平均は、
cos(π/2)=0
Dのとりうる範囲はBを正方形の中心にとると、
正方形を4等分するから、
∴ABCDAと結んで四角形ができる確率は1/4
折れ線は∠ABC=∠R
Bを正方形の中心にとり、 >>434
A,B,C,Dのx,y座標をサイコロの目の数で選んで、
A,B,C,D,Aの順に結んでみた。
https://i.imgur.com/RP28qO6.png
25回やったけど四角形ABCDは1/4より多そう。 まだやってるのか
医者なんて大嘘じゃないかこの穀潰しが >>435
6×6をランダムに25回やったんじゃどうしょうもないだろう
1000×1000を全パターン列挙くらいでないと まだやってます。。。
D∈⊿ABC となる確率は S(⊿ABC) の期待値 11/144,
4点が凹配置になる確率は 11/36,
4点が凸配置になる確率 p=25/36,
∴ p/3 + (1-p) = 29/54,
かな >>438
サイコロの面数と試行回数を増やせばいい。
ただ、目視で四角形ABCDができているかを確認する作業は大変なので
>431の議論を使って
選ばれた4点が凸配置になる確率pをモンテカルロ法で近似解を出すことにする。
100万回のシミュレーション結果。
> p # convex
[1] 0.695181
よって、
> p/3+(1-p) # P[ABCD]
[1] 0.536546
約7割が凸配置で、四角形ABCDが形成させる確率は5割強という値が得られた。
オマケ（Rのコード：外積ベクトルの向きで三角形の内部にあるかどうかを判断させた）
is.convex <- function(A,B,C,D){
out3 <- function(P,A,B,C){
opc <- function(a,b) Re(a)*Im(b)-Im(a)*Re(b)
sum(opc(B-A,P-A)>0,opc(C-B,P-B)>0,opc(P-A,C-A)>0)%%3!=0
}
all(c(out3(A,B,C,D),out3(B,C,D,A),out3(C,D,A,B),out3(D,A,B,C)))
}
N=1e6
A=runif(N)+1i*runif(N)
B=runif(N)+1i*runif(N)
C=runif(N)+1i*runif(N)
D=runif(N)+1i*runif(N)
ABCD=cbind(A,B,C,D)
p=mean(mapply(is.convex,ABCD[,1],ABCD[,2],ABCD[,3],ABCD[,4]))
p # convex
1-p # concave
p/3+(1-p) # P[ABCD] >>439 (補足)
p = 25/36 = 0.694444
∴ 29/54 = 0.537037
3分勝った(?) 前>>434
>>435
三角形みたいなのもぎりぎり凸四角形とカウントしたとしても、
6/25＜1/4
超えてないじょないか。 うーん
ベルトランの逆説臭のする問題だなあ
点ABCは直線でさえなければ無作為にとっていいとして
四角形ABCDを作る場合、点Dの領域は色をつけた部分になる
https://i.imgur.com/6zg3AQa.jpg
この面積比を求めればいいわけだ
これは三角形ABCの面積と直線ACによって二分された台形の面積の和になる >>444
ABとCBを下方に延長すると正方形の下辺とで小さな三角形が出来ますが、
その内部にDがあってもABCDが凹四角形になります。つまりその三角形にも
色が付きます。 3点の取り方によってはこういう場合も出てくる
https://i.imgur.com/od983c0.jpg
Dの領域面積の最小値はいくつになるんだろう？ 「正方形内」という基準はとっぱらって「座標平面上に無作為に4つの点をとる」という問題なら四角形ができる確率は(θ+π)/2π (θ=角ABC) この世界は何次元ですか？
5次元ですか？ 11次元ですか？ 0次元ですか？ >>439
⊿ABCの面積Sの期待値
点Aは点B,Cより左側にあると限定しても一般性を失わない。
0 ≦ x_A ≦ x_B, x_C ≦ 1,
点Aを固定すると、点B, C はそれより右側で一様に分布する。
S(⊿ABC) の期待値は (1-x_A){13 - 12y_A(1-y_A)}/108,
さて、上記の限定によって y_A の分布は変わらないが
x_A の分布は
f(x) = 3(1-x)^2,
となっている。それに留意して期待値を求めると
(11/108)∫[0,1] (1-x) f(x)dx = (3/4)(11/108) = (1/4)(11/36),
4点が凸配置になることは、どれか1点が他の3点のつくる凸包⊿に
含まれることである。
これらは互いに背反事象で、確率はどれも (1/4)(11/36)
∴ 4点が凸配置になる確率は 11/36
>>442
だれがカバやねん？ >>449
では、まず、あなたの「次元」の定義をお聞かせ頂こうかな。 次元大介
モンキー・パンチ作の漫画およびアニメ『 ルパン三世 』シリーズに登場する架空の人物。
ルパン三世 の相棒で射撃の名手。
拳銃を持っていない状態から弾丸を発射するまでの時間が驚異的に短く、
その速さは「早撃ち0.3秒」と言われるほどである。 >>450 (訂正)
∴ 4点が凹配置になる確率は 11/36
x_A の分布
P(min{x_A,x_B,x_C}≦t)
= P( x_A≦t or x_B ≦t or x_C≦t)
= 1 - P( x_A>t & x_B>t & x_C>t)
= 1 - (1-t)^3,
f(t) = dP/dt = 3(1-t)^2, >>443
求めるのは凹凸を問わず
ABCDAと結んで四角形ができる確率 「次元の欠如」という
新しい次元を提唱します！
これを空次元と呼びます。
質量がなく形がなく、幅、高さ、奥行きもなく、エネルギーもないです。
信じられないかもしれませんが、無は確実に存在するのです。 >>450
⊿ABCの面積Sがどんな分布になるのか気になったので実験。
https://i.imgur.com/JzKSpbN.png
期待値は
> mean(S)
[1] 0.07631502
数理解に近似
> (1/4)*(11/36)
[1] 0.07638889
>422を出題したのは俺だけど
元々は４頂点の座標をいれて四角形の面積を出す関数を作ろうと思ったら
四角形ABCDができなかったり、凹四角形になるとき３通りできたりするのでわりと面倒だった。
その過程で凹凸を判別させる関数を作る必要があったので、どれくらいの確率で四角形ABCDができるのか興味が沸いたので
出題したという次第（シミュレーション解しかもっていたかったけど、数理解と一致して気分が(・∀・)ｲｲ!!。
まあ、直線や三角形ができる場合は除外しているけど。
（オマケ、Rのコード）
ABC2S <- function(A,B,C){
a=abs(B-C)
b=abs(C-A)
c=abs(A-B)
s=(a+b+c)/2
sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
}
N=1e6
A=runif(N)+1i*runif(N)
B=runif(N)+1i*runif(N)
C=runif(N)+1i*runif(N)
ABC=cbind(A,B,C)
S=apply(ABC,1,function(x) ABC2S(x[1],x[2],x[3]))
hist(S,freq=F,main='',ylab='',axes=F,col=4) ; axis(1)
mean(S)
(1/4)*(11/36)
BEST::plotPost(S,showMode = T) 害悪プログラムおじさん、顔文字が本当に老人って感じだ... >>456
おいジジイ
いつまでそんなどこにも需要のない汚い図上げてるんだ （ '‘ω‘）わかる。
顔文字でも種類によって年代が見えてくるよね。 発展問題
１辺の長さ１の正方形の中に無作為に４点を選ぶ。
４点を直線で結んで凸四角形ができるとき、その面積の期待値を求めよ。 >>459
Google日本語入力に「いい」の変換候補としてデフォルトで入っているぞ。 ともかくこういう面白くともなんともないクソ問貼るなよ >>460
４頂点の座標をいれて四角形の面積を出す関数は完成したので、それを使って凸四角形になるときの面積の分布の形を描画。
https://i.imgur.com/hCQo16t.png
>422に取り組む人も複数いたみたいで、議論ネタが提供できてヾ(｡>?<｡)ﾉﾞ?*。（「うれしい」の変換候補に入っていた）
数理解とシミュレーション解が一致したのでシミュレーションの正しさも確認できた。
従来どおり、罵倒しかできないカスもいたけどｗｗ >>462
答が出せない人には面白くないだろうな。
４頂点の座標をいれて四角形の面積を出す関数を作るには必要。
これを多角形に拡張するのが大変そう。 面白さなんて
主観的な物を持ち出されても困ります。
定量的に面白さを測定・評価してから言ってくださいよ。 前>>443凸四角形だけで考えてたわ。1/4よりも1/3寄りになるってことか。
>>460
(1/4)^2(3/2)=3/32 立式だけなら一瞬
しかし場合わけが多すぎるだけ
自分で答え出せないから面白いかどうかの判定なんかできるはずもない
ともかくこの問題で“答え出せないだろ”って煽りが成立すると思ってる時点で能無しなんだよ プロおじは手間がかかるだけの問題しか扱えないからな 今更だけど>>406は直和に分解することは不可能です このスレの出題なんて「この問題は俺が面白いと思った」
もしくはせいぜい「この問題は皆も面白いだろうと俺が思った」とかだろ
そこを突っ込んでも仕方ない
どこまで行っても「お前の問題は面白くないと俺が思った」
もしくはせいぜい「お前の問題は皆も面白くないだろうと俺が思った」になるから水掛け論にしかならない >>470
もちろんそうだし、ある程度レベルが低い問題があってもまぁいい
バンバン受験問題レベルのでてるしな
そういうのは出てきても「がんばりたまえ」と思いながら華麗にスルーする
そうじゃなくてプロおじのはもちろん本人数学の勉強などしたことないから、めたらやったら思いつきで本人すら解けないような問題をバンバンあげてくる
しかも手間かかるだけでクソほども面白くない問題を
あげくくだらない計算結果だけ大量に貼り付けてきて目障り以外のなにものにもなり得ない 三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)からなる三角形の面積を求める方法。
某氏
a=√((x2-x3)^2+(y2-y3)^2)
b=√((x3-x1)^2+(y3-y1)^2)
c=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
S=(1/4)√((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))
一般人
p=(x2-x1,y2-y1)
q=(x3-x1,y3-y1)
S=(1/2)|p×q|=(1/2)|(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)|
三点が(2,3),(5,7),(11,13)なら、
某氏
a=6√2=8.4853..., b=√181=13.4536... , c=5
S=(1/4)√((8.4853+13.4536+5)(8.4853+13.4536-5)(8.4853-13.4536+5)(-8.4853+13.4536+5))=3.00201...
一般人
S=(1/2)|(5-2)(13-3)-(11-2)(7-3)|=(1/2)|3*10-9*4|=3 >>464
思ったより簡単に完成した。
ワクチン接種後の待機時間に概要はタブレットで完成。
PCでrefineしてできあがり。
https://i.imgur.com/u4FVaEH.png ABCDEの５点に拡張したら、凸配置になる割合は100万回シミュレーションでは0.340972になった。
俺には解析解は出せません。 迷惑だと書いたら無視して嘲笑うかのようにさらに被せてくる
完全に人間性が破綻してる xy平面上の二点(0,1)と(1,1)を結ぶ長さ2の曲線をx軸周りに回転させた曲面の表面積の最大値を求めよ 54 卵の名無しさん[sage] 2021/04/30(金) 16:25:40.77 ID:KaeN7+ra
>>52
誤答を別の人が指摘して最後は厳密解に達していたなぁ。
イナ芸人はいつもの芸風だったが。
だそうですよ() 前>>466
>>479
2∫[t=0→1/2][1+(4/π)√｛(1/2)^2-(1/2-t)^2｝]dt 前>>481
>>479
2∫[t=0→1/2][1+(4/π)√｛(1/2)^2-(1/2-t)^2｝]dt
=∫[t=0→1/2]｛4π+16√(t-t^2)｝dt
=2π+16(1/2)√(1/2-1/4)-16(1/2)(1/2)(1-2t)/(t-t^2)^(1/2)[t=1/2]
=2π+8(1/2)
=2π+4 >>466
サイコロを振ってx,y座標を決めると三角形や折れ線になって四角形が形成されない場合が、そこそこあるなぁ。
3点以上が直線になったり、同じ座標が選ばれたりしやすいからだろう。
ここで問題
大小のサイコロを振って
大の目はx座標、小の目はy座標として
４点の座標を選ぶ
この４点を結んで凸四角形が形成される確率はいくらか？ な、結局ちゃんと答え出せる問題となるとこんなレベルの問題になってしまう (0, 1) → (1/2, 1+a) → (1, 1)
を楕円の半周で結ぶと
f(x) = 1 + 2a√[x(1-x)],
曲線の長さ=2 から a = 0.7598085645 b=1/2,
f '(x) = a(1-2x)/√[x(1-x)],
表面積は
S = 2π∫[0,1] f(x)√[1+(f'(x))^2] dx
= 2π∫[0,1] {1 + 2a√[x(1-x)]} √{1 + aa(1-2x)^2 /[x(1-x)]} dx
= 5.80522π
これより大きいのは確かだが･･･ >>476
凸配置になる確率は
3点 1.0
4点 0.69444… = 25/36
5点 0.34097 ぐらい 変分方程式は一瞬で立つけどwolfram大先生でも解けないorz (0,1) → (1/2, 1+k/4) → (1,1)
を放物線で結ぶと
f(x) = 1 + k･x(1-x),
f '(x) = k(1-2x),
L = ∫[0,1] √{1 + (f'(x))^2} dx
= ∫[0,1] √{1+kk(1-2x)^2} dx
= {√(1+kk) + (1/k)log[k+√(1+kk)]}/2,
L=2 から k = 3.2692023123612
表面積は
S = 2π∫[0,1] f(x)√[1+(f '(x))^2] dx
= 2π∫[0,1] {1 + k･x(1-x)} √{1 + kk(1-2x)^2} dx
= 5.8178933083153π
少し増えた… >>473
四点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x4,y4)からなる四角形の面積を求める方法は簡単じゃないね。 凸ならまだしも凹だと面倒か
4点与えられても3通り考えられるし
逆に最初から結ぶ順番が決まってるとしたら、四角形が成立しない場合も考慮が必要 >>492
確かに6×6でも結構な量になるなあ
もっと簡略化して3×3の9つの点から選ぶことを考えても6561通り
そのうち凸四角形は62通りで、凹四角形は24通り
凸の平均面積は1.87、凹も含めると1.67になる
(数えミスあるかも？) 前>>482
>>479
楕円が正解じゃないとしたら、最遠方の軌道が、
もっと遠心力でy=1+2/πとy=1+√3/2のあいだぐらいに寄った、
放物線かなぁ。 Lを弧長、Sを表面積として
δL=∫y''(1+y'^2)^(-3)δy dx
δS=∫((1+y'^2)^(1/2)-y''(1+y'^2)^(-3))δy dx
変分条件より
y''=λ(1+y'^2)^2
コレが解けん 前>>497
>>479
y=(0.91443402607/0.25)(x-1/2)^2+1.91443402607をx軸周りに回転させた曲面の表面積だから、
x=tで切った円周長は、
2π｛(0.91443402607/0.25)(t-1/2)^2+1.91443402607｝
=2π(0.91443402607)(4t^2-4t+1)+2π(1.9443402607)
=2π｛1+0.91443402607(4t^2+4t+2)｝
t=0から1/2まで足し集めて2倍すると、
2｛(8πt^3/3-πt^2+4πt)(0.91443402607)+2πt｝[t=1/2]
=2｛(π/3-π/4+2π)(0.91443402607)+π｝
=(25π/6)(0.91443402607)+2π｝
=18.2530987176
≒18.2531 >>487
>476のモンテカルロ法での解とほぼ一致しているな。
別法での答が一致しているから、多分、正解なのだろう。 前>>500
>>479
曲面のxy平面による断面が放物線だとすると、
単位正方形内の放物線の片側の長さは1.4789(部分積分だと思う)
題意の長さ2の曲線が(1/2,p)で頂点をとるとして、
(1.4789)^2(p/2)=1
∴p=2/(0.4789)^2=0.914434002607
y=(0.91443402607/0.25)(x-1/2)^2+1.91443402607をx軸周りに回転させた曲面の表面積だから、
x=tで切った円周長は、
2π｛(0.91443402607/0.25)(t-1/2)^2+1.91443402607｝
=2π(0.91443402607)(4t^2-4t+1)+2π(1.9443402607)
=2π｛1+0.91443402607(4t^2+4t+2)｝
t=0から1/2まで足し集めて2倍すると、
2｛(8πt^3/3-πt^2+4πt)(0.91443402607)+2πt｝[t=1/2]
=2｛(π/3-π/4+2π)(0.91443402607)+π｝
=(25π/6)(0.91443402607)+2π｝
=18.2530987176
≒18.2531 >>492
連続量で求めたときは、3点以上が同一直線上にあるのは無視して計算したけど
6×6の座標から選ぶと、それは無視できないくらいあるようだ。
6^8=1679616通りのうち
1座標になるのが36通り、2座標になるのが8820通り、3座標になるのが257040通り、4座標になるのは1413720
4座標になるとき4座標が1直線上に並ぶのが5616通り
4座標になるとき3座標が1直線上に並ぶのが254368通り
までは数えた。
（重複や数え落としがあるかもしれん。） >>483
こういう凸四角形をひたすら書きまくって
https://i.imgur.com/xnp0exY.png
面積をヒストグラム化
https://imgur.com/a/fwKac0g
6^8通りのうち、凸四角形になるのは866344通りになったが、これもあんまり自信がない。 誰にも相手にされず自分で自分に返信するしかないなんて惨めだね >>494
凸多角形の座標が与えられても、どの順に結べば多角形ができるかを作図なしで座標の値から判断するのは容易じゃないよね。 なんかピリピリしてるな
相手の行動を変える力なんてないんだから、態度は言葉にしなくていい >>507
63 卵の名無しさん[sage] 2021/05/01(土) 10:32:19.42 ID:Zpyb+xVU
大小のサイコロを振って
大の目はx座標、小の目はy座標として
４点の座標を選ぶ
この４点を結んで形成される凸四角形の面積の期待値を求めよ。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
能書き垂れる前に日本語勉強し直してこい。 前>>502訂正。
>>479
曲面のxy平面による断面が放物線だとすると、
単位正方形内の放物線の片側の長さは、
｛2√5+log(2+√5)｝/4=1.4789……だから、
