x^7=1 の解を　α、α^2、α^3、・・・、α^7
としたとき、

　α+α^2+α^4 = (-1+√7i)/2 を満たすことは
　α^6+α^5+α^3 が　共役複素数になる事を使うと示せるのは理解できますが

どうして、α+α^2+α^4 を使うとうまく行くということが分かったのかが
分かりません。
おそらくガロア理論で分かると思いますが、平均学力の高校生にも分かるような
説明は難しいですか？

単位円周上の正七角形から、

　α+α^6 や α^4+α^3 α^5+α^2 が実数になる事はイメージできますので
これらの和を考えてみる発想は湧くのですが
α+α^2+α^4 　など、３つを足すとうまく行く（２次方程式の根になる）イメージが分かりません。