探検
IUTを読むための用語集資料スレ2
0161１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 16:41:01.32ID:9nXmqzo6https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96
類体論
有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的整数論の一大分野である。理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。
与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群（即ち、体の乗法群によるイデールの商）によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。
標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論（英語版）で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。
つづく
0162１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 16:41:26.13ID:9nXmqzo6つづき
現代的な定式化
現代的な言葉で言えば、基礎体 K の最大アーベル拡大 A は存在して、その拡大次数は K 上無限大となり得るから、その時 A に対応するガロワ群 G は副有限群となり、従ってコンパクト位相群かつまたアーベル群になる。類体論の中心定な目的は、この群 G を基礎体 K の言葉で記述することである。特に、K の有限次アーベル拡大と K に対する適当な（有限な剰余体を持つ局所体の場合の乗法群や大域体の場合のイデール類群のような）対象におけるノルム群との間の一対一対応を確立し、それらのノルム群を（例えば、指数有限な開部分群といったように）直截的に記述することである。そのような部分群に対応する有限次アーベル拡大を類体と呼び、これが理論の名称の由来となっている。
類体論の基本的な結果は「最大アーベル拡大のガロワ群 G は、基礎体 K のイデール類群 CK の（基礎体 K の特定の構造に関係して CK に入る自然な位相に関する）副有限完備化に自然同型である」ことを主張する。同じことだが、K の任意の有限次ガロワ拡大 L に対し、この拡大のガロワ群の最大アーベル商（アーベル化）と、K のイデール類群を L のイデール類群のノルム写像による像で割ったものとの間に、同型
Gal(L / K)ab → CK / NL/K CL
が存在する[1]。
つづく
0163１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 16:41:44.65ID:9nXmqzo6つづき
幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。1 の全ての冪根からなる群を
{\displaystyle \mu _{\infty }(\subset \mathbb {C} ^{\times })}\mu _{\infty }(\subset {\mathbb {C}}^{\times })
と書くことにする（円周群 C× のねじれ部分群）と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば
{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})
によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば
{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{-x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{{-x}})
によって与えられる。しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。
つづく
0164１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 16:42:05.81ID:9nXmqzo6つづき
相互律準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロワ群への局所相互律同型を構成し（ここまでは局所類体論の範疇でできる）、それからそれらすべての局所相互律写像の積を大域体のイデール群上で定義するとき、その積が大域体の乗法群の像の上で自明となることを示すことで行われる。最後のところのこの性質を大域相互律 (global reciprocity law) と言い、これはガウスの二次の相互律の広汎な一般化になっている。
相互律準同型を構成するのに類構造（英語版）を用いる方法もある。
コホモロジー群（特にブラウアー群）を用いる方法や、コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。
つづく
0165１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 16:42:29.08ID:9nXmqzo6つづき
素イデアル
G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。
類体論の一般化
数論における一つの自然な展開は、大域体の（アーベルとは限らない）一般のガロワ拡大に対する情報を与える非可換類体論の構成と理解を行うことである。ラングランズ対応が非可換類体論と見做されることが多く、そして実際にラングランズ対応が確立されたときには大域体の非可換ガロワ拡大に関する非常に豊かな理論を含むことになるのだが、しかしラングランズ対応はアーベル拡大の場合の類体論が持っていた有限次ガロワ拡大についての数論的情報のほとんどを含んでいないのである。しかもラングランズ対応は類体論の存在定理に対応するものも含んでいない、即ち、ラングランズ対応における類体の概念は存在しないのである。局所および大域の非可換類体論はいくつか存在し、それらはラングランズ対応の観点に対する別の選択肢を与えてくれる。
つづく
0166１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 16:42:44.58ID:9nXmqzo6つづき
もうひとつ、数論幾何における自然な展開は、高次局所体および高次大域体のアーベル拡大を構成及び理解することである。後者の高次大域体は、整数環上の有限型スキームの函数体およびその適当な局所化や完備化として生じる。「高次局所および大域類体論」は代数的 K-理論や、一次元類体論で用いられる K1 の代わりに適当なミルナー K-群を用いる。高次局所および大域類体論は、A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司らの数学者が展開した。代数的 K-理論を用いずに高次大域類体論を展開しようとする試みもある (G. Wiesend) が、このやり方は高次局所類体論を含むものではなく、また局所理論と大域理論との間に互換性がない。
歴史
詳細は「類体論の歴史（英語版）」を参照
類体論の起源はガウスによって与えられた平方剰余の相互律にある。それが一般化されるまでには長きに亙る歴史的な取り組み、たとえば二次形式とその「種の理論」、クンマー・クロネッカー・ヘンゼルなどのイデアルおよび完備化に関する業績、円分体およびクンマー拡大の理論などがあった。
最初の二つの類体論は、非常にはっきりした円分類体論と虚数乗法類体論である。これらは付加的な構造（有理数体の場合には 1 の冪根、有理数体の虚二次拡大体の場合には楕円曲線が虚数乗法を持つことと位数有限であること）が利用できる。随分後になって、志村の理論は代数的数体のクラスに対する非常に明示的な新たな類体論を与えた。これらは基礎体の具体的な構造を非常に陽に用いる理論であって、勝手な数体に対してもうまくいくように拡張することはできない。正標数 p の体に関しては、河田と佐武がヴィット双対性を用いて相互律準同型の p-成分の非常に平易な記述を得ている。
つづく
0167１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 16:43:05.25ID:9nXmqzo6つづき
しかし、一般類体論はこういったものとは異なる概念を用い、その構成法が任意の大域体に対してうまく機能するようにしなければならない。
ヒルベルトの有名な問題が更なる発展の刺激となって、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセほか多数による種々の相互律が導かれることとなった。著しく重要な高木の存在定理が1920年に知られ、全ての主要な結果は1930年ごろまでには出そろっていた。証明されるべき古典的な予想の最後の一つは単項化定理（英語版）であった。類体論の最初の証明には、頑強な解析学的手法が用いられた。1930年代以降は、無限次元拡大とそのガロワ群に関するヴォルフガンク・クルルの理論が有効であることが次第に認められていく。この理論はポントリャーギン双対性と結びついて、中心的な結果であるアルティンの相互律のより抽象的な定式化が分かり易くなった。重要な段階は、1930年代にクロード・シュヴァレーによってイデールが導入されたことである。イデールをイデアル類の代わりに用いることで、大域体のアーベル拡大を記述する構造は本質的に明確化および単純化され、中心的な結果のほとんどが1940年までに証明された。
つづく
0168１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 16:43:25.67ID:9nXmqzo6つづき
この結果の後には、群コホモロジーの言葉を使った定式化がなされ、それが何世代かの数論学者が類体論を学ぶ際の標準となったが、コホモロジーを用いる方法の難点の一つは、それがあまり具体的でないことである。ベルナルド・ドワーク、ジョン・テイト、ミッシェル・ハゼウィンケルによる局所理論への貢献、およびユルゲン・ノイキルヒによる局所および大域理論の再解釈の結果として、あるいは多くの数学者による明示的な相互公式に関する業績と関連して、1990年代にはコホモロジーを用いない非常に明確な類体論の表現が確立された。このあたりの詳細は、例えばノイキルヒの本を参照せよ。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
類体論の高木の存在定理 (Takagi existence theorem) とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。
この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。
(引用終り)
以上
0169１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 17:06:10.64ID:9nXmqzo6>http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
>類体論 田口 雄一郎
(引用開始)
P2
類体論の応用として
Kronecker の青春の夢. 虚二次体の任意の有限次アーベル拡大はCM
楕円曲線のj 不変量の値と等分点の座標を添加して得られる。
が解決した(これはKronecker-Weber の定理の虚二次体への拡張である)。
(引用終り)
”CM 楕円曲線”は、虚数乗法（CM）を持つ楕円曲線のことですね
文中に説明がないので、補足です
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_multiplication
In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers;[1] and also the theory in higher dimensions of abelian varieties A having enough endomorphisms in a certain precise sense (it roughly means that the action on the tangent space at the identity element of A is a direct sum of one-dimensional modules). Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice.
つづく
0170１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 17:06:42.85ID:9nXmqzo6つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E4%B9%97%E6%B3%95
虚数乗法(complex multiplication)とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版）(period lattice)がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。
特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。
虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルトは、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/CM-%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%97%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
CM-タイプのアーベル多様体
体 K 上定義されたアーベル多様体 A がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End(A) の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 d > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。
つづく
0171１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 17:07:14.75ID:9nXmqzo6つづき
フォーマルな定義は、有理数体 Q と End(A) のテンソル積
{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}
は Z 上、次元 2d の可換部分環を含んでいることである。d = 1 のとき、このことは二次体以外にはありえなく、End(A) は虚二次体の整環（英語版）(order)である。d > 1 に対しては、総実体の虚二次拡大であるCM体の場合が比較すべきに対象である。A が単純アーベル多様体ではないかもしれない（例えば、楕円曲線のカルテシアン積）ことを反映する他の他の場合もある。CM-タイプのアーベル多様体の別の名称は、十分に多くの虚数乗法を持つアーベル多様体である。
K が複素数体であれば、任意のCM-タイプの A は、実は、数体である定義体（英語版）(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、対合（ロサチの対合（英語版）(Rosati involution)）をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、Cd の中の格子 Λ から始め、アーベル多様体のリーマンの関係式を考えに入れる必要がある。
CM-タイプ(CM-type)は、単位元における A の正則接空間上の、EndQ(A) の（極大）可換部分環 L の作用を記述したものである。単純な種類のスペクトル理論が適応され、L が固有ベクトルの基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、L は A の正則ベクトル場の上の対角行列を通した作用を持っている。L 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは L の複素埋め込み(complex embedding)のリストである。複素共役をペアとして、2d 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。
志村五郎と谷山豊の基本的結果は、CM-タイプとヘッケのL-函数のことばで、A のハッセ・ヴェイユのL-函数を計算することができ、これから導出された無限部分を持つ。これらが、楕円曲線の場合のマックス・ドイリング（英語版）(Max Deuring)の結果を一般化する。
(引用終り)
以上
0172１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 17:23:08.14ID:9nXmqzo6下記 「類体論をこえて」 が分かり易かった
「数学セミナー」1967年8月号 の記事だそうです
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5345.html
ドクトル・クーガーの数学講座1 久賀 道郎 1992.08
第2部 類体論をこえて
有限体の話
佐藤予想のこと
類体論をこえて
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%85%E8%B3%80%E9%81%93%E9%83%8E
久賀 道郎（くが みちお、1928年 - 1990年2月13日）は、日本出身の数学者である。
1960年に東京大学で博士号を取得した[1]。
彼の研究は、ピエール・ルネ・ドリーニュによるヴェイユ予想の証明(Deligne 1974)から部分的に続くラマヌジャン予想の証明につながった。
1966年、彼は久賀ファイバー多様体（英語版）を導入した[2]。
彼の著書『ガロアの夢―群論と微分方程式』は、ガロア理論の観点から被覆空間やフックス型微分方程式などのトピックを考察した、学部学生のための群論と微分方程式に関する一連の講義である。
(引用終り)
以上
0173１３２人目の素数さん
2021/10/01(金) 17:26:03.83ID:9nXmqzo6純粋・応用数学（含むガロア理論）9
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623019011/166
>ここの類体論の解説が、志村五郎氏の「虚数乗法入門」 数学のあゆみ 7巻2号
>（下記で3巻が1955年だから、7巻だと1959年だろう）
これの画像があった（下記）
”志村五郎 述（久賀道郎・清水達雄 記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号”1957 が正しそうかな
あるいは、7巻2号に続編があるのか？ 下記の野口潤次郎先生のところには、7巻2号は欠号です。残念
（参考）
https://twitpic.com/d6vdoi
画像
志村五郎 述（久賀道郎・清水達雄 記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号，新数学人集団（SSS）編集・数学の歩み刊行会，1957，pp.65-73.
