Hartshorne "Algebraic Geometry"の演習問題を解くスレ
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関係ないレス厳禁。 k: algebraic closed field.
A(X): affine coordinate ring of an affine algebraic subset X.
Exercise I.1.1
(a) Let Y be the plane curve y = x^2. Show that A(Y) is isomorphic to a polynomial ring in one variable over k.
(b) Let Z be the plane curve xy = 1. Show that A(Z) is not isomorphic to a polynomial ring in one variable over k.
(c) Let f be any irreducible quadratic polynomial in k[x, y], and let W be the conic defined by f. Show that A(W) is isomorphic to A(Y) or A(Z). Which one is it when? >>3
(a)
k代数の準同型h: k[x, y] → k[t]を、h(x) = t, h(y) = t^2となるものとして定める。
hは全射である。Ker(h) = (y - x^2)を示す。
Ker(h)⊃(y - x^2)は明らか。
f ∈ Ker(h)を任意に取る。k(x)[y]はEuclid整域なので、
f = q(x, y)(y - x^2) + r(x)
(rはyの0次式)
となるq, r∈k(x)[y]が一意的に存在する。
hを自然にk(x)[y]上の準同型だと思うと、h(f) = h(y - x^2) = 0, h(r(x)) = r(t)なので、r = 0である。
y - x^2は既約なので、以下の補題より、q(x, y)∈k[x, y]である。よって、Ker(h)⊂(y - x^2)。□
補題:
RをUFD、KをRの商体とする。
f∈R[X]を任意の多項式、g∈R[X]を原始多項式とする。もし、q∈K[X]が存在して
f = q g
となるならば、q∈R[X]である。
証明:
RはUFDなので、適当なu∈Kを用いて、uqをR[X]の原始多項式にできる(qの係数の分母の最小公倍数をかけて、分子の最大公約数で割ればよい)。よって、
uf = (uq) g。
uq, gはR[X]の原始多項式であるから、Gaussの補題より、ufもR[X]の原始多項式である。よって、uの分子はRの単元でなければならない。□ >>3
(b)
環の同型h: A(Z) = k[x, y]/(xy - 1) → k[t]が存在したとする。
kの元, x, yの同値類は、A(Z)の単元であるから、hによってk[t]の単元に写像されなければならないが、これは全射性に反する。□ >>3
(c)
kの標数が2でない場合にのみに示す。
ax^2 + bxy + cy^2
= [x, y] t[[a, b/2], [b/2, c]] t[x, y](tは転置)
なので、Wは直交行列による座標変換で、
λx^2 + μy^2 + dx + ey + f
で定義される曲線と同形である。ただし、λとμは上記の対称行列の固有値であり、同時にゼロとなることはない。
(1) λ μ = 0ならば、A(W)〜A(Y)
(2) λ μ ≠ 0ならば、A(W)〜A(Z)
である。
以下、適当な座標変換によって、Wを定義する方程式がfからgに変わるのを、f→gと略記する。
(1)
λ = 0, μ ≠ 0の場合を示せばよい。
y方向の平行移動により
μy^2 + dx + ey + f
→y^2 + d' x + f'
x方向の平行移動により
y^2 + d' x + f
→y^2 + d' x
Wは既約なので、d' = 0である。よってx方向の拡大により
y^2 + d' x
→ x - y^2。
(2)
平行移動により
λx^2 + μy^2 + dx + ey + f
→ λx^2 + μy^2 + f'
kは代数閉体なので、適当なa, b, c, dを用いて、λx^2 + μy^2 = (ax + by)(cx + dy)と因数分解できる。それぞれの因数をx, yとして
λx^2 + μy^2 + f'
→xy - f'
Wは既約なので、f'≠0。よって、適当に拡大して
xy - f'
→ xy - 1。□ Exercise I.1.2
Let Y⊂A^3 be the set Y := {(t, t^2, t^3) | t∈k}. Show that Y is an affine varietiy of dimension 1. Find generator for the ideal I(Y). Show that A(Y) is isomorphic to a polynomial ring in one variable over k. >>9
まず、k[x, y, z]/(y - x^2, z - x^3) 〜 k[t]を示す。
k[x, y, z]/(y - x^2, z - x^3)
〜(k[x, y]/(y - x^2))[z]/(z - x^3)
>>5より、k[x, y]/(y - x^2))〜k[s]。再び>>5と同様にして、k[s, z]/(z - x^3)〜k[t]。
特に、(y - x^2, z - x^3)は素イデアルである。J := (y - x^2, z - x^3)とおく。I(Y) = Jを示す。
V(J) = Yなので、Hilbertの零点定理の系(本文Cor 1.4)より、I(Y) = √J。Jは素イデアルなので、I(Y) = J。
以上より、A(Y) = k[x, y, z]/J 〜 k[t]なので、Yは一次元の既約代数的集合。I(Y)の生成元は、y - x^2, z - x^3。□ Excercise I.1.3
Let Y be the algebraic set in A^3 defined by the two polynomials x^2 - yz and xz - x. Show that Y is a union of three irreducible components. Describe them and find their prime ideals. >>11
以下のイデアルで定義される代数的集合が既約であり、Yがそれら3つの合併であることを示す:
I_1 := (x, y)
I_2 := (x, z)
I_3 := (z - 1, x^2 - y)。
A := k[x, y, z]とおく。A/I_1〜k[z], A/I_2〜k[y], I_3〜k[t](∵>>5)なので、I_1, I_2, I_3は素イデアルである。したがって、V(I_1), V(I_2), V(I_3)は既約である。
Y = V(I_1)∪V(I_2)∪V(I_3)であることは、容易に分かる。□ Exercise I.1.4
If we identify A^2 with A^1 × A^1 in the natural way, show that the Zariski topology on A^2 is not the product topology of the Zariski topologies on the two copies of A^1. >>13
kが無限の場合のみ示す(代数閉体ならOK)。
X := A^2、Y := A^1 × A^1とおく。XにはA^2のZariski位相、YにはA^1のZariski位相の積位相が入っているものとする。
Uを、x - yで定義されるXの代数的集合の補集合とすると、UはXの開集合である。UがYの開集合では無いことを示す。
y∈Uを任意に取る。もし、Uが開集合ならば、A^1の開集合V, Wで、
y ∈ V × W ⊂ U
となるものが存在する。A^1の開集合は、空集合であるか、A^1から有限個の点を除いたものである。
V, Wのいずれかが空集合ならば、V × Wはyを含まない。
V = A^1\{p_1, ..., p_n}, W = A^1\{q_1, ..., q_m}のときは、r∈A^1\{p_1, ..., p_n, q_1, ..., q_m}を取れば(∵kが無限なので取れる)、(r, r)∈V × Wなので、V × WはUに含まれない。
よって、UはYの開集合ではない。□ Exercise I.1.12
Give an example of an irreducible polynomial f ∈ R[x, y], whose zero set Z(f) in A^2 is not irreducible. >>15
f = x^2 + ((y(y - 1))^2
とおく。fが分解するなら、xの2次式と0次式の積、またはxの2つの1次式の積にならないといけないが、係数を比較すればそれは無理だと分かる。よって、fは既約。
一方、
Z(f) = {(x, y) = (0, 0), (0, 1)}
であり、これは2つの閉集合V(x, y), V(x, y - 1)の集合だから、既約ではない。□ >>16
> これは2つの閉集合V(x, y), V(x, y - 1)の集合だから、
→これは2つの閉集合V(x, y), V(x, y - 1)の和集合だから、 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています