面白い問題おしえて〜な 34問目
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過去ログ置き場(1-16問目)
//www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
//www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
過去スレ
01 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
02 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
03 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
04 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
05 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
06 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
07 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
08 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
09 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
(前スレ) >>956
これって0回でも1万円もらえるんだろうか
まあどうせ無限大だしどっちでもいいか >>956
統計的確率は単なる期待値に過ぎない。
それは試行回数を無限大へ近づけた時に
収束する値である。
現実ではギャンブルでも何でも資金は有限である、
よって試行回数が無限大に出来ることなどない。
というわけで
0回でドロップアウト、 1万円でフィニッシュ、ファイナルアンサーです！ >>958
2^0=1だから1万円貰える。
でも参加費が5万円とかだと、この場合は損する。
参加費が1.5万円とかだとお得かという問題。 >>956
ネタ元はhttps://ja.wikipedia.org/wiki/サンクトペテルブルクのパラドックス
なのだが、獲得賞金の期待値は定義通りだと∞に発散するという。
幾何分布（1回成功するまでの失敗の回数の分布）の期待値＝１なので
２＾１＝２で期待値は２万円でいいのではと思う。参加費が2万円未満なら参加する方が有利ではと思う。異論はいくらでも認める。 >>961（補足）
ビュフォンは子供にコインを繰り返し投げさせる実験を行った[5]。
2084回のゲームを行い、そのうち1061回で1円、494回で2円、…、合計で10057円を獲得した。
この実験において、1回のゲームでの獲得金額の平均は約5円ということになる。
をシミュレーションでやってみる。
sim <- function(p=0.5){
head=FALSE
i=0 # コイントスの回数
while(head==FALSE){ # 表(head:1)がでるまで繰り返す
head <- rbinom(1,1,p)==1
i=i+1
}
2^(i-1) # 賞金額
}
re=replicate(2084,sim()) #2084回
sum(re) # 獲得金総額
table(re) # その頻度
mean(re) # 1回のゲームでの獲得金額の平均
> sum(re) # 獲得金総額
[1] 12703
> table(re) # その頻度
re
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 2048
1015 562 249 138 63 25 14 9 6 2 1
> mean(re) # 1回のゲームでの獲得金額の平均
[1] 6.095489
以上はまあ、似たような結果ではあるが、
たまに次のような値がでることがあって、平均が一定しない。
> sum(re) # 獲得金総額
[1] 83694
> table(re) # その頻度
re
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048
1070 512 250 111 66 46 12 5 4 4 1 1
4096 65536
1 1
> mean(re) # 1回のゲームでの獲得金額の平均
[1] 40.16027 n×nマスに1〜n^2までの整数を1つずつ入れるとき
「「隣り合った数の差」の総和」の最大値を求めよ
例えば2×2なら
１４
３２
で差の総和は8
3×3なら
５１６
２９４
７３８
で差の総和は58となる >>954
GJ
(x, y, z) = (2y, y, -y) のとき
x + (y + z * 5^{1/4}) * 2^{1/8} (e^{10π} - 24)^{1/24}
= (2 + (1 - 5^{1/4}) * 2^{1/8} * (e^{10π} - 24)^{1/24}) * y
= (1.186317… * 10^{-26}) * y,
(左辺) < 10^{-25} を満たすのは
|y| < 8.42945…
y, 2y は絶対値が3以下の0でない整数だから
y = ± 1,
(x, y, z) = (-2, -1, 1) (2, 1, -1) >>964
正解です
これはデデキントのイータ関数に関する特殊値
e^(10π/24)Π[n=1,∞](1-e^(-10π(2n-1))) = 2^(7/8)/(5^(1/4)-1)
がわかれば計算機なしで答えが出せます
ちなみにこの無限乗積の8次の展開まで近似すると
|2 + (1-5^(1/4)) 2^(1/8) e^(5π/12) (1/(1+e^(-10π)) - e^(-20π))| < 10^(-108)
になります >>962
2084の試行を10回やった結果。
or data that you put into this service are public.