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/
野口潤次郎の電網掲示板
(C1) 数学の歩み
この資料は、その昔志賀浩二先生が東工大を退官されるときに、貴重な資料なので 捨てるに忍びない、ということで頂いておいたものです。欠号が多く不完全な ものですが、興味深いものがあります。
初めに 「目次（表紙集）」を参照することをおすすめします。
連合機関誌・全国数学連絡会機関誌・数学の歩み。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/SugakuAyumi/
数学の歩み
初めに ``目次（表紙集）'' を見ることをお薦めします。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/SugakuAyumi/00mokuji.pdf
目次（表紙集）
(引用終り)
以上
0174１３２人目の素数さん
2021/10/02(土) 16:46:35.10ID:tWmCJmdX○資料剽窃
>>1
はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！いつ自首するの？
0175１３２人目の素数さん
2021/10/02(土) 17:34:07.69ID:X8Zxjdm/なんだい、おサルか
学術文献で市販テキストには、価格があって、著作権もある
無料公開学術文献にも、もちろん著作権はあるが
出典を明示している以上、剽窃ではありません（下記）
https://news.yahoo.co.jp/byline/usuimafumi/20140322-00033799
コピペ・代行で済まそうとしている学生さんへ：引用・転載・剽窃とは・その違いとは：著作権法と私文書偽造
碓井真史新潟青陵大学大学院 臨床心理学研究科 教授（社会心理学）
2014/3/22(土) 15:31
■ 研究論文、研究レポートにおける引用とは
研究論文（研究レポート）において「引用」と呼ばれるものの多くは、研究内容の紹介でしょう。たとえば、「碓井（2022）はオレンジジュースがアンチエイジングに効果があることを示した」といった具合に碓井の研究内容を書いて、最後に「引用文献」として出典を書きますね。
どんどん引用してください。私達は、学問の先輩である巨人の肩に立って研究を進めます。大先生の研究も、最近の新しい研究もたくさん読み、引用してください。引用される方も、名誉なことであり、多く引用されることは評価につながりますので、大歓迎です。
これに対して、世間でよく言われる引用は、相手の言葉や文章をそのまま再掲載することです。たとえば、「碓井は2034年の国連総会において『餃子こそが人類を救う唯一の希望である』と述べている」といった具合です。研究論文でも、誰かの言葉、文章を、そのまま引用することもあるでしょう。
0176１３２人目の素数さん
2021/10/02(土) 23:08:18.29ID:tWmCJmdXまーた儂をポニョ石と勘違いしたなセンス無いな。頭も悪い、のに講釈垂れる、センス無い、ひ弱か。厚顔無恥じゃのう｡
0177１３２人目の素数さん
2021/10/03(日) 06:48:20.41ID:gtH9cx8i＞まーた儂をポニョ石と勘違いしたな
うん？ 蕎麦屋のおっさんかい？ｗ
0178１３２人目の素数さん
2021/10/06(水) 11:49:16.61ID:6qp+V25Obooks.j-cast
「ABC予想」が数学の学会誌に掲載されない理由
2020/3/18 （ 森永流）
解決への道筋を示す
素数の積をめぐっては、こんなことが言えるかもしれない。つまり、自然数の定義だ。1に1を足していって作られたものだとする「ペアノの公理」がよく知られる。足し算による定義だ。一方、かけ算でも定義できる。自然数はすべて素数の積に分解できるので、それをすべて作って小さい順に並べる方法だ（ただし1は素数の0乗）。数をそんなふうに見ると、足し算とかけ算は独立していて分離できるかもしれないと思えてくる。
加藤さんの説明を掻い摘んでIUT理論を紹介するとこうだ。
・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている――というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く
数学には曖昧さもある
ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。
評者のような文系出身者に「deg 」は無縁だったが、次数（デグ）を表す記号だ。ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。
つづく
0179１３２人目の素数さん
2021/10/06(水) 11:49:39.98ID:6qp+V25Oつづき
いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。
数式の流れで表すと、こうなる。
Ｎ Log ｑ＜Log ｑ＋c（Ｎ Log ｑ≒Log ｑだから、正の数値を加えると「＜」になる）
→deg Θ≦deg q＋c
→deg qは小さい、つまりc ? d＾（1＋ε）のεは小さい
となって証明は完成する、という。
2020年4月3日追記 数学の超難問といわれる「ABC予想」を京都大学数理解析研究所の望月新一教授（51）が証明したとされる論文が、ついに国際的な数学誌に掲載されることになった。京都大が2020年4月3日に発表した。
(引用終り)
以上
0180１３２人目の素数さん
2021/10/06(水) 11:59:08.55ID:6qp+V25O（引用開始）
・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている――というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く
(引用終り)
なるほど
（引用開始）
ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。
ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。
いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。
数式の流れで表すと、こうなる。
Ｎ Log ｑ＜Log ｑ＋c（Ｎ Log ｑ≒Log ｑだから、正の数値を加えると「＜」になる）
→deg Θ≦deg q＋c
→deg qは小さい、つまりc ? d＾（1＋ε）のεは小さい
となって証明は完成する、という。
(引用終り)
へー
0181１３２人目の素数さん
2021/10/06(水) 12:07:25.52ID:6qp+V25Ohttps://jbpress.ismedia.jp/articles/-/56574
JBpress (ジェイビープレス)
超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動
HONZ特選本『宇宙と宇宙をつなぐ数学』
2019.6.4（火）
歴史上の天才たちをはるかに凌駕
評者自身が数学の素人なので断言はできないが、望月教授はこれまで歴史上に登場した数々の天才たちをはるかに凌駕している。
「足し算と掛け算を分離する」
「宇宙際タイヒミュラー理論」については、当然、評者に説明できるようなレベルのものではないのだが、非常に簡潔に言うと、「足し算と掛け算を分離する」ということらしい。もう少し長く説明すると、自然数の足し算と掛け算からなる「環」と呼ばれる複雑な構造をした数学的対象に対して、その「二つの自由度＝次元」を引き離して解体し、解体する前の足し算と掛け算の複雑な絡まり合い方の主立った性質を直感的に捉えやすくなるように組み立て直す数学的装置のようなものだそうだ。
これだけではやはり何のことか分からないと思うので、足し算と掛け算の関係性について少しだけ説明すると、「1を次々に足していく」ことでできる1、2、3・・・という「足し算的な」自然数の捉え方だけでは、自然数の「掛け算的側面」がゴッソリ抜け落ちてしまっているため、例えば、素数というものの性質を把握したり、素数が現れるパターンを記述したりすることはできないらしい。
素数については、それが約数や倍数という概念を用いて定義されることからも分かるように、すぐれて掛け算的な概念であるために、素数がどのようなタイミングで現れるのかといった問題は、足し算と掛け算の強い結びつきを一回断ち切って、その上で今ある数学の世界と再接続しなければ解決できないというのだ。
0182１３２人目の素数さん
2021/10/12(火) 21:05:31.64ID:kAX38bALhttps://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/nov.html
News - Ivan Fesenko
Higher adelic theory, talk at Como school on Unifying Themes in Geometry, September 2021
https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/hat.pdf
Higher adelic theory
Ivan Fesenko
Como School, September 27 2021
1 CFT and its generalisations
2 Back to the root: CFT
3 Back to the root: CFT
4 CFT mechanism
5 CFT mechanism
6 Anabelian geometry
7 ‘Pre-Takagi’ LC
8 2D objects of HAT
9 HCFT
10 Zeta functions
11 Classical 1D theory of Iwasawa and Tate
12 HAT and elliptic curves
13 Measure and integration on 2D local fields
14 Two adelic structures in dimension 2
15 The triangle diagrammes
16 Higher zeta integral
17 HAT and meromorphic continuation and FE of the zeta function
18 HAT and GRH
19 HAT and the Tate?BSD conjecture
P29
Anabelian geometry and IUT
P33
Powerful restoration results in absolute mono-anabelian geometry were established by Mochizuki
and applied in the IUT theory.
0183１３２人目の素数さん
2021/10/12(火) 23:04:19.12ID:kAX38bALhttps://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html
星 裕一郎 講演
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20150309.pdf
数体の単遠アーベル的復元 (講演スライド),
宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展,
京都大学数理解析研究所,
2015.3.9-2015.3.20.