放物線の方程式をy=a(x-1/2)^2+1+1/1.4789とおくと、
y=0のときy=1だから、
1=a/4+2.4789/1.4789
a=-4/1.4789
=-2.70471296234……
求める曲面の表面積は、
2∫[t=0→1/2]2π｛(2.70471296234)(-t^2+t)+1｝dt
=4π｛(2.70471296234)(-t^3/3+t^2/2)+t｝[t=1/2]
=4π｛(2.70471296234)(1/12)+1/2｝
=(π/3)(2.70471296234)+2π
=π(2.9015709874466……)
=9.11555409803……
意外と小さかった。 前>>510訂正。
>>479
回転する曲線が楕円のとき、
2∫[t=0→1/2][1+(4/π)√｛(1/2)^2-(1/2-t)^2｝]dt
=∫[t=0→1/2]｛4π+16√(t-t^2)｝dt
=2π+16(1/2)√(1/2-1/4)-16(1/2)(1/2)(1-2t)/(t-t^2)^(1/2)[t=1/2]
=2π+8(1/2)
=2π+4
=10.2831853072……
回転する曲線が放物線のとき、
単位正方形内の放物線の片側の長さは、
｛2√5+log(2+√5)｝/4=1.27477471894……だから、
放物線の方程式をy=a(x-1/2)^2+1+1/1.27477471894……とおくと、
x=0のときy=1だから、
1=a/4+2.27477471894……
a=-4×1.27477471894……
=-5.09909887576……
求める曲面の表面積は、
2∫[t=0→1/2]2π｛(5.09909887576……)(-t^2+t)+1｝dt
=4π｛(5.09909887576……)(-t^3/3+t^2/2)+t｝[t=1/2]
=4π｛(5.09909887576……)(1/12)+1/2｝
=(π/3)(5.09909887576……)+2π
=π(3.6996996252533……)
=11.6229491632…… >>499
があってれば多項式、二次曲線の類は全滅のはず >>499
の一般解をwolfram先生に求めてもらう方法は見つかったけどf(0)=f(1)=1では決まらない定数がもう一つ出てくる
さらに∫[0,1]√(1+f'(x)^2)dx = 2 から残る一個の定数の満たすべき方程式は出せる
しかしそれが簡単な値に決まらないorz
当然表面積も出ないorz 前>>512
なかなかおもしろかった。
楕円より放物線のほうが外側に重心があっでちょっとだけ表面積おっきなるなぁ思たけど、まぁ解けてよかった。一時はどうなるか思たでよ。 前>>517
>>479
カブトガニか。あれはあれでおもしろかった。おや？
もしや折れ線を曲線とみなすならば、そうか。
求める曲面の表面積は、
2×(1/3)π｛(1+√3)^2-1^2)｝=2(3+2√3)π/3
=13.5383827641…… 前>>518訂正。うっかり体積出してた。
>>479
折れ線を曲線とみなすならば、
楕円より放物線、放物線より折れ線のほうが外側に重心があるで、
表面積はおっきなる。
2×2π∫[t=0→1/2](2t√3+1)dt=4π√3(1/2)^2+4π(1/2)
=(2+√3)π
=11.7245833999…… >>479
全然出題者らしきのが出てこないけど
とりあえず
弧長=L=∫√(1+f'^2)dxより
δL=∫δ√(1+f'^2)dx
=∫f'√(1+f'^2)δf'dx
=-∫f''/(1+f'^2)^(-3/2)δfdx
表面積=S=2π∫f√(1+f'^2)dxより
δS=2πδ∫f√(1+f'^2)dx
=2π∫( δf√(1+f'^2) + fδ√(1+f'^2))dx
=2π∫(√(1+f'^2) - f f''(1+f'^2)^(-3/2))δfdx
でδL // δSから√(1+f'^2) // f f''(1+f'^2)^(-3/2))となり
f'' = c (1+f'^2)^2/f
になる
c=-1の時はwolfram大先生がなんか解持つって教えてくれるんだけど
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%3D+-+%28+1%2By%27%5E2%29%5E2%2F+y&;lang=ja
一般解はお手上げ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%3D+-+c+%28+1%2By%27%5E2%29%5E2%2F+y&;lang=ja
コレはexplicitに解の形は決まらないけど表面積だけは求めることができるのかな？
それともwolfram先生が見つけられないだけで解けるのか
まぁ単なる出題ミスかもしれないけど 紐の長さ2の大縄跳び問題と思えば回転体の「体積」を最大化させる問題の方が面白そう
回す人の身長が両方とも一緒で固定端条件になってどんな感じで回せば最も大きな領域を作れて入りやすくなるか的な 軸対称でδS=0下でδV=0は確か論文レベルで解決済みなハズ
つまりδS//δVの軸対称の問題ね
出題者出てこないから思いつきで作っただけの問題の可能性が高い >>520
なんか log(ξ) のとこにcが掛かるだけのようだけど
In[1]:= DSolve[{y''[x] == -(c*(1 + y'[x]^2)^2/y[x])}, y[x], x]
Out[1]= {{y[x] -> InverseFunction[Inactive[Integrate][-((Sqrt[2]*Sqrt[-C[1] + c*Log[K[1]]])/Sqrt[1 + 2*C[1] - 2*c*Log[K[1]]]), {K[1], 1, #1}] & ][x + C[2]]},
{y[x] -> InverseFunction[Inactive[Integrate][(Sqrt[2]*Sqrt[-C[1] + c*Log[K[2]]])/Sqrt[1 + 2*C[1] - 2*c*Log[K[2]]], {K[2], 1, #1}] & ][x + C[2]]}} >>523
うん、そう
c=-1とc=1でやってみたら解出してくれて違いみたら分母の前の係数が違ってたからココが違うだけなんやろなぁと
しかしその厳密解が分かってもそこから表面積の厳密値出せるわけじゃないし検証するのやめた
もう思いつきで適当に作った問題の可能性が限りなく高いし
これ以上は時間の無駄やなと >>490
xy平面上に4点A,B,C,Dが与えられた時に図形ABCDの面積Sを求める方法(案)
図形ABCDに含まれる2つの三角形ABCとADCが共通部分を持たなければ、Sは
この2つの三角形の面積の和である。この時各三角形の面積は0でも良いので、
1) AとCが同一座標か、BとDのどちらかが直線AC上にあるか、BとDが
直線ACの両側にある場合：S = S(ABC) + S(ADC)
三角形ABCとADCが共通部分を持つ場合は、2つの三角形BADとBCDが
共通部分を持たなければSはこの2つの三角形の面積の和である。上と同様に、
2) BとDが同一座標か、AとCのどちらかが直線BD上にあるか、AとCが
直線BDの両側にある場合：S = S(BAD) + S(BCD)
上記のどちらでもない場合は図形ABCDがねじれ四辺形(蝶ネクタイ形)の場合
なので、この時はS = 0と定義する。
そして1)の判定方法は、ベクトルACに対するxy平面上の点Pの位置により
外積AC×APのz方向長さが正/0/負に変化する事を利用して、
(AC×AB)*(AC×AD) ≦ 0 ⇒ 1)が成立する
(AC×AB)*(AC×AD) > 0 ⇒ 1)は成立しない
となる. 2)の判定方法も同様である。 >>520
δS=...以下の3行目の部分積分のところ計算ミスしてますよ
正しくは
2πδ∫f√(1+f'^2)dx
=2π∫( δf√(1+f'^2) + fδ√(1+f'^2))dx
=2π∫( δf√(1+f'^2) + ff'/√(1+f'^2)δf')dx
=2π∫( δf√(1+f'^2) - (f'^2+f'^4+ff')(1+f'^2)^(-3/2)δf)dx
このミスを訂正すればwolfram先生は瞬時に答えを返してくれるので
普通に解ける変分問題だと思う >>626
あれ？
それあってる？
f''が出ないとかありうる？ 失礼
×2π∫( δf√(1+f'^2) - (f'^2+f'^4+ff')(1+f'^2)^(-3/2)δf)dx
〇2π∫( δf√(1+f'^2) - (f'^2+f'^4+ff'')(1+f'^2)^(-3/2)δf)dx
答えは多分カテナリ曲線 第二項の部分積分は
∫ ff'/√(1+f'^2)δf dx
= -∫ (ff'/√(1+f'^2))'δfdx
= -∫ ((f')^2/√(1+f'^2)) + ff''/√(1+f'^2)^3)δfdx
じゃないか？
で
√(1+f'^2) // ((f')^2/√(1+f'^2)) + ff''/√(1+f'^2)^3)
⇔(1+f'^2)*2 // (f')^2(1+f'^2)+ff''
からの大先生
c=-1でも厳密解出せず
https://www.wolframalpha.com/input/?i=-%281%2Bf%27%5E2%29%5E2+%2F+f++-+%28f%27%29%5E2%281%2Bf%27%5E2%29+%3D+f%27%27&;lang=ja
解の概形はぽいけど まぁ多分あかんやろ
パラメータによって厳密解が出るケースはあるかもしれんけど、その時「長さ2の部分切り取ってそこでの高さがピッタリ1」とかかなり怪しい
適当に思いつきで作った問題な気しかしない 訂正
もちろんこの解曲線の適当な部分を切り取って端点の高さ1、幅1、長さ2にはできるよな、当たり前
それが厳密に求められるかはわからないけど、適当に作った問題感が拭えないから頑張る気がしない >>479
ラグランジュの未定乗数をλとすると汎関数
I[y] = (∫[0,1]2πy(1+y'^2)^(1/2)dx)-λ(∫[0,1](1+y'^2)^(1/2)dx-2)
の極値を求める問題
オイラー・ラグランジュの方程式は
∂F/∂y-(d/dx)(∂F/∂y')=0, F[y]=(2πy-λ)(1+y'^2)^(1/2)
具体的に計算すると
(2π(1+y'^2)-(2πy-λ)y'')(1+y'^2)^(-3/2)=0
この微分方程式の解は
y=(2λ-exp(2πA(x-B))-A^(-2)exp(-2πA(x-B)))/(4π)
境界条件を合わせると
y=(2k-cosh(k(2x-1))+cosh(k))/(2k)
ただしkは方程式sinh(k)/k=2の正の解 最初の項の(1+y'^2)のとこ^(1/2)抜けてない？ うん、わかった>>530でc=1の時にf(x)=cosh(x)が解になるわ
よく考えたら
長さ一定の元で∫f(x)√(1+f'^2)dxは「ぶら下げられた紐の位置エネルギー」になるんだな
なのでむしろ懸垂線が解にならないとおかしいわけだ >>533
具体的な数値は
k=2.177318984965306752630424246060135953487179616655359090236314689453...
I[y]の値は
π((4k+cosh(k))sinh(k)-k)/(2k^2)
= π(8k-1+2(1+4k^2)^(1/2))/(2k)
= π×5.822416926798210257907898069357827933783076129169537129028257266195...
= 18.29166224336611829472871579186152064901391594757023495758253266513... >>450
点A (p,q) を通り軸に平行な直線を曳く。x_A=p, y_A=q.
右上(I)、左上(II)、左下(III)、右下(IV)
の４区画の面積sはそれぞれ
(1-p)(1-q), p(1-q), pq, (1-p)q
である。
(ｱ) BとCが同じ区画にあるときの S(⊿ABC) の平均値は
<S> = (13/108)s,
(ｲ) BとCが隣の区画にあるときの S(⊿ABC) の平均値は
<S> = (1/8)(s_B + s_C),
(ｳ) BとCが IとIIIの区画にあるときの S(⊿ABC) の平均値は
<S> = |p-q|/8 + {(1-p)q}^2/{p(1-q)} {13/108 + (1/18)log[p(1-q)/(1-p)q]} (p>q)
<S> = |p-q|/8 + {p(1-q)}^2/{(1-p)q} {13/108 + (1/18)log[(1-p)q/p(1-q)]} (p<q)
(ｴ) BとCが IIとIVの区画にあるときの S(⊿ABC) の平均値も同様。
さて S(⊿ABC) の期待値は
(ｱ)
(13/108)Σs^3 = (13/108){(1-p)^3+p^3}{(1-q)^3+q^3} → 13/432
(ｲ)
(1/8){(1-p)^3+p^3}q(1-q) + (1/8)p(1-p){(1-q)^3+q^3} → 9/432
BとCの入れ替えを含めて 2*(9/432)
(ｳ)
1/432
(ｴ)
1/432
以上を合わせて
E(S) = (13+2*9+1+1)/432 = (1/4)(11/36), >>479の出題者です
しばらく放置してて見てなくてごめんなさい
>>536
素晴らしい
正解です
>>524
色々複雑な計算をさせてしまったようで申し訳ない
こちらが考えていた方針としては
ラグランジュ乗数付き汎関数
E(y) = ∫ y√(1 + y’^2) dx - λ∫ √(1 + y’^2) dx
を変形すれば
E(y) = ∫ (y-λ)√(1 + (y-λ)’^2) dx
とできるので、
F(z) = ∫ z√(1 + z’^2) dx
を最小化する問題に帰着できて(単に回転体の表面積の最小化問題)
あとはラグランジアンが「xに依存しない」タイプのオイラーラグランジュ方程式
F - z’ (∂F/∂z’) = C
からすぐにz = y-λがa*cosh((x-b)/a)になることが分かり、
求める曲線はy = a*cosh((x-b)/a)+λと導ける
という感じでした 前>>519
>>539半径を最大にする折れ線を回転させたとき表面積は最大だと思うんだけど、違うの？ f(x) = 1 + (√3)x, (0<x<1/2)
= 1 + (√3)(1-x) (1/2<x<1)
ソロバン玉でござるか。
S = 2π∫[0,1] f(x)*2 dx
= (4+√3)π
= 5.73205π
半径f(x)の最大値 (1+(1/2)√3) は大きいが、その値をとる部分は小さい。
半径がソコソコ大きい部分を大きくする方が得。 >>537
(ｴ）の場合は
<S> = |1-p-q|/8 + (pq)^2/((1-p)(1-q)) {13/108 + (1/18)log[(1-p)/q・(1-q)/p]} (p+q<1)
<S> = |p+q-1|/8 + ((1-p)(1-q))^2/(pq) {13/108 + (1/18)log[q/(1-p)・p/(1-q)]} (p+q>1)
Aを(p,q)に固定し、B,Cが一様分布したときの Sの平均値
<<S>> = (13/108){1-3p(1-p)}{1-3q(1-q)} … (ｱ)
+ (1/4){p(1-p) + q(1-q) - 6p(1-p)q(1-q)} … (ｲ)
+ (1/4)p(1-p)q(1-q)|p-q| + 2(…)^3 {13/108 + (1/18)| log[(p/q)・(1-q)/(1-p)] | } … (ｳ)
+ (1/4)p(1-p)q(1-q)|p+q-1| + 2(…)^3 {13/108 + (1/18)| log[(1-p)/q・(1-q)/p] | } … (ｴ) >>540
違います
そもそも「重心が一番遠い」から「表面積が大きい」というのは飛躍があります
というか嘘です >>539
このラグランジアンが「xに依存しない」タイプのオイラー・ラグランジュ方程式は覚えると便利かもしれません
つまり
汎関数が
E(y) = ∫ L(y’,y) dx
のように書ける場合、オイラー・ラグランジュ方程式はある定数Cを用いて
L - y’(∂L/∂y’) = C
となります(両辺xで微分すれば元のオイラー・ラグランジュが導けます)
これの良いところは方程式が「1階の常微分方程式」になっているので、解が積分で直ちにかけるというところです >>545
元のオイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂y - (d/dx)(∂L/∂y’) = 0
の両辺にy’をかけて、
y’(∂L/∂y) - y’(d/dx)(∂L/∂y’) = 0
左辺にy’’(∂L/∂y’)を足して引きます
y’’(∂L/∂y’) + y’(∂L/∂y) - y’’(∂L/∂y’) - y’(d/dx)(∂L/∂y’) = 0...(1)
すると、チェーンルールから
y’’(∂L/∂y’) + y’(∂L/∂y) = (d/dx)L,
ライプニッツルールから
y’’(∂L/∂y’) + y’(d/dx)(∂L/∂y’) = (d/dx){y’(∂L/∂y’)}
より、
(1)は
(d/dx){L - y’(∂L/∂y’)} = 0
になります よって
L - y’(∂L/∂y’) = C
です 前>>540
いったい尖った円盤以外に🛸
どんな形がある？
(2+√3)π
=11.7245833999…… 前>>548
正方形の上に正三角形描いてくるんと。 領域Sを
{ (x,y,z) | 0<x,y,z<π, x+y+z=π }
とし、S上の関数p,qを
p(x,y,z)=cos(x)+cos(y)+cos(z),
q(x,y,z)=cos(x)cos(y)+cos(y)cos(z)+cos(z)cos(x)
で定め座標平面上の領域Rを(p,q)の像とする
Rの面積を求めよ p=cos(x)+cos(y)+cos(z)=4sin(x/2)sin(y/2)sin(z/2)+1≧1 >>525
４点を場合分けして、四角形ができるように連結描画して面積算出のプログラムはR言語で作成済。
凹四角形のときは３種類の四角形の面積を算出する。
座標を複素平面で与える仕様
実行例
> tetragon()
A = 0.3854852+0.2235753i
B = 0.7798984+0.02679i
C = 0.03478579+0.08697037i
D = 0.6789189+0.2683045i
ACBD
1 0.09913827
> tetragon()
A = 0.0176781+0.9909616i
B = 0.6141168+0.6686749i
C = 0.3688248+0.4323851i
D = 0.0810982+0.9277095i
ABCD ABDC ACBD
1 0.1166005 0.2047364 0.1013501 >>554
ご指摘ありがとうございます。
z=π-x-yで 0<z<πの縛りを考慮していませんでした。
>553は下記の図に訂正。
https://i.imgur.com/L6xwFbo.png >>552
(5p-6 - (3-2p)^{3/2}) /2 ≦ q ≦ (5p-6 + (3-2p)^{3/2}) /2,
(一角が大きい△) (一角が小さいΔ)
領域Rの面積は
∫[1<p<3/2] (3-2p)^{3/2} dp = [ - (1/5)(3-2p)^{5/2} ](p=1,3/2) = 1/5. (補足)
r(x,y,z) = cos(x) cos(y) cos(z) とおくと
⊿条件 pp - 2q + 2r = 1,
実根条件 D = (pp-4q)qq - (4pp -18q)pr - 27rr ≧ 0, >>557
この面積をモンテカルロ法で計算させるには
p(x,y,z)=cos(x)+cos(y)+cos(z),
q(x,y,z)=cos(x)cos(y)+cos(y)cos(z)+cos(z)cos(x)
の逆関数を作る必要があるのだが、数式化は容易ではないので最小二乗法を用いた数値解で近似。
1<p<1.5, -1<q0.75を満たす乱数p,qを10万組発生させて面積を求めた。
> N=1e5
> pq=cbind(runif(N,1,1.5),runif(N,-1,0.75))
> Area*mean(apply(pq,1,function(x) pq2xy(x[1],x[2])[[2]]))
[1] 0.1994825 >>525
数が増えて、
７個の点 A(19,15) B(52,64) C(53,11) D(12,28) E(58,47) F(14,23) G(56,60)
を結んでできる７角形の面積を求めよ
とかになると、手書きで対角線を使っての場合分けは大変だと思う。
複素平面上に配置して重心を原点とする偏角の順に並べると
こういう答がでる。
https://i.imgur.com/BkioFsW.png 6×6の正方形状に並んだ36個の格子点から6つの点を選び、どの2つの点の距離も互いに異なるようにせよ
例)5×5から5つ選ぶ場合
ＡＢ・・・
・・Ｃ・・
・・・・・
・・・・・
・Ｄ・・Ｅ
AB=1, AC=√5, AD=√17, AE=4√2, BC=√2,
BD=4, BE=5, CD=√10, CE=√13, DE=3 >>565
対称同型なものを除くと以下の２通り
ＡＢ・・・・
・・・Ｃ・・
・・・・・・
・・・・・Ｄ
・・・・・・
・・Ｅ・・Ｆ
Ａ・Ｂ・・Ｃ
・・・・・・
・・・・・・
・・・Ｄ・・
・・・・Ｅ・
・・・・Ｆ・ >>560
導出って程でもないが >>559 より
D = (4/27)(pp-3q)^3 - (2p^3 -9pq +27r)^2
= (4/27)(pp-3q)^3 - {2p^3 -9pq +(27/2)(1+2q-pp)}^2
= (1/4)(3+2p-pp + 4q){(3-2p)^3 - (2q-5p+6)^2}
= (1/8){(3-2p)(p-1)+(9-p+8q)}{(3-2p)^3 - (2q-5p+6)^2}
≧ 0 (← 実根条件)
ところで 1≦p≦3/2, 9-p+8q≧0,
∴ (左の因子) ≧ 0,
∴ (右の因子) ≧ 0, >>558 が出る。 D = (1/27)[4(pp-3q)^3 - {2p^3 -9pq +27r}^2]
= (1/27)[4(pp-3q)^3 - {2p^3 -9pq +27(1+2q-pp)/2}^2]
= …… xyz座標空間の開集合Uを{0<x<y<z<π}、平面P={x+y+z=π}の開集合VをP∩U、εを埋め込みV→Uとする
pqr空間からpq平面への自然な射影をρ、逆向きの埋め込みσをσ(p,q)=(p,q,-p^2/2+q+1/2)とする
xyz座標空間からpqr座標空間への変換φを
p=cos(x)+cos(y)+cos(z)、p=cos(x)cos(y)+cos(z)cos(x)+cos(y)cos(z)、r=cos(x)cos(y)cos(z)
とする
まずφをUに制限したものがはめこみであることを示す
それにはnewtonの関係式より変換
u=cos(x)+cos(y)+cos(z)、v=cos^2(x)+cos^2(z)+cos^2(x)+cos(y)cos(z)、w=cos^3(x)cos^3(y)+cos^3(z)
がUにおいてはめこみである事を示せば十分であるがそれはJacobianを計算すれば容易である
よってσρφε=φεもはめこみでありψρφεもはめこみである
特にVの各点の像はimψの内点にううされる
したがってψの境界はψ(の連続拡張の)∂Vの像に含まれる
それは
x=y,z=π-(x+y) (0≦x≦π/3), x=π-2y,z=x (π/3≦y≦π/2), x=0, z=π-y (0≦y≦π)
の像であり、それはカスプを持つ特異楕円曲線
p=2cos(t)-cos(2t),q=cos^2(t)-2cos(t)cos(2t) (0≦t≦π/2)
及び線分p=1,-1≦q≦0の合併に含まれる
以上によりRは上記単純閉曲線に囲われる領域でありその面積はグリーンの公式により
-∫[0,π/2]p'(t)q(t)dt = 1/5
である 訂正
×よってσρφε=φεもはめこみでありψρφεもはめこみである
◯よってσρφε=φεもはめこみでありρφεもはめこみである
他にもtypoあるけど略 >>566
個数まで出せるのは凄いと感服。
検算の仕方すら思いつかない。
格子点を７×７から１０×１０まで増やして、１例ずつ列挙。
https://i.imgur.com/CDOc8JO.png
尚、これが正しいかどうかは、尿瓶洗浄係が手計算するかもしれん。 ６×６の場合だけど
これを回転させたり、鏡像をとったりして、どれとどれが同じかを判定するのは大変そう。
https://i.imgur.com/n8H6o81.png >>571
プログラムにバグを発見したので
>571-573は撤回。
朝飯後にやり直す。 ＡＢ・
・・Ｃ
Ｄ・・
みたいに三角形の面積がどれも異なるようにはできるんかな？ >>579
そうなのか。
最初からプログラムを組みなおしだな。 >>579
７×７はこれでいいかな？
https://i.imgur.com/5dMWgMF.png
尿瓶洗浄係はtypoの指摘でなくて、誤答を指摘するならまだ救いがあるんだがなぁ。
定義に従って期待値を出そうが公式を使ってだそうが数値は同じになるから、どっちでも構わんと思う。 >>583
検算
7C2=21通りの距離をソートしてグラフにして同一値がないのを確認。
https://i.imgur.com/UmLRwPM.png
尿瓶洗浄係は手計算でやってくれ！ 7x7の解はこれ
回転か裏返しかで重なれば正解
Ａ・Ｂ・・・・
・・Ｃ・・・・
・・・・・・Ｄ
Ｅ・・・・・・
・・・・・・・
・・・・・Ｆ・
・・・・・・Ｇ >>584
> 尿瓶洗浄係は手計算でやってくれ！
こういう言葉を平気で使うから嫌われてるんだよ >>586
いや、本人は尿瓶洗浄係であることを否定してないぞ。 そういうところがまた嫌われる
自分から敵増やしてどうする まぁこうやって周りを不愉快な気分にして“悪目立ち”するのが目的だからな ようやく、同一解に達せたかな？
https://i.imgur.com/SEi9hnn.png
尿瓶洗浄係は罵倒だけで、検算には手を出さないみたいだな。
明らかな誤答を指摘できずに、いつまでもtypoを他の板まで貼り付けるサイコパスだな。 >>593
罵倒厨は職種の言えない医療従事者といっていたから、看護補助者で尿瓶洗浄業務に従事だろうと聞いても話をはぐらかしていたなぁ。 >>594
Googleの日本語入力に「いい」の変換候補として入っているよ。
うれしい の候補に こんなのもあるぞ。
ヾ(｡>?<｡)ﾉﾞ?*。 >>592
いや、尿瓶洗浄係はエッセンシャルワーカーだろうに。
本人は誇りをもって仕事をしているからだろう、否定しなかったぞ。 >>597
誰も使ってないが？
Google検索に死語はないとでも思ってるのか？
日本語も不自由なジジイはさっさと退場どうぞ 罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
日本語すら不自由な社会のお荷物プロおじは日本語勉強し直してこい。
医師法や期待値以前の問題だ。 不快害虫と一緒で、無視じゃなくて積極的に駆除しにいかないと本当はダメなんだぞ
ただその手段がないだけで >>601への返答として>>603,604はすごく面白い
日本語通じてない感がすごい >>580
６×６で1947792通り総当たりしてみたが、
三角形の面積がどれも異なる配置はなしだった。
尿瓶洗浄係の手書き検算を希望します。 >>563
特に意味はないけど、楕円で近似してみた。
「外心」が (x。, y。) = (33.896294 42.695360) にあるとして、
0.0016136152(x-x。)^2 + 0.00036463671(x-x。)(y-y。) + 0.00067198368(y-y。)^2 = 1, 逆に考えて、何個までなら面積が異なるように置けるのかが重要だな
3点以上が一直線状に並ぶ場合や、2点が他の2点に平行、線対称的配置も除外される >>609
２月号のエレ解の問題を思い出したので… (御老公の出題) 長さ一定のヒモの両端を真っ直ぐな棒にくっつけて、棒をくるりと回転させて出来る回転体の容積をできるだけ大きくするにはどうしたらいいか？ 前>>550
>>613
棒と紐がまっすぐになるように、
紐のちょうど真ん中に適当な重さの重りをつけ、
回る棒と紐の残像の端が真横から見て、
二等辺三角形を上下てれこにくっつけた菱形になるように、
くるんと回す。 >>614
回転前のヒモ形状が二等辺三角形は不正解 前>>614
>>613
回転前の紐はたるんでいて、
形状は激しく絡みあっていて艶かしいが、
棒と紐がまっすぐになるように、
紐のちょうど真ん中に適当な重さの重りをつけ、
回る棒と紐の残像の端が真横から見て、
二等辺三角形を上下てれこにくっつけた菱形になるように、
くるんと回す。 >>610
５点なら簡単にみつかった。
https://i.imgur.com/swlTpn3.png
尿瓶洗浄係（職種を言わない医療従事者であることからの推定）が面積の計算をしそうにないので計算結果も追記。
> data.frame(ABC,area)
ABC area
1 ABC 8.0
2 ABD 2.5
3 ABE 3.0
4 ACD 4.5
5 ACE 1.0
6 ADE 2.0
7 BCD 6.0
8 BCE 4.0
9 BDE 3.5
10 CDE 1.5
面積をソートすると
> sort(area)
[1] 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 6.0 8.0 >>612
総当たりで何通り（回転・裏返しは同一視せずに別々に数える）あるか算出して
実例を１例描くプログラムを作ってみた。
> fn(3)
[1] 40
> fn(4)
[1] 184
> fn(5)
[1] 280
> fn(6)
[1] 16
https://i.imgur.com/eVM2OaN.png
fn(8)が0を返せばいいのだが、nを7以上にしたらpcが固まった。 >>620
>>621
残念ながらどちらも不正解です
もっと大きく出来ます 罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
罵倒は期待値が出せないと思うね。
日本語すら不自由な社会のお荷物尿瓶プロおじは日本語勉強し直してこい。
医師法や期待値以前の問題だ。 自分に都合の悪いレス＝罵倒w
ここで喚くしか能がないなんて哀れなジジイだね。 >>622
>>539を使ってみようと思ってやってみたら
E=∫(λ√(1+y'^2)+2πy)dx
だから
λ√(1+y'^2)+2πy-λy'^2/√(1+y'^2)=0
になって
y=r/√(1+y'2)
コレの解は
y=±√(r^2-(x-a)^2)
になった
どこがおかしい？ >>625
∫ydxは「面積」の式です
最大にしたいのは回転体の「体積」です https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1607687111/
プロおじ＝ウリュウ＝トケジ(統計ジジイ)
散々イキってる癖して自分に都合の悪いスレはガンスルーwww >>624
誤答の指摘はありがたい助言。
尿瓶洗浄係のは罵倒だよ。
照明wは略。 >>626
今度は
y^2=c/(1+y'^2)
になってwolfram先生にお願いしたら
a±x=1/(3c)2F1(1/2,3/4,7/4,y^4/4)
になった
数値積分しかできないのでは？ >>630
y^2=c/sqrt(1+y'2)
だ
どうしたらいいんだろ 面積最大のときが体積最大になるんじゃないのか
ちょっと意外 てか問題文が
どうしたらいいか
なんだよな
どないせいっちゅうねん？ >>630
今回の問題は端の点は自由なので境界ではノイマンになります
よってヒモは棒と端点で直交することになります
その情報からもう少しだけスッキリとした形にはなります
初等関数では表せないですが、名前のついた有名関数を使えば出来ます 前>>616訂正。
>>613
回転前の紐はたるんでいて棒の4倍ありにけり。
形状は激しく絡みあっていて艶かしい。
棒を回転軸から垂直にまっすぐ立てて回せ、
紐がまっすぐになるように、
紐のちょうど真ん中すなわち棒の2倍の長さのところに、
適当な重さの重りをつけといたから、
棒と紐の角度と紐の折れ曲がるところがすべて120°になるよう真横からよく見て回されよ。
円錐台をてれこにくっつけて真横から見てちょうど正六角形になればいい。
くるんと回してみろ。 >>633
xy平面上の長さ一定の曲線の両端がx軸上にあるとする
x軸と曲線が囲う領域のx軸周り回転体の体積を最大にするのはどのような曲線か
という問題でどうでしょうか
明示的に表示しなくともある程度の曲線の種類を答えてもらえばおkです >>634
y^4とか入ってるからtheta関数くさいのはくさいけど、いずれにしたって何をすればいいやら
端点で棒と直交する条件から積分定数決定するの？ >>640
とりあえず>>630の解
y=(1/3c)2F1(1/3,3/4,7/4,y^4/4)
の導関数求めてもらうと
d/dx(2F1(1/3, 3/4, 7/4, x^4/4)) = (3 (1/(1 - x^4/4)^(1/3) - 2F1(1/3, 3/4, 7/4, x^4/4)))/x
になってグラフ見るとx=0で水平になってる
ホントの解はコレの一部切り取ってy=xでびっくり返したものだからx=0の部分で切って棒にくくりつけたらcがなんであろうと垂直になってしまうからこれではcが決定できないのでは？ 端点ではなく「切って張り合わせたところで滑らかにつながる」条件では？ イヤ違う
それでもcは決定できない
y'=(3 (1/(1 - x^4/4)^(1/3) - 2F1(1/3, 3/4, 7/4, x^4/4)))/x
が∞になる事が条件でそれはx=±√2, cは任意
考えてみれば当たり前
変分方程式に紐の全長が入ってないから>>630は紐の全長が違う場合の解を全部含んでいる
紐の全長が変われば解も変わるハズで端点でどうこうの条件でcが決まるはずがない
あくまで
「端点で直交かつ滑らかにつながる」
は>>630の解の
「どこからどこまで切り取るか」
だけしか決めてくれず、cは“紐の全長”が分からないと決定しないはず >>641
ノイマン境界条件 変分あたりでググってみてください
>>642
そもそも>>630は元からラグランジュの未定乗数が無い形になってませんか
逆関数は積分形なのでそこから微分を求めるとラグランジュの未定乗数を消去できます 積分定数は決まりませんがラグランジュの未定乗数であるλを決定することができます >>632
回転体はパップスギュルダンの定理から「面積×重心と回転軸との距離」に比例しているので単に面積最大化にはなりません 前>>636訂正。
>>613
回転前の紐がたるんでいて棒の4倍とすると、
棒を回転軸から垂直にまっすぐ立て、
紐を針金のごとく(1/4)円弧に硬化させ、
紐のちょうど真ん中が棒の2倍の長さになるよう、
断面がLINEの(笑う)絵文字のように角の円い長方形になるよう、て120°になるよう真横からよく見て回されよ。
これをくるんと回す。 >>632
面積は垂直方向と軸方向のデイメンションの積だけど、
体積は軸に垂直な方向の２乗と軸方向の積だからね。
同じ面積でも、横に張り出してるほうが体積が大きく
なるのは当然かと。 前>>648消し忘れ。訂正。
>>613
回転前の紐がたるんでいて棒の4倍とすると、
棒を回転軸から垂直にまっすぐ立て、
紐を針金のごとく(1/4)円弧に硬化させ、
紐のちょうど真ん中が棒の2倍の長さになるよう、
断面がLINEの(笑う)絵文字のように角の円い長方形になるよう、
真横からよく見てくるんと回す。 >>645
cが未定定数です
実はwolfram先生に解いてもらうともう一つ積分定数がでてきます
すなわち>>630の解空間は二次元
でx=0で極大(y軸対称)でパラメータ一個決めてしまっています
ココが水平というのがまさに「切り貼りした後端点で直交」に対応する条件なのでその意味で既に>>630の解は「端点で棒と直交する条件から未定定数を決定する」という作業をした後の解です
残りの定数は本来局所方程式には出てくるはずのない大域パラメータを含むはずです
そもそも紐の長さを与えずに解が局所方程式から一意に求まるはずないのでは？ 前>>651訂正。
>>613
できるだけ背の高い2人が棒を持ち、
めいいっぱい腕をのばして大きく回す。
紐の長さが限られてるので、
なるべく遠心力で大きく弧を描いて回すよう、
担任が声を掛けて児童にも声を出すよう指示してくれ。 >>652
嘘書いた
訂正
>>630は未定乗数cひ含む一階の微分方程式でwolfram大先生が求めてくれた解が>>630
一階の微分方程式で未定定数一個なので解空間は>>630の時点で2個
なので変分原理の極小性を持つ解は>>630が全て含んでるはず
パラメータは解の中のcとaと曲線のどこからどこまでをとって切り貼りするかのp<x<qなのでa,c,p,q4個
aはラグランジアンがxを含んでない事に起因するパラメータなのでa=0として良い
端点で垂直⇔x=pで水平⇔p=0
つなぎ目で滑らかにつながる⇔x=qで垂直⇔q=√2
で3個決定
残るcは長さのパラメータとして残って決定しないはず 前>>653修正。
>>613
できるだけ背の高い2人が棒を持ち、
めいいっぱい腕をのばして大きく回す。
紐の長さが限られてるので、
なるべく遠心力で大きく弧を描いて回すよう、
担任が声を掛けて児童にも声を出すよう指示し、
あと先生言い忘れてた。
紐をつけた棒を回す人はどうか棒を少しだけ相手に向けてください。
2人の中間地点に対して握った紐の端がつねに90°になるように、
それさえ気をつけて回してください。 >>619
n=6のときの16種類
https://i.imgur.com/qKpAr6R.png
回転させたり裏返したりすると、最外周の格子点に４個あるものと５個あるものの２種類になるみたいだな。 ああ、切り取って貼り付けるとき平行移動する量は決めろということか
すぐ決まるパラメータは省略して
x=±(2F1(1/3,3/4,7/4,y^4/4)-a)/(3c)
でこのaがx=0でなめらかにつながるのはy=±√2のとき分子が0になる事だからココの積分定数は超幾何定理より
a=Γ(2/3)Γ(7/4)/Γ(17/12)
未定定数は紐の長さのパラメータとして残り、滑らかにつながる条件として>>630の積分定数aが決まるんだな
このaは単に平行移動の話だから0でいいと思ってしまった >>656
元配置、90°回転、180°回転、270°回転
鏡像、 90°回転、180°回転、270°回転
の8变化があるから16/8で2通りだな。 これが解けません
(1/a)+(1/b)＝(2/3)ⁿを満たす自然数(a,b,n)の組を全て求めよ >>628
指摘も何もハナから相手にされてないんだよ尿瓶ジジイ。 ～このスレの皆さんへ～
現在、無意味なプログラムを書き込む悪質な荒らしが常駐しています
通称｢プログラムキチガイ｣｢害悪プログラムおじさん｣は医者・病院板にいる通称トケジ(ウリュウ)という荒らしです
5chしかやることのない哀れな推定60代以上の耄碌爺さんです
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1607687111/
数学Iの三角比の問題や中学数学の平面図形の問題でさえ手計算では解けずにわざわざプログラムで解くような人物です
いくら紛れようとしてもやたらと…してみた。と得意顔で図をうpしてくるのですぐに分かります
二項分布の期待値npすら知らないレベルです
自称医者でことあるごとに医者であることをアピールしますが証拠はなにもなく医師法もろくに分からず誰も信じておりません
すぐにマウントを取りに来ます
下ネタが大好きです
認知症があると思われ説得しても無駄だと思われます
