面白い問題おしえて〜な 34問目
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過去スレ
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33 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
(前スレ) >>394
ダメだ
∫[0,n] ( exp(-x) -1)/x dx
程度にしかならないorz 1/xのとこだけ1〜nまで積分してしまってlogn移項してから極限とるってことじゃないの あかん
どうしてもΓ'(1)=-γが避けられないorz >>394を部分積分して
∫[0,n]((1-x/n)^n-1)/x=-Σ[1,n]1/k
これの1/xだけ1〜nまで積分すれば
∫[0,1]((1-x/n)^n-1)/x+∫[1,n]((1-x/n)^n/x=logn-Σ[1,n]1/k
で極限とる、じゃダメなん？ >>399
正解です（これは>>394 のヒントから得られる解答で、他の解答もあります）。
より厳密には(1-x/n)^nをe^(-x)で置き換えた差
Rn = ∫[0,n](e^(-x)-(1-x/n)^n)/x dx
がn→∞で0に収束することを示す必要があるが、これは以下の通り。
|Rn| = ∫[0,n](1-((1-x/n)e^(x/n))^n)/(xe^x) dx
＜∫[0,n](1-((1-x/n)(1+x/n))^n)/(xe^x) dx
≦∫[0,n](n(x/n)^2)/(xe^x) dx
＜∫[0,∞](x/n)e^(-x) dx
＝1/n >>393
勘で解の個数は
(1/2)Π[p ≡ 1 ( mod 4)] (v_p( n ) + 1)
と予想 >>393
適当に複素共役とるって？
けっきょく
(1+2i)(2+3i)(1+4i)･(1-2i)(2-3i)(1-4i) = (1+4)(4+9)(1+16)
にならね？ 〔フルヴィッツの定理〕
c_k は a_i, b_j の双1次形式を表わすとする。等式
Σ[i=1,n] (a_i)^2 Σ[j=1,n] (b_j)^2 = Σ[k=1,n] (c_k)^2
が成立するのは、n=1,2,4,8 の場合に限られる。
(n=16 では零因子が存在する)
A.Hurwitz: Nachrichte von der koenigliche Geselschaft der Wissenschaften in Goettingen (1898)
p.309-316
数セミ増刊「数の世界」 日本評論社 (1982) p.91 >>404
(1±2i)(2±3i)(1±4i)の±のどっち取るかって意味でしょ？
それで8通りあるうち、全部反対を選んだら虚部がマイナスになるだけなので同じ解になってしまう
325=25×13=|(1+2i)^4||1+4i|^2であれば325=xyとガウス環で分解する時にxの因子で(1+2i)を何個使うかで3通り、1+4iを何個使うかでに通りで6通り、しかし複素共役は同じ解ににってしまうから3個
(1+2i)^2(2+3i)=-18-i より 18^2+1^2=325
(1+2i)(1-2i)(2+3i)=10+15iより 10^2+15^2=325
(1-2i)^2(2+3i)=-6-17iより 6^2+17^2=325 単位正方形内にある図形の(面積)÷(直径)の最大値を求めよ >>406
v_p(n) : odd ( p≡3 (mod 4) )である素因子があれば0
そうでないときはn=xyを満たすガウス環での解の個数がN=4Π[p≡1(mod 4)] (v_p(n)+1)でこのうち実部符号取り替え、実部虚部の交換で生成される位数8の群の軌道の数はnが平方数かn/2が平方数の時は軌道の大きさが4であるものがちょうど4つあるから求める解の個数は
N/8 (nもn/2も平方数でないとき)
(N+4)/8 (nかn/2のいずれかぎ平方数のとき) 円の場合、面積π/4、直径1、比は約0.785
正方形の場合、面積1、直径√2、比は約0.707
ルーローの場合、面積(π-√3)/2、直径1、比は約0.705