Mono-anabelian Reconstruction of
Number Fields
Yuichiro Hoshi
RIMS
2015/03/09
Contents
§1 Main Result
§2 Two Keywords Related to IUT
§3 Review of the Local Theory
§4 Reconstruction of Global Cyclotomes
0184１３２人目の素数さん
2021/11/13(土) 23:13:31.45ID:OtqEOAj/http://www.math.titech.ac.jp/~jimu/Syllabus/H25(2013)/Graduate/Special_Lectures_on_Mathematics_B_I.html
講義名 数学特別講義Ｂ第一（Special Lectures on Mathematics B I）
開講学期 前学期 単位数 2--0--0
担当 星 裕一郎 非常勤講師（京都大学数理解析研究所 講師）
【講義の目的】
遠アーベル幾何学とは，「遠アーベル多様体というある特別なクラスに属する代数多様体は，
その数論的基本群の純群論的な性質によってその数論幾何学的性質が完全に決定されるであろう」
という予測に基づいて，1980 年代に Grothendieck という数学者によって提唱された数論幾何学の一分野です．
この講義では，その遠アーベル幾何学への入門を目的として，p 進局所体（= p 進数体の有限次拡大体）に対する
ある Grothendieck 予想型の結果（p 進局所体がその絶対 Galois 群と ある付加情報から復元できるという結果）の
解説を行います．
【講義計画】
1. 遠アーベル幾何学とは
2. p 進局所体とその絶対 Galois 群
3. 局所類体論・Hodge-Tate 表現
4. 復元 (1)
5. 復元 (2)
つづく
0185１３２人目の素数さん
2021/11/13(土) 23:13:59.64ID:OtqEOAj/つづき
【教科書・参考書等】
遠アーベル幾何学の入門的な解説として，
・中村博昭, 玉川安騎男, 望月新一, 代数曲線の基本群に関する Grothendieck 予想, 数学, 50 (1998), 113-129.
を挙げます．局所体，局所類体論，Hodge-Tate 表現についての参考書として，
・J.-P. Serre, Local fields, Translated from the French by Marvin Jay Greenberg. Graduate Texts in Mathematics,
67. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1979.
・J.-P. Serre, Local class field theory, 1967 Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965)
pp. 128-161 Thompson, Washington, D.C.
・J.-P. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves, McGill University lecture notes written with
the collaboration of Willem Kuyk and John Labute W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1968.
をそれぞれ挙げます．また，この講義でその説明を目標としている定理は，
・望月新一, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local fields, Internat. J. Math. 8 (1997), no. 4, 499-506.
・望月新一, Topics in absolute anabelian geometry I: generalities, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 19 (2012), no. 2, 139-242.
・星裕一郎, A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields,
to appear in Kodai Math. J.
にあります．
0186１３２人目の素数さん
2021/11/26(金) 18:02:35.84ID:3Zp5TRQmこれ、結構いいね
https://ivanfesenko.org/?page_id=126
IVAN FESENKO
Research ? Ivan Fesenko
L Anabelian geometry and IUT theory of Shinichi Mochizuki, and applications
Introducing anabelian geometry, a general talk
https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/11/ang.pdf
Introducing anabelian geometry
Ivan Fesenko
0187１３２人目の素数さん
2021/12/05(日) 18:19:17.01ID:e0gyQODWhttps://people.math.rochester.edu/faculty/lubkin/
Saul Lubkin
Professor of Mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Louis_Verdier
Jean-Louis Verdier (French: [v??dje]; 2 February 1935 ? 25 August 1989) was a French mathematician who worked, under the guidance of his doctoral advisor Alexander Grothendieck, on derived categories and Verdier duality. He was a close collaborator of Grothendieck, notably contributing to SGA 4 his theory of hypercovers and anticipating the later development of etale homotopy by Michael Artin and Barry Mazur, following a suggestion he attributed to Pierre Cartier. Saul Lubkin's related theory of rigid hypercovers was later taken up by Eric Friedlander in his definition of the etale topological type.
0188１３２人目の素数さん
2021/12/10(金) 10:08:46.26ID:ZfXXklGr数論幾何学と代数幾何学の違いってなんですか？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1632397006/104
104 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/10/23(土) 15:02:26.36 ID:bV1+EpOI
いつの間にやら、p進ホッジ理論の日本語版wikipediaが出来ていた
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E7%90%86%E8%AB%96
いまや数論幾何に必要不可欠な概念だしありがたいな
(引用終り)
ついで
https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E7%90%86%E8%AB%96
p進ホッジ理論
https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_Hodge_theory
p-adic Hodge theory
0189１３２人目の素数さん
2021/12/21(火) 14:47:01.98ID:H4QZamD3https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1635332056/44
44 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/12/21(火) 10:31:51.78 ID:ATxzruO4
Fesenkoの動画見たけど、IUTについても話してる
https://m.youtube.com/watch?v=thNMwD4E6sA
RIMSのIUTサミットでの講演内容とほぼ一緒
0190１３２人目の素数さん
2022/01/02(日) 09:38:15.90ID:DhlSCn4Iこれは、結構重要な文献だね
ここに、IUTの構想が示されている
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月 過去と現在の
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Kako%20to%20genzai%20no%20kenkyu.pdf
・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）
初期の歩み
学位を取得した 1992 年夏から 2000 年夏までの私の研究の主なテーマは次の三つ
に分類することができます：
(a) p 進 Teichm¨uller 理論：(1993 年〜1996 年)
この理論は、複素数体上の双曲的リーマン面に対する Koebe の上半平面に
よる一意化や、そのモジュライに対する Bers の一意化の p 進的な類似と見る
こともでき、また Serre-Tate の通常アーベル多様体に対する標準座標の理論の
双曲曲線版と見ることもできる。詳しくは、
A Theory of Ordinary p-adic Curves
や
An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory
をご参照下さい。
(b) p 進遠アーベル幾何：(1995 年〜1996 年)
この理論の代表的な定理は、「劣 p 進体」（＝ p 進局所体上有限生成な体の部
分体）上の相対的な設定において、双曲的曲線への任意の多様体からの非定数
的な射と、それぞれの数論的基本群の間の開外準同型の間に自然な全単射が存
在するというものである。詳しくは、
The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves
をご参照下さい。
(c) 楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論：(1998 年〜2000 年)
この理論の目標は、複素数体や p 進体上で知られている Hodge 理論の類似
を、数体上の楕円曲線に対して Arakelov 理論的な設定で実現することにある。
代表的な定理は、数体上の楕円曲線の普遍拡大上のある種の関数空間と、楕円
曲線の等分点上の関数からなる空間の間の、数体のすべての素点において計量
と（ある誤差を除いて）両立的な全単射を主張するものである。この理論は、
古典的なガウス積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、
A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I, II
をご参照下さい。
つづく
0191１３２人目の素数さん
2022/01/02(日) 09:38:56.87ID:DhlSCn4Iつづき
新たな枠組への道
Hodge-Arakelov 理論では、数論的な Kodaira-Spencer 射が構成されるなど、
ABC 予想との関連性を仄めかすような魅力的な側面があるが、そのまま「ABC 予
想の証明」に応用するには、根本的な障害があり不十分である。このような障害を克
服するためには、
通常の数論幾何のスキーム論的な枠組を超越した枠組
が必要であろうとの直感の下、2000 年夏から 2006 年夏に掛けて、そのような枠組を
構築するためには何が必要か模索し始め、またその枠組の土台となる様々な数学的イ
ンフラの整備に着手した。このような研究活動を支えた基本理念は、次のようなも
のである：
注目すべき対象は、特定の数論幾何的設定に登場する個々のスキーム等ではな
く、それらのスキームを統制する抽象的な組合せ論的パターンないしはそのパ
ターンを記述した組合せ論的アルゴリズムである。
このような考え方を基にした幾何のことを、「宇宙際（Inter-universal=IU）幾
何」と呼ぶことにした。念頭においていた現象の最も基本的な例として次の三つが
挙げられる：
・ログ・スキームの幾何におけるモノイド
・遠アーベル幾何における数論的基本群＝ガロア圏
・退化な安定曲線の双対グラフ等、抽象的なグラフの構造
この三つの例に出てくる「モノイド」、「ガロア圏」、「グラフ」は、いずれも、「圏」
という概念の特別な場合に当たるものと見ることができる。（例えば、グラフの場合、
グラフ上のパスを考えることによって圏ができる。）従って、IU 幾何の（すべてでは
ないが）重要な側面の一つは、
「圏の幾何」
で表されるということになる。特に、遠アーベル幾何の場合、この「圏の幾何」に対
応するのは、
絶対遠アーベル幾何
（＝基礎体の絶対ガロア群を、元々与えられたものとして見做さない設定での遠アー
ベル幾何）である。
つづく
0192１３２人目の素数さん
2022/01/02(日) 09:41:25.89ID:DhlSCn4Iつづき
この 6 年間（＝ 2000 年夏〜2006 年夏）の、
「圏の幾何」や絶対遠アーベル幾何
を主テーマとした研究の代表的な例として、次のようなものが挙げられる：
・The geometry of anabelioids （2001 年）
スリム（＝任意の開部分群の中心が自明）な副有限群を幾何的な対象として扱い、