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
Min. 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0 1.00 1.00 1.00 1
1st Qu. 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0 1.00 1.00 1.00 1
Median 1.00 2.00 1.00 2.00 2.0 2.00 2.00 2.00 2
Mean 7.68 8.05 6.69 5.57 12.8 6.71 4.72 5.51 16
3rd Qu. 2.00 4.00 2.00 4.00 4.0 4.00 2.00 2.00 4
Max. 4096.00 4096.00 2048.00 1024.00 16384.0 4096.00 512.00 1024.00 8192
[,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18]
Min. 1.00 1 1 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
1st Qu. 1.00 1 1 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
Median 2.00 1 2 2.00 1.00 1.00 2.00 2.00 1.00
Mean 4.66 132 509 7.03 6.27 6.81 5.98 5.88 4.88
3rd Qu. 4.00 4 4 2.00 4.00 2.00 4.00 4.00 2.00
Max. 512.00 262144 1048576 2048.00 2048.00 1024.00 512.00 512.00 1024.00
[,19] [,20]
Min. 1.00 1.0
1st Qu. 1.00 1.0
Median 1.00 2.0
Mean 7.86 14.5
3rd Qu. 2.50 4.0
Max. 4096.00 8192.0
中央値は1か2になるけど、平均値はブレまくり。 >>966
1と2って全然違うじゃねぇか！！
不確かすぎて使えねぇ >>962
ビュフォンは子供にコインを繰り返し投げさせる実験を行った[5]。
2084回のゲームを行い、そのうち1061回で1円、494回で2円、…、合計で10057円を獲得した。
この実験において、1回のゲームでの獲得金額の平均は約5円ということになる。
を2084回を1万回シミュレーションでやってみたら、
> summary(S[order(S[,'mean']),])
median mean max
Min. :1.000 Min. : 3.65 Min. : 128
1st Qu.:1.000 1st Qu.: 5.68 1st Qu.: 1024
Median :1.500 Median : 6.83 Median : 2048
Mean :1.501 Mean : 16.28 Mean : 21560
3rd Qu.:2.000 3rd Qu.: 9.16 3rd Qu.: 4096
Max. :2.000 Max. :16117.00 Max. :33554432
中央値は１〜２だが、あとは大きくブレまくり、胴元は破産しそう。 期待値が無限大な賭け(サンクトペテルブルクのパラドックス)
https://www.youtube.com/watch?v=B__gzT-rQjw
の解説によると、
フェラ先生というのが
テラ銭の採算ラインは賭けの回数に依存して n log2(n)であるという(log2は底が2の対数)。
Wikiの解説でビュフォンは子供にコインを繰り返し投げさせる実験を2084回のゲーム行ったというので
１日に2084回ゲームが行われるとする。
必要なテラ銭は22976.39万円（単位は万円とした）。
1年間を365日として日々の収支と1年の収支16年分をグラフにしてみる。
https://i.imgur.com/2OWLfcl.png
胴元にとっても博打であることがみてとれる。
このデータでは16年の収支は
> sum(io)
[1] -9387732
1年間のテラ銭が8386383なので16年だと134182123
> -9387732/134182123
[1] -0.06996261
で6%の赤字と考えれば、打倒な数字かなとも思える。 100年の収支シミュレーションを100回やってみたら
> summary(BL100)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
-4.46260 -0.35270 -0.17716 -0.40514 -0.06296 0.04050
胴元に大赤字（最大でテラ銭の約4.5倍の支払い）という結果になった。 期待値が無限大な賭け(サンクトペテルブルクのパラドックス)
https://www.youtube.com/watch?v=B__gzT-rQjw
の解説によると、
ふぇらー先生の主張として
