ちなみに漸化式が線形なので(p0,p1)=(4,0)のときは
(4,0)= (4,4) - (0,4)
より>>14さんの指摘通り4-πに収束します

p 0 = 4
p 1 = 0
p n = (2*n-1) * ( p$ n-1)+ ( n-1) ^2 * ( p $ n-2)

q 0 = 1
q 1 = 1
q n = (2*n-1) * ( q$ n-1)+ ( n-1) ^2 * ( q $ n-2)

main = do
print $ ( p 10) / ( q 10 )
print $ 4-pi
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0.85840745955346
0.8584073464102069