その有限次エタール被覆の圏の性質を調べる。特に、p 進体上の双曲曲線の数論的基
本群として生じる副有限群の場合、この圏は、上半平面の幾何を連想させるような
絶対的かつ標準的な「有界性」等、様々な興味深い性質を満たす。
・The absolute anabelian geometry of canonical curves （2001 年）
p 進 Teichm¨uller 理論に登場する標準曲線に対して、p 進体上のものとして初とな
る絶対遠アーベル幾何型の定理を示す。
・Categorical representation of locally noetherian log schemes （2002 年）
スキームやログ・スキームが、その上の有限型の（ログ）スキームの圏から自然
に復元されるという、1960 年代に発見されてもおかしくない基本的な結果を示す。
・Semi-graphs of anabelioids （2004 年）
古典的な「graph of groups」の延長線上にある「semi-graph of anabelioids」に対
して、様々なスキーム論的な「パターン」が忠実に反映されることや、それに関連し
た「遠アーベル幾何風」の結果を証明する。
・A combinatorial version of the Grothendieck conjecture （2004 年）
退化な安定曲線に付随する「semi-graph of anabelioids」を、スキーム論が明示的
に登場しない、抽象的な組合せ論的枠組で取り上げ、様々な「遠アーベル幾何風」の
「復元定理」を示す。
・Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces （2004 年）
双曲的リーマン面の幾何を二通りのアプローチで圏論的に記述する。そのうちの
一つは、上半平面による一意化を出発点としたもので、もう一つは、リーマン面上の
「長方形」（＝等角構造に対応）や「平行四辺形」（＝疑等角構造に対応）によるものである。
つづく
0193１３２人目の素数さん
2022/01/02(日) 09:44:47.36ID:DhlSCn4Iつづき
・Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves （2005年）
固有な双曲曲線の数論的基本群から、その開部分スキームの数論的基本群を復元
する理論を展開する。この理論を、有限体や p 進体上の絶対遠アーベル幾何に応用
することによって、様々な未解決予想を解く。
・The geometry of Frobenioids I, II （2005 年）
ガロア圏のような「´etale 系」圏構造と、（ログ・スキームの理論に出てくる）モ
ノイドのような「Frobenius 系」圏論的構造が、どのように作用しあい、またどのように類別できるかを研究する。
数体に対する Teichm¨uller 理論
2006 年の後半から、目指すべき理論の形がようやく固まってきて、その理論を記
述するための執筆活動が本格的に始まった。この理論の「形」とは、一言で言うと、
巾零通常固有束付きの正標数の双曲曲線に対して展開する p 進 Teichm¨uller 理
論と、「パターン的に」類似的な理論を、一点抜き楕円曲線付きの数体に対し
て展開する
という内容のものである。因みに、ここに出てくる（数体上の）「一点抜き楕円曲線」
の中に、その楕円曲線の上に展開される Hodge-Arakelov 理論が含まれている。こ
の理論のことを、「IU Teichm¨uller 理論」（＝「IU Teich」）と呼ぶことにした。
IUTeich の方は、本質的にスキーム論の枠組の外（＝「IU 的な枠組」）で定式化される
理論であるにも関わらず、調べれば調べるほど p 進 Teichm¨uller 理論（＝「pTeich」）
との構造的、「パターン的」類似性が、意外と細かいところまで及ぶものであること
に幾度となく感動を覚えたものである。
2006 年〜2008 年春の「IUTeich の準備」関連の論文は次の四篇である：
つづく
0194１３２人目の素数さん
2022/01/02(日) 09:46:23.12ID:DhlSCn4Iつづき
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
（2006 年）
p 進局所体上の退化する楕円曲線（＝ Tate curve）のある被覆の上に存在するテー
タ関数に付随する Kummer 類をエタール・テータ関数と呼ぶ。このエタール・テー
タ関数や、テータ自明化に付随する Kummer 理論的な対象は、様々な興味深い絶対
遠アーベル的な性質や剛性性質を満たしている。これらの性質の一部は Frobenioid
の理論との関連で初めて意義を持つものになる。また、このエタール・テータ関数
は、IUTeich では、pTeich における標準的 Frobenius 持ち上げに対応する対象を定
める予定である。この Frobenius 持ち上げの類似物を微分することによって ABC 予
想の不等式が従うと期待している。このようにして不等式を出す議論は、
「正標数の完全体の Witt 環上の固有で滑らかな種数 g 曲線の上に Frobenius 持
ち上げが定義されていると仮定すると、その持ち上げを微分して微分層の次数
を計算することにより、不等式
g ? 1
が従う」
という古典的な議論の IU 版とも言える。
・Topics in absolute anabelian geometry I: generalities （2008 年）
このシリーズ（＝ I,II,III）の主テーマは、絶対遠アーベル幾何を、「Grothendieck
予想型の充満忠実性」を目標とした視点ではなく、「群論的なアルゴリズム＝ソフト」
の開発に軸足を置いた視点で研究するというものである。この第一論文では、様々な
準備的な考察を行う。代表的な定理では、玉川安騎男氏に伝え聞いた未出版の結果か
ら、（半）絶対 p 進遠アーベル幾何では初となる Grothendieck 予想型の「Hom 版」
を導く。因みに、この定理は IUTeich とは直接関係のない結果である。
・Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups
（2008 年）
IUTeich のための準備的な考察とともに、IUTeich とは論理的に直接関係のない
配置空間の絶対遠アーベル幾何や、点の分解群から基礎体の加法構造を絶対 p 進遠
アーベル幾何的な設定で復元する理論を展開する。ただ、後者の p 進的な理論では、
上述の「Frobenius 持ち上げの微分から不等式を出す」議論を用いており、哲学的
には IUTeich と関係する側面がある
つづく
0195１３２人目の素数さん
2022/01/02(日) 09:46:54.86ID:DhlSCn4Iつづき
・Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms （2008 年）
「Grothendieck 予想型の充満忠実性」を目標とする「双遠アーベル幾何」（＝ bianabelian geometry）と一線を画した「単遠アーベル幾何」（＝ mono-anabelian geometry）を数体上の大域的な設定で展開する。
これは正にIUTeich で用いる予定の遠アーベル幾何
である。この理論の内容や「IUTeich 構想」との関連性については、論文の Introduction をご参照下さい。
ここで興味深い事実を思い出しておきたい。そもそも Grothendieck が有名な
「Faltings への手紙」等で「遠アーベル哲学」を提唱した重要な動機の一つは正に diophantus幾何への応用の可能性にあったらしい。
つまり、遠アーベル幾何が（ABC 予想への応用が期待される）IUTeich で中心的な役割を果たすことは、一見して Grothendieck の直感にそぐった展開に見受けられる。
つづく
0196１３２人目の素数さん
2022/01/02(日) 09:47:42.29ID:DhlSCn4Iつづき
一方、もう少し「解像度を上げて」状況を検証すると、それほど単純な関係にあるわけではないことが分かる。例えば、
Grothendieck が想定していた応用の仕方では、数体上の「セクション予想」によっ
て数体上の有理点の列の極限を扱うことが可能になるという観察が議論の要となる。
これとは対照的に、「IUTeich 構想」では、（数体上のセクション予想ではなく）
数体と p 進体の両方に対して両立的に成立する（絶対遠アーベル幾何の一種で
ある）単遠アーベル的アルゴリズムが主役を演じる
予定である。この「単遠アーベル的アルゴリズム」は、pTeich における MF∇-object
の Frobenius 不変量に対応するものであり、即ち p 進の理論における
Witt 環の Teichm¨uller 代表元や pTeich の標準曲線
の「IU 的類似物」と見ることができる。別の言い方をすれば、この「単遠アーベル的
アルゴリズム」は、一種の標準的持ち上げ・分裂を定義しているものである。また、（単
遠アーベル的な）「ガロア系」の対象が p 進の理論における crystal（＝ MF∇-object
の下部 crystal）に対応しているという状況には、Hodge-Arakelov 理論における「数
論的 Kodaira-Spencer 射」（＝ガロア群の作用による）を連想させるものがある。
2008 年 4 月から IUTeich 理論の「本体」の執筆に取り掛かる予定である。この作
業は、ごく大雑把に言うと、次の三つの理論を貼り合わせることを主体としたものである：
つづく
0197１３２人目の素数さん
2022/01/02(日) 09:48:16.96ID:DhlSCn4Iつづき
・The geometry of Frobenioids I, II
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
・Topics in absolute anabelian geometry III
因みに、2000 年夏まで研究していたスキーム論的な Hodge-Arakelov 理論がガウス
積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」だとすると、IUTeich は、
このガウス積分の「大域的ガロア理論版ないしは IU 版」
と見ることができ、また古典的なガウス積分の計算に出てくる「直交座標」と「極座
標」の間の座標変換は、（IU 版では）ちょうど「The geometry of Frobenioids I, II」
で研究した「Frobenius 系構造」と「´etale 系構造」の間の「比較理論」に対応して
いると見ることができる。この「本体」の理論は、現在のところ二篇の論文に分けて
書く予定である。
・Inter-universal Teichm¨uller theory I: Hodge-Arakelov-theoretic aspects
（2009 年に完成（？）予定）
p 進 Teichm¨uller 理論における曲線や Frobenius の、「mod pn」までの標準持ち上
げに対応する IU 版を構成する。
・Inter-universal Teichm¨uller theory II: limits and bounds （2010 年に完成（？）予定）
上記の「mod pn」までの変形の n を動かし、p 進的極限に対応する「IU 的な極
限」 を構成し、pTeich における Frobenius 持ち上げの微分に対応するものを計算する。
(引用終り)
以上
0198１３２人目の素数さん
2022/01/03(月) 11:20:28.50ID:M7Pqf1pThttps://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，H180731)
ガロア理論とその発展 玉川安騎男
§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代
数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」と
いう代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研
究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
この講義では、まず、ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらう
ことを目標にしたいと思います。次に、ガロア理論の古典的に有名な応用
（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定
的解決、あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解
の公式の非存在の証明、など）の中から題材を選んで解説したいと思いま
す。最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロ
ア理論の展開についても紹介したいと思います。
§5. ガロア理論の発展 - 無限次ガロア理論と遠アーベル幾何
5.1. 無限次ガロア理論
上記の同値な条件のいずれか（したがって全て）が成立する時、L/K
をガロア拡大と言い、このとき、Aut(L/K) を Gal(L/K) と記し、L の
K 上のガロア群と呼びます。一般には Gal(L/K) は有限群になりません
が、「副有限群」という特別な種類の群になり、「位相」が入って「位相
群」となることがわかります。この場合も、次のようなガロア対応が存在
します。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
射有限群（英語: pro-finite group）あるいは副有限群は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。
射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_group
Profinite group
(引用終り)
以上
0199１３２人目の素数さん
2022/02/01(火) 17:50:40.36ID:Igtg+Uguhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）
