高校数学の質問スレ Part410
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part409
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608682829/ これやってみると二項分布で直接計算と正規分布近似での値がずいぶん乖離する。
https://www.ozl.jp/unit/statistics/2585.html
さいころを100回投げたとき、３の倍数の目が出る回数をXとする。
X<=40となる確率の近似値を求めよ。
問題を解くために
>100は十分に大きい数と考えられるので
と記載されているけど、ダウトだな。 また今日もプロオキチって人が書いているのか
この人頭おかしいよね ±aは「+aかつ-a」ですか？
「+aまたは-a」の意味でも使えますか？ 前>>646
>>666
△ABCは∠Cが鈍角の鈍角三角形だと考えて、
ＡからBCに下ろした垂線の足をHとすると、
AH=(2/√3)(2+x)=1+x
4+2x=√3+x√3
(2-√3)x=……中略
∴∠C=105°
(別解)△ABCと△MACにおいてABとMAがてれこになるように裏返しながら拡縮すると、
△ABC∽△MAC
∠C=180°-30°-45°
=105° x=3かつx=-3→有り得ない×
x=3またはx=-3→有り得る○
x=3の時に～が成り立つ、かつ～が成り立つ→有り得る○
x=3またはx=-3の時～が成り立つ→有り得る上に、1つ上のやつと同値◎
従って、どっちみちまたはと解釈すれば間違いナシ ごめん3行目の誤字訂正
○x=3の時に～が成り立つ、かつx=-3の時に～が成り立つ→有り得る○ 前>>858
>>666
ＡからBCの延長線に下ろした垂線の足をHとし、
CH=xとおくと、
∠AMC=30°+15°
=45°
△AMHは直角二等辺三角形だから、
MH=AH=1+x
AH:BH=(1+x):(2+x)=1:√3
2+x=(1+x)√3
(√3-1)x=2-√3
x=(2-√3)(√3+1)/2
=(√3-1)/2
tan∠C=-(1+x)/x
=-(√3+1)/(√3-1)
=-(√3+1)^2/2
=-2-√3
=-3.7320508……
∴∠C=105° >>849
実用上、近似にしか使わないんじゃないの？ プロおじは期待値もわかってなかった模様ww
もう出禁だな。 >>864
いや、期待値を算出できないのはあんただと思うぞ。罵倒しかできないから。
これやってみ！
袋の中に菓子が10種類入っている。各種類について個数は1,2,3,4,5,6,7,8,9,10で合計55個である。
この袋から無作為に1個ずつ菓子を取り出すが、袋の中の菓子の種類が9種類になったらそれ以後は取り出せない。
取り出せる菓子の数をnとするときnの期待値と95%区間を求めよ。 発狂ww
やっぱり期待値分かってないって心当たりあるんだね。 質問の仕方を間違えました。
「または」じゃなくて排他的選言の意味は示せませんか？ 中途極限定理のステートメント読んでも何言ってるかわからんのだろうな
もちろんお得意のプログラム組んでやってみて観察してもわかるはずもない
どうあがいても一生乗り越えられない壁ですわな 三角関数の単位円において、斜辺1の直角三角形と相似となる関数同士の組み合わせというのはありますか? >>869
日本語の「または」はどちらかといえば排他的orなので。 √(2)が無理数であることの証明について
自然数 a,b につき、aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数で異なるから aa≠2bb、よって √(2)≠a/b。
という解説を見つけました。
ここで質問３点なのですが、
・これが素因数分解の一意性に基づく証明であると思ったのですが、記述の場合は「素因数分解の一意性により」で済ませていいですか？それとも書かなくとも伝わりますか?