皆さん、一切関わらずに無視を貫きましょう >>660
導尿する資格すら保持していない医療従事者＝尿瓶洗浄係だろ。
照明ｗ完了！ >>663
日本語も期待値も医師法もわかってなくてここでもまるで相手にされてない＝非医の穀潰し
QED 期待値が分かってないことがバレた経緯
高校数学の質問スレ Part410
0565 １３２人目の素数さん 2021/03/09 08:52:11
>>560
バカの訳見苦しいわ
高校生ですら簡単に導ける期待値の公式すら知らなかったバカ
数学の素養の無さが見て取れる
0566 １３２人目の素数さん 2021/03/09 08:56:32 >>561
一行で済む公式を知らないがためにわざわざ数行掛けてプログラムを組むバカ
バカの極み
0590 １３２人目の素数さん 2021/03/09 20:17:00
>>587
二項分布の期待値を知らなかった事を誤魔化すのに必死なんだろ
分かってやれよw
0613 １３２人目の素数さん 2021/03/10 07:54:45
>>548
> 期待値の計算は
> Σ[n=0,242] n * 242Cn * p^n * (1-p)^(242-n)
>
> 手計算は大変なので
> 全部プログラム（R）が計算してくれる。
期待値がnpだと知っていればこんな事は書かないよなwww >>666
んで、算出した期待値は数値として誤っているのか？
定義に従って計算しただけだろ。 二項分布って
何がどう二項なんだよ！
単項式だろが！ >>668
高校数学板ではもう馬鹿すぎてもう相手にしてくれないみたいだね。 長さ一定のヒモの両端を真っ直ぐな棒にくっつけて、棒をくるりと回転させて出来る回転体の容積をできるだけ大きくする
紐の長さをL、回転体の体積をVとする
V/L^3を求めよ >>630
E[y] = ∫[0,1] πyy dx + λ{∫[0,1] √(1+y'y') dx - l｡},
ラグランジアン
L(x,y,y') = πyy + λ√(1+y'y'),
オイラー・ラグランジュ方程式
0 = (∂L/∂y) - (d/dx)(∂L/∂y')
= 2πy - λ(d/dt){y'/√(1+y'y')}
= 2πy - λy"/(1+y'y')^(3/2),
πで割って
2y - λ'y"/(1+y'y')^(3/2) = 0, (λ'=λ/π)
y' を掛けてxで積分して
yy + λ'/√(1+y'y') = μ, (積分定数)
y'y' = λ'λ' / (μ-yy)^2 - 1
= (λ'+μ-yy)(λ'-μ+yy) / (μ-yy)^2
= 4(b-yy)(yy-a) / [(b-yy) - (yy-a)]^2,
ここに a = μ - λ', b = μ + λ' とおいた。
2 = {(b-yy) - (yy-a)}y'/√[(b-yy)(yy-a)]
= √[(b-yy)/(yy-a)] y' - √[(yy-a)/(b-yy)] y',
xで積分して
2x = (√b)Ｅ(arcsin(y/√a)｜a/b) - (√a)Ｅ(arcsin(y/√b)｜b/a) + 2c,
Ｅ(｜) は第二種の不完全楕円積分。cは積分定数。 >>672
端点でy=0, y'=∞だからμ=0
するとa+b=0になるけどいける？ 誰か>>669に答えてクレメンザ
二項ってどれとどれの事だよ！？ ググれ。こんなとこで回答を待つより、よほど早く、かつ正確な答が得られる。 第1種楕円積分を二つの第2種楕円積分で表したり、あるいはその逆とかできるんだな
まぁどちらも難しいからそれで何かいい事が起こるのかは知らんけど プログラムおじさんが期待値全く分かってないことがバレた経緯
高校数学の質問スレ Part410
0565 １３２人目の素数さん 2021/03/09 08:52:11
>>560 バカの訳見苦しいわ
高校生ですら簡単に導ける期待値の公式すら知らなかったバカ
数学の素養の無さが見て取れる
0566 １３２人目の素数さん 2021/03/09 08:56:32
>>561
一行で済む公式を知らないがためにわざわざ数行掛けてプログラムを組むバカ バカの極み
0590 １３２人目の素数さん 2021/03/09 20:17:00
>>587
二項分布の期待値を知らなかった事を誤魔化すのに必死なんだろ
分かってやれよw
0613 １３２人目の素数さん 2021/03/10 07:54:45
>>548
> 期待値の計算は
> Σ[n=0,242] n * 242Cn * p^n * (1-p)^(242-n)
>
> 手計算は大変なので
> 全部プログラム（R）が計算してくれる。
期待値がnpだと知っていればこんな事は書かないよなwww 前>>655
>>671
断面が正方形になるとき、
V=(2/3)π(L/2√2)^2(L/2√2)
L^3/V=(2π/3)(1/16√2)
=π√2/24 >>619(補足)
搭載メモリの多いPCでn=7で走らせてみたら
> z7
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] 1+1i 3+1i 3+2i 7+3i 1+4i 6+6i 7+7i
[2,] 1+1i 4+1i 1+3i 2+3i 6+6i 3+7i 7+7i
[3,] 1+1i 5+1i 2+2i 6+5i 7+5i 4+7i 7+7i
[4,] 1+1i 2+2i 7+4i 1+5i 5+6i 5+7i 7+7i
[5,] 3+1i 7+1i 6+2i 1+5i 2+5i 1+7i 4+7i
[6,] 4+1i 7+1i 6+3i 7+3i 2+6i 1+7i 5+7i
[7,] 5+1i 7+1i 5+2i 1+3i 7+4i 2+6i 1+7i
[8,] 7+1i 6+2i 1+4i 7+5i 3+6i 1+7i 3+7i
が列挙できた。
図示すると、
https://i.imgur.com/Amx4VQl.png
元配置、90°回転、180°回転、270°回転
鏡像、 90°回転、180°回転、270°回転
の8通りがあるから、これを同一と数えると配置は１通りだな。 >>679
違う
体積が最大になるときはすでにアホほど答え出てる
dx/dy=±y^2/(c^2-y^4)
という形の時
積分するだけ >>682
訂正
dx/dy=±y^2/√(c^2-y^4)
のとき 縄跳びを回すときの縄の形状がヤコビの楕円関数になるらしい
面白い そう完全楕円積分
なのでイナの>>653はいい勘してるw >>672
第二種 楕円積分
Ｅ(φ|k) = ∫[0,φ] √{1-kk(sinφ)^2} dθ
= ∫[0,sinφ] √{(1-kkuu)/(1-uu)} du,
森口・宇田川・一松：「数学公式I」 岩波全書221 (1956)
第III篇 第5章 p.140-151 O
O F O F T O T
O S T T ？F？
T
T T T S ？S S N
?に共通するアルファベットとその根拠は？ >>690
Z
２行目と３行目と５行目は
それだけじゃ終わらんよな コインを3回連続で投げるとき
(表,表,表),(表,表,裏),(表,裏,表),(裏,表,表),(表,裏,裏),(裏,表,裏),(裏,裏,表),(裏,裏,裏)の8通りが等確率で出る
AさんとBさんがジャンケンをして、勝った方が上記の8通りの中から1つ選び、負けた方は残った7通りの中から1つ選ぶ
そして1枚のコインを連続して投げ続けて、先に選んだパターンが出た者の勝利とする
例えばAさんが(表,表,裏)を選びBさんが(裏,裏,裏)を選んだとして
コインの結果が、表,裏,裏,表,表,表,裏…
となったら(表,表,裏)が先に出たのでAさんの勝利
仮に4回目に裏が出たとしたら(裏,裏,裏)が先に出ることになるのでBさんの勝利となる
ではAさんは常に最善の戦略を取るとして、Bさんは最初のジャンケンの勝敗に関わらず完全にランダムにパターンを選択するときのAさんの勝率を求めよ >>693
A(表,裏,裏)
B(裏,裏,裏)
だったらAのほうが勝率高いよね >>694
そうだね
Aさんがジャンケンで負けて、かつBさんが(裏,裏,裏)を選んだ場合のAさんの最善の戦略は(表,裏,裏)を選ぶこと 有利な戦略は何か？ならちまちま計算しなくても出せるかもしれんけど、勝つ確率計算せよならチマチマした計算ぜんぶやって足し合わせるしかないやろ
しょうもない >>693
ちまちまっていうか、マルコフ行列つくって累乗の極限をとったら勝率を求めるのは難しくない
結果、Aが先手のときの勝率は(表,裏,裏)または(裏,表,表)のときで(7/8+1/2+1/2+1/3+3/4+1/2+1/2+3/5)/8=547/960
Aが後手のときの勝率は最適手を選べるときの確率から(7/8+2/3+2/3+3/4+3/4+2/3+2/3+7/8)/8=71/96
1/2の確率で先手または後手になるから(547/960+71/96)/2=419/640 = 65.46875% トケジ期待値もわからなかったのが悔しくて発狂してるのか 前>>679
>>693
Aさんが1/2の確率でジャンケンに負けても、
Bさんが(表,表,表)か(裏,裏,裏)を選ぶ確率が、
(1/2)(2/8)=1/8
このときお二方が言われるようにAさんが、
(裏,表,表)か(表,裏,裏)を選べば必勝だから、
Aさんがこのゲームに勝つ確率は、
(1/8)×1+(7/8)(1/2)=(2+7)/16=9/16 >>697
Aが先手のときの勝率「が最大になるのは」は(表,裏,裏)または(裏,表,表)のとき
でしたね。
Aが先手のときの戦略として２種類想定してみました。
・Bの戦略(完全にランダム)を熟知している場合
勝率の期待値（平均値）が最も高いのが(表,裏,裏)または(裏,表,表)のとき
・Bの戦略を知らず、最適手を選ぶと想定している場合
Bが最適手（Aの手に対して、Aの勝率が最低になるBの手）を選んだときのAの勝率が最大になるのは(表,裏,裏)または(裏,表,表)のとき
この２種類以外の想定だと、解が変わってくる可能性があると思われます。 >>700
たぶん前者みたいなので>>697のやり方であってると思います プログラマ向け問題
どの5つの和をとっても平方数になるように、6つの整数を取る
このとき合計値が最小になる組み合わせは｛-14, -5, 2, 7, 10, 11｝
それでは正の整数に限った場合の合計値が最小の組を求めよ とりあえずコレは条件満たす
[55,350,635,910,1175,1430] 5で割るの忘れてたorz
[11,70,127,182,235,286] >>705 が最小、であってるみたい
計算機使うより理詰めのほうが早かったか まぁできた6個の平方数から元の６数逆算すると
(-4a^2+b^2+..f^2)/5
(-4b^2+c^2+..+f^2+a^2)/5
...
条件は
(1)全部正
(2)ぜんぶ整数
でチェックすべきは
(a) 23,26〜30, 24,25,27〜30は(1)満たさない、つまりmax=30で(1)満たすのは2組しかない
(b) 23,25〜29は(1)満たさない、つまりmax=29で(1)満たすのは1組しかない
(c) 23〜28は(1)満たさない、つまりmax≦29で(1)満たすのはない
(d) 残った三組で(2)満たすのは25〜30のみ
この程度なら手計算の方が早い プロおじ、知ったかの巻
175 卵の名無しさん (ｻｻｸｯﾃﾛﾗ Sp33-JWr2)[sage] 2021/05/12(水) 14:08:39.19 ID:5FNxP5Prp
公認会計士、弁護士、税理士、司法書士あたりは合格率10%未満の超難関資格。同世代で上澄に入ってないと合格できない。
一方で医師国家試験は合格率90%。勉強が苦手な馬鹿でも受かる。
https://careergarden.jp/bengoshi/exam/
※司法試験の合格率は25%前後 >>693
Aがジャンケンで勝ったときどれを選べば勝利確率が高いかを、シミュレーション
1000回の試行での勝利頻度を図示すると
https://i.imgur.com/PFpfvV6.png
2番めと7番めが良さげ、
> mean(replicate(1e3,sim.A(2,1e3)))
[1] 0.576857
> mean(replicate(1e3,sim.A(7,1e3)))
[1] 0.575363
いずれも勝利確率が57％程度となった。
おまけ
シミュレーションのコード
https://ideone.com/XMCssu >>709
能書きはいいから司法試験の合格率はちゃんと調べたか？ >>709
Aがジャンケンで負けたとき、Bの選択に応じて選ぶべき組み合わせをシミュレーションで探索。
> data.frame(B_choice=c3,A_choice=c3[A])
B_choice A_choice
1 表表表 裏表表
2 裏表表 裏裏表
3 表裏表 表表裏
4 裏裏表 表裏裏
5 表表裏 裏表表
6 裏表裏 裏裏表
7 表裏裏 表表裏
8 裏裏裏 表裏裏 >>711
プロおじはただの知ったか野郎ですww
研修医やる気なしクラブ
185 卵の名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ 8f81-JWr2)[sage] 2021/05/12(水) 18:06:11.09 ID:gBENo4Ge0
公認会計士、弁護士、税理士、司法書士あたりは合格率10%未満の超難関資格。同世代で上澄に入ってないと合格できない。
一方で医師国家試験は合格率90%。勉強が苦手な馬鹿でも受かる。
193 卵の名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ 8f81-JWr2)[sage] 2021/05/12(水) 20:56:14.08 ID:gBENo4Ge0
誰でも受かる試験に合格したぐらいで偉そうにしてて恥ずかしくないのか？
弁護士、公認会計士、司法書士、税理士、不動産鑑定士あたりは母集団のレベルも非常に高く誰でも受かることは絶対に不可能
コピペをしれっと修正w
https://careergarden.jp/bengoshi/exam/
司法試験の平均合格率は25%
知ったかww
>公認会計士、弁護士、税理士、司法書士あたりは合格率10%未満の超難関資格。同世代で上澄に入ってないと合格できない。
>公認会計士、弁護士、税理士、司法書士あたりは合格率10%未満の超難関資格。同世代で上澄に入ってないと合格できない。
>公認会計士、弁護士、税理士、司法書士あたりは合格率10%未満の超難関資格。同世代で上澄に入ってないと合格できない。
>公認会計士、弁護士、税理士、司法書士あたりは合格率10%未満の超難関資格。同世代で上澄に入ってないと合格できない。
>公認会計士、弁護士、税理士、司法書士あたりは合格率10%未満の超難関資格。同世代で上澄に入ってないと合格できない。
ろくに調べず御託を述べるバカw この問題は上でも上がってるようにチマチマした確率計算をやるのがめんどくさいだけで確率の計算式の立式はさほど難しくもない
せめてそれを計算機でキッチリ計算してるなら評価できるがシミュレーションでは１円の価値もない >>711
Bの選択に応じてAが最適の組み合わせを選んで勝利する確率は
> mapply(function(b,a,k) sim.B(b,a,k=1e5),BA[,1],BA[,2])
[1] 0.87544 0.66673 0.66667 0.75055 0.75174 0.66597 0.66567
[8] 0.87631
Bは無作為に選ぶので期待値は
> mean(mapply(function(b,a,k) sim.B(b,a,k=1e5),BA[,1],BA[,2]))
[1] 0.7395512
ジャンケンに勝つ確率1/2として>709の値との平均をとれば
> (0.57+0.74)/2
[1] 0.655
>697の解析解と近似しているのでシミュレーションはバグがなさそうで( ・∀・)ｲｲ!! >>713
シミュレーションプログラムを書くのが楽しいんだね。
期待値がどれくらかでても、現実は期待値どうりの値がでるわけではないし。
勝負がつくまでコインを振った回数の分布とかもだせる。 >>715
楽しいだけなら自分の家のチラ裏でやれや >>715
お前なんか誰も必要としてない
さっさと消えろ >>713
Aが先手で勝利するときに投げたコインの回数の期待値の９５％信頼区間、最頻値と中間値を求めよ、といわれたらシミュレーションするのが簡単じゃないかな。
シミュレーションで得られたデータを処理するだけで、こういう分布図も簡単に書ける。
https://i.imgur.com/lPgpjuw.png >>710
いや、ピロリ菌未感染に発生した胃底腺胃がん症例に遭遇したので、胃底腺胃がんの論文を読んでいるよ。 >>719
すまん
お前に学問の話してもわかるわけないから消えるわた >>720
高校数学スレでは馬鹿すぎてとうとう誰も相手にしてくれなくなったなんて惨めだな。
まあここでもゴミ扱いだが。 前>>699複写。
>>693
Aさんが1/2の確率でジャンケンに負けても、
Bさんが(表,表,表)か(裏,裏,裏)を選ぶ確率が、
(1/2)(2/8)=1/8
このときお二方が言われるようにAさんが、
(裏,表,表)か(表,裏,裏)を選べば必勝だから、
Aさんがこのゲームに勝つ確率は、
(1/8)×1+(7/8)(1/2)=(2+7)/16=9/16
900/16=56.25(%)
シミュレーションの57%はいい値だと思う。 プログラマ向け問題
以下の虫喰い算を解け
https://i.imgur.com/dEhNPvh.png
ただし、二重丸の中には全て同じ数字が入る
丸の中には何を入れてもよい(二重丸内の数字とダブってもいい)
頑張れば手計算でも解けるとか >>725
何コレ？
割る数が10桁、商が5桁、割られる数が13桁？
それとも最高位に０もありなん？ あ、いや、でもやっぱりズレてない？
商の1番左の数字より１つ右から3段目の数字始まってるけど？ 前>>699複写。
>>693
Aさんが1/2の確率でジャンケンに負けても、
Bさんが(表,表,表)か(裏,裏,裏)を選ぶ確率が、
(1/2)(2/8)=1/8
このときお二方が言われるようにAさんが、
(裏,表,表)か(表,裏,裏)を選べば必勝だから、
Aさんがこのゲームに勝つ確率は、
(1/8)×1+(7/8)(1/2)=(2+7)/16=9/16
900/16=56.25(%)
シミュレーションの57%はいい値だと思う。 トリップ間違えて>>724を運営に削除依頼したんですが、どうすれば削除できますか？ 前>>730
>>731解決してへんやないか。そういうなりすましを防止するためにつけとんや。
>>724を削除してくれ。それか方法を教えて。 マスの色と背景の色が同じだったから書き写すときにミスってたらしい
https://i.imgur.com/bBBjXmr.jpg A：(表裏裏) B：(裏裏裏) を選んだ場合
初めの3回で裏が出ればBさんの勝ちで、それ以外はAさんの勝ち
勝率 0.875
必勝ぢゃなイナ
なお、出るまでにかかる回数の期待値は
(裏裏裏) 14
(裏表裏) 10
(表裏裏) 8
(表表裏) 8 >>715
ex parte で云えば
(表裏裏) が (n-2, n-1, n) 回目に初めて出る確率は
(Ｆ_n - 1)/(2^n) (n≧3)
<n> = Σ[n=3,∞] n(F_n - 1)/(2^n) = 8,
ここに Ｆ_n はフィボナッチ数。 ex parte だが
(裏裏裏) が (n-2, n-1, n) 回目に出る確率は
(Ｔ_{n-2} + Ｔ_{n-3} + 1)/(2^n) (n≧3)
<n> = Σ[n=3,∞] n(Ｔ_{n-2} + Ｔ_{n-3} +1)/(2^n) = 14,
ここに Ｔ_n はトリボナッチ数。 Aが勝つ確率だから遷移行列の逆行列かけるだけの作業
別に難しくもない
しかし8個の選択肢がありA,Bが各々どこにかけるかの条件下でできる4限連立の線形方程式を56事解くだけ
しかし最終的に答え出すには結局56個の方程式全部解いて各々のAが勝つ確率計算するしかない
対称性利用するにしても計算機マターやろ 訂正ｽﾏｿ.