博士課程
指導学生 コーチェル・ビルカー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%BC
コーチェル・ビルカー (Caucher Birkar, 1978年 - )
2016年、AMSジャーナル(2010)における「対数一般型多様体に対する極小モデルの存在」の論文(P. カッシーニ（イタリア語版）、C. ヘコン（英語版）、J. マッカーナン（英語版）との共著、通称頭文字をとって[BCHM]と言われる)に対して、AMSムーア賞（英語版）を授賞した[8]。そして2018年、ビルカーに、「ファノ多様体の境界性の証明と極小モデルプログラムへの貢献」に対して、フィールズ賞が授与された[9]。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/reports.html
Website of Masayuki Kawakita
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/Documents/public_text10.pdf
極小モデル理論の発展 第32回数学入門公開講座, 31-44 (2010)
川北真之
代数幾何学の扱う対象は，代数多様体と呼ばれる，連立多項式の共通零点集合として定義さ
れる図形です．極小モデル理論とは，変数変換で写り合う代数多様体たちを本質的に同じもの
と捉え，各々の中から代表的な代数多様体を抽出する理論です．抽出の過程で多様体上の余計
な曲線を収縮させるのですが，収縮によって悪い特異点を持つ多様体が生じます．それを回復
させる操作がフリップと呼ばれる変換で，極小モデル理論において中心的な役割を果たします．
3 次元極小モデル理論は森によるフリップの存在を中心として 90 年代に完成しましたが，その
高次元化は暫く模索段階でした．ところが 2006 年，ビルカー，カッシーニ，ヘイコン，マッ
カーナンは一般次元のフリップの存在を証明し，極小モデル理論は大きな前進を遂げました．
講座では，このような極小モデル理論の最近の発展を，わかりやすく紹介します．
0200１３２人目の素数さん
2022/02/03(木) 07:10:16.37ID:azzG9pAAそれ等の何が具体的にどう良いんだよ摘まみ食い野郎
0201１３２人目の素数さん
2022/02/04(金) 16:10:27.26ID:2uUUa+ra書けないなら、10年ROMれ
0202１３２人目の素数さん
2022/02/06(日) 12:08:54.90ID:dcjQr8w9https://tsujimotter.はてなブログ/entry/affine-scheme-2
tsujimotterのノートブック
2019-05-07
アフィンスキームとは何だろうか(2)
前回はアフィンスキームの定義に向けて、環のスペクトルとザリスキー位相という概念を紹介しました。位相が入ったので、環のスペクトルが位相空間になりました。
今日は、位相空間の上の 構造層 がテーマです。最終的には、アフィンスキームを定義するところまでいきたいと思います。
本記事の目次：
4. 構造層
代数多様体のアナロジー
構造層の定義
具体例：X = Spec(Z) の場合
前層と層
用語の定義
5. アフィンスキームの定義
アフィンスキームの具体例1：Spec(Z)の場合
アフィンスキームの具体例2：Spec(O_K)の場合（代数体の整数環）
アフィンスキームの具体例3：Spec(K)の場合（体の場合）
おわりに
参考文献
次回はこちら
0203１３２人目の素数さん
2022/02/06(日) 13:08:03.55ID:dcjQr8w9https://tsujimotterはてなブログ/entry/affine-scheme-1
tsujimotterのノートブック
2019-05-06
アフィンスキームとは何だろうか(1)
第１部（本記事）：
1. 代数幾何の基本
2. 環のスペクトル
3. ザリスキー位相
第２部（5/7公開予定）：
4. 構造層
5. アフィンスキームの定義
第３部（5/8公開予定）：
6. アフィンスキームの射
7. アフィンスキームの射の具体例
8. まとめ
0204１３２人目の素数さん
2022/02/10(木) 11:24:21.71ID:GluAcDmnより、IUT関連記述抜粋
P15
6 アルゴリズム的遠アーベル幾何学と単遠アーベル幾何学
2節での基本‘予想，の内容は，遠アーベル代数多様体はその基本完全系列から‘復元’される， とい
うものであった．そして， その定式化である2節の相対遠アーベル性や3節の絶対遠アーベル性は，
どちらも，二つの(遠アーベル的であろう）代数多様体'X'と'Y'が用意された際の，それらの間の
同型射と， それらの基本群の間の連続同型射との関係を問題としている．
つまり， この定式化による‘遠アーベル性'の研究とは，大雑把に言えば，
適切な代数多様体のなす圏に制限された'π1'という関手の充満性や忠実性といった性質の研究であると要約される．
そして， この場合，議論にしばしば登場する‘群論的，という用語は，
‘基本群の間の任意の連続同型射で保たれる，という性質を意味する．
望月は，基本‘予想'における‘復元'とは何か， という問を改めて見つめ直し, [60], {61], [63]に
おいて， ‘アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学'，
そして， より狭義な枠組みとしての単遠アーベル幾何学(mono-anabelian geometry)という考えを提唱した．
その上,上述の‘充満性･忠実性の観点によるこれまでの遠アーベル幾何学'を双遠アーベル幾何学(bi-anabelian geometry)と呼び，
これら‘二つの遠アーベル幾何学，に区別を与えた．
アルゴリズム的な観点による遠アーベル幾何学とは，簡単に言ってしまえば，以下のような内容を
持つ遠アーベル幾何学の研究のことである．
アルゴリズム的遠アーベル幾何学 与えられた代数多様体Xに対して，抽象的な位相群π1(X)を
‘入力データ'として， そして，代数多様体Xに付随する幾何学的対象(例えばXそれ自体）を‘出力データ'とする‘純位相群論的アルゴリズム'を確立せよ．
そして，単遠アーベル的輸送(mono-anabelian transport) (例えば[65]を参照)という枠組みで
のその純位相群論的復元アルゴリズムの研究が，単遠アーベル幾何学である．遠アーベル幾何学の大
きな応用である宇宙際タイヒミュラー理論{66]-[69]では, このアルゴリズム的遠アーベル幾何学や
単遠アーベル幾何学が中心的な役割を果たすのである．
0205１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 18:06:33.74ID:seCJnoFl>遠アーベル幾何学の進展 星裕一郎 数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋
IUTは、本丸天守閣でしょうか
今風ならば、鬼滅の無限城でしょう
星 遠アーベル幾何学の進展は、
城下町の様子やお城の配置、
本丸や天守閣の様子の記述はあるが
お城内部の立ち入った記述はない
しかし、外堀と内堀は埋められ
お城の様子も概略は記されている
これを読んでから
IUTを読めば
IUTを理解するのに
良いと思う
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AC%BC%E6%BB%85%E3%81%AE%E5%88%83
『鬼滅の刃』
3.5 無限城編（16巻 - 23巻）
0206１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 20:01:36.67ID:seCJnoFl>遠アーベル幾何学の進展 星裕一郎 数学'74巻1号2022年1月
>より、IUT関連記述抜粋
円分物 （cyclotome）が、出てくる
が、”cyclotome”は、数学用語としては未定着（独自用語）のようであり
また、”円分物”も同様に、未定着（独自用語）のようである（円分物≠円分体です）
下記など、ご参照
https://dictionnaire.reverso.net/francais-definition/cyclotome
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
? K を体, r を正整数とする. K× を K をその乗法構造によって可換モノイドと考えたもの,
K× def= K \ {0} を K の非零元のなす群 (特に, 自然な同型 (K×)? ?→ K× が存在する),
μ(K)def = (K×)tor ⊆ K× を K の中の 1 の巾根のなす部分群,
μr(K)def= μ(K)[r] ⊆ K× を K の中の 1 の r 乗根のなす部分群とする. また, K が標数 0 の代数的閉体のとき,
Λ(K)def= T(μ(K))
(つまり, “^Z(1)”) と書き, これを K に付随する 円分物 と呼ぶ.
P16
3.6. 大域的円分物の復元, 局所大域円分剛性同型*9
この同型射を 局所大域円分剛性同型 と呼ぶ.
*9 円分物の間の適切な同型は 円分剛性同型 と呼ばれ, 遠アーベル幾何学において重要な役割を果たしてきた.
例えば, [1] で与えられている PSC 型遠半グラフの理論から生じる円分剛性同型は幾何的な円分物の
間の同型射であり, 組み合わせ論的遠アーベル幾何学において基本的な存在となっている. また, 別の例
として, [6] で得られている単テータ環境の理論から生じる円分剛性同型が挙げられ, これは, 望月新一氏
による宇宙際 Teichm¨uller 理論で非常に重要な役割を果たしている.
つづく
0207１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 20:02:46.88ID:seCJnoFlつづき
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory.pdf
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory) By 星 裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
目次
§ 0. 序
§ 1. 円分物
§ 2. フロベニオイドの円分剛性同型
https://setsuri-nihon.net/math/14971
摂理研究所/キリスト教福音宣教会
宇宙際タイヒミュラー理論入門を読んでみた。その3
2017年12月21日2017年12月24日
前回までのあらすじ
長らく書いていなかったので、これまでのあらすじを書いていこうと思います。
星裕一郎さんの論文の最初に「円分物」と呼ばれるものが出てきます。これはTate捻りZ^(1)と呼ばれるものである、と論文には書かれています。いくつかの定義が書いてあったのですが、その一つがこちらでした。
略
しかし、改めて読むとこれが何を意味するのかよくわからないな…(´・ω:;.:…と思いました。
そこで、今日はこれを図で見ながらもう少し詳しく説明していきたいと思います。
逆極限を図で説明してみた
どうして、こんなややこしいことをしているのか
簡単に言うと、この表記が真価を発揮するのはΩが他の代数閉体の時です。
例えば、Ωとして考えられるのは、代数的数全体(つまり、有理数係数のn次方程式の解となる数全体)^Qやp進数体Q_pの代数閉包等です。
これらはCと違ってバラバラ(離散的)になっていますので、円を「描く」ことが出来ません。
また、例えばQ_pで|z|_p=1を満たす数というとpで割り切れない(pベキの倍数で表せない)数全体なので、これが円というのはなんとなく違う感じがします。
実は、数論幾何学や代数幾何学において「円周」というのはとても重要な図形です。Cの場合はそれがきれいな円で表せたのですが、それ以外の代数閉体でも表現できないか？というのが「円分物」の存在理由かと私は思います。
実際、lim_←nμ_{n}(Ω)なら、似たような性質が成り立つことが示せるのではないか…と思っています。詳しくは分かりませんが…。
つづく
0208１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 20:03:07.84ID:seCJnoFlつづき
https://freestylewiki.xyz/fswiki/wiki.cgi?page=%E5%86%86%E5%88%86%E7%89%A9%E3%83%BB%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
[数学,IUT]
円分物・円分体
概要
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 のm(>2)乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。
https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_cyclotomique
Extension cyclotomique
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
(引用終り)
以上
0209１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 20:16:12.93ID:seCJnoFl用語 NF (= Number Field)： K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field) である
https://dictionnaire.reverso.net/francais-definition/cyclotome
Definition cyclotome francais | dictionnaire francais definition synonymes Reverso
（注：”cyclotome”仏語は、数学用語にあらず）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所)
2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である.