・aa≠2bb⇔2≠aa/bbとしていいのですか？(ノットイコールでも移項は許容されるのですか？)
・これを√(2)以外に応用する(この場合Xと置きます)場合はaaとXbbとしたとき、√(X)=aa/bbとなると思いますが、これで許容されますか? 関数 y=1/(x^2-1) のグラフのうち、-1<x<1の部分をC、x>1の部分をDとして、
C上を点Pが、D上を点Qが動くとき、線分PQの長さの最小値は求められますか。 ・済ませていい。書かなきゃダメ
・いい
・√(X)=a/b >>875
ありがとうございます
すいません最後の行は誤字です
√(X)≠aa/bbですね >>874
最小値は存在する。「求められますか」という質問には答えにくい
解析的に値を求めることは可能
2.144038203552426131185218689922107222359966136… 立式までは高校範囲だけど立てた方程式めっちゃ次数高くなったけど、コレ高校範囲で解ける？ -1 < p < 1 < q,
P (p, 1/(pp-1))
Q (q, 1/(qq-1))
とおく。
Pでの接線の傾き f '(p) = - 2p/(1-pp)^2,
Qでの接線の傾き f '(q) = - 2q/(qq-1)^2,
これらが等しいとき
(1-pp)^2 = 2kp,
(qq-1)^2 = 2kq,
一方、AB の傾きは
m = [f(q)-f(p)]/(q-p) = (p+q)/[(1-pp)(qq-1)]
PQが最短のとき、PQと両接線とは直交する。
- f '(p) = - f '(q) = 1/m,
∴ kk = (p+q)/(2√pq),
う～む >>874
長さを求める方法の王道＝作図して計測（関数作って最小値を出すだけ）
https://i.imgur.com/XaTefbo.png
P,Qのx座標
$par
[1] 0.3375862 1.7350103
P-Qの長さ
$value
[1] 2.144038 >>883
> 長さを求める方法の王道＝作図して計測
王道とかアホだろwww
計算で出せないバカが道具に頼ってるだけwww >>839
>>840
n, √(nn+a) が共に整数となることがあるという。
このような整数aをすべて求めよ。
(略解)
√(nn+a) が整数のとき
nn + a ≡ 0,1 (mod 4)
nn ≡ 0,1 (mod 4)
辺々引いて
a ≡ 0, ±1 (mod 4)
∴ a ≠ 2 (mod 4) >>844
逆に a≠2 のとき
n = ±(a/4 - 1) (a≡0 mod 4)
n = ±(a-1)/2 (a≡±1 mod 4)
は題意をみたす。 法線をy=ax+bとして交点が満たすべき方程式は
ax+b = 1/(x^2-1) ‥①
-1/a = -2x/(x^2-1)^2 ‥②
a,bが満たすべき条件はこの二式を満たすxがx>1と-1<x<1に少なくとも一つずつ見つかる事
①を整理して得られる3次式をf(x), ②を整理して得られる4次式をg(x)とするとg(x)をf(x)で割って得られる2次式は
(b^2/a^2-1)x^2 +(-2a+1/a)x -(b^2+b)/a^2+1
この2解がともにf(x)の解になる事が条件で、すなわちf(x)をこの2次式で割った余りが0が条件
大先生にお願いして割ってもらうと条件
4a^4-2a^2(b+2)+2b^3+1=0
-2a^4+2a^2b(b+1)-b=0
で解くのも大先生にお願いするととんでもない値
‥
無理ですな a,bが有理数の時、a+b√(2)=0ならば、a=b=0
という命題に対して
対偶「a、またはbが0であるとき、a+b√(2)=0となる有理数a,bが存在する」を用いる
a=0,b≠0のとき、a+b√(2)=0より
b√(2)=0となり、矛盾する。
したがって対偶が矛盾するので、背理法より元の命題「a,bが有理数の時、a+b√(2)=0ならば、a=b=0」は否定された。
これが間違っていることは直感的にわかるんですが、どこが間違っていないのかわかりません。
どなたか教えてください。 大先生に874の答えを直接訊いてみる
In[1]:= Minimize[{Sqrt[(q-p)^2+(1/(q^2-1)-1/(p^2-1))^2], -1<p<1<q}, {p,q}]
Out[1]= {Sqrt[Root[1369 - 4220*#1 + 508*#1^2 + 248*#1^3 - 56*#1^4 + 4*#1^5 & , 3, 0]], {p -> (略), q -> (略)}}
In[2]:= N[%, 20]
Out[2]= {2.1440382035524261312, {p -> 0.33740013591048701634, q -> 1.7347520828890753658}}
距離の最小値の二乗は5次方程式 1369-4220x+508x^2+248x^3-56x^4+4x^5 = 0 の根
なんだそうな >>890
「a、またはbが0であるとき、a+b√(2)=0となる有理数a,bが存在する」は
「a,bが有理数の時、a+b√(2)=0ならば、a=b=0」の対偶になりうるのか？ >>892
元の命題：(a,b∈R)・(a+b√(2)=0)⇒(a=0)・(b=0)
