438 名前：日高[] 投稿日：2021/02/23(火) 09:01:49.93 ID:RY6Np+kc [4/8]
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)
x^3+y^3=(x+1)^3…(4)
(4)の解は、(3)の解の1/√3倍となる。

439 名前：日高[] 投稿日：2021/02/23(火) 09:02:45.12 ID:RY6Np+kc [5/8]
【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)をr{(y/r)^2-1}=a2{x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+(a2))^2…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、x,zは有理数となる。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。

440 名前：日高[] 投稿日：2021/02/23(火) 09:03:38.96 ID:RY6Np+kc [6/8]
【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
x^2+y^2=(x+2)^2に、y=4を代入する。
ピタゴラス数x=3、y=4、z=5を得る。

441 名前：日高[] 投稿日：2021/02/23(火) 09:04:46.50 ID:RY6Np+kc [7/8]
【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
x^2+y^2=(x+1)^2…(A)
x^2+y^2=(x+√3)^2…(B)
(B)の解は、(A)の解の√3倍となる。
(A),(B)とも、ピタゴラス数x=3、y=4、z=5を得る。

442 名前：日高[] 投稿日：2021/02/23(火) 09:32:12.99 ID:RY6Np+kc [8/8]
>433
x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)
(3)式の解を、2グループに分けます。
Aグループ：yが無理数の(3)の解、例((√31-√3)/2,2√3,(√31+√3)/2)等
Bグループ：yが有理数の(3)の解、例((√(36(√3)-3)-3)/(2√3),3,(√(36(√3)-3)-3)/(2√3)+2)等

例となる、(3)式のnと、n^{1/(n-1)}を示していただけないでしょうか。