P1
・ K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field)
であると言うことにする. ある素数 p が存在して K が Qp のある有限次拡大と同型であるとき, K
は MLF (= Mixed-characteristic Local Field) であると言うことにする.
0210１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 22:18:26.14ID:seCJnoFl古典的 Neukirch ・ 内田の定理と単遠アーベル的復元との関係
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 の報告原稿である.
P2
1 Neukirch ・ 内田の定理と単遠アーベル的復元
NF の絶対 Galois 群の位相群としての同型類によって, その NF
の同型類が完全に決定される. 別の表現を用いれば, 絶対 Galois 群は NF に対する “完
全な不変量” であるということがわかる. この意味において, “その絶対 Galois 群によっ
て NF を復元することができる” と考えることが可能であろう.
一方, 望月新一氏は, [8] の中で, “そもそも復元とは何か?” という問についての考察を
行い, そこで, “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考え方を提唱した.
この考え方のある側面を簡単に述べてしまうと, これは, “何を遂行すれば所望の復元が完
了したと考えるか” という “復元という行為の完了の基準” の設定の問題であると言える
であろう. 本稿の主題である問の場合に, “双的な復元, 双遠アーベル的復元” の復元完了
基準を具体的に述べれば, 例えば以下のようになる.
つまり, さきほど復習した Neukirch ・ 内田の定理の証明を与えることが, 双遠アーベル
的復元の遂行に他ならない. それでは, この場合の “単的な復元, 単遠アーベル的復元” の
復元完了基準は何であろうか. それは例えば以下のとおりである.
つまり, 復元の “入力” から “出力” を生成する関手的な手続きを与えることができた
とき, “単的な復元” は完了するのである. このように, 2 つの対象 (つまり, “Fo と F・”)
を比較して復元を議論するのではなく, 単独の対象 (つまり, “F”) によってその復元を議
論するので, “双” ではなく “単” なのである. また, 上の具体的な例からも推測できるよ
うに, 通常は, 単遠アーベル的復元を遂行すれば, その系として, 双遠アーベル的復元が得
られる.
つづく
0211１３２人目の素数さん
2022/02/11(金) 22:18:45.25ID:seCJnoFlつづき
以上が, [8] で提唱されている “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考
え方の簡単な解説である*2
一方, もちろん, “双遠アーベル的復元” と “単遠アーベル的復元” の差が, 高々結論の定
式化の差として生じている場合もあるであろう. つまり, もしもある定理が “双版” で述
べられていても, 実質的にはその “単版” を証明していることもあるであろう. 実際, さき
ほど復習した Neukirch ・ 内田の定理の証明を検証してみると,
関数体の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えている
ことがわかる. (これについては, §3 ? 特に, 3.9 ? で少し説明を行う.) つまり, Neukirch
・ 内田の定理の証明から, 実際には以下の主張を証明することができる.
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3
それでは NF の場合はどうであろうか. 再び Neukirch ・ 内田の定理の証明を検証して
みると,
NF の場合, その証明は “単遠アーベル的復元” を与えていない
ことがわかる. つまり,
Neukirch ・ 内田の定理の証明から, 絶対 Galois 群を出発点として元々の NF を群
論的に構成する手続きを得ることは (少なくとも直ちには) できない
のである.
本稿 (そして, 講演) の主結果の概要を述べるために, 定義を与える.
主結果の概要. NF 型位相群 G から G 作用付き代数的閉体 F(G) を (位相群の開単射
に関して) 関手的に構成する “群論的手続き” が存在する:
(引用終り)
以上
0212１３２人目の素数さん
2022/02/12(土) 12:59:25.01ID:/qkcTHB7”the reader will not find any proof that is longer than a few lines ・・ which is in line with the amount of mathematical conten ”
https://zbmath.org/pdf/07317908.pdf
Mochizuki, Shinichi
Inter-universal Teichmuller theory. I: Construction of Hodge theaters. (English)
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 57, No. 1-2, 3-207 (2021). Reviewer: Peter Scholze (Bonn)
In parts II and III, with the exception of the critical Corollary 3.12, the reader will not find any proof that is longer than a few lines; the typical proof reads “The various assertions of Corollary 2.3 follow immediately from the definitions and the references quoted in the statements of these assertions.”, which is in line with the amount of mathematical content.
(引用終り)
つまり
”the reader will not find any proof that is longer than a few lines”、”which is in line with the amount of mathematical content”
対する 星 裕一郎くんの答えは、下記
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月
P4
関数体の単遠アーベル的復元可能性*3
注）
*3 単遠アーベル的復元は, “所望の手続きの存在を証明する” ことが目的なのではなく, “所望の手続きを与える” ことが目的である.
特に, 主張の中にその手続きを書くべきとされる. （略）
例えば, [8],Corollary 1.10, は, その主張を述べるためにおよそ 3 ページが費やされ,
しかし, 証明がたったの 2 行で終わってしまうという, 従来の数学では比較的珍しい構成になっている.
このような状況が生じる背景には, この “主張の中にその手続きを書くべき” という考えがある.
[8] S. Mochizuki, Topics in absolute anabelian geometry III: Global reconstruction
algorithms, RIMS Preprint 1626 (March 2008).
(引用終り)
以上
0213１３２人目の素数さん
2022/02/12(土) 13:06:50.92ID:/qkcTHB7絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月
これ必読だね
0214１３２人目の素数さん
2022/02/12(土) 16:18:56.18ID:/qkcTHB7これは、大事だね
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0971-4.pdf
数理解析研究所講究録
971 巻 1996 年 30-39
楕円曲線の数論の歴史
早稲田大学 足立恒雄
本稿は津田塾大学で開催されたシンポジウム 『20 世紀数学』 (95 年11月) における
講演と京大数理解析研究所における研究集会『代数的整数論とフェルマー問題』 (95年12 月) における講演をまとめ、加筆修正したものである。
楕円曲線の歴史と一口に言っても膨大・多岐に亙るから、 ここでは
(1) Fermatの先駆的研究、
(2) 楕円曲線の群構造発見を巡る歴史、
(3) フェルマー問題の Frey による谷山予想への還元、
の三つに絞って考察することにする。
P4
§3 群構造の発見
これによって、 Mordell あるいは
Hurwitsと Mordell の間のころに、少なくとも implicit には楕円曲線上の点の全体が群をなすと
いう事実が気付かれたものと思われる。
Weil([29])は Finite Basis Theorem の証明を簡易化したが、 パラメータの加法演算の
幾何学的な意味も説明し、 目的が「この加群が有限生成であることの証明である」 と宣
言している。 また、 その証明も (Mordell の場合と違って) 群であるという事実が基本的
に使われている。 このようなわけだから、楕円曲線の群構造を explicit に指摘した人は
Weil であるといって良いことになるのではなかろうか。
0215１３２人目の素数さん
2022/02/12(土) 17:45:48.57ID:/qkcTHB7https://sugakubunka.com/gendaisugaku-5-8/
株式会社すうがくぶんか
第7回 p進タイヒミューラー理論とその周辺
講師 若林泰央
東京工業大学理学院数学系助教
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科（数理解析研究所）にて博士号取得後、東京大学大学院数理科学研究科特任助教等を経て、現職。
講演内容
p進タイヒミューラー理論とはいったい何でしょうか．この理論は，素数が1より小さくなったり，さらには0になってしまうような数の世界が舞台です．そんな不思議な世界から「かたち」やその変形のようすをながめると，いつもと違う景色が見えてくるかもしれません．この講演では，幾何学と数論が交差するp進タイヒミューラー理論のココロについてお話しします．
※予習回では梅崎直也（すうがくぶんか講師）が若林先生の講演の予備知識を解説いたします。（内容未定）
日程
予習回：2022年2月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年2月20日（日）13:00-18:00
第8回 宇宙際タイヒミューラー理論
講師 加藤文元
東京工業大学教授
＜経歴＞
京都大学大学院理学研究科数学・数理解析先行博士後期課程修了、マックス・プランク研究所研究員、レンヌ大学やパリ第6大学客員教授なども歴任
講演内容
下記第4回講座の内容についてより詳しく解説します。
“宇宙際タイヒミューラー理論はABC予想の解決のために2012年に京都大学数理解析研究所の望月新一教授によって発表された理論です。この理論のアウトラインを、以前、私は「たし算とかけ算の絡み合い」をいかにしてほどくかという見地から、MathPowerで説明したことがあります。今回はこれを「数体のカタチ」のタイヒミューラー変形というアプローチから説明しようと思います。”
加藤先生には2017年のMathPowerにて「ABC予想と新しい数学」と題して宇宙際タイヒミューラー理論についてご講演いただきました。以下の動画をご覧ください。
日程
予習回：2022年3月13日（日）13:00-18:00
本講義：2022年3月20日（日）13:00-18:00
アーカイブ視聴について
各講座は全て録画されるため、講座終了後も復習のために2年間アーカイブ視聴が可能です。また、リアルタイム以外でのご参加も可能です。（すうがくぶんかの録画講座の詳細はこちら。）
0216１３２人目の素数さん
2022/02/13(日) 10:12:59.77ギャハハハハハハ！！！
0217１３２人目の素数さん
2022/02/13(日) 11:06:56.04ID:xCKc9AAc江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する
「4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。」
勘違いショルツェ氏との戦いを避けるべからず
頑張ってください、IUT陣営のみなさんへ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%9F%E5%B4%8E%E7%8E%B2%E6%96%BC%E5%A5%88
江崎玲於奈
1973年（昭和48年）にアイヴァー・ジェーバー、ブライアン・ジョゼフソンとともに、トンネル効果に関連して日本人としては4人目となるノーベル賞（ノーベル物理学賞）を受賞した[2]。
発言
1994年夏のリンダウ・ノーベル賞受賞者会議で、江崎は「ノーベル賞を取るために、してはいけない5か条」のリストを提案する。
原文：Esaki's “five don’ts” rules
1.Don’t allow yourself to be trapped by your past experiences.