対偶：(a≠0)+(b≠0)⇒(a,b∈R)・(a+b√(2)≠0)
このような論理式になり正しいと思うのですが... 元の命題：(a,b∈R)・(a+b√(2)=0)⇒(a=0)・(b=0)
対偶：(a≠0)∨(b≠0)⇒￢(a,b∈R)∨(a+b√(2)≠0)
ならわかる >>894
なるほど、否定と論理和のところが違ったのですね
ありがとうございます納得できました >>878
ついでに…
P ( 0.3374001359104870163403618431465772025866 , -1.128462923399877055576790510711933486930 )
Q ( 1.734752082889075365828094191292294480743 , 0.4976697140462394789388668338134526880942 )
直線PQ
y = m･x - 1.521103713767062563633706451678657120937
ここに m = 1.163724458224148304641630005323453357073
接線の傾き
f '(p) = f '(q) = - 0.859309944835229313968316325739536695833
Pでの接線
y = f '(p) (x-p) + f(p)
= f '(p)･x - 0.8385316312232375845032943302756681524535
Qでの接線
y = f '(q) (x-q) + f(q)
= f '(q)･x + 1.9883594306964499818569362029375399978195 前>>862
>>874
P(1/√7,-7/6),Q(√3,1/2)のとき、
PQ=√｛(√3-1/√7)^2+(1/2+7/6)^2｝
=2.14…… 道具があるのに使わないのは文明人の選択ではない。
定理や公式も広義の道具といえる。
俺はRを使って数値解。Wolframを使っても結局、数値解。
使い方を教えれば小学生にもできる。 期待値npを知ってれば小学生でも暗算出来る
それなのにわざわざPCでプログラムを組まないと計算出来ないアホ >>885
レスありがとうございます。こういうレスは実に美しい。
具体的に解が存在しない数を列挙すれば、証明は無理でも法則性に気づいたかも。
遅ればせながら1から100まででやってみる
> n=100
> (1:n)[calc3(1:n)]
[1] 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94 98
プログラムがきちんと動作していることの確認にもなって( ・∀・)ｲｲ!!
オマケのコード（R言語）
calc <- function(n72){
library(numbers)
is.wholenumber = function(x, tol = .Machine$double.eps^0.5) abs(x - round(x)) < tol
d=divisors(n72)
e=cbind(d,n72/d)
re=apply(e,1,function(x) (x[1]-x[2])/2)
re[is.wholenumber(re)]
}
# calc=Vectorize(calc)
calc3 <- function(n) length(calc(n))==0
calc3=Vectorize(calc3)
n=100
(1:n)[calc3(1:n)]
101以後も当然成立している。
> sapply(101:111, calc)
[[1]]
[1] -50 50
[[2]]
numeric(0)
[[3]]
[1] -51 51
[[4]]
[1] -25 -11 11 25
[[5]]
[1] -52 -16 -8 -4 4 8 16 52
[[6]]
numeric(0)
[[7]]
[1] -53 53
[[8]]
[1] -26 -6 6 26
[[9]]
[1] -54 54
[[10]]
numeric(0)
[[11]]
[1] -55 -17 17 55 P (4/√141 , -141/125) = (0.33686 , - 1.128)
Q (√3 , 1/2) = (1.732 , 0.5) のとき
PQ = 2.1440474 (m≒7/6) >>891
偏微分方程式を連立すれば極値になるをWolframが返してくれる。
下記の入力すればあとは終わり。レンジてチンみたいなものだな。
d/dx((1/(x^2 - 1) - 1/(y^2 - 1))^2 + (x - y)^2) = 0, d/dy((1/(x^2 - 1) - 1/(y^2 - 1))^2 + (x - y)^2) = 0 こういう問題も道具を使わないと計算は無理だと思う。
期待値の達人がサクッと答えるかと思ったら逃げまくりでワロタ。
袋の中に菓子が10種類入っている。各種類について個数は1,2,3,4,5,6,7,8,9,10で合計55個である。
この袋から無作為に1個ずつ菓子を取り出すが、袋の中の菓子の種類が9種類になったらそれ以後は取り出せない。