(Ｔ_{n-2} + Ｔ_{n-3}) / 2^n, (n≧3)
<n> = Σ[n=3,∞] n (Ｔ_{n-2} + Ｔ_{n-3}) / 2^n = 14,
T0=0, T1=T2=1, T3=2, T4=4, T5=7, … 226 卵の名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ 8f81-JWr2)[sage] 2021/05/13(木) 13:35:34.71 ID:uUPag7yV0
社労士と同レベルの学力しかないのに医者は偉そうにするな。
弁護士、公認会計士、司法書士、税理士とは大違い。上の資格は同世代のエリートしか合格できない
プロおじ僻み散らかしてて草 >>736
Aが後手の時の勝率（シミュレーション解）
> data.frame(B_choice=c3,A_choice=c3[A[1,]],Aの勝率=A[2,])
B_choice A_choice Aの勝率
1 表表表 裏表表 0.8735
2 裏表表 裏裏表 0.6626
3 表裏表 表表裏 0.6697
4 裏裏表 表裏裏 0.7605
5 表表裏 裏表表 0.7585
6 裏表裏 裏裏表 0.6613
7 表裏裏 表表裏 0.6677
8 裏裏裏 表裏裏 0.8812 >>736
(裏表裏) が (n-2, n-1, n) 回目に初めて出る確率は
X_n /2^n
ここに
X0 = X1 = 0, X2 = 1, X3 = 2, X4 = 3, X5 = 5,
X_n = 2X_{n-1} - X_{n-2} + X_{n-3},
<n> = Σ[n=3,∞] n X_n /2^n = 10, 228 卵の名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ 8f81-JWr2)[sage] 2021/05/13(木) 16:46:53.42 ID:uUPag7yV0
学力で
弁護士、公認会計士、税理士、司法書士>>>>>>>>>>>>>医師なのは間違いない
医師国家試験はバカでも9割受かる。うちの従兄弟は英検二級に落ちるレベルだったが医師になったからね。一方、上の資格等は合格率10%程度しかない非常に難しい難しい試験。同世代のトップ層の中のトップ層しか受からない。
>難しい難しい
>難しい難しい
>難しい難しい
>難しい難しい
>難しい難しい
なるほど、プロおじの非医コンプは従兄弟からだったのね。惨めだな。一方、プロおじは日本語もままならず挙げ句の果てにはここで僻み散らかすしか能がない社会のお荷物になったと。
ちなみに司法試験の合格率は平均25%です。ググれば一発なのにそれさえできない知ったかです。 そうか
プログラマを釣るにはしらみ潰しやデカい虫喰い算よりも確率とか期待値の問題が1番いいのか Inter parties では
[1]=[8] [2]=[7] [3]=[6] [4]=[5]
[5] A：(裏表表) B：(表表裏) Aの勝率 3/4,
n回目で勝つ確率 (n≧3)
A： Ｆ_{n-1} / 2^n, B：1/2^n,
決着の回数
<n> = (22/3)(3/4) + 4(1/4) = 13/2,
[6] A：(裏裏表) B：(裏表裏) Aの勝率 2/3,
n回目で勝つ確率 (n≧3) 略
決着の回数
<n> = (19/3)(2/3) + (16/3)(1/3) = 6,
[7] A：(表表裏) B：(表裏裏) Aの勝率 2/3,
n回目で勝つ確率 (n≧3)
A：[n/2][(n-1)/2] / 2^n, B：[(n-1)/2] / 2^n,
決着の回数
<n> = (17/3)(2/3) + (14/3)(1/3) = 16/3,
[8] A：(表裏裏) B：(裏裏裏) Aの勝率 7/8,
n回目で勝つ確率 (n≧3)
A：(2Ｆ_{n-2} - δ_{n,3})/ 2^n, B：δ_{n,3} /8,
決着する回数
<n> = (53/7)(7/8) + 3(1/8) = 7, 前>>732
>>693
Aがジャンケンに勝ったときAがゲームに勝つ確率は3/4
Aがジャンケンで負けたときAがゲームに勝つ確率は、
(1/4)(7/8)+(1/4)(13/16)+(1/2)(3/4)=51/64
(1/2)(3/4)+(1/2)(51/64)=3/8+51/128=(48+51)/128=99/128=0.7928175
∴79.28175% >>748
シミュレーションだと
Aがジャンケンに勝ったときAがゲームに勝つ確率
> sum(y[,1]==1)/1e6
[1] 0.580047
Aがジャンケンで負けたときAがゲームに勝つ確率は、
> mean(mapply(function(b,a,k) sim.B(b,a,k=1e5),BA[,1],BA[,2]))
[1] 0.7390925
となったのでシミュレーションかイナ解のどちらかが間違っている。 Aが先手で (表裏裏) を選んだとする。
B：(裏裏裏) Aの勝率 7/8, = [8] (φ)
<n> = (53/7)(7/8) + 3(1/8) = 7,
B：(裏表裏) Aの勝率 1/2, (t^3-t^2-1=0)
<n> = (19/3)(1/2) + (17/3)(1/2) = 6,
B：(表表裏) Aの勝率 1/3, = [7]で A,B 入れ替え (1)
<n> = (14/3)(1/3) + (17/3)(2/3) = 16/3,
B：(裏裏表) Aの勝率 3/4, = [4] (φ)
<n> = (22/3)(3/4) + 4(1/4) = 13/2,
B：(表裏表) または (裏表表) Aの勝率 1/2, (1)
n回目で勝つ確率 (n≧3)
A：(n-2) / 2^n, B：(n-2) / 2^n,
<n> = 5/2 + 5/2 = 5,
B：(表表表) Aの勝率 3/5, (P)
<n> = (86/15)(3/5) + (27/5)(2/5) = 28/5,
(7/8+1/2+1/3+3/4+1/2+1/2+3/5)/7 = 487/840 = 0.57976190 Aがジャンケンに勝ったとき (先手) Aの勝率は
4433/6720 = 0.57976190
Aがジャンケンで負けたとき (後手) Aの勝率は
71/96 = 0.73958333 >>697 プロおじは期待値すら分かってないことがバレた経緯
高校数学の質問スレ Part410
0565 １３２人目の素数さん 2021/03/09 08:52:11
>>560
バカの訳見苦しいわ 高校生ですら簡単に導ける期待値の公式すら知らなかったバカ 数学の素養の無さが見て取れる
0566 １３２人目の素数さん 2021/03/09 08:56:32 >>561 一行で済む公式を知らないがためにわざわざ数行掛けてプログラムを組むバカ バカの極み
0590 １３２人目の素数さん 2021/03/09 20:17:00
>>587
二項分布の期待値を知らなかった事を誤魔化すのに必死なんだろ
分かってやれよw
0613 １３２人目の素数さん 2021/03/10 07:54:45
>>548
> 期待値の計算は
> Σ[n=0,242] n * 242Cn * p^n * (1-p)^(242-n)
>
> 手計算は大変なので
> 全部プログラム（R）が計算してくれる。
期待値がnpだと知っていればこんな事は書かないよなwww >>751 訂正
Aがジャンケンに勝ったとき (先手) Aの勝率は
487/840 = 0.57976190
だた…
(参考)
φ^2 -φ -1 = 0 の正根
φ = (1+√5) /2
= 1.61803398875 (黄金比)
τ^3 -τ^2 -τ -1 = 0 の実根
τ = (1 + (19-3√33)^{1/3} + (19+3√33)^{1/3}) /3
= 1.839286755214
t^3 -t^2 -1 = 0 の実根
t = (1 + [(29-3√93)/2]^{1/3} + [(29+3√93)/2]^{1/3}) /3
= 1.465571231877
P^3 -P -1 = 0 の実根
P = [(9-√69)/18]^{1/3} + [(9+√69)/18]^{1/3}
= 1.324717957245 (プラスチック比)
Q=P^2 は
Q^3 - 2Q^2 + Q - 1 = Q(Q-1)^2 - 1 = 0,
をみたす。 >>753
a = 224,
b = 108,
c = 5,
d = 10,
e = 15,
f = 2,
g = 8,
３６２８８１５
２■■■９■０
７■１０６■０
６■０■■■６
８３８８６０８
あっさり。 ヨコ5. 10^7 ≦ (g^g)/f < 10^8,
g≦7 ⇒ (g^g)/f ≦ 7^7 = 823543 < 10^7,
∴ g ≧ 8,
∴ g^g ≧ 8^8 = 16777216 > 10^8,
∴ f ≧ 2,
タテ1. 10^4 ≦ f^e < 10^5,
e≧17 ⇒ f^e ≧ 2^17 = 131072 > 10^5,
e≦16
これらの条件をみたす g と f^e は
g=8 2^14 = 16384, 2^15 = 32768, 2^16 = 65536,
4^7 = 16384, 4^8 = 65536,
8^5 = 32768,
16^4 = 65536,
g=9 243^2 = 59049
がある。
ヨコ1. 10^7 ≦ d! + e < 10^8,
d≦9 ⇒ d! + e ≦ 9! + 16 = 362896 < 10^7，
d≧11 ⇒ d! + e ≧ 11! + 1 = 39916801 > 10^8,
∴ d = 10,
d! + e = 36288･･,
∴ f^e は３で始まる。
これを満たすのは 32768 のみ。
∴ (g^g)/f は８で始まる。
∴ g=8, f=2, e=15, (g^g)/f=8388608,
タテ2. 4a < 900
a < 225,
タテ3. aa-b ≧ 5・10^4
a > 100√5 > 223,
∴ a = 224,
ヨコ4. a -b -2 ≧ a -b -2c ≧ 106,
タテ4. b ≧ 108,
∴ 108 ≦ b ≦ 116,
タテ3. aa-b の最下桁は8
b = 108,
c = 5,
こってり クロスワードもう一題
https://i.imgur.com/AooaSdT.png
俺はどこから手をつけていいのかわからなかった >>757
ヨコ4(2桁)とタテ11(2桁)の和がヨコ12(3桁)だから
12のマスの「1」が確定し、タテ2(5桁)が31または41の3乗であることも確定する
あとはタテ5のヒントに当てはまる数を探索する
９６７８４
７８９６１
２９１４６
８２５４３
１１３７１
数字クロスってパズル板のほうが良くない？ ～このスレの皆さんへ～
現在、無意味なプログラムを書き込む悪質な荒らしが常駐しています
通称｢プログラムキチガイ｣｢害悪プログラムおじさん｣は医者・病院板にいる通称トケジ(ウリュウ)という荒らしです
5chしかやることのない哀れな推定60代以上の耄碌爺さんです
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1607687111/
数学Iの三角比の問題や中学数学の平面図形の問題でさえ手計算では解けずにわざわざプログラムで解くような人物です
いくら紛れようとしてもやたらと…してみた。と得意顔で図をうpしてくるのですぐに分かります
二項分布の期待値npすら知らないレベルです
自称医者でことあるごとに医者であることをアピールしますが証拠はなにもなく医師法もろくに分からず誰も信じておりません
すぐにマウントを取りに来ます
下ネタが大好きです
認知症があると思われ説得しても無駄だと思われます 先手/後手の選択で先手が勝つ確率
表表表 裏表表 裏裏裏 表裏裏 裏裏表 表裏表 表表裏 裏表裏 最大 最小 平均
分母は840
[[0,105,420,336,252,336,420,350,420,105,317],[735,0,504,420,280,420,630,420,735,280,487],[420,336,0,105,420,350,252,336,420,105,317],[504,420,735,0,630,420,280,420,735,280,487],[588,560,420,210,0,525,420,560,588,210,469],[504,420,490,420,315,0,280,420,504,280,407],[420,210,588,560,420,560,0,525,588,210,469],[490,420,504,420,280,420,315,0,504,280,407]] 3連で既に計算機マターなんだから4連でも計算機マター >>756
ヨコ1. d! + e は7桁,
d≦9 ⇒ d! + e ≦ 9! + 16 = 362896 (6桁以下)
d≧11 ⇒ d! + e ≧ 11! + 1 = 39916801 (8桁以上)
∴ d=10 ４人ロシアンルーレット（順序指定)
４人の人A,B,Cが互いに４すくみ状態で常に一定の方向に拳銃を構えています。
AがBを狙撃、BがCを狙撃、CがDを狙撃、DがAを狙撃します。
拳銃は最大６発込められるリボルバー式で、それぞれランダムなシリンダーに一発実弾が入っています。
そして４人はA,B,C,Dの順に引き金を引きます。実弾で狙撃されたら死亡して自分の番でも狙撃することはできません。
死亡または弾切れにより新たな狙撃ができなくなるまで続けます。
生存確率が最も高いのは誰でしょうか？ >>764(脱字修正）
４人ロシアンルーレット（順序指定)
４人の人A,B,C,Dが互いに４すくみ状態で常に一定の方向に拳銃を構えています。
AがBを狙撃、BがCを狙撃、CがDを狙撃、DがAを狙撃します。
拳銃は最大６発込められるリボルバー式で、それぞれランダムなシリンダーに一発実弾が入っています。
そして４人はA,B,C,Dの順に引き金を引きます。実弾で狙撃されたら死亡して自分の番でも狙撃することはできません。
死亡または弾切れにより新たな狙撃ができなくなるまで続けます。
生存確率が最も高いのは誰でしょうか？ >>761 結果のみ
後手の場合の勝率 1961/2688 = 0.729538690476190
先手の場合の勝率(後手の戦略を知っている場合) 15443/27720 = 0.557106782106782
先手の場合の勝率(後手が最適手と想定した場合) 12823/25200 = 0.508849206349206
勝率(後手の戦略を知っている場合) (1961/2688+15443/27720)/2 = 0.643322736291486
勝率(後手が最適手と想定した場合) (1961/2688+12823/25200)/2 = 0.619193948412698 そもそもルールもよくわからんしな
誰かが発射して再装填の指定がないから装填しないんだろうけど、それだと
AがBを射殺、Bが飛ばされてCがDを射殺、この時点で残ったプレーヤーの弾倉にはひとつも弾がない
この場合は両者生存なのか
まぁそこハッキリしてもこんなもん計算機マターにしかならん >>693の問題をコインn個(n≧2)に拡張したとき、先手の選択Aから、それに対する後手の最適手Bを求める一般的な方法はあるか？
・n=3のときA=(A1,A2,A3)に対して、最適手はB=(B1,A1,A2)の形をとるようだ
一般のnについてそのような法則は成り立つか
・成り立つとして、A1,…,A[n-1]からB1を求める方法はあるか？ 数学五輪の問題とか日本予選の問題とか…
ああいうのって誰が考えてるんだろうな
お前ら、ああいう問題作れる？ >>768
撤回
まぁ手計算でもできるな
逆に言えば計算機禁止かなんかにしないと
しかしそれにしたってスパッと鮮やかな解は無さそうではある >>768
一人生存する場合と二人生存して終わる場合があるよ。 今更ですが>>613の最大値のかなり綺麗な表示を出せたので改題を出します Γをガンマ関数とする
長さ1のヒモの両端を真っ直ぐな棒にくっつけて、棒をくるりと回転させて出来る回転体の容積の最大値をΓ(1/4)を用いて表現せよ. >>765(補足)
弾は各人１発(発砲前に射殺されると使われない）。
弾倉の充填位置は6^4＝1296通りで
1人生存するのは540通り、2人生存するのは756通り。
何人生存するかに関わらず生存確率が高いのは誰か、という問題。
1296通りだから総当たり計算もたやすい。
4人を5人や6人に増やしても結果が変わらなかったのが意外だった。 >>775
後付けの定性的な説明（証明にはなっていない）だが、
自分に銃口を向けている参加者を射殺してくれれば生存確率が高くなるから、
最も生存確率が高いのは人数や弾倉によらず、Cである。 >>775
総当たり計算の結果
A B C D
91/216 25/81 77/162 245/648
0.4212963 0.308642 0.4753086 0.3780864
おそらく、手計算の達人のイナ氏が指折り検算してくれるはずｗ >>774
>>672より
y^4+λ'/(1+y'^2)=μ^2
y=0でy'=±∞によりμ^2=0
よって
y'=±y^2/√(c^2-y^4) (ただしこの後頻出するのでλ'はc^2とした)
∴ x = ±∫y^2/(√c^4-y^4)dy
= ±y^3 2F1(1/2,3/4,7/4,y^4/c)-a )/(3c^2)
( ∵ 不完全B積分 )
積分定数aはy=cでx=0により
a = 2F1(1/2,3/4,7/4,1)c = Γ(7/4)/Γ(1/4)(√π)c
紐の長さlは
l = 2∫[0,c]√(1+y^4/(c^4-y^4))dy
= 2c∫[0,1]√(1-t^4)dt
= 2Γ(5/4)/Γ(3/4)(√π)c
体積は
V = ∫[0,c]πy^2(-x')dy
= ∫[0,c]πy^4/√(1-y^4)dy
= Γ(5/4)/Γ(7/4)(π^(3/2)/4)c^3
これに
Γ(5/4)=(1/4)Γ(1/4)、Γ(7/4)=3π/((2√2)Γ(1/4))
を用いればよい >>778
∫[0,c]πy^4/√(c^4-y^4)dy
の部分が
∫[0,c]πy^4/√(1-y^4)dy
になっていたりしますが大正解です
素晴らしい
結局まとめると求める最大値は
8π^2/(3Γ(1/4)^4) = 0.1523155270...
となります
ちなみに長方形+円のカマボコ型の場合、最大値は
0.151339849399...となります >>777
なんでそういう書き方から卒業できないんやろ？
いつまで小学生みたいなレス続けるんや 前>>748
>>693
マルコフとかわからないけど、
>>697の419/640 = 65.46875%が妥当な値だし、
正しい気がする。 >>780
別スレで怒涛の手計算を披露されていた。
プログラム解と合致を確認。 >>781
この問題はマルコフ関係ない
数Aの受験レベルで解ける
n=6として
A→C ⇔ a≦b,c,d、c≦d
A→D ⇔ a≦b,c,d、d<c
B→D ⇔ b≦c,d,a-1、d<a
B→A ⇔ b≦c,d,a-1、a≦d
C→A ⇔ c≦d,a-1,b-1、a≦b
C→B ⇔ c≦d,a-1,b-1、b<a
D→B ⇔ d≦a-1,b-1,c-1、b≦c
D→C ⇔ d≦a-1,b-1,c-1、c<b
の整数解の個数(の比較)
計算しなくとも不等式眺めるだけでCが(nによらず)生存確率が最も高いとわかる
ホントに計算してもそれぞれ大して難しくない
めんどくさいだけ
イナΣ計算できるんやろ？ 引き金を引いた後に弾倉が1/6回る (オートマチック式) としてみた。
必ず6巡以内に発射される。
k巡後の生存率を A_k, B_k, C_k, D_k とする。
Ao = Bo = Co = Do = 1,
B_k = B_{k-1}(1 - A_{k-1} /(7-k)),
C_k = C_{k-1}(1 - B_k /(7-k)),
D_k = D_{k-1}(1 - C_k /(7-k)),
A_k = A_{k-1}(1 - D_k /(7-k)),
これより
A_6 = 0.313191929511628
B_6 = 0.193929438172711
C_6 = 0.364659899856963
D_6 = 0.246917310684945
二者生存率は 0.11869857822625
かな Gを非可換有限群とする
#{(a,b)∈G×G | ab = ba}/#G^2
の最大値を求めよ アレ？違うのか
簡単な例だと1/2超える奴一つもないなぁ
これ非可換の有限論とか詳しくないと出てこないような例考えないと出ないやつなんかな
対称群とか二面体群とかでは1/2超える奴はないなぁ >>786
定義通りに期待値の計算式を立式してプログラムで算出するのは期待が分かっている証である。
職種の言えない医療従事者は尿瓶洗浄係である。 >>785
狙撃されて死亡していても発砲されるという設定？ >>786
臨床の世界ではある値の厳密な期待値よりもその値がどのような分布をするのかの方が重要。
新型コロナの潜伏期間の分布は対数正規分布に従っているという論文がある。
こういうのを使って発症と感染の順序が逆転する確率が計算できる。
尿瓶洗浄係には何の関係もない話だが。 アンカーもつけてないのに期待値も分からないバカに馬鹿正直に反応した本物のバカ発見！！
語るに落ちたな。
やっぱり湧いて出てきたか尿瓶プログラムおじさん。もう高校数学スレは村八分になったみたいだな。
もはや頭悪すぎて自称医者も誰も信じてないからな。 >期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
安定の日本語不自由マンw
さすがプロおじは期待を裏切りませんねぇwよく分かってるねぇw
でも期待値はやっぱり分かってないみたいww そもそも合ってるか？
k-1順目終了時点でAが生存してる事象とBが生存してる事象は独立ではないような気がする スレタイ読めずに臨床がどうのとのたまうプロおじって、やっぱり尿瓶洗浄係なの？ >>798
本人の造語なので何とも
ただニセ医者であることは今までの言動から間違いないようです >>797
B_k = B_{k-1} - P(B∩A)/(7-k),
だけど
P(B∩A) ≠ B_{k-1} A_{k-1},
ということですね。なるほど… >>794
おい、何とか言ったらどうだ？
同じIDでさぁw >>781
Aが先手で (表裏裏) を選んだときは、Bは同じものを選べない、
と解釈すれば
(7/8 + 1/2 + 1/3 + 3/4 + 1/2 + 1/2 + 3/5) / 7 = 487/840 = 57.976% >>750
Aが後手なら
71/96 = 73.958% >>697
平均して
4433/6720 = 65.967%
ぢゃね？ >>802
正しいと思うよ
計算機解おいとく
https://ideone.com/iNBAgS
E[1st] = 0.579761904761905
E[2nd] = 0.739583333333333
E[avg] = 0.659672619047619 この手のやつは答え見ると一瞬やな
https://math.berkeley.edu/~tb65536/Commuting_Probability.pdf 786 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 13:38:29.40 ID:vlskJEw6
期待値も分からないバカはここにいる資格なし！
794 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 15:10:27.46 ID:ZWnahVnW
>>786
臨床の世界ではある値の厳密な期待値よりもその値がどのような分布をするのかの方が重要。
新型コロナの潜伏期間の分布は対数正規分布に従っているという論文がある。
こういうのを使って発症と感染の順序が逆転する確率が計算できる。
尿瓶洗浄係には何の関係もない話だが。
795 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 15:50:49.88 ID:0BO4FxHB
アンカーもつけてないのに期待値も分からないバカに馬鹿正直に反応した本物のバカ発見！！
語るに落ちたな。
やっぱり湧いて出てきたか尿瓶プログラムおじさん。もう高校数学スレは村八分になったみたいだな。
もはや頭悪すぎて自称医者も誰も信じてないからな。
796 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 16:00:55.34 ID:0BO4FxHB
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
安定の日本語不自由マンw
さすがプロおじは期待を裏切りませんねぇwよく分かってるねぇw
でも期待値はやっぱり分かってないみたいww 他スレの問題を改題
原題
題:3人ロシアンルーレット
三人の人A,B,Cが互いに3すくみ状態で常に一定の方向に拳銃を構えています。拳銃は最大五発込められるリボルバー式で、それぞれランダムなシリンダーに一発弾が入っています。そして三人はロシアンルーレット開始から五分おきに同時に引き金を引きます。さて25分後にAが生存している確率は何％か？
改題
９人９すくみ、同時発砲でロシアンルーレットを行う。２５分後に残っている生存者数の期待値を求めよ。 全部数字入ってる辺り、プロおじが数値計算するためだけの問題なんだろうな >>810
実験してみるとn>=5のときは生存確率が同じ値になるみたいなんだな。
理由はわからないけどやってみたらそうなった。
期待値の好きな尿瓶洗浄係が速攻で正答すると期待していたのに残念ｗ >>810
９人だと野球の人数だからいいんじゃないの？
サッカーの１１人の方がよかったか？ >>813
n=4のときは、別スレで生存確率が解析解として投稿されていたな。
俺のRでのプログラム解と合致。
表計算ソフトでも計算した人も同じ値だったから、
俺のプログラムは正しく計算していると確信できたので数を増やして走らせてみた。
表計算ソフト（多分、エクセルだろうな）でも慣れた人が使うと複雑な処理もできるものだなぁと感心したよ。 786 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 13:38:29.40 ID:vlskJEw6
期待値も分からないバカはここにいる資格なし！
794 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 15:10:27.46 ID:ZWnahVnW
>>786
臨床の世界ではある値の厳密な期待値よりもその値がどのような分布をするのかの方が重要。
新型コロナの潜伏期間の分布は対数正規分布に従っているという論文がある。
こういうのを使って発症と感染の順序が逆転する確率が計算できる。
尿瓶洗浄係には何の関係もない話だが。
795 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 15:50:49.88 ID:0BO4FxHB
アンカーもつけてないのに期待値も分からないバカに馬鹿正直に反応した本物のバカ発見！！
語るに落ちたな。
やっぱり湧いて出てきたか尿瓶プログラムおじさん。もう高校数学スレは村八分になったみたいだな。
もはや頭悪すぎて自称医者も誰も信じてないからな。
796 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 16:00:55.34 ID:0BO4FxHB
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
安定の日本語不自由マンw
さすがプロおじは期待を裏切りませんねぇwよく分かってるねぇw
でも期待値はやっぱり分かってないみたいww >>814
野球部やサッカー部集めてロシアンルーレットさせるとかお前はデスゲームの主催者か >>819
まず医療用語に存在しないのですが尿瓶が必要なジジイかもしれません。 >>818
生存人数の期待値は９人だと9216/3125、１１人だと11264/3125
指折り数えて検算してくれ。 >>822
期待値の好きな尿瓶洗浄係が速攻で正答すると期待していたのに残念だな。 プロおじって尿瓶洗浄係なの？
なんで答えてくれないの？ プロおじ向け問題
「1からMまでの数字を使ったN×Nマスビンゴがビンゴするまでに公開される数字の数の期待値を求めよ。ただし、M≧N^2、Nは奇数、ビンゴの中心は最初から埋まっている」 >>803
・Gが可換 ⇔ p(G)=1,
・p(G) = (Gの共役類の数) / #G,
・Gが非可換 ならば p(G) ≦ 5/8,
等号成立の群Gは無数にあり、最小のものは G=D_4 (位数8の二面体群)
・p(G) に一様な下限はない。
任意の正整数nに対し、 p(G)=1/n となる有限群Gが存在する。
・Gが非可換かつ単純ならば p(G)≦1/12,
等号成立は G=A_5 (5次の交代群) 786 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 13:38:29.40 ID:vlskJEw6
期待値も分からないバカはここにいる資格なし！
794 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 15:10:27.46 ID:ZWnahVnW
>>786
臨床の世界ではある値の厳密な期待値よりもその値がどのような分布をするのかの方が重要。
新型コロナの潜伏期間の分布は対数正規分布に従っているという論文がある。
こういうのを使って発症と感染の順序が逆転する確率が計算できる。
尿瓶洗浄係には何の関係もない話だが。
795 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 15:50:49.88 ID:0BO4FxHB
アンカーもつけてないのに期待値も分からないバカに馬鹿正直に反応した本物のバカ発見！！
語るに落ちたな。
やっぱり湧いて出てきたか尿瓶プログラムおじさん。もう高校数学スレは村八分になったみたいだな。
もはや頭悪すぎて自称医者も誰も信じてないからな。
796 １３２人目の素数さん[sage] 2021/05/17(月) 16:00:55.34 ID:0BO4FxHB
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
>期待が分かっている証である。
安定の日本語不自由マンw
さすがプロおじは期待を裏切りませんねぇwよく分かってるねぇw
でも期待値はやっぱり分かってないみたいww nを3以上の整数、F(x,y)を整数係数のn次斉次多項式とする.