円くさいけど違うなら面白い >>414
3.2とか出てるけどそんな大きくはもちろんなりません 単位正方形を2×2で考えて半径xの円との共通部分の面積とその図形の直径2xの半分xとの比で計算してるっぽいね
だから本来の値はその1/4だから0.8…くらいになって良さげ 角を取れば良さそうということで自分も同じ計算してた 元の尺度でwolframで最大求めたら
直径 d=1.09317…のとき
最大比 S/d=0.807946…らしい 円と正方形の共通部分の形は4つの弧と4つの辺を持つけど
弧の部分のピザと辺の部分のピザの面積が等しくなるときが最大比っぽい 前にも一回解いたんだけどな
直径一定以下での面積の最大
(0,1)に値を取る関数a(t)に対して領域
{ (x,y) | a(t)-1≦x cos(t)+y sin(t)≦a(t) }
の面積比を積分で表示して変分するんだったような
結局円弧になったと思うんだけど ユニクロの近くにはアベの家がある
アベの家の近くにはユニクロがある
君の家の近くに変な建物あるだろう? あけましておめでとうございます。
勝手なこといってごめんなさい。
今年もよろしくおねがいします。 前>>316
>>407
LINEの顔文字でたまに出てくる(big smile)(smile)こういう餅みたいに四角く膨らんだ顔の形にしたとき面積÷直径は最大値をとるだろう。 >>392
こんなのがみつかった。
52^2+39^2=56^2+33^2=60^2+25^2=63^2+16^2=65^2= 4225 前>>427
>>407
角が半径rの四分円になるようにカッティングすると、
面積=1-4r^2+πr^2=1-(4-π)r^2
直径=(√2/2-r√2+r)×2=√2-2r(√2-1)
f(r)=｛1-(4-π)r^2｝/｛√2-2r(√2-1)｝
f'(r)の分子=0より、
-2r(4-π)｛√2-2r(√2-1)｝-｛1-(4-π)r^2｝(-2)(√2-1)=0
r(4-π)｛√2-2r(√2-1)｝-｛1-(4-π)r^2｝(√2-1)=0
-2(4-π)(√2-1)r^2+(4-π)(√2-1)r^2+(4-π)r√2-(√2-1)=0
(4-π)(√2-1)r^2-(4-π)r√2+(√2-1)=0
r=[(4-π)√2±√｛2(4-π)^2-4(4-π)(3-2√2)｝]/2(4-π)(√2-1)
f([(4-π)√2±√｛2(4-π)^2-4(4-π)(3-2√2)｝]/2(4-π)(√2-1))=
あとは計算すると出る。 >>271
もう少し具体的に書くと例えば9×9のとき
まず左上と右下に2マスずつ残す(◎○)
◎を結ぶ対角の7マスの各中心を通る傾き1/3の直線7本は□のマスを通っていく
この直線の傾きを1/3+εにすれば■のマスも通る
最後に◎○たちを通るように8本目をひく
◎○■□□□■□□
□□□■□□□■□
■□□□■□□□■
□■□□□■□□□
□□■□□□■□□
□□□■□□□■□
■□□□■□□□■
□■□□□■□□□
□□■□□□■○◎ 前>>431
>>407
f'(r)の分子=0をとくとr=0.38450878073……
f(0.38450878073)=0.79684779091…… >>432
なるほど
コレでn-2が不可能が証明できるといい気分だな プログラム改造してn=7やってみました
n=7の時の最大値は202/43でかなり大きく5を下回ってるのでこれだけで5本が不可能示すのはちょっと難しいですね
極大型直線は36種類あるようです
5行目いじるだけでn≧8でもいけるハズですがそこまでちゃんとデバッグしてないのであまり信用しないで下さい
お好きにしていただいて結構ですが自己責任でどぞ
https://ideone.com/A3N9mI >>435
この202/43というのは
(直線上の合計)≦(全体の合計)/a
が非自明解を持つ最大のaってこと？ >>436
yes
(0,202 % 43)
(1,19 % 172)
(2,19 % 172)
(3,13 % 86)
(4,25 % 172)
(5,9 % 86)
(6,13 % 172)
(7,7 % 172)
(8,11 % 172)
