435 名前：日高[] 投稿日：2021/02/23(火) 08:55:15.22 ID:RY6Np+kc [1/8]
>432
> (3)と(4)とは別の式ですよ。
> でも、x,yの比は同じです。
本当ですか？　証明してみせてください。

x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)
X^n+Y^n=(X+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)

(3)の両辺に、(a^{1/(n-1)})^nを掛けると、
(x*a^{1/(n-1)})^n+(y*a^{1/(n-1)})^n=(x*a^{1/(n-1)}+(an)^{1/(n-1)})^n
となるので、X=x*a^{1/(n-1)}、Y=y*a^{1/(n-1)}
よって、X:Y=x:yとなります。

436 名前：日高[] 投稿日：2021/02/23(火) 08:59:31.64 ID:RY6Np+kc [2/8]
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、x,zは無理数となる。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
(4)のx,yは整数比とならないので、(4)はx,zを有理数とすると、yは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

437 名前：日高[] 投稿日：2021/02/23(火) 09:00:46.37 ID:RY6Np+kc [3/8]
(3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nとなる。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^nで割ると、s^n+t^n=(s+n^{1/(n-1)}/w^n)^n…(A)となるので、
s+n^{1/(n-1)}/w^n=u…(B)となるかを検討する。(uは有理数)
(A)より、w^n=n^{1/(n-1)}/(s^n+t^n)^(1/n)-sとなるので、(B)に代入すると、
(s^n+t^n)^(1/n)=u、s^n+t^n=u^n…(C)となる。
(C)は、(4)のx,y,zが有理数の場合と、同じとなるが、(4)のx,y,zは、有理数とならない。