取り出せる菓子の数をnとするときnの期待値と95%区間を求めよ。 P ({√(205-84√3) -3}/14 , - {14√3 -3 -√(205-84√3)}/12) = ( 0.33672325 , -1.12788215 )
Q (√3 , 1/2) = (1.7320508 , 0.5) のとき
PQ = 2.1440474087 (m=7/6) ある入試問題を改題
曲線y=log(1+cos(x))の0<= x <= π/2の部分の長さを小数点第2位まで求めよ。計算機を使ってもよい。
Wolfram先生の厳密解 2 tanh^(-1)(1/sqrt(2)) >>907
2 tanh^(-1)(1/sqrt(2)) = log(3 + 2*sqrt(2)) https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%AE%E9%95%B7%E3%81%95&;assumption=%7B%22F%22%2C+%22ArcLength%22%2C+%22curve%22%7D+-%3E%22log%281%2Bcos%28x%29%29%22&assumption=%7B%22F%22%2C+%22ArcLength%22%2C+%22b%22%7D+-%3E%22pi%2F2%22&assumption=%7B%22C%22%2C+%22%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%AE%E9%95%B7%E3%81%95%22%7D+-%3E+%7B%22Formula%22%7D&assumption=%7B%22F%22%2C+%22ArcLength%22%2C+%22a%22%7D+-%3E%220%22&lang=ja >>907
これ私立医だったら紙で厳密解出せる問題だね
京大のやや易くらいかな
というか君は計算機使わないと解けないとか私立医未満か >>872
面積の比率はどうなるやら。
θや÷2は省略
sin×cos=1とした場合
sec×csc
cot
tan
(sec-1)×sin
(csc-1)×cos トケジは期待値も統計も分からないから医者にはなれない 数え上げれば答えがでるような問題に答えがわかったから何なの？
「数え上げれば良い」以上の意味はないし、その答えに興味もない。
それこそどうしても値が知りたい病気ならPC使えば良い。
プログラミング技術を自慢したい人はプログラミングの板へ行け。
答えの値が予想外とかなら興味を引かれるだろうが、単に値を述べられてもだから何？ってだけでしょ。
ここは数学板だから、答えに至る技術に興味ある人は多かろうが、「数え上げれば良い」じゃあゴミ同然だね。
プログラミングにしても、同じ技術で答えが出るような問題多数並べてるようじゃやはりゴミ同然だね。 何言っても聞かないよ
どんなに最もで反論の余地がなくても、それならそれで「あいつは他人を罵倒ばかりしてるクズだ、そんなやつのいう事を聞く必要はない」と結局自分の都合の良い言葉を作文して無視してしまう
コイツにとって論理とは自分の行動が正当であるという事を自分を納得させるための道具でしかないからどんな正論も通じない
そして相手が自分を止められない事をそれを自分が優秀であると捉えて悦に浸ってしまう
止めようないよ
ある一定の割合で「他人に迷惑をかける事が自分の利益になる」という独特な哲学を身につけてしまったものは他人は止める事はできないと思う
むかし読んだその手の本に書いてあった
無視するしかないよ ガチャとかのクジの問題ばかり
人力だと難しい問題を出題して自分で解くバカ
それが唯一の楽しみの無職の爺さん
しかも期待値npや中学幾何の問題すらPCを使わないと解けないアホ
ランダウの記号すら知らなかった
大学行ってないのは明らか pが2,3以外の素数のとき
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … + 1/(p-1)^2
を通分した時の分子はpの倍数んなると一般に言えますか？ 特性方程式を使った漸化式なのですが
a[n+1]+2=3(a[n]+2)
b[n+1]=3b[n]
そもそもb[n]の等比数列というのが考えられません😭
なぜcとおくかは、このような式を導きたいときにαはいくつであるかを求めているに過ぎないとわかりました！ 1番最初の式がなぜ成り立つのかわからないということです a[n+1]+2=3(a[n]+2)
a[n]=3^n-2とすると
a[n+1]+2=3・3^n
おかしい計算になるのですが… +2を右辺に持ってけば前の項と次の項の関係になっていました 式通りの数列ですよね😅？ 期待値も分かってないクズの分際で出題なんてもう出禁だな。ここのスレからも一般社会も。 >>890
対偶の設定が間違っていると思う。
｛aが有理数 かつ bが有理数 かつa+b√(2)=0｝ ならば｛ a=0かつb=0｝
の対偶は
｛a≠0またはb≠0｝ならば ｛aが有理数でない、または bが有理数でない または a+b√(2)≠0｝
ではないかな？ >>909
これは便利だな。
簡単に自作関数結果の検算に使えますね。
CurveLength <- function(f='log(1+cos(x))',from=0,to=pi/2){