2.Don’t allow yourself to become overly attached to any one authority in your field ? the great professor, perhaps.
3.Don’t hold on to what you don’t need.
4.Don’t avoid confrontation.
5.Don’t forget your spirit of childhood curiosity.
日本語訳
1.今までの行き掛かりにとらわれてはいけない。 呪縛やしがらみに捉われると、洞察力は鈍り、創造力は発揮できない。
2.大先生を尊敬するのはよいが、のめり込んではいけない。
3.情報の大波の中で、自分に無用なものまでも抱え込んではいけない。
4.自分の主義を貫くため、戦う事を避けてはいけない。
5.いつまでも初々しい感性と飽くなき好奇心を失ってはいけない。
0218１３２人目の素数さん
2022/02/13(日) 11:37:24.17社会の負け犬中卒に主義なんかあるわけないじゃん
ただ自国自慢したいだけの馬鹿だろが
ギャハハハハハハ！！！
0219１３２人目の素数さん
2022/02/19(土) 07:56:20.75ID:USplO5Y7岩波科学ライブラリー
深層学習の原理に迫る
数学の挑戦
著者 今泉 允聡 著
刊行日 2021/04/16
深層学習はなぜうまくいくのか？ その原理を数学的に解明するという難題に、気鋭の研究者が挑む。
深層学習の原理に迫る
試し読み https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0297030.pdf
上記「試し読み」の”まえがき”中に、次の一文がある
「なお数学的な理論で物事が表現できることと、人間の理解に?がることは同一ではなく
そこには大きなギャップがある。このギャップを埋めること、
すなわち数学的成果を直観的に読者に伝えることは、本書が大事にしている原則の一つである。」
至言である
IUT関係者に捧げたい
Nスぺちゃんと見ろよ！
（参考：上記著書の元になった講演）
https://drive.google.com/file/d/1bNN6VjsgdpJAqxvZ4EKAPpMGq9wfjHqf/view
東京大学 今泉允聡
ISM75周年
講演スライド
オープンハウス2019スライド
深層学習の原理を明らかにするこころみ
0220１３２人目の素数さん
2022/02/19(土) 08:43:39.49ID:USplO5Y7etale
エタール
https://educalingo.com/ja/dic-fr/etale
フランス語辞典でのetaleの定義
辞書の中のetaleの定義は、不動であり、上りまたは下りを停止し、逆の動きを開始しなかったことである。 海がまだ2つの潮の間にある短い時間。
https://ja.glosbe.com/fr/ja/%C3%A9tale
フランス語-日本語 の辞書 - Glosbe辞書
etale
平穏
https://kotobank.jp/frjaword/etale#:~:text=%C3%A9tale,%E3%81%8C%EF%BC%89%E5%8B%95%E3%81%8D%E3%81%AE%E6%AD%A2%E3%81%BE%E3%81%A3%E3%81%9F%EF%BC%8E
etale
ポケットプログレッシブ仏和・和仏辞典 第3版（仏和の部）の解説
etale
[形]静止した；（潮，河川が）動きの止まった．
━[男]『海』 停潮．
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale
Etale
0221１３２人目の素数さん
2022/02/19(土) 08:55:05.34ID:USplO5Y7https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
エタール・コホモロジー（etale cohomology）はアレクサンドル・グロタンディークがヴェイユ予想を証明するための道具として考案したコホモロジー理論であり、位相空間上の定数係数コホモロジー、すなわち特異コホモロジーの類似になっている。
0222１３２人目の素数さん
2022/02/19(土) 15:38:57.10ID:USplO5Y7https://mainichi.jp/graphs/20200403/mpj/00m/040/003000f/11
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月教授 斬新・難解で査読に8年
2020/4/3 14:00
説明資料PDF[11/13]より
ここに、IUT論文の”復元”が、計算機プログラムのようであり
「ステートメントは長いが
証明は自明という
定義や命題を積み重ねていくことによって
高度に非自明な構造を作り上げています。」
と、 星 裕一郎氏と、同様の記述があるね
0223１３２人目の素数さん
2022/02/20(日) 00:22:02.21ID:YwLjfsx8この様にしてSetAは糞の役（肥料）にも立たないどころか世界共通公害な毒レスを撒き散らし続ける｡
0224１３２人目の素数さん
2022/02/23(水) 12:21:57.52ID:U3yS+cNOhttp://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/selection.html
Several articles of H.Nakamura
Several articles of H.Nakamura
Galois-Teichmueller theory:
0225１３２人目の素数さん
2022/03/01(火) 17:11:30.40ID:gvkJYeIp0226１３２人目の素数さん
2022/03/08(火) 11:38:04.11ID:CB4pW5vahttps://en.wikipedia.org/wiki/Tate_module
In mathematics, a Tate module of an abelian group, named for John Tate, is a module constructed from an abelian group A. Often, this construction is made in the following situation: G is a commutative group scheme over a field K, Ks is the separable closure of K, and A = G(Ks) (the Ks-valued points of G). In this case, the Tate module of A is equipped with an action of the absolute Galois group of K, and it is referred to as the Tate module of G.
Contents
1 Definition
2 Examples
2.1 The Tate module
2.2 The Tate module of an abelian variety
3 Tate module of a number field
Examples
The Tate module
When the abelian group A is the group of roots of unity in a separable closure Ks of K, the p-adic Tate module of A is sometimes referred to as the Tate module (where the choice of p and K are tacitly understood). It is a free rank one module over Zp with a linear action of the absolute Galois group GK of K. Thus, it is a Galois representation also referred to as the p-adic cyclotomic character of K. It can also be considered as the Tate module of the multiplicative group scheme Gm,K over K.
0227１３２人目の素数さん
2022/03/10(木) 07:21:07.81ID:ix0kZYRPhttps://arxiv.org/pdf/2202.00219.pdf
Approximating Absolute Galois Groups
Gunnar Carlsson, Roy Joshua
February 2, 2022
P4
where S1 denotes the circle group,
Proposition 2.3 The construction A → A＾ satisfies the following properties.
1. The＾-construction defines an equivalence of categories from the category of compact topological
abelian groups to the opposite of the category of discrete abelian groups. The＾-construction is
its own inverse.
2. For a profinite group G, G＾ is isomorphic to Homc(G, μ∞), where μ∞ ⊆ S1 is the group of
all roots of unity, isomorphic to Q/Z. If G is a p-profinite group, then μ∞ can be replaced by
μp∞, the group of all p-power roots of unity, isomorphic to Z[1/p]/Z.
3. The functor A → A＾ is exact.
4. For G a profinite abelian group, G is torsion free if and only if G＾ is divisible. Similarly for
“p-torsion free” and “p-divisible”.
Proof: Statement (1) is one version of the statement of the Pontrjagin duality theorem, (2) is an
immediate consequence, and (3) follows immediately from (1). It remains to prove (4). To prove
(4), we note that G is torsion free if and only if the sequence 0 → G ー(×n) -→ G is exact. The exactness
proves that this occurs if and only if G＾
G＾ ×n ー(×n) -→G＾-→ 0 is exact, so ×n is surjective. This is the result.
We now have the main result of this section.
Theorem 2.1 Let F be any field containing all roots of unity. Then the absolute Galois group GF
of F is totally torsion free.
Remark 2.3 Class field theory shows, for example, that one cannot expect this result to hold for
absolute Galois groups of number fields, so that some condition on the field is necessary.
