複素数の間の共形的かつ全単射で滑らかな写像φ:C→Cは1次変換か1次変換の複素共役である
という定理の証明がわかりません

本ではその少し前に
ψ:D→C,(D⊂C:開集合)が共形的でヤコビ行列がいたるところ可逆ならψかその複素共役が
正則関数になるという結果があり、これとリウビルの定理なりピカールの定理なりを使えば示せると書いてありました
上の命題を使うとφかその共役がCの間の全単射な正則関数であることは言えますが、そこから先がわかりません
(本は深谷「双曲幾何」のp.65です)