「任意のベクトル　u, v　∈　V に対し、 u + x = v を満たすような V の元 x が一意的に存在する。」が仮に証明できたとすると、

u, v を V の任意の元としたとき、

(u + v) + 0*u = (u + 0*u) + v = (1*u + 0*u) + v = (1 + 0)*u + v = 1*u + v = u + v
(u + v) + 0*v = u + (v + 0*v) = u + (1*v + 0*v) = u + (1 + 0)*v = u + 1*v = u + v

(u + v) + x = u + v の解 x は一意的に存在するから、 0*u = 0*v

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z を V の任意の元とする。

u を V の任意の元とする。

u + 0*z = u + 0*u = 1*u + 0*u = (1 + 0)*u = 1*u = u だから、 0*z は零元である。