このとき，F(x,y) (x,y は整数) の形では表せない整数が無限個存在することを証明せよ． オートマチック式とする。
弾倉の弾丸の位置により 6^4 = 1296 とおりの組合せがある。
最初の狙撃が第k巡となる組合せは (7-k)^4 - (6-k)^4,
A→B，k (7-k)^3,
B→C，k (7-k)^2･(6-k),
C→D，k (7-k)･(6-k)^2,
D→A，k (6-k)^3,
最初の狙撃, 第2狙撃, 第3狙撃, 組合せ,
A→B，k, C→D, なし, (1/2)(8-k)(7-k)^2,
A→B，k, D→A, C→D, (1/2)(6-k)(7-k)^2,
B→C，k, D→A, なし, (1/2)(6-k)(7-k)^2,
B→C，k, A→B, D→A, (1/2)(6-k)(7-k)^2,
C→D，k, A→B, なし, (1/2)(6-k)(7-k)^2,
C→D，k, B→C, A→B, (1/2)(5-k)(6-k)(7-k),
D→A，k, B→C, なし, (1/2)(7-k)(6-k)^2,
D→A，k, C→D, B→C, (1/2)(5-k)(6-k)^2, k=1,2,…,6 で合計すると
最初の狙撃, 第2狙撃, 第3狙撃, 生存者, 組合せ
A→B, C→D, なし, A C, 266
A→B, D→A, C→D, C, 175
B→C, D→A, なし, B D, 175
B→C, A→B, D→A, D, 175
C→D, A→B, なし, A C, 175
C→D, B→C, A→B, A, 105
D→A, B→C, なし, B D, 140
D→A, C→D, B→C, B, 85
A, B, C, D が生存する組合せはそれぞれ 546, 400, 616, 490.
Aのみ, Bのみ, Cのみ, Dのみ; AとC, BとD
105, 85, 175, 175; 441, 315. >>774
話変わるけど
初めて ガンマ函数を見た時に 0.4の前後で
f(x) が 1を下回るのにビビった。1! = 1 が最小だと思ってたのに。 f(x) = Γ(x+1) とすると
f(0) = 0! = 1,
f(1) = 1! = 1,
f(2) = 2! = 2,
これを滑らかに結べば 0<x<1 で f(x)<1 になりそう… >>831
生存者と頻度
> Survivors
A B C D Freq
1 1 0 1 0 441
2 0 1 0 1 315
3 1 0 0 0 105
4 0 0 1 0 175
5 0 1 0 0 85
6 0 0 0 1 175
生存確率
> y4=fn(N=4,C=6) ; do(y4)
A B C D
91/216 25/81 77/162 245/648
0.4212963 0.308642 0.4753086 0.3780864
数値が一致して気持ちが(・∀・)ｲｲ!! 一人で気持ちよくなってるよ
オナニーみたいなもんだな >>834
期待値と日本語勉強し直してからこい。
社会のゴミが。 顔文字が本当に爺臭くて気色悪い
尿瓶が必要そうな顔文字
言われて直したら敗けとか思ってるんだろうな 面白そうな問題作って自分で解いてみて何回も見返して間違いなさそうだと思ってやっと作った問題がアホのせいで流れてしまう
ホンマ消えてほしい この板って多分ワッチョイないよな
避難所でも作ればいいのか >>829
x^3+x^2yとか反例にならない？
どんなnもx=1,y=n-1と表されてしまうような >>840
あ、ホントだ
x^nとy^nの係数はゼロでないが抜けてます
自作問題だから他にも見落としあるかも
そういうチェックを入れて頑張って頑張って作った問題を「数値変えてみました」とかしかもとっくに終わってる問題蒸し返して流されるとほんまにムカつく >>829
コレで再挑戦
nを3以上の整数、F(x,y)を整数係数のn次斉次多項式で非自明な因子で
F(x,y)=G(x,y)^(n-1)×H(x,y)
の形に分解されないとする
このとき，F(x,y) (x,y は整数) の形では表せない整数が無限個存在することを証明せよ．
これならいけると思う
例えば>>840は
x^n + x^(n-1)y = x^(n-1) × (x+y)
になってる >>837
尿瓶洗浄を生業にしているのが罵倒厨ｊ．
ライセンスがないから導尿も喀痰吸引もできない医療従事者。 >>845
なにそのjってw
なんなの？
ジジイのj？
相変わらずボケてますなぁ尿瓶ジジイは。 尿瓶洗浄してもらう側なんだと思う。
証拠が何一つない自称医者＝穀潰し尿瓶ジジイ。 すまん
>>844はF(1,t)の分解体のガロア群が可解入れといてください
この条件外せるか考え中 >>830
最初の狙撃が第k巡となる組合せ
N_k = (7-k)^4 - (6-k)^4,
E(k) = (Σ k･N_k)/(Σ N_k) = 2275/1296 = 1.75540
最初の狙撃, 組合せ
A→B, k, (7-k)^3, <k> = 812/441,
B→C, k, (7-k)^2･(6-k), <k> = 616/350,
C→D, k, (7-k)･(6-k)^2, <k> = 476/280,
D→A, k, (6-k)^3, <k> = 371/225,
最初の狙撃, 最後の狙撃, 組合せ,
A→B, k, C→D, m, 各 (7-k)^2, <m>=(k+6)/2 (k≦m≦6)
B→C, k, D→A, m, 各 (7-k)(6-k), <m>=(k+6)/2 (k≦m≦6)
C→D, k, A→B, m, 各 (7-k)(6-k), <m>=(k+7)/2 (k+1≦m≦6)
D→A, k, B→C, m, 各 (6-k)^2, <m>=(k+7)/2 (k+1≦m≦6)
最初の狙撃, 最後の狙撃, 組合せ,
A→B, C→D, m, (1/6)m(2mm-39m+253), <m> = 1729/441,
B→C, D→A, m, (1/6)m(2mm-36m+214), <m> = 1358/350,
C→D, A→B, m, (1/6)(m-1)(2mm-40m+252), <m> = 1218/280,
D→A, B→C, m, (1/6)(m-1)(2mm-37m+216), <m> = 973/225
∴ 最後の狙撃が第m巡である組合せ
N_m = (2/3)(2m-1)(mm-19m+117),
E(m) = (Σ m･N_m) / (Σ N_m) = 5278/1296 = 4.072531 前>>781
>>697
後手Aが最善の戦略をとったとき、
Bの勝率が1/8となるのは、
先手ランダム人Bがゾロ面(表,表,表),(裏,裏,裏)をとったとき、
というのはわかる。
Bの勝率が1/4となる2通り、1/3となる4通りの出面はなにか、
わからないから書いてください。 前>>853
>>697
(表,表,裏),(表,裏,表),(裏,表,表),(表,裏,裏),(裏,表,裏),(裏,裏,表)のうち、
(裏,表,表),(表,裏,裏)の2つが1/4で、
(表,表,裏),(表,裏,表),(裏,表,裏),(裏,裏,表)の4つが1/3ですか？ >>844
多分もう今手元にある証明合ってると思う
再掲
nを3以上の整数、F(x,y)を整数係数のn次斉次多項式でad-bc=±1である整数の組によって
F(x,y)=(ax+by)^(n-1)(cx+dy)
の形に分解されないとする
このとき，F(x,y) (x,y は整数) の形では表せない整数が無限個存在することを証明せよ．
多分いけてる
>>850で入れたのF(1,t)の分解体のガロア群の制限もいりません 前>>854
>>697
なんで(表,表,裏),(表,裏,表),(裏,表,表),(表,裏,裏),(裏,表,裏),(裏,裏,表)のうち、
(裏,表,表),(表,裏,裏)の2つが1/4で、
(表,表,裏),(表,裏,表),(裏,表,裏),(裏,裏,表)の4つが1/3か書けよ。
なんでか書かな。
答えだけ書くな。なんもおもろない。 >>760 によれば、先手の勝率は
先＼後, 表表表,裏表表,表裏表,裏裏表,表表裏,裏表裏,表裏裏,裏裏裏, 最 大, 最 小, 平 均
-----------------------------------------------------------------------------------------
1, 表表表, 0.000, 0.125, 0.400, 0.300, 0.500, 0.417, 0.400, 0.500, 0.500, 0.125, 0.37738
2, 裏表表, 0.875, 0.000, 0.500, 0.333, 0.750, 0.500, 0.500, 0.600, 0.875, 0.333, 0.57976
3, 表裏表, 0.600, 0.500, 0.000, 0.375, 0.333, 0.500, 0.500, 0.583, 0.600, 0.333, 0.48452
4, 裏裏表, 0.700, 0.667, 0.625, 0.000, 0.500, 0.667, 0.250, 0.500, 0.700, 0.250, 0.55833
5, 表表裏, 0.500, 0.250, 0.667, 0.500, 0.000, 0.625, 0.667, 0.700, 0.700, 0.250, 0.55833
6, 裏表裏, 0.583, 0.500, 0.500, 0.333, 0.375, 0.000, 0.500, 0.600, 0.600, 0.333, 0.48452
7, 表裏裏, 0.600, 0.500, 0.500, 0.750, 0.333, 0.500, 0.000, 0.875, 0.875, 0.333, 0.57976
8, 裏裏裏, 0.500, 0.400, 0.417, 0.500, 0.300, 0.400, 0.125, 0.000, 0.500, 0.125, 0.37738 後手が最善の戦略をとれば先手の勝率は「最小」となる。
先手がゾロ面を選んだときは 1/8,
先手が (裏裏表) か (表表裏) を選んだときは 1/4,
先手が (裏表表) (表裏表) (裏表裏) (表裏裏) のときは 1/3,
>>855
「先に出た方が勝ち」だから、時間反転すると変わってしまう。 >>851
最初の狙撃, (間の狙撃), 最後の狙撃,
A→B, k, D→A, L, C→D, m, k≦m, k≦L<m,
B→C, k, A→B, L, D→A, m, k≦m, k<L≦m,
C→D, k, B→C, L, A→B, m, k<m, k<L<m,
D→A, k, C→D, L, B→C, m, k<m, k<L<m,
間の狙撃と最後の狙撃は競合している。
間の狙撃は、まだ最後の狙撃がないときのみ起こり、
最後の狙撃があったときは起こらない。 >>833
ガンマ函数から n! を
f(n) = Γ(n+1) で求めると
あのあたりで1を下回る下向きの窪みが出来るよな
あれって日本語、言葉で説明すると…
ガンマ函数のどういう意味を表しているんだ？ 「なぜ n = 0 から n = 0.48 まで右下に下がっていき、
その先の n=1 まで上がっていくんだ？」
素人だけど
0 =< n <= 1 の区間は f(n) = 1 で最小値をとる直線なのが自然に思える。
百歩譲ったとしても…
0 と 1の中間である n= 0.5 の時点で最小値をとる
左右対称のグラフになるのが自然だろ。
なぜ n= 0.48 とかいうちょっと左寄りの中途半端な位置で最小値をとる非対称形なんだよ。 前>>854
>>697
先手Bが(裏,表,表)のとき、
後手Aが(表,裏,表)をとると、
Bの勝率1/4、Aの勝率1-1/4=3/4
先手Bが(表,表,裏)のとき、
後手Aが(裏,表,表)をとると、
Bの勝率1/3、Aの勝率1-1/3=2/3
先手Bが(表,裏,表)のとき、
Bの勝率1/3、Aの勝率1-1/3=2/3
なんで1/4か、なんで1/3かがわからないから書けというのに、
書かないからわからないけど、
あってると仮定したときの後手Aの勝率は、
｛(7/8)×2+(2/3)×4+(3/4)×2｝/8=(7/4+8/3+3/2)/8
=(21+32+18)/(12×8)
=71/96
=0.73958333……
Aが後手だと70%台で、
先手だと50%台で、
平均とると60%台か。
なんで1/4か、なんで1/3かをきちんと書いてください。 B:オオウ、A:ウオオとする
P(○が勝ち| 前の2回が△□)をP(○|△□)と略記して
P(A|オオ)=1/2P(A|オオ)+1/2
P(A|オウ)=1/2P(A|ウオ)+1/2P(A|ウウ)
P(A|ウオ)=0 *1/2P(A|オウ)
P(A|ウウ) =1/2P(A|ウオ)+1/2P(A|ウウ) P(B|オオ)=1/2P(B|オオ)+0
P(B|オウ)=1/2P(A|ウオ)+1/2P(B|ウウ)
P(B|ウオ)=0 *1/2P(Bオウ)
P(B|ウウ) =1/2P(A|ウオ)+1/2P(B|ウウ)
解いて
P(A)=1/4(P(A|オオ)+P(A|オウ)+P(A|ウオ)+P(A|ウウ))
P(B)=1/4(P(B|オオ)+P(B|オウ)+P(B|ウオ)+P(B|ウウ))
へ代入 >>865-866
P(A|△□)+P(B|△□)=1 を利用すると変数の個数を半分に減らせて計算が楽だね
けっきょく連立方程式にはなるけど >>693の問題(一部)をチマチマ手計算でやってみました。
最後の2回の状態を表表,表裏,裏表,裏裏で表す。例えば表裏+表→裏表へ遷移するが、
A=表裏表(Aが表裏表を選んだ意味)ならば表裏+表→A勝ちとなりゲームは終了する。
状態Xからゲームを始めた時のAの勝率がkである事を、「状態X=k」と書く。
AとBが選んだ組み合わせにおけるAの勝率をWとする。
裏裏裏と裏裏表のいずれも非選択ならば裏裏は必ず裏表へ遷移する事に注意する。
以下にいくつかの計算結果を示す。
[1] A=表表表,B=表表裏
表表からA勝ち又はB勝ちへ遷移するのでW=1/2
[2] A=表表表,B=表裏表
表表+表→A勝ち=1,表表+裏→表裏=pなので表表=1/2+p/2
表裏+表→B勝ち=0,表表+裏→裏裏⇒裏表=qなので表裏=q/2
裏表+表→表表=1/2+p/2,裏表+裏→表裏=pなので裏表=1/4+3p/4
表裏=p=q/2,裏表=q=1/4+3p/4よりp=1/5,q=2/5
表表=3/5,表裏=1/5,裏表=2/5,裏裏=裏表=2/5,以上よりW=2/5
[3] A=表表表,B=裏表表
初期状態が表表の時のみA勝ちへ遷移可能なのでW=1/8
[4] A=表表表,B=表裏裏
表表+表→A勝ち=1,表表+裏→表裏=pなので表表=1/2+p/2
表裏+表→裏表=q,表裏+裏→B勝ち=0なので表裏=q/2
裏表+表→表表=1/2+p/2,裏表+裏→表裏=pなので裏表=1/4+3p/4
表裏=p=q/2,裏表=q=1/4+3p/4よりp=1/5,q=2/5
表表=3/5,表裏=1/5,裏表=2/5,裏裏=裏表=2/5,以上よりW=2/5
[5] A=表表表,B=裏表裏
表表+表→A勝ち=1,表表+裏→表裏=pなので表表=1/2+p/2
表裏+表→裏表=q,表裏+裏→裏裏⇒裏表=qなので表裏=q
裏表+表→表表=1/2+p/2,裏表+裏→B勝ち=0なので裏表=1/4+p/4
表裏=p=q,裏表=q=1/4+p/4よりp=1/3,q=1/3
表表=2/3,表裏=1/3,裏表=1/3,裏裏=裏表=1/3,以上よりW=5/12
...
