>>34
訂正します：

f(x) は n+1 次の多項式関数であり、 f(x) = 0 は、 x = 0, 1, …, n の n+1 個の解をもつ。
よって、 f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n) と書ける。
f(x) は、さらに、 f(n+1) = n+1 を満たすから、 f(n+1) = a*(n+1)*n*(n-1)*…*1 = a*(n+1)! = n+1 が成り立つ。
∴a = 1/n! である。
これで、 f(x) = x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n)/n! であることが分かった。

k を 0 以上 n 以下の任意の整数とする。
g(x) = x - k
h(x) = x*(x-1)*…*(x-(k-1))*(x-(k+1))*…*(x-n)/n!
とおくと、
f(x) = g(x)*h(x) と書ける。
積の微分の公式を適用すると、
f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) = h(x) + g(x)*h'(x)
となる。 f'(x) に x=k を代入すると、
f'(k) = h(k) + g(k)*h'(k) = h(k) + 0*h'(k) = h(k)
となる。
h(k) = k*(k-1)*…*(k-(k-1)) * (k-(k+1))*…*(k-n) / n! = k*(k-1)*…*1 * (-1)*(-2)*…*(-(n-k)) / n!
= k*(k-1)*…*1 * [(-1)^(n-k) * 1*2*…*(n-k)] / n! = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
であるから、
f'(k) = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
である。
(-1)^(n-k) = 1 / (-1)^(n-k) であり、 Binomial(n, k) = n! / [k! * (n-k)!] であることを思い出すと、
f'(k) = 1 / [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
であることが分かる。

よって、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = Σ[k=0,n] (1-√2)^k * [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
= Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k
である。

(a + b)^n = Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * a^(n-k) * b^k
が成り立つことを思い出し、 a = -1, b = 1-√2 と代入すると、

Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k = [(-1) + (1-√2)]^n = (-√2)^n
が成り立つことが分かる。

∴Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = (-√2)^n
である。