テラ銭の採算ラインは賭けの回数に依存して n*log2(n)であるという(log2は底が2の対数)ので
n=10のときは
10*log2(10)=33.21928が
10ゲームで参加費と賞金が同等になるという。
10ゲームのシミュレーションを10回 100回,,,,10^6回までやってみると第１列が10^1回、第2列が10＾2回....のシミュレーション結果。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
Min. 13.0 10.0 11.0 10.0 10.0 10.0
1st Qu. 24.2 20.0 21.0 20.0 20.0 20.0
Median 34.0 31.0 29.0 30.0 30.0 29.0
Mean 34.2 56.6 59.6 110.4 116.7 394.5
3rd Qu. 38.8 45.0 51.0 50.0 50.0 50.0
Max. 63.0 1114.0 2230.0 262190.0 1048602.0 268435479.0
シミュレーション回数を増やすと稀な大当たりがでるから平均値が増加してとても33.2にはならない。
中央値は33に近い辺りで安定。
n*log2(n)がテラ銭の採算ラインには思えない。
やはり、胴元は早めに勝ち逃げしないと破産しそうに思える。 >>928
>941, >944, >951, >955 より
K=3, L=1, M=6, N=6,
K=3, L=2, M=19, N=144,
K=3, L=3, M=39, N=1200,
K=3, L=4, M=118, N=37800,
K=3, L=5, M=185, N=83160,
K=3, L=6, M=400, N=846720,
K=3, L=7, M=511, N=1965600,
K=3, L=8, M=1022, N=15724800, + [91,256,675]
K=3, L=9, M=1287, N=34927200,
K=3, L=10, M=2574, N=279417600, + [231,768,1575]
K=3, L=11, M=4279, N=1437836400,
K=3, L=12, M=8558, N=11502691200, + [896,2475,5187]
K=3, L=13, M=11777, N=5751345600,
K=3, L=15, M=23554, N=46010764800, + [351,9728,13475] + [665,3584,19305]
(*印 は 上行の2倍)
K=4, L=1, M=10, N=24,
K=4, L=2, M=20, N=144,
K=4, L=3, M=40, N=1200,
K=K, L=1, M=K(K+1)/2, N=K!
…… K=4, L=3 は M=24 に N=360 があるね K=4, L=3, M=24, N=360 [1,4,9,10] [1,5,6,12] [2,3,4,15]
スマソ どこまでやっても結局楕円曲線の有理点を探すというかなり難しい問題に帰着されててほとんど無理
もうその時点でみんな“無理だな”と察して引いてるのにそれもわからずいつまでもいつまでも答えが出そうにない問題に固執してスレ荒らす 次を満たす正の整数の組 n_1≦n_2≦n_3≦n_4 を全て決定せよ：
整数全体の集合Zを４つの部分集合 A_1, A_2, A_3, A_4 に分割し、各 i=1,2,3,4 について
a,b∈A_i かつ a≠b ならば |a-b|≧n_i
を成り立たせることができる。
（各 A_i は空集合でも良い） >>976
計算結果を全部貼るのは意味がないと思ったので控えました
それでも目障りだったら申し訳ない >>978
なんだプロおじじゃないのか
ならいいよ
もうこの問題は手引いた方がいい
おそらく現在の我々人類の力では完全な解答はでない >>978
後計算結果貼るなら↓この人のレスみたいにオンラインプログラミングのサーバー利用するといい
その結果を他の人が利用するのにも便利だしどんなに長時間かかった計算でも結果貼るだけなら問題なくできる
https://ideone.com/R4PCiQ 処置用手袋が合格基準の2.5%のピンホール不良を予め補填するために100枚入りの箱に103枚入っているとする。
5箱使用したら19枚のピンホール不良があった
19/(103*5)=0.0368932で2.5%を越えているので合格基準を満たしていないと言えるか？
それとも合格基準内のばらつきと言えるか？
有意水準は5%で判断する。 >>977 のヒント、というか一部パターンだけ解答
･(n_1, n_2, n_3, n_4) = (3,3,4,7) は満たさない。
まず 1/3+1/3+1/4<1 より、密度の議論から A_4 は空集合ではあり得ない。
a∈A_4 を任意にとり、集合 {a-6,a-5,a-4,…,a+6} を T とおく。
T のうち a 以外の任意の元 b について、|a-b|<7=n_4 が成り立つので
b は A_4 に属さない。ゆえに #(T∩A_4)=1.