Df <- eval(str2lang(paste("deriv(~ ",f,",","'x',func=TRUE)")))
f1 <- Vectorize(function(x) as.numeric(attributes(Df(x))))
integrate(function(x) sqrt(1+f1(x)^2), from, to, rel.tol = 1e-12)}
まあ、数値解しかでないけど。
> CurveLength()$value
[1] 1.762747 >>917
1≦a<p に対して
ab ≡ 1 (mod p)
をみたすbが1つずつある。(1≦b<p)、
ab = 1 + p･q (qは整数)
1/a = b - p･(q/a),
これを
1/a ≡' b (mod p)
と書けば (広義の合同)
与式 = Σ 1/a^2 ≡' Σ b^2
= Σ[k=1,p-1] k^2
= p･(p-1)(2p-1)/6
≡ 0 (mod p) (← p>3)
∴ pの倍数んなると一般に言える。 >>910
厳密解
y = log(1+cos(x)),
y ' = - sin(x)/(1+cos(x)),
√{1+(y ')^2} = √{2/(1+cos(x))} = 1/cos(x/2),
より
L = ∫√{1+(y ')^2} = ∫1/cos(x/2) dx
= log|(1+sin(x/2)/(1-sin(x/2))|
= - 2log|tan((π-x)/4))|,
tan(π/4) = 1, tan(π/8) = √2 - 1. >>918
なぜ等比数列と言えるのかからわからないみたいです…
等比数列型の漸化式はわかりますが両辺に2が足されて右辺にだけ3がかけられているので >>928
a[1]+2、a[2]+2、a[3]+2、……、a[n]+2、……という数列を考えそれをb[n]とすればa[n]+2=b[n]、a[n+1]+2=b[n+1]
a[n+1]+2=3(a[n]+2)に代入すればb[n+1]=3b[n]になるのだからb[n]は等比数列
特性方程式とかやる段階になってないんじゃないのか？ >>929
bnの数列が考えられていませんでした、わかりましたありがとうございますm(_ _)m 正矢
余矢
残正矢
残余矢
半正矢
半余矢
半残正矢
半残余矢
外正割
外余割
これらは学校ではまず習いませんが、土木や測位には非常に重要な三角関数だそうですが、どうしてそうなるのですか? それを使わないところで聞くんじゃなくてそれを使う業界のスレで聞くべきことなんじゃないか？ 本当に土木で使うのか？
どれもsin,cos,tanで表現出来るんじゃないの？ すごく基本的な事を質問するのですが、
正や負や０の値を取る連続な関数を２乗した関数の導関数は、
正や負や０になる事はあっても、
２乗した関数は増減があるだけで、負にはならないんですよね？？ >>933
そんなの覚えるよりsin, cos, tanで表わした方が楽で間違いないからさ 9人の野球チームで誰もが投手をやりたがったため、次の試合の9個のポジションはクジで選ぶことにした。
9人全員が前の試合とは異なるポジションになる確率を求めよ。
分数解 ： 16687/45360
導出法（省略ｗ）
１００万回のシミュレーション解
> sim <- function(n) all(!(1:n)==sample(n))
> mean(replicate(1e6,sim(9)))
[1] 0.368626
両者が近似するので多分、あっていると思う。
10人のソープ嬢と10人の客で問題を考えたのだが、スレの趣旨から上記のように改題したｗ またアホが出て来た
組み合わせ問題ばっかりwww
まずは期待値から勉強しろよアホ 計算してみたら、９人でも１１人でもほとんど確率が変わらなかった。
> calc(9)
[[1]]
Big Rational ('bigq') :
[1] 16687/45360
[[2]]
[1] 0.3678792
> calc(10)
[[1]]
Big Rational ('bigq') :
[1] 16481/44800
[[2]]
[1] 0.3678795
> calc(11)
[[1]]
Big Rational ('bigq') :
[1] 1468457/3991680
[[2]]
[1] 0.3678794
数を増やして、グラフにしてみる。黒点はシミュレーション解。
https://i.imgur.com/96LLpR0.png 唐突にスレ違いの話題をひけらかし始めるプログラムおじさん >>947
前の話題で恥かくとそれを流してしまうためにまたしょうもないレスを連発するんだよ
こどおじの精神構造はちゃっちい >>933
Wikipediaの
三角関数の公式の一覧
↓
古い関数
にあるやつか
三角関数を数表で計算していた時代に
そのまま計算すると精度の悪い
1-cosθ 正矢
(1/2)(1-cosθ) 半正矢
等に名前をつけて別の表にしていた
今はその都度計算すれば事足りるな 実はプログラムも統計も期待値も何一つ分かってなかったプログラムおじさん レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