(9,3 % 86)
(10,0 % 1)
から172倍して
１９ １９ ２６ ２５ ２６ １９ １９
１９ １８ １３ ７ １３ １８ １９
２６ １３ １１ １２ １１ １３ ２６
２５ ７ １２ ０ １２ ７ ２５
２６ １３ １１ １２ １１ １３ ２６
１９ １８ １３ ７ １３ １８ １９
１９ １９ ２６ ２５ ２６ １９ １９
が合計が808で任意の直線が通過する正方形の和が172以下になります
なのでこれだけでは4本では覆えないことは直ちに言えますが、5本で無理は言えません
そしてコレが条件を満たす数字の配置の最良です >>437
不思議な分布だな
6×6のとき(>>388)の分布から思ってたのは
連続分布版(>>293)の解答にある半球の面積素を離散化したような値だったんだが ちょいと訂正
１９ １９ ２６ ２５ ２６ １９ １９
１９ １８ １３ ７ １３ １８ １９
２６ １３ １１ ６ １１ １３ ２６
２５ ７ ６ ０ ６ ７ ２５
２６ １３ １１ ６ １１ １３ ２６
１９ １８ １３ ７ １３ １８ １９
１９ １９ ２６ ２５ ２６ １９ １９
n=7の場合はこっちの方針は難しいでしょう
そもそも計算機使うつもりなら素直に全組み合わせ当たってみる方が早い 前>>433訂正。
>>407
f'(r)の分子=0より(4-π)(√2-1)r^2-(4-π)r√2+(√2-1)=0
r=[(4-π)√2+√｛2(4-π)^2-4(4-π)(3-2√2)｝]/2(4-π)(√2-1)
=0.38303264825……
f([(4-π)√2+√｛2(4-π)^2-4(4-π)(3-2√2)｝]/2(4-π)(√2-1))=0.7968460857……
近似値を代入したから誤差が出てるのか。
手計算するとf(r)=0.8を超えるのか。 前>>440
>>407
rの近似値をくりかえし代入したから誤差が出てるんじゃないか。
なるべく式を簡単にしてからrの近似値を代入して計算すると、
f(r)=0.8を超える可能性がある。ここからだ。
f(r)=｛1-(4-π)r^2｝/｛√2-2r(√2-1)｝
f'(r)の分子=0より、
-2r(4-π)｛√2-2r(√2-1)｝-｛1-(4-π)r^2｝(-2)(√2-1)=0
r(4-π)｛√2-2r(√2-1)｝-｛1-(4-π)r^2｝(√2-1)=0
-2(4-π)(√2-1)r^2+(4-π)(√2-1)r^2+(4-π)r√2-(√2-1)=0
(4-π)(√2-1)r^2-(4-π)r√2+(√2-1)=0
r^2=(1+√2)r√2-1/(4-π)
f(r)=｛1-(4-π)(1+√2)r√2+1｝/｛√2-2r(√2-1)｝
=｛2-(4-π)(1+√2)r√2｝/｛√2-2r(√2-1)｝
f(0.38303264825)=｛2-(4-π)(1+√2)(0.38303264825)√2｝/｛√2-2(0.38303264825)(√2-1)｝
=0.79990348596……
≒0.8
∴最大値0.8と妄想する。 数列F[n]をF[1]=F[2]=1, F[n+1]=F[n]+F[n-1]で定義するとき
Σ[n=1,∞]arctan(1/F[2n+1]) = π/4
を示せ >>442
ビネの公式から
F[2n+1]^2 = F[2n]･F[2n+2] - 1,
∴ 1/F[2n+1] = F[2n+1] / F[2n+1]^2
= (F[2n+2] - F[2n]) / (F[2n]･F[2n+2] - 1)
= (1/F[2n] - 1/F[2n+2]) / (1 - 1/{F[2n]･F[2n+2]})
∴ arctan(1/F[2n+1]) = arctan(1/F[2n]) - arctan(1/F[2n+2]), 訂正
ビネの公式から
F[2n+1]^2 = F[2n]･F[2n+2] ＋ 1,
∴ 1/F[2n+1] = F[2n+1] / F[2n+1]^2
= (F[2n+2] - F[2n]) / (F[2n]･F[2n+2] ＋ 1)
= (1/F[2n] - 1/F[2n+2]) / (1 ＋ 1/{F[2n]･F[2n+2]}) sin10°+5sin50°+7sin70°を根に持つ有理数係数の多項式を１つ挙げよ 何かエレガントな作り方があるってこと？