T の４つの部分集合
{a-6, a-5, a-4}, {a-3, a-2, a-1}, {a+1, a+2, a+3}, {a+4, a+5, a+6}
には A_1 の元はそれぞれ1個以下しか入らない。ゆえに #(T∩A_1)≦4.
同様に #(T∩A_2)≦4.
以上から #(T∩A_3)≧4 でなければならないが、このためには
T∩A_3 = {a-6, a-2, a+2, a+6}
となる以外にあり得ない。しかしそうすると
A_2∪A_3 ⊃ T-(A_1∪A_4) ⊃ {a+3,a+4,a+5}
となり、この三元がどのように A_2, A_3 に入っても矛盾する。 >>986
誤
A_2∪A_3 ⊃ T-(A_1∪A_4) ⊃ {a+3,a+4,a+5}
となり、この三元がどのように A_2, A_3 に入っても矛盾する。
正
A_1∪A_2 ⊃ T-(A_3∪A_4) ⊃ {a+3,a+4,a+5}
となり、この三元がどのように A_1, A_2 に入っても矛盾する。 >>986
この問題地道にに場合わけしていくしかないんじゃないの？
n1=3の場合はできたけどそれで力尽きた
完全に計算機案件やろこれ？ >>989
んーまあ確かに場合分けだけど
鍵になるパターンを見つけたら証明をある程度短縮できることを利用して解く想定でした
まあでも、より少ない証明の組み合わせを思いつくのが面倒というのはある気はするので
この問題はクローズします。鍵になる不可能パターンと証明方針だけ発表
･(2,3,5,9)
xからx+3まで全体をA_1,A_2で覆えない
→xからx+7まで全体をA_1,A_2,A_3で覆えない
･(2,5,5,7)
xからx+5までのうちA_1,A_2で覆えるのは4個まで
→xからx+5まで全体をA_1,A_2,A_3で覆えない
･(3,3,4,7)
xからx+5まで全体をA_1,A_2,A_3で覆えない
･(3,4,4,5)
xからx+3まで全体をA_1,A_2,A_3で覆うならば x,x+3∈A_1
→任意の a∈A_4 の周囲 a-4,a-3,…,a+4 で矛盾 -3以下の整数nにおいて
x^n+y^n=z^nとなる自然数の組(x,y,z)は存在しないことを示せ >>990
フェルマーの最終定理
3以上の整数nにおいて
x^n+y^n=z^nとなる自然数の組(x,y,z)は存在しない
を使用してもよいものとする >>911 >>894
10^10 まで検索かけてみたが予想通りだった
|係数| < 10^6 のとき
96051 - 616920√2 + 448258√3 = 3.35×10^(-13) が最小
|係数| < 10^7 のとき
2425305 + 2250206√2 - 3237536√3 = 6.17×10^(-15) が最小
|係数| < 10^8 のとき
54823746 + 25581379√2 - 52539613√3 = 5.94×10^(-17) が最小
|係数| < 10^9 のとき
-116906393 - 23832207√2 + 86954853√3 = 4.66×10^(-19) が最小
|係数| < 10^10 のとき
-2133560879 - 933735484√2 + 1994203778√3 = 6.00×10^(-21) が最小 GJ!
|係数| < 10 のとき
-3 - 4√2 + 5√3 = 0.3399788352×10^(-2) が最小
|係数| < 10^2 のとき
-1 + 35√2 - 28√3 = 0.5207129765×10^(-4) が最小
|係数| < n のとき
| x + y√2 + z√3 | < 1/n^2
をみたす整係数 x,y,z が存在する？
>>911
存在しない。
そろそろ次スレを… x^3+y^3=z^3に自然数解が存在しないことを示せ x^3+y^3+z^3=w^3の自然数解を全て求めよ x^3+y^3+z^3=114の自然数解を1つ見つけよ このスレッドは１０００を超えました。
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