A,Bの選択の組み合わせはAとBの入れ替えを後で行えば8C2=28通り、裏表に関する対称性を
使うと実際に計算が必要になるのはそのうち十数通りでしょうが、それでも面倒です。 前>>864
>>693
Aが先手かBが先手か2つに1つ。
Aには意思があってBにはない。
つまりAが勝つかBが勝つか、
そのどちらが勝つか微妙なときが等価で、
意思があるAが勝つならAの勝率は2/3 最初の狙撃, 間の狙撃, 組合せ
A→B，k, D→A, L, (7-k)(6-L), <L>=(2k+5)/3, <<L>>=497/175, k≦L<6,
B→C，k, A→B, L, (7-k)(7-L), <L>=(2k+8)/3, <<L>>=672/175, k<L≦6,
C→D，k, B→C, L, (7-k)(6-L), <L>=(2k+7)/3, <<L>>=357/105, k<L<6,
D→A，k, C→D, L, (6-k)(6-L), <L>=(2k+7)/3, <<L>>=287/85, k<L<6,
E(L) = (Σ L･N_L) / (Σ N_L) = 1813/540 = 3.3574 前>>870
>>693
先手Bが(表,表,裏),後手Aが(裏,表,表)とし、
コイン5回振るとBが勝つ確率7/32
Aが勝つ確率11/32
未定7/16
コイン6回振るとBが勝つ確率15/64
Aが勝つ確率27/64
未定11/32
コイン7回振るとBが勝つ確率31/128
Aが勝つ確率63/128
未定17/64
コイン∞回振るとBが勝つ確率は、
公比1/4の等比数列の和の項数∞を考え、
4/7
逆にAが先手だとBがいくらランダム人だとはいえ、
4/7には及ばない。
かといって3/7まで負けたんじゃさっき最善の戦略やってやっと4/7なのに、
なにやってんだって話。
1/2は固い。
(4/7+1/2)/2=15/28
∴53.57142857……(%) >>859
・最大特性値の2倍
先＼後, 表表表,裏表表,表裏裏,裏裏表,表裏表,表表裏,裏表裏,裏裏裏,
-----------------------------------------------------------------
1, 表表表, －, φ, φ, P, φ, t, P, φ,
2, 裏表表, φ, －, t, 1, 1&φ, 1, 1, P,
3, 表裏表, φ, t, －, 1, t, φ, 1, t,
4, 裏裏表, P, 1, 1, －, 1, t, 1&φ, φ,
5, 表表裏, φ, 1&φ, t, 1, －, 1, 1, P,
6, 裏表裏, t, 1, φ, t, 1, －, t, φ,
7, 表裏裏, P, 1, 1, 1&φ, 1, t, －, φ,
8, 裏裏裏, φ, P, t, φ, P, φ, φ, －,
φ = (1+√5)/2 = 1.6180340
は黄金比 φ^2 - φ -1 = 0 の根。
t = {1 + [(29-3√93)/2]^(1/3) + [(29+3√93)/2]^(1/3)}/3 = 1.4655712
は t^3 - t^2 -1 = 0 の根。
P = {(9-√69)/18}^(1/3) + {(9+√69)/18}^(1/3) = 1.3247180
はプラスチック比 P^3 - P -1 = 0 の根。
'1&φ' は (aab) について1、(abb) についてφ. ・決着までに要する回数 (期待値)
先＼後, 表表表,裏表表,表裏裏,裏裏表,表裏表,表表裏,裏表裏,裏裏裏,
----------------------------------------------------------------
1, 表表表, 0.000, 7.000, 6.800, 5.600, 7.000, 5.833, 5.600, 7.000,
2, 裏表表, 7.000, 0.000, 6.000, 5.333, 6.500, 5.000, 5.000, 5.600,
3, 表裏表, 6.800, 6.000, 0.000, 5.000, 6.000, 7.000, 5.000, 5.833,
4, 裏裏表, 5.600, 5.333, 5.000, 0.000, 5.000, 6.000, 6.500, 7.000,
5, 表表裏, 7.000, 6.500, 6.000, 5.000, 0.000, 5.000, 5.333, 5.600,
6, 裏表裏, 5.833, 5.000, 7.000, 6.000, 5.000, 0.000, 6.000, 6.800,
7, 表裏裏, 5.600, 5.000, 5.000, 6.500, 5.333, 6.000, 0.000, 7.000,
8, 裏裏裏, 7.000, 5.600, 5.833, 7.000, 5.600, 6.800, 7.000, 0.000, 専用スレで相手してもらってるんだからそっちでやれよ >>877
いちいちこっちに書き込むなプロおじ
もうお前なんか誰にも相手にされてない 858 「理由かけよ」
864 「わからないから書け」
865-866,869 「理由ドゾー」
からのガン無視とは 一部の出題者は
ここを解答が湧き出すツールとして使っていて
解答が投下される→放置
解答に納得できない→荒らす、マルチポスト
となるので
気にしてはいけない k,k+1回目の目が○□である事象を○□kとして
P(オオ(k+1)) = 1/2P(オオk)+1/2P(ウオk)
P(オウ(k+1)) = 1/2P(オオk)+1/2P(ウオk)
P(ウオ(k+1)) = 1/2P(オウk)+1/2P(ウウk)
P(ウウ(k+1)) = 1/2P(オウk)+1/2P(ウウk)
すなわち遷移行列は
[[1/2,0,1/2,0],
[1/2,0,1/2,0],
[0,1/2,0,1/2],
[0,1/2,0,1/2]]
ここで例えばAがウオオ、Bがオオウにかけてk回目にすでに○の勝利が確定している事象を○kとして上の○□kは勝利者未定に限ると変更すると
P(オオ(k+1)) = 1/2P(オオk)+0
P(オウ(k+1)) = 0 +1/2P(ウオk)
P(ウオ(k+1)) = 1/2P(オウk)+1/2P(ウウk)
P(ウウ(k+1)) = 1/2P(オウk)+1/2P(ウウk)
P(A(k+1)) = +1/2P(ウオk) + P(Ak)
p(B(k+1)) = 1/2P(オオk) +P(Bk)
より遷移行列は
[[1/2,0,0,0,0,],
[1/2,0,1/2,0,0,0],
[0,1/2,0,1/2,0,0],
[0,1/2,0,1/2,0,0],
[0,0,1/2,0,1,0]
[1/2,0,0,0,0,1]]
と変更される
この行列を区切って[[0,0],[B,I2]]とすれば求める極限遷移行列は
[[0,0],[X,I2]]の形となり条件
[[0,0],[X,I2]] = [[A,0],[B,I2]][[0,0],[X,I2]]
により
X=B(I4-A)^(-1)
特にXは各成分が有理数である2行4列の行列である 訂正
[[0,0],[X,I2]] = [[0,0],[X,I2]][[A,0],[B,I2]]
特に
P(A) = [[1,0]]X[[1/4],[1/4],[1/4],[1/4]]
P(A) = [[0,1]]X[[1/4],[1/4],[1/4],[1/4]]
はともに有理数 理由書けよ。前>>874
わけを言えよ。
なんでなんや？ P_n(x)を実係数n次多項式とするとき
max_{-1≦x≦1} |x^(n+1) - P_n(x)|
を最小にするP_n(x)を求めよ 勘でチェビシェフかなんかの有名多項式の低次を移項して最高次の係数で割る さすが俺様
いい勘してる
https://www.ier.hit-u.ac.jp/~nabe/chebychev.pdf 未決で k-1,k回目の出目が○□である事象を ○□_k とする。
初期条件：
P(○□_2) = 1/4,
P(A_2) = P(B_2) = 0,
未決：
P(オオ_k) = 1/(2^k),
P(オウ_k) = F_(k-1) /(2^k),
P(ウオ_k) = P(ウウ_k) = F_k /(2^k),
既決：
P(A_k) = 3/4 - F_(k+2)/(2^k) → 3/4,
P(B_k) = 1/4 - 1/(2^k) → 1/4,
決着までの回数 (期待値) 6.500回
(Aの勝ち … 7.333回, Bの勝ち … 4.000回) >>863 に誰も
答えられないってレベルが落ちたもんだな… （補足）
フィボナッチ数列 { F_k } は
F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, …
F_(k+1) = F_k + F_(k-1),
によって定まる自然数列。 >>863
f(n) = f(n+1)/(n+1).
だから
f(n) < n (1<n<2)
とすれば
f(n) < 1 (0<n<1)
になるね。
aで最小になったとすると (0<a<1)
f(n) ≧ f(a),
よって
f(n) = f(n+1)/(n+1) ≧ f(a)/(n+1),
n→-1 で発散する。
一方 f(2)=2 なので非対称。
aは急勾配の方へ寄る。 0<a<1/2 . >>896
サンクス、分かりやすい。
こう考えれば中学生でも点を幾つかプロットするだけで
f(n) = n! = Γ(n+1)のグラフをそれっぽいのが書けるね。 nがある値をとる点を境目として
f(n)のグラフの左側と右側で
突然に性質が変わるっていうのはよくあるが
f(n)= n! もそういう函数の分かりやすい例やな。
特に n = 0, n = 1 あたりがよく出てくる。
この理由はこれらの数の特殊性を振り返って考えると納得できる。
1 は 掛け算の単位元であるし、
0 は 足し算の単位元である。
当たり前のことだけど再確認。 次元が低くて失礼しました。
しばらく静かにします。 0<n<1 では
log(n!) ≒ -γn + Σ[k=2,∞] ζ(k)/k・n^k
γ = 0.577215665 はオイラー定数
ζ(2) = (π^2)/6, ζ(4) = (π^4)/90, ζ(6) = (π^6)/945, …
n = a = 0.461632 で最小値
f(a) = 0.885603 前>>885
>>693
n回コインを投げたとき、
AかBがどちらが先手でも、
ゲームの結果はAが勝つ、
Bが勝つ、勝者未定の3通り。
n回投げてAが勝つ確率Pan
n回投げてBが勝つ確率Pbn
n回投げて勝者未定の確率Pun
を求めると、n→∞のとき、
Pa(=1-Pb)が求まるはず。 前>>901
>>693
先手Bが(表,表,表)を選んだときAは1/8の確率でかならず負けるが、
(裏,表,表)を選べば少なくとも3/8(5投32通り中12通り)
勝負未定の1/2を勝ちにすることで、
3/8+1/2=7/8まで最大勝てる。
先手Bが(表,表,裏)を選んだときAは(裏,表,表)を選べば、
Bは(表,表,表,裏)を出さなければ勝てなくなり、
Aがかならず負ける確率は1/16
Aは1-1/16=15/16まで最大勝てる。
先手Bが
(中略)
Aが後手のときかならず負ける確率は、
｛(1/8)×2+(1/16)×6｝/8=(1/4+3/8)=5/64
Aが後手のとき勝てる確率=59/64=0.921875
Aが先手のとき(表,裏,裏)か(裏,表,表)を選ぶとすると、
Bが(裏,表,裏)や(表,裏,表)といった一手前をたがえる封じ手をまぐれで打ってくる確率は1/7
Aが先手のとき勝てる確率=(1/7)(5/64)+(6/7)(59/64)=(5+354)/448=359/448
Aが勝つ確率=(59/64)/2+(359/448)/2=59/128+359/896
=(413+359)/896
=772/896
=386/448
=193/224
=0.861607142857……
∴最大約86.16%勝てる。 前>>903
>>693
押さえで57.142857% 前>>904
>>693
Aが勝つ確率は523/896=0.583705357142857……
∴約58.37%
疲れて理由書けない理由がkhaachai. 計算法がいくら示されていても
御仁にはまったく理解できないのだから
致し方ない
犬に論語
馬の耳に念仏 >>900
符号因子が抜けてますた。ｽﾏｿ
log(n!) = -γn + Σ[k=2,∞] (-1)^k・ζ(k)/k・n^k,
M>>n とする。(あとで M→∞ とする)
log(n) = log(M) + log((M+n)/M) + log(n/(M+n))
= {log(M) - Σ[m=1,M] 1/m} + log((M+n)/M) + log(n/(M+n)) + Σ[m=1,M] 1/m
≒ -γ + log(n/(M+n)) + Σ[m=1,M] 1/m (*)
= -γ + Σ[m=1,M] {log((m+n-1)/(m+n)) + 1/m}
= -γ + Σ[m=1,M] {(n/m) - log(1+n/m) - (n-1)/m + log(1+(n-1)/m)}
= -γ + Σ[m=1,M] Σ[k=2,∞] (-1)^k (1/k) {(n/m)^k - ((n-1)/m)^k} (**)
= -γ + Σ[k=2,∞] (-1)^k (1/k) {n^k - (n-1)^k} Σ[m=1,∞] 1/(m^k)
= -γ + Σ[k=2,∞] (-1)^k・ζ(k)/k {n^k - (n-1)^k},
∴ log(n!) = -γn + Σ[k=2,∞] (-1)^k・ζ(k)/k・n^k,
*) オイラー定数
{Σ[m=1,M] 1/m － log(M)} → γ = 0.5772156649 (M→∞)
**) マクローリン展開
log(1+x) ≒ - Σ[k=1,∞] (-1)^k・(1/k)・x^k, 前>>905
>>693
出目ごとの後手Aが勝つ確率は、
B表表表A裏表表のとき勝ち3/8負け1/8未定1/2、3:1に分配すると3/8+(1/2)(3/4)=3/4
B表表裏A裏表表のとき勝ち11/32負け1/4未定13/32、11:8に分配すると11/32+(13/32)(11/19)=11/19
B表裏表A裏表裏のとき勝ち9/32負け1/8未定19/32、9:4に分配すると9/32+(19/32)(9/13)=9/13
B裏表表A表裏表のとき勝ち11/32負け1/8未定17/32、11:4に分配すると11/32+(17/32)(11/15)=11/15
B表裏裏A裏表裏のとき出目の対称性から11/15
B裏表裏A表裏表のとき出目の対称性から9/13
B裏裏表A表裏裏のとき出目の対称性から11/19
B裏裏裏A表裏裏のとき出目の対称性から3/4
B先手平均は(3/4+11/19+9/13+11/15+11/15+9/13+11/19+3/4)/8=40823/59280
出目ごとの先手Aが勝つ確率は、
A表裏裏B表表表のとき勝ち23/64負け1/8未定33/64、23:8に分配すると23/64+(33/64)(23/31)=23/31
A表裏裏B表表裏のとき勝ち17/64負け3/8未定23/64、17:24に分配すると17/64+(23/64)(17/41)=17/41
A表裏裏B表裏表のとき勝ち23/64負け1/8未定33/64、23:8に分配すると23/64+(33/64)(23/31)=23/31
A表裏裏B裏表表のとき勝ち23/64負け1/8未定33/64、23:8に分配すると23/64+(33/64)(23/31)=23/31
A表裏裏B裏表裏のとき勝ち39/128負け1/8未定73/128、39:16に分配すると39/128+(73/128)(39/55)=39/55
A表裏裏B裏裏表のとき勝ち11/32負け1/4未定13/32、11:8に分配すると11/32+(13/32)(11/19)=11/19
A表裏裏B裏裏裏のとき勝ち3/8負け1/8未定1/2、3:1に分配すると3/8+(1/2)(3/4)=3/4
A先手平均は(23/31+17/41+23/31+23/31+39/55+11/19+3/4)/7=24855729/37189460
未定を勝率で分配したB先手平均とA先手平均の平均は、
(40823/59280+24855729/37189460)/2=29916329407/44091823776
=0.67850061179……
∴先手後手かかわらずAの勝率は約67.85% 前>>908
B先手のときのAの勝率は(40823/59280)×100=68.8647(%)
A先手のときのAの勝率は(24855729)×100=66.8354(%)
最善の戦略を取ると後手でも先手でも2/3をわずかに超えるってことか？ >>857
補題
F(x,y)はF(1,t)が既約である斉次多項式とする
deg F ≧ 2 のときF(x,y)=pが整数解を持たない素数pが無限に存在する
∵ ) LをF(1,t)の最小分解体としN=N[L/Q] : L → Qをノルム写像とする
pかが拡大L/Qにおいて不分岐で拡大次数eが1より大きい素点のときpはNの像に入らない事を示す
vをp進付値、Fv∈Gal(L/Q)をフロベニス写像とする
H=<Fv>とし、Hの固定体をMとする
q | <p> をLの分数イデアル群における<p>の素因子とする
Nが誘導するDiv(L)→Div(Q)もNで表すとしてN(qi)≠<p>を示せばよい
r=O_M∩qとする
この時N[L/M)(q) = erである
よって特にある自然数kを用いてN(r)=ek<p>となり<p>にはなり得ない
補題
F(x,y)はF(1,t)が既約である斉次多項式とする
deg F ≧ 3 のときF(x,y)=±1の整数解は高々有限個である
∵ ) 無限個の組(xi,yi)においてF(xi,yi)=1、lim|xi|=lim|yi|=∞を満たすとしてよい
この時lim F(1,yi/xi)=0であるからlim yi/xi はF(1,t)のある根αに収束するとしてよい
F(1,t)は既約だからF(1,t):C→Cはt=αの近傍で単葉としてよく、0の近傍で定義された逆写像g(u)が取れる
F(1,yi/xi) = O(1/xi^degF)であるから|yi/xi - α| = O(1/xi^degF)となるがこれはロスの定理に反する 補題
F(x,y)はF(1,t)が既約である斉次多項式とする
degF=2のとき任意の(0,0)でない有理数の組み(s,t)に対して定数Cが存在し十分大きいMに対して
#{(x,y) | F(x,y)=±1, |sx+ty|≦M} =C(logM)
を満たすCか採れる
∵ ) F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2としてF(1,t)の根をσ、τとする
定数K>0を
|(x,y)|≧K|cy-αx|, K|cy-βx|
を満たすようにとる、ただし|(x,y)|=√(x^2+y^2)である
基本単数εを|ε|>1であるものとし
κをN[Q(α)/Q](κ)=±cであるものとし、その共役元をζとする
この時
F(x,y)=±1
⇔acx^2+bcxy+(cy)^2=±c
⇔N[Q(α)/Q](cy - xσ)=±c
⇔cy - xσ=±κε^k 、cy - xτ=±λζ^k
である
ここでμ、νを
sx+ty = μ(cy - xσ) + ν(cy - xτ)
と選ぶときσ、τが有理数でないからμ,νは0ではない
よって
M≧|sx+ty|
≧|μκε^k+νλζ^k|
≧min{|μκ|,|νλ|}(|ε|^|k|-|ζ|^|k|)
≧min{|μκ|,|νλ|}(|ε|^|k|-1)
≧min{|μκ|,|νλ|}|ε|^(|k|/2) ( for |k|≧(1+√5)/2 )
により
|k|≦(logN-log(min{|μκ|,|νλ|}))/log|ε|
であるから
#{(x,y) | F(x,y)=±1, |sx+ty|≦M}
≦4logN-log(min{|μκ|,|νλ|}))/log|ε|
によって主張を得る 定理
F(x,y)は次数が3以上の斉次多項式とする
このときF(x,y)=pが整数解を持たない素数pが無限に存在する
∵ ) F(x,y)が既約な3次以上の因子をもつとしてF=GH, Gが3次以上とする
補題よりG(x,y)=pとなる(x,y)が存在しないpが無限に存在する
この時そのようなpに対しF(x,y)=pとするとG(x,y)=±1‥①,H(x,y)=±p‥②でなければならないが、①を満たす(x,y)は補題により有限個しかなく、よって②の左辺値は有限個しか取りえないから矛盾する
F(x,y)が相異なる既約な2次の因子G,Hを持てば補題と素数定理によりG(x,y)=±pもH(x,y)=±pも解を持たない素数pが無限に採れる
(実際G(1,t),H(1,t)の導手の最大公約数をDとするときG,Hのフロベニス写像が自明となる素数pのmodDでの類はちょうど(D-1)/2個ずつあるが、単位元の類を共有してるので両方に入らない類が少なくともひとつは存在する)
そのようなpに対してF(x,y)=pが成立するときG(x,y)=±1,H(x,y)=±1でなければならず、そのような(x,y)の組みは有限個しかない
よって矛盾する
よってF(x,y)が既約な2次の因子をもつとすればF=G^iH, HはGと互いに素とするときHは1次因子の積となる
しかしHが２つ以上の因子を持てばH(x,y)が素数となる組みは高々2組しかない
よってH(x,y)=sx+tyとおける
補題のようにCをとる
十分大きいMを採り、Mより小さい素数pをG(x,y)=±pが解を持たないように選ぶときF(x,y)=pの解(x,y)はG(x,y)=1、H(x,y)=±pをみたさなければならない
よってその個数はCM個以下である
しかし一方でG(x,y)=±pが解を持たないM以下の素数は素数定理により十分小さいεをとってε(M/logM)以上存在するから矛盾する
以上によりF(x,y)の因子は一次式のみである
３つの異なる因子G,H,Kを持てば素数pに対して
F(x,y)=1の解においてG,H,Kのうち２つが±1とならねばならず、それを満たす(x,y)の組みは有限個だから矛盾する
因子の多重度が全て1より大きいなら素数値を取れないから少なくとも１つの因子の多重度は1である
よってF=GH^(n-1)とおける
G=ax+by,H=cx+dyとおくとき明らかに(c,d)=1であるから(c,d)=(0,1)として良い
(x,y)を素数pに対するF(x,y)=pの解とするとy=1でなければならずF(x,y)=ax+bでありp≡b ( mod a)である
これが任意の素数について成立するからa=1でなければならない 誤変換耄碌ボケジジイまだ数学語って医者のふりしてるのか
もう手遅れだろ