普通に作るだけなら面倒だけどすぐ出来る
aを根に持つ有理係数n次多項式、bを根に持つ有理係数m次多項式が分かってるとき、(a^i)(b^j)(0≦i≦n-1,0≦j≦m-1)を基底とするQ線形空間上に(a+b)を掛けるという線形作用を考えれば、この作用を表現するnm次行列の固有多項式は有理係数nm次多項式で(a+b)を根に持つ
有理数×sin(2π×有理数)を根に持つ多項式は倍角の公式を使ってすぐ分かるので、これに上の事実を繰り返し用いれば良い >>451
wolframこんなんも出来るんか
>>450
ほとんどそんな感じだけど想定してたのは次のような感じ
Q(sin10°)は<1,sin10°,sin^2 10°>をQ上の基底として持っていて、sin50°、-sin70°はsin10°の共役なので
x = sin10°+5sin50°+7sin70°は<1,sin10°,sin^2 10°>の線形和で表現することができます(倍角や根と係数の関係を使えばすぐ出来る)
あとは
x、sin10°*x、sin^2 10° xをそれぞれ<1,sin10°,sin^2 10°>の線形和で書いて行列で表現すれば、xはその行列の固有値になるのであとはその行列の固有多項式を求めればいい
という感じです なので係数の5とか7はテキトーです
なにか意味があるという訳じゃなかった >>452
あー、言われてみればどれもsin(π/6)=1/2から3倍角で出る値だったのか x=sin(10°)として8x^3-6x+1=0, y=2xとしてy^3=3y-1
sin(50°)=cos(40°)=2(1-x^2)^2-1=-2x^2-x+1
sin(70°)=cos(20°)=-2x^2+1
∴ sin(10°)+5sin(50°)+7sin(70°)
=-24x^2-4x+12
=-6y^2-2y+12
(-6y^2-2y+12) 1 = ( 12, -2, -6 )・( 1, y, y^2 )
(-6y^2-2y+12) y = ( 6, -17, -2 )・( 1, y, y^2 )
(-6y^2-2y+12) y^2 = ( 2, 0, -6 )・( 1, y, y^2 )
ココで挫折
CharacteristicPolynomial[{{12,-2,-6},{6,-6,-2}, {2,0,-6}}, x] = x^3 + 84 x + 296
https://www.wolframalpha.com/input/?i=CharacteristicPolynomial%5B%7B%7B12%2C-2%2C-6%7D%2C%7B6%2C-6%2C-2%7D%2C+%7B2%2C0%2C-6%7D%7D%2C+x%5D&;lang=ja >>455
そうそう
まさにこの解法です
最後はx^3 - 84 x - 296かな この問題を教えていただけませんか？
変数tに関する巾級数
∞
Σ(-1/2,n)*t^n
n=0
の収束半径rを求めよ. ただし,一般に0でない実数aと0以上の整数nに対し
(a,n)=1(n = 0 のとき),a*(a−1)*···*(a−n+1)/n!(n > 0 のとき)
とする. 前>>441
>>447
1〜3の中にはない。
円柱の場合、側面は開くと長方形だし、円形の底面がもう一個必要。
三角柱の場合も側面は3つの長方形だし、三角形の底面がもう一個必要。
円錐はなきにしもあらずだけど、本来展開図は円と扇形。三角形だと貼りあわせたとき山羊の角みたいにに反りくりかえると思う。 >>459
円柱を切ったみたいな穴があいた立体になる >>442
蛇足です。
Π[n=2,∞] (F[2n] +1)/(F[2n] -1) = 3, 前>>459
>>460
ちゃんと展開図を貼りあわせたときどんな立体になるかを問われてると思う。 前>>462
>>447
展開図をコピーして2枚貼りあわせていいんだったら、
1が可能。のりしろがないから、
切り取り線にジッパーが必要。 >>419
S(d) = √(dd-1) + dd{π/4 - arccos(1/d)},
S(d)/d → Max.
