[a, b] で、連続な関数列 {f_n} が f(x) に一様収束するとき、 f_n^2 は f^2 に一様収束する。

証明：

有名な定理により、 f(x) は [a, b] で連続である。

M := max {f(x) | x ∈ [a, b]}
M_n := max {f_n(x) | x ∈ [a, b]}
m := min {f(x) | x ∈ [a, b]}
m_n := min {f_n(x) | x ∈ [a, b]}

とおく。

n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < 1 for any x ∈ [a, b]
n > N ⇒ m - 1 ≦ f(x) - 1 ≦ f_n(x) ≦ f(x) + 1 ≦ M + 1 for any x ∈ [a, b]
min{m_1, …, m_N, m+1} ≦ f_n(x) ≦ max{M_1, …, M_N, M+1} for any x ∈ [a, b]
∴∃K such that |f_n(x)| ≦ K for any n and for any x ∈ [a, b]

ε を任意の正の実数とする。
n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < ε for any x ∈ [a, b]
n > N ⇒ |f_n^2(x) - f^2(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * |f_n(x) + f(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * (|f_n(x)| + |f(x)|) < (K + |f(x)|)*ε for any x ∈ [a, b]
∴f_n^2 は f^2 に一様収束する。