早く介護してもらえ >>913
現状では臨床医に必要なプログラム言語はRであることに疑いの余地はないね。 >>916
尿瓶洗浄は捗っているか？
救急搬送を受けてインセンティブが入ったので、購入を迷っていた
特集 消化管診断・治療手技のすべて
を買った。本日到着予定。
尿瓶洗浄に歩合給はあんの？ >>917
尿瓶ジジイは5chでお医者さんごっこがお似合いだね笑 プロおじは尿瓶洗浄係なの？
いい加減本人答えてよ～ プロおじはスレタイも読めないジジイだから退場です。 クイズ大陸より転載した問題 (クイズ大陸の問題は転載自由なので安心)
ちひろさんの問題
《問題》
次のようなゲームを考えます。
《ルール》
裏が出るまでコインが投げ続けられて、それまでに表が出た回数をnとする。
もう1度コインが投げられて、表が出たら右の箱に4^n円，左の箱に4^(n+1)円入れられ、裏が出たら右の箱に4^(n+1)円，左の箱に4^n円入れられる。
ここまでの準備の様子を見ることはできないが、箱を1つ選んで中身を見てよい。
見た箱の中身を受け取るか，1円払って別の箱の中身を受け取る。
n回表が出た後に裏が出て、最後に表が出る場合をFn，最後に裏が出る場合をBnとします。
このゲームでFn，Bnが起きる確率はどちらも(1/2)^(n+2)です。
Aさんは次のように考えました。
このゲームは右と左について対称なので、1円払う分、箱を変える選択は損である。
Bさんは次のように考えました。
例えば、左の箱の中身を見たとする。
左が1円のときはB0が起きていて、1円払ってでも4円である右に変えた方がいい。
1以上のすべてのnについて、次がいえる。
左が4^n円のときはFn-1かBnが起きていて、それぞれ右は4^(n-1)円，4^(n+1)円である。
左が4^n円という条件のもと、Fn-1，Bnが起きる条件付き確率はそれぞれ2/3，1/3である。
左が4n円のとき、1円払ってでも期待値が(2/3)×4^(n-1)+(1/3)×4^(n+1)=(3/2)×4^n円である右に変えた方がいい。
左が何円でも1円払って右に変えた方がいいので、箱を変える選択は得である。
このゲームで箱を変えるのは得かつ損な選択なのでしょうか？
そうでないなら、どこが正しくないのでしょうか？ 左が1円以外なら、
箱を変えるのはゲーム一回あたり、
モチロン1円損
ちなみに、箱の金額の分布は、
離散分布なのに指数分布ぽい分布
（分布の名前は知らない）で
期待値は、左も右も∞で
その差はモピロンzero
by 👾 nをモンテカルロでシミュレーション
するなら、
一様分布の、底1/2の対数をとって
それの絶対値をとると行けそう。だな
ま、有限回シミュレーションで期待値
求めると有限値となる。
イジワルな問題を出すね。
無限日以内にモンテカルロしてみるが
まっ無限回以内にモピロン期待値は
収束するであろう。地球人の予想に
反してね ↑補足、期待値は∞に発散するけど
左と右の期待値の差はどうなるかな
という感じ ∞－∞が未定義⇒
∞－∞が存在しない なんていうことも
無かろう まぁちゃんとした数学の問題になってるな
問題文の解釈の仕方もほとんど一意に決まるし
しょうもない哲学論争みたいになる恐れは無い
厳密には高校数学の範囲は超えてるけど高校生でも解ける あら、今までの書込み撤回。😅
10000回モンテカル結果を
何度も何度も、ナンドも繰返した感触
左金額の期待値=8000〜80万
－）右金額の期待値=8000〜80万
────────────────
左と右の差の期待値=－60万〜＋60万
【結論】
期待値の収束先が無限個あるよぅだ
でも、とにかく1円以外なら、交換損
との結論にモピロン変更はナイ
理由は分からない∵霊感
by 👾 仮に左の箱を開けて16円入ってたとして
表裏表で右に4円、または表表裏裏で右に64円、のどちらか
1円払って交換だから2/3の確率で13円損、1/3の確率で47円得…
うん、変えたほうがいいな >>922
サンクトペテルブルクのパラドックスに二つの封筒問題を合わせたような問題だなぁ。
シミュレーションプログラム作成
http://tpcg.io/POJ6iCeC
Executeをクリックすると実行
calc(100)の100を別の数字にするとシミュレーション回数を指定して実行可能。 >>931
シミュレーションで
ゲームを1000回やってAの勝率（Aの方が多く賞金獲得する割合)を計算。
これを1万回やって勝率の分布を出してみた。
https://i.imgur.com/HT262Z5.png 直感的にもシミュレーションの結果的にも、交換で期待値1.5倍になるB説はハズレ
ではBの考えのどこが間違っていたのかが問題になる シミュはもういいよ
どこが正しくないのかという問題だっただろう ちょっとまてよ🤔 今までの撤回
交換手数料zeroとすれば、
左=1 ∧交換⇒ 期待値4倍
左=4〜∞/4 ∧交換⇒ 期待値1.5倍
∴ 何でも、交換するとよい。
でも、モピロン
左=∞ ∧交換⇒ 期待値1/4倍
∴ 左=∞なら、交換しない。
よーし、∞の金額が出るまで
交換手数料が3円未満なら交換する
解説
注釈 以外logの底は4とする
確率 n 左の金額L 右の金額R
─── ─ ──── ─────
1/2^2 0 1 4
1/2^2 0 4 1
1/2^3 1 4 16
1/2^3 1 16 4
1/2^4 2 16 256
1/2^4 2 256 16
・・・・・・・・・
1/2^(log(4*∞)) log(∞/4) ∞/4 ∞
1/2^(log(4*∞)) log(∞/4) ∞ ∞/4
ここで打止め
∵モピロン∞よりデカイ数は、ない
by👾 >>936
というか、いくらプログラム組む能力があっても数学的にキチンと問題を捉える能力がないなら答えは出ない
数学の確率の問題だから哲学みたいな水かけ論とかにはならない
あくまで頻度確率なんだから出した答えが正しいかどうかは実験という神様が判定してくれるが、問題を正しく読み取れないとその実験すら出来ない >>922の細かいルールをチェックのタメ
>>922をよく読んでみた。
で、最後の付近に
箱を変えるのは得「かつ」損な選択？
と記載されてる。
素晴らしい。これモピロン正解だ
交換で、得∧損な選択だからだ。
理由は、無限日以内に気が向いたら
投稿しようと思う。 突然ですが、
条件付き期待値というのが
地球🌍にもいつの間にか存在する
E(X│Y)と書くようだ。これツカエル
さて、
L:= 左の箱の金額(円) で
R:= 右の箱の金額(円) としようと
思ったけど、でも、しかし、
交換手数料 100(円) なら、ホントは
A:= 左の箱の金額(円) = L
B:= 右の箱の金額(円) = R - 100
となる。また、
x :=左の箱開けたときに観測の金額
とする
E(B│L=x) > E(A│L=x) となるx
を求めるれば モピロンよい。
E(B) と E(A) は、モチロン無限大だが
x＜∞なら、
E(B│L=x) とE(A│L=x) は、モチ有限だ
有限同士は、地球人でも比較可能。
E(B│L=x) > E(A│L=x) となるxの範囲
を算出しようと思う。
モピロン、モンテカルロ法で
ヤッてみるかな。うーん。
by 👾単に呟いてみたぁぁぁぁー >>934
そもそもBの理論は交換料が1円であることを前提に組み立ててるのにそのまま100円に増やすのは馬鹿だよ
もし交換料100円だったらBは左の箱が64円以下のときはそもそも交換しないはず モンテカルロ法でやろうと思ったけど
ヤッパリ、やめた。
∵コンピュータに頼っては、いけない
で、
1＜x＜∞で、
文章「交換で、期待値1.5倍になる」
を数式で表現で
1.5 * E(L│L=x) = E(R│L=x) で、
交換手数料100円の場合で、モチロン
次の不等式だぁぁぁぉ
x ＜1.5x - 100 ∴x ＞200
で、とにかく、多分絶対、
左のが交換手数料2倍超で交換、かつ
左のが交換手数料2倍以下で交換しない
との戦略が正解だ。
すなわち簡単にいえば
【交換すると、損かつ得である】
by 👾 超難度な「ごはん論法」ぽぃ >>922のゲームだが
コインを1回投げる
表が出たら、左の箱に多めの金、右の箱に少なめの金を入れる
裏が出たら、右の箱に多めの金、左の箱に少なめの金を入れる
というゲームと本質的には同じ
よって正しいのは当然A
もちろん中身が1円だったら交換すべきだが
じゃあBの主張はどこがまずいかっていうと
Bの計算はゲーム開始前、双方の箱の期待値が共に無限だった段階では正しい(たぶん)
しかしゲームを開始して箱を選んでしまうと値が有限に確定するので正しくなくなる
実際にコインが投げられる回数は有限の範囲に収まるので、Fn-1とBnが同時に存在するかはわからない
それを無限に繰り返すことで先延ばしにして有耶無耶にしているような感じ
例えるなら自然数の無限和を
1+2+3+4+…
=1+(-1+3)+(-3+6)+(-6+10)+…
=(1-1)+(3-3)+(6-6)+(10-…
=0
とするようなもの
この計算は有限和だと最後で破綻するが、無限和にすることで破綻部分を奥においやって有耶無耶にしている
それと同じこと >>922
変更してしてコインのトスは3回までとしてよってn=0,1,2,3とする
２つの箱の賞金は{1,4},{4,16},{16,64},{64,256}しかないとする
プレーヤーのベスト戦略は何か？
どちらの箱が多いかは同様に確からしいから箱交換は1円払うだけ無駄というＡの理論は正しいか？ >>946
ポク👾は、その内に解くが、その前に、
ポク👾が、やるべきことは、
それは、モピロン、nの出力を
コンピュータにやらせることだ。
というワケで、モピロン
nの出力をモンテカルロ1万回やったぁ
結果
P(n=0) = 49.70％
P(n=1) = 27.50％
P(n=2) = 11.20％
P(n=3) = 11.60％
────────
合計額 = 100.00％ ∴多分ヨシ
参考 nを出力する関数
=MIN(INT(LOG(RAND(),0.5,3)
上記、日本語に意訳
一様乱数で、底0.5の対数で、
切捨で整数だ。でも題意より
3超えで、3にする
by 以下は👾ポクの霊感 兼 ボヤキ
nは、幾何分布というのに似てるけど
地球🌍には確率分布は沢山あり過ぎ
一様分布だけでお腹いっぱい >>946
この問題で最初に開けた箱の金額をX、もう一つの箱の金額をYとする
X=1,4,16,64,256
のいずれか
E(X | X = 1) = 1, E(X | X = 4) = 4, ‥
は当たり前
E( Y | X = 1 ) = 4, E( Y | X = 4 ) = 6, ‥
X=1, X=4であった場合には交換費用1円を払っても交換する方が期待値は高まるとわかる
他の場合はどうか L=1 のとき
B_o R=4 確率 1/4
L=4^n (n≧1)のとき
F_(n-1) R=4^(n-1) 確率 (1/2)^(n+1)
B_n R=4^(n+1) 確率 (1/2)^(n+2)
L=1 のとき
箱を取り替えた方が2円得。
L≧4 のとき
金額の4乗根を新たな尺度としよう。(!)
・箱を取り替えないとき
L^(1/4) = 2^(n/2)
・箱を取り換えたとき
r = (R-1)^(1/4) の期待値は
<r> = (2/3){4^(n-1) -1}^(1/4) + (1/3){4^(n+1) -1}^(1/4)
< (2/3) 2^((n-1)/2) + (1/3) 2^((n+1)/2)
= (2√2)/3・2^(n/2)
= (2√2)/3・L^(1/4),
∴ 箱を取り替えない方が得。
左右対称より
E(L^(1/4)) = E(R^(1/4)) = (4+3√2)/8 = 1.030330086 n の最大が3のとき
E( Y | X = 1 ) = 1×4 = 4
E( Y | X = 4 ) = 2/3 × 1 + 1/3 × 16 = 6
E( Y | X = 16 ) = 2/3 × 4 + 1/3 × 64 = 24
E( Y | X = 64) = 2/3 × 16 + 1/3 × 256 = 96
E( Y | X = 256 ) = 1 × 64 = 64
∴ プレーヤーの最適戦略は箱を開けて256円入っていれば交換せず、それ未満であれば箱を交換する
このゲームは実際にシミュレーターを作ってもできるしそもそも全事象が有限個しかないので全部書き出して確認する事もできる
この戦略が最適化戦略である事は論を待たない
このゲームでは最初に開けた箱の値に応じて“事後確率”が変化しプレーヤーは得た情報で情報がない場合より獲得できる金額の期待値をあげることができる おもしろき…
こともなき問いを
おもしろく (詠み人知らず) 【👾の未完成なのに投稿】
「箱の額の1/4乗を考える」の代わりに
「箱の額の対数（底は1/4)考えた」
というか、
より正確には、ヤヤコシイのだが、
確率変数L:=左の箱の金額 で
logの底を1/4 とし、
とにかくLをL1とL2に変換だ
L1= －log(L)-1 、L2= －log(L) として、
L1とL2を2:1で比例按分すると、
おそらくnの期待値
E(n│開けたのがL円)を得る
で、えーと上記のは未完成でここで
おしまい。その内に続編考える∴
まだ、オチはなし。
by 👾これは失礼。白日夢みたいなもの そっか、なんか分かった。
ポク👾が胴元なら、交換手数料は、
開封した金額の、半分とする。
ところで、開催者もケチだな。
∵∞にお金もってると思われる
∴開催者もケチだ。だから
箱の金額は、4^nなんてショボいこと
やめて、せめて、10^nとか
そうだ、1000^n^n^n^n^n^nに
して欲しいと思います。
by 👾 頭がクルクル とにかく、nの期待値が有限値1なのに
とにかく、E(L) = E(R) = ∞ は、謎だ
とにかく、Aクンは、交換手数料が
有限値ならどんなに高額でも、
難しく考えず交換しても、しなくても、どっちでも
無限回ゲームすれば、無限大の
金額をゲットできる。モピロン理論上
by 👾の本日の結論 クイズ大陸より転載
問題
「nを自然数として、数列{an}をan=3n^2+n+4とする。整数部を0として、小数点以下にanを順に並べた数をAとする。Aが任意の有限な数列を含むことを示せ。」
※ a1=8,a2=18,a3=34,a4=56……となるのでA=0.8183456……というようになります。 コレはどういう意味なんだろ？
任意の0〜9からなる有限列を含む事を示せかな？ >>958
その捉え方であってる
コピペはしなかったけど、問題の前に「円周率にはどんな有限数列も含まれているらしい」みたいな話をしている まず任意の自然数nとkに対し方程式
3x^2+x+4 ≡ 5k ( mod 10^m )
は解を持つ
実際この方程式はa = 4 -5kとおいて
(2x +1/3)^2 ≡ (1-12a)/9 ( mod 2^(m+2) )
〃 ≡ 〃 ( mod 5^m )
がそれぞれ解を持てばよい
そのためには
X^2 ≡ 1-2a ( mod 2^(m+2) )
〃 ≡ 〃 ( mod 5^m )
がそれぞれ解を持てば十分である
aが5の倍数であることからn=1の時成立し、一般の場合は帰納法により示される
そこで任意の自然数Nが与えられた時2N<10^mとなるmを選び
3n^2+n+4 ≡ 10N ( mod 10^m )
となる自然数nを選ぶときanの10進表示にはNが現れる >>950
シミュレーター
sim <- function(fee=1,n.max=3){
flip <- function() rbinom(1,1,1/2) # 1:head 0:tail
coin=1
n=0 # counter
while(coin & n<n.max){ # flip coin until tail(0) appears
n=n+1
coin=flip()
}
if(flip()){
R=4^n
L=4^(n+1)
}else{
R=4^(n+1)
L=4^n
}
LR=c(L,R) # money in box
select=sample(1:2,1) # index of box selected Left:1 or Right:2
unselect=(2:1)[select] # index of box unselected
A=LR[select]
B=LR[unselect] - fee
return(c(A=A,B=B))
}
10回の動作確認。
> replicate(10,sim())
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
A 4 64 4 16 64 4 16 16 16 16
B 15 15 15 3 255 15 63 3 63 3 >>950
>全事象が有限個しかないので全部書き出して確認
をやってみた。
ｎの上限3で、交換手数料1円のときの賞金の期待値
> best(n.max=3,fee=1)
A B
53.125 76.250
オマケのコード(Executeで実行可能)
http://tpcg.io/xeI0z5ED
ここで問題
nの上限を3として、交換手数料がいくら以上なら交換しても有利にならないか？ >>946
応用問題
コイントスを10回まで、交換手数料が１００万円としてBはベスト戦略をとるとして
Bの獲得賞金期待値はAの獲得賞金期待値を超えるででしょうか？ >>962
交換手数料を変化させたときの無交換のAとベスト戦略のBとの獲得賞金の期待値の差のグラフ
https://i.imgur.com/wPUFt11.png 期待値計算してる時点でこの問題の意味がわかってない >963の答をサクッとだしてから書くならかっこいいんだがなぁ。
罵倒と自演認定しかできないのが尿瓶洗浄係
>950がプログラムネタを与えてくれたから、楽しめた。 >>950 を期待値ネタだと思ってる時点でわかってない プロおじ向け問題
「1からMまでの数字を使ったN×Nマスビンゴがビンゴするまでに公開される数字の数の期待値を求めよ。ただし、M≧N^2、Nは奇数、ビンゴの中心は最初から埋まっている」 プロおじは自分の都合の悪いレスが全員同じに見える病気みたいだなw
やっぱり期待値分かってなくてワロスw クイズ大陸より転載
【問題】
AB=CDである凸四角形ABCDがあります。ここに対角線ACを引きます。
∠ABC=132°、∠CAD=24°、∠ADC=102°であるとき、∠BCAの角度を求めてください。 題意より AB=CD
正弦定理より
sin(∠BCA) = (AB/AC)sin(132) = (AB/AC)sin(48),
= (CD/AC)sin(48) = {sin(24)/sin(102)}sin(48) = {sin(24)/cos(12)}sin(48)
= 2sin(12)sin(48) = cos(36) - cos(60) = cos(36) - 1/2,
= cos(72) = sin(18), (*)
∠BCA < 180° - 132° = 48° より ∠BCA = 18°
*) 1 + 2cos(72) - 2cos(36)
= cos(0) + cos(72) + cos(144) + cos(216) + cos(288) = 0,
(∵ 正五角形) 正五角形をうまく利用すれば三角関数なんて使わなくても算数レベルの知識で解けてしまうという >>972
作図して計測
https://i.imgur.com/QHx5DOS.png
> calc(132,24,102)
deg
1 18
ちょっと角度を変えても計算できる。
> calc(130,25,100)
deg
1 19.19223 >>969
俺は、>963なんか面白いと思うけどね。
直感に反する結果が返ってくるから。 なんでプロおじ向け>>970に答えてくれないんだ～ >>978
だってプロおじ期待値知ったかだもん。
ボロが出るからね。 >>972
この問題を解くポイントは
B, C, Dが正五角形の頂点になることに気づけるかどうか でもこうやってみるといかに三角比の手法が偉大かと気付く
なんの才能無い俺でも解けるからな >>977
自分の直感が狂っているという主張ですか？ 最初の問題が1番直感に反していて、それを改悪しただけ 次スレ立てようとしたら本文が長すぎますとか言われるんだが 前>>909
>>972
正弦定理よりAB/sinx=AC/sin48°
AB/sin24°=AC/sin78°
加法定理よりsin78°= sin(30°+48°)=sin30°cos48°+cos30°sin48°=(1/2)cos48°+(√3/2)sin48°
同様にcos48°=(√3/2)cos18°-(1/2)sin18°
sin48°=(1/2)cos18°+(√3/2)sin18°
sin78°=(√3/4)cos18°-(1/4)sin18°+(√3/4)cos18°+(3/4)sin18°=(√3/2)cos18°+(1/2)sin18°
sinx=sin48°sin24°/sin78°=(sin48°/sin78°)√｛(1-cos48°)/2｝
=(2-√3cos18°+sin18°)√(2+√3cos18°-sin18°)/2(√3cos18°+sin18°)
=0.30901699437……
=sin18°
∴x=18° 単位球に外接する正四面体に外接する球に外接する立方体に外接する球に外接する正八面体に外接する球に外接する正十二面体に外接する球に外接する正二十面体に外接する球の半径を求めよ >>993 これかい
https://oeis.org/A211174
Johannes Kepler's polyhedron circumscribing constant. 双対な関係にある正多面体の(外接半径/内接半径)比は同じになってるのか
なんでだろ？ >>991
これも初めて知ったけど共役な数(±√a±√b±√c±√d±√e)を全て掛けるとabcdeの多項式になることを利用して有理化できるんだね そんなの当たり前
しかし実際wolfram先生ですらできない
愚問 anの階差数列がbn
bnの階差数列がcn
cnの階差数列がan
となるとき、anの一般式を求めよ
ただしan,bn,cnの初項はそれぞれa,b,cとする >>998
b[n]=a[n+1]-a[n], b[0]=b
c[n]=b[n+1]-b[n], c[0]=c
a[n]=c[n+1]-c[n], a[0]=a
a[n+1] 1 1 0 a[n]
( b[n+1] )＝( 0 1 1 )( b[n] )
c[n+1] 1 0 1 c[n]
よって a[n] = ((2^n)(a+b+c) + (2a-b-c)cos(πn/3) + (√3)(b-c)sin(πn/3))/3 このスレッドは１０００を超えました。
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