{S(d)/d} ' = -(1/dd)√(dd-1) -arccos(1/d) + π/4 = 0,
d = 1.09316974498502
S(d) = 0.88322158341066
S(d)/d = 0.80794550659903 >>407
結局これの答えは>>419なのか、それよりも大きく出来るのか
いずれにしても最大であることを示すのは簡単じゃなさそうに思えるが >>465
まぁこの手の問題で実際変分法使って最大である事示すとこまでやるとこはほとんどない
何回か見たけど
ましてや最大が存在するとこまで議論された事はほんの数回 前>>463
>>464
0.8079……数値的にも、
微分=0やり方もあってる。
S(d)のarccosがいやだ。 >>467
曲線が「円弧+直線」になることを示さなければ証明になってない 背理法による。
曲線が「円弧＋直線」でなければ直径が定義されないから不適… α Max{S(d)/(d^α)} d_max
------------------------------------------
0.0 1.0 1.41421 = √2,
0.2 0.937856 1.34219
0.4 0.889134 1.26985
0.6 0.852379 1.20157
0.8 0.825933 1.14176
1.0 0.8079455 1.09317
1.2 0.796531 1.05630
1.4 0.789953 1.03006
1.6 0.786716 1.01281
1.8 0.785561 1.00312
2.0 0.7854 = π/4 ≦ 1.0 (円周)
------------------------------------------ 位相空間X,Yに対して
f:X→Yが連続 ⇔ f*:P(Y)→P(X)が連続
が任意の写像fについて成り立つように
P(X),P(Y)を位相空間にすることは可能か？
ただし*は逆像、Pは冪集合の記号である >>471
iX:X→P(X)をx→{x}で定められる単射としてP(X)の位相をi(X)が連続となる最強の位相、すなわち
U⊂P(X)が開集合⇔iX'(U)が開集合(ただしf'はf^(-1)の略号とする)
で定められる位相とする
コレが求める条件を満たす
∵)
f : X→Yが連続、V⊂P(Y)が開集合とする
iY'(V)はYの開集合だから(iY f)'(Y)=f'iY'(V)は開集合
よって(f* iX)'(V)=iX' f*'(V)は開集合
∴f*'(V)は開集合
f*が連続V⊂Yが開集合とする
iYは開写像でありiY(V)はP(Y)の開集合である
よって(f*iX)'(V)=(iY f)'(V)=f'iY'(V)=f'(V)は開集合 この宇宙から全ての物質が無くなったとする。
この時、摩擦や重力は存在するか？
どのようにすれば、それを生み出して、
その存在を確認できるか？ >>472
それだと
f:X→Yが連続 ⇔ 順像f:P(X)→P(Y)が連続
を示していることになりませんか？
>>473
ここは数学の問題を扱うスレです >>474
見間違えました
以下2={0,1}には{φ,{1},{1,2}}で位相を入れる
C(X)をXから2への連続写像の全体としてUx={ p | p(x)≠0 }の全体で生成される位相を入れる
C(X)→P(X)を自然な埋め込みとしてコレが連続埋め込みとなる最弱の位相をP(X)に入れる
f:X→Yが連続とすると誘導される写像C(f):C(Y)→C(X)は連続である
実際C(f)^(-1)(Ux)=U_f(x)である
よって自然な写像
C(Y)→P(Y)→P(X) = C(Y)→C(Y)→C(X)
は連続だからP(X)の位相のf*による引き戻しによってC(Y)→P(Y)は連続となる
ここでP(Y)はC(Y)→P(Y)が連続となる最強の位相であったからP(X)の位相のf*による引き戻しはP(X)に含まれる
∴P(Y)→P(X)は連続
次にf*:P(Y)→P(X)が連続とする
この時C(f*) : C(P(X))→C(P(Y))は前段の議論より連続である
位相空間Zとz∈Zに対してez∈C(P(Z))= p → p(z)と定めてe:Z→C(P(Z))を決める(ホントはZ事に違う写像だけどうるさくなるので添字略)
ここでYの開集合Vを取るときVの特性関数m:Y→2をとる、すなわちm(y)=1 iff y∈Vである
この時mは連続関数となるからC(P(Y))の開集合
Um={φ | φ(m)≠0}が取れる
したがって写像h:X→Y→C(P(Y))によるUmの引き戻しはXの開集合である
ここで
x∈h^(-1)(Um)
⇔f(x)∈e^(-1)(Um)
⇔e(f(x))∈Um
⇔e(f(x))(m)≠0
⇔m(f(x))≠0
⇔f(x)∈V
⇔x∈f^(-1)(V)
であるからf^(-1)(V)=h^(-1)(Um)であり開集合である >>475
いくつか誤植があるように思います
なので正確に読み取れているか分からないですが
eは一般に連続にはならないですよね？
するとUmのhによる引き戻しが開はどのように示せていることになるんでしょうか い>>476
いえeは連続です
まずP(X)の位相はC(X)→P(X)が連続となる最強の位相で、C(X)の位相の生成元がUxなのでP(X)の位相も同じくUxで生成されています
もちろんC(P(X))の位相もp∈P(X)の元でUpの形の元で生成されています
ここで
e^(-1)(Up)
= e^(-1)( { φ | φ(p)=1 } )
= { x∈X | e(x) ∈ { φ | φ(p)=1 } }
= { x∈X | e(x)(p) = 1 }
= { x∈X | p(x) = 1 }
= p^(-1)( {1} )
はXの開集合です >>477
えーと、p∈P(X)なのでpはただの部分集合なので最後の式から開は一般に言えないように見えます >>478
P(X)はPから{0,1}への関数空間と同一視してます >>479
もちろん、そのつもりだとして
p∈C(X)⊂P(X)ならpは開集合ですけど、p∈P(X)だとただの部分集合ですよね いえC(X)⊂P(X)とみなしています
P(X)はX→{0,1}の写像の全体、C(X)はX→{0,1}の連続写像の全体 C(X)⊂P(X)なのも了解してます
だけどもC(P(X))の位相の生成元Upとしてとるpはp∈P(X)であって、常にp∈C(X)とは言えないですよね >>482
あ、うっかりした
そこ見落としてました ルベーグ測度0を持つ可測集合 S⊂R であって、次の条件を満たすものは存在するか
【条件】
任意の可算集合 T⊂R に対してある実数 r が存在し、r+T⊂S が成り立つ
(ただし r+T = { r+t | t∈T } とする) Tとして等差列{an|n∈Z}とって公差aを動かせばSが幅を持つから不可能 ほんと？
じゃあ例えば任意の二元集合 T について条件を満たすような S も作れないってこと？ コインを10個並べて4段の正三角形が作ってあって、コインを3個動かして逆向きの三角形にせよという有名なパズルがある(調べれば出てくると思う)
このパズルをn段に拡張してみる
1段なら当然0個、2段なら1個、3段なら2個、5段なら5個動かす必要がある
ではn段のときは最低何個動かす必要があるか？ 前>>463
>>487
nが6以上の3の倍数のとき、
数列a(n)=a(n-3)+n-1
a(n+1)=a(n)+n/3
a(n-1)=a(n)-n/3 数学の問題において、
面白い問題とはどのような物か？
君の主張とその根拠を述べよ。 (Aランク大学 2021年度 末期) >>488
正解
…なんだけど一般項を求めてほしかったかな
その式だといきなり100段とかは出せない 一般項の表し方はいくつかあるみたいね
0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 15, 18, ...
https://oeis.org/A001840 >>487
ホテルでバイトしてたときに、このパズルが実際に出てきたことがあるｗ
丸テーブルの中央にコップを(平面の)正三角状に3段並べるのだが、
テーブルの数自体が多いので、みんなで手分けして並べていく。
三角形は決まった方角になるように事前に決められていたのだが、
一人のバイトが180度間違えてセッティングしてしまって、
やり直しの数がかなり多かった。
その人はリーダーから叱られたあとに急いで並べ直すのだが、
全部バラしてから並べ直してたので時間かかってたｗ
例のパズルを知ってれば一瞬で180回転できるのにな・・・
と思いながら自分は生暖かい目で見てた。
まあ、例の方法だと三角形全体の位置も微修正しなければ
ならないのだが、しかし全部バラすよりは絶対に早い。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