(参考:S1 denotes the circle group)
https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group
Circle group
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4
円周群
0228１３２人目の素数さん
2022/03/14(月) 20:55:49.20ID:Nb0VsZIc0229１３２人目の素数さん
2022/03/24(木) 11:55:50.20ID:9Yr6tc0F0230１３２人目の素数さん
2022/03/31(木) 15:05:27.81ID:bKG2nzZ5https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso.html
多様体の基礎のキソ （仮題）20170131 影付き部分につけた脚注が表示されていない， などの不具合と若干の誤植を修正．
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso/03-isou.pdf
３．位相空間の基礎のキソ （ver.20170131）
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/14SW-susemi.html
基礎講座・複素関数（『数学セミナー』2014年4月号〜2015年3月号）
複素関数論の基礎から初めて， 後半はリーマン面について解説しました．
0231１３２人目の素数さん
2022/04/02(土) 16:35:10.47下げマスは三角関数の加法定理でも覚えてろｗ
0232１３２人目の素数さん
2022/04/03(日) 08:50:48.28ID:28NcParQhttps://www.orecoli.com/entry/2016/01/19/131207
俺の Colimit を越えてゆけ
19 2016-01
圏論に最短で入門する
はじめに
対象読者
数学以前
数学の基礎
ホモロジー代数
圏論
もっと手取り早く圏論の勉強を始めたい人へ
おわりに
紹介した書籍
私が圏論という分野を知るきっかけは、おそらくこの文章を読んでいるほとんどの人と同様に Haskell の勉強をしたことがきっかけでした。
Haskell のモナドなどを利用する上では圏論を理解する必要は全くないのですが、型システムや処理系に関して詳しく知りたくて論文を読むと圏論の言葉が普通に使われていて、理解できずに断念していました。
そこで、当時数人が集まってやっていた圏論勉強会に参加して圏論の勉強を始めました。当時読んでいた書籍は Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories でした。この本は圏論の初学者向けに書かれた本で、数学的な知識をほとんど仮定せずに理解できるように書かれている非常によい本です。一方で全く数学の素養がない状態で読むと、証明もちゃんと追えているのかあやふやでなんとなく分かった気にさせられる本でもあります。私がまさにそのような状態でした。
しかし、ずっと圏論をちゃんと理解できるようになりたいと思っていたので、大学の数学科に進んだ学部1,2年生が学ぶような数学から勉強を始めました。圏論は比較的最近、1940年代に登場した理論で、数学の中でも非常に抽象的な理論なので数学を勉強しはじめてもすぐには出てきません。私は独学で勉強していたので数学の世界で右往左往することになったのですが、とりあえず現状で私が考える、圏論に至るための最短の道を紹介します。この順で勉強すれば、圏論の書籍を読む頃には、圏論が提供する抽象化を「あ?あのことを言っているのか」と思いながら読めるようになると思います。
計算機科学の世界で生きてきたのにうっかり圏論と出会ってしまって、「今更また一から数学の勉強をしないといけないのか?」と絶望に打ちひしがれている、昔の私のような人の一助になれば幸いです。
0233１３２人目の素数さん
2022/04/03(日) 08:51:20.41ID:28NcParQメモ
https://www.orecoli.com/entry/2016/02/27/221008
俺の Colimit を越えてゆけ
27 2016-02
圏論に最短で入門する
はじめに
前回の記事では、圏論を学習する上では数学の基礎から学習する必要があると述べました。
一方で、そんなに時間をかけていられない、かけられないといった理由から数学の素養が十分に身についていない状態で Category Theory (Oxford Logic Guides) を読み始めたいという人もいるでしょう。そのような人向けにこの本の副読本のような内容の記事を書いていこうと思います。
この本は十分にわかりやすい本なので解説の部分で内容を追加するようなことはしません。書籍の中で証明はされているけれども十分に明らかとは言えない箇所や、残りは読者に任せるとして省略されている箇所を中心に証明を追加していこうと思います。特に Chapter 1 では数学書を読む場合に自分で手を動かして補いながら読まないといけない箇所がどういう箇所なのか初学者にもわかるように書いていこうと思います。
この記事が、これから独学で圏論を勉強しようとしている人や、勉強会でこの本を読もうとしている人の役に立てば嬉しいです。
私が読んでいるのは英語の第２版ですがいくつか誤植があるので下に書いておきます。著者には報告済みなので第３版が出れば修正されるでしょう。
目次
Chapter 1: Categories
Chapter 2: Abstract structures
Chapter 3: Duality
Chapter 4: Groups and categories
Chapter 5: Limits and colimits
Chapter 6: Exponentials
Chapter 7: Naturality
Chapter 8: Categories of diagrams
Chapter 9: Adjoints
Chapter 10: Monads and algebras
0234１３２人目の素数さん
2022/04/03(日) 14:49:57.07Z^(1)∩(Q/Z)={e}
ってこともわからん貴様に圏論なんか無理
位相空間すら全く理解できなかったんだろ？ｗ
0235１３２人目の素数さん
2022/04/05(火) 20:34:01.65ID:JQiM9kkd0236１３２人目の素数さん
2022/04/21(木) 17:41:38.58ID:5uDCQIOehttps://www.math.okayama-u.ac.jp/mjou/mjou52/_01_mochizuki.pdf
Math. J. Okayama Univ. 52 (2010), 1?28
ARITHMETIC ELLIPTIC CURVES IN GENERAL POSITION Shinichi MOCHIZUKI
Abstract. We combine various well-known techniques from the theory
of heights, the theory of “noncritical Belyi maps”, and classical analytic
number theory to conclude that the “ABC Conjecture”, or, equivalently,
the so-called “Effective Mordell Conjecture”, holds for arbitrary rational
points of the projective line minus three points if and only if it holds for
rational points which are in “sufficiently general position” in the sense
that the following properties are satisfied: (a) the rational point under
consideration is bounded away from the three points at infinity at a
given finite set of primes; (b) the Galois action on the l-power torsion
points of the corresponding elliptic curve determines a surjection onto
GL2(Zl), for some prime number l which is roughly of the order of
the sum of the height of the elliptic curve and the logarithm of the
discriminant of the minimal field of definition of the elliptic curve, but
does not divide the conductor of the elliptic curve, the rational primes
that are absolutely ramified in the minimal field of definition of the
elliptic curve, or the local heights [i.e., the orders of the q-parameter at
primes of [bad] multiplicative reduction] of the elliptic curve.
Introduction
In the classical intersection theory of subvarieties, or cycles, on algebraic
varieties, various versions of the “moving lemma” allow one to replace a
given cycle by another cycle which is equivalent, from the point of view
of intersection theory, to the given cycle, but is supported on subvarieties
which are in a “more convenient” position ? i.e., typically, a “more general”
position, which is free of inessential, exceptional pathologies ? within the
ambient variety.
0237１３２人目の素数さん
2022/04/29(金) 06:37:49.57ID:b8gsErp4https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/notesoniut.pdf
ARITHMETIC DEFORMATION THEORY VIA
ARITHMETIC FUNDAMENTAL GROUPS AND NONARCHIMEDEAN THETA-FUNCTIONS,
NOTES ON THE WORK OF SHINICHI MOCHIZUKI
IVAN FESENKO
This text was published in Europ. J. Math. (2015) 1:405?440.
P9
If v is a bad reduction
valuation and Fv is the completion of F with respect to v, then the Tate curve F×
v /hqvi, where qv is the q-parameter of EF at v and hqvi is the cyclic group generated by qv, is isomorphic to EF(Fv), hqvi → the origin of
EF, see Ch.V of [44] and §5 Ch.II of [43].
P10
Define an idele qEF ∈ lim -→ A×k: its components at archimedean and good reduction valuations are taken to
be 1. Its components at places where EF has split multiplicative reduction are taken to be qv, where qv is the
q-parameter of the Tate elliptic curve EF(Fv) = F×v /hqvi.
The ultimate goal of the theory is to give a suitable bound from above on deg(qEF).
Fix a prime integer l > 3 which is relatively prime to the bad reduction valuations of EF, as well as to the
value nv of the local surjective discrete valuation of the q-parameter qv for each bad reduction valuation v.
P13
Let q ∈ L be a non-zero element of the maximal ideal of the ring of integers of L (this q will eventually be
taken to be the q-parameter qv of the Tate curve EF(Fv) ' F×v /hqvi, where L = Fv, for bad reduction primes v of
E, see Ch.5 of [44]).
つづく
0238１３２人目の素数さん
2022/04/29(金) 06:38:29.57ID:b8gsErp4つづき
Just as in the classical complex theory, elliptic functions on L with period q can be expressed in terms of θ, a
property which highlights the central role of nonarchimedean theta-functions in the theory of functions on the
Tate curve. For more information see §2 Ch.I and §5 Ch.II of [43] and p. 306-307 of [38].
・・
via the change of variables q = exp(2πiτ),u = exp(2πiz)
P24
54 In IUT, the two combinatorial dimensions of a ring, which are often related to two ring-theoretic dimensions (one of which is
geometric, the other arithmetic), play a central role. These two dimensions are reminiscent of the two parameters (one of which is
related to electricity, the other to magnetism) which are employed in a subtle fashion in the study of graphene to establish a certain
important synchronisation for hexagonal lattices.
(引用終り)
以上
0239１３２人目の素数さん
2022/04/29(金) 06:40:42.26ID:b8gsErp4q-parameter についてメモ 追加
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/490-494
0240１３２人目の素数さん
2022/04/29(金) 10:40:50.66ID:b8gsErp4（最新版）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
ON THE ESSENTIAL LOGICAL STRUCTURE OF
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IN TERMS ¨
OF LOGICAL AND “∧”/LOGICAL OR “∨” RELATIONS:
REPORT ON THE OCCASION OF THE
PUBLICATION OF THE FOUR MAIN PAPERS ON
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY ¨
Shinichi Mochizuki
April 2022 P140版
（元）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/On%20the%20Essential%20Logical%20Structure%20of%20IUT%20IV,%20V%20(marked%20up%20version).pdf
ON THE ESSENTIAL LOGICAL
STRUCTURE OF INTER-UNIVERSAL
TEICHMULLER THEORY I, II, III, IV, V ¨
Shinichi Mochizuki (RIMS, Kyoto University)
September 2021 P42版
0241１３２人目の素数さん
2022/05/01(日) 02:53:34.98ID:6LpCNPT70242１３２人目の素数さん
2022/05/01(日) 08:16:10.72ID:txhCGf0/Inter-universal geometry とABC 予想49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1650714023/130
130 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/04/30(土) 23:59:11.91 ID:7Sq4MRJH
>>126
圏ではなく、無限大の極限で収束させるため「圏/(圏と同値)」を使う。
目的は、属性方程式の解を一種の解析・極限で得るため。、
(§1.3 圏のIU 幾何の定理）
通常の集合論では有り得ず、集合論を拡大しているのは「基礎の公理」。
(§1.1Motivation)
集合論を拡大する目的が何で、どう拡大したかったか、
以下のリンク先で、2008年のＩＵ幾何の構想メモに記載されていた。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
0243１３２人目の素数さん
2022/05/02(月) 13:52:43.77ID:Ofo/5NQz0244１３２人目の素数さん
2022/05/17(火) 00:13:14.98ID:bVPB1PYg0245１３２人目の素数さん
2022/05/31(火) 10:10:06.92ID:WgynKOenhttps://www.youtube.com/watch?v=X7sEP1wtTF8
高校生にもわかる宇宙際タイヒミュラー理論１
17,702 回視聴 2018/01/18 宇宙際タイヒミュラー理論についてざっくり説明してみました。
1:25 フェルマー予想の証明を導くのは正しくは「強いABC予想」でした。（現時点でこちらはまだ証明されていません）
数学探検Channel
愚野骨頂
2 年前
これは望月先生の論文にかなり踏み込んだお話で面白い。ついにホッジ舞台のや情報のカプセルの話も入ってい本格的で助かります。
0246１３２人目の素数さん
2022/05/31(火) 13:53:19.88ID:WgynKOenhttp://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.pdf
１９９９年度北大集中講義レクチャーノート
ガロア・タイヒミュラー群の LEGO理論
中村 博昭
北海道大学 2000
はしがき
このノートは、1999 年 略 に北海道大学で集中講義した内容に若干加筆
してまとめたものである。この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群
（タイヒミュラーモジュラー群） たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重
なっている様子を、有理数体の絶対ガロア群の表現の言葉で記述することであった。特に、
代数曲線のモジュライ空間に関係する種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最
も基本的な場合である射影直線マイナス３点の場合をうまく組み合わせることで具体的に
記述できる、ということを説明した。この一環としてタイヒミュラー幾何学のような位相
幾何と代数幾何が交錯する世界の一面を、ガロア理論を通じて群論的な平易な言葉で描写
することを試みた
0247１３２人目の素数さん
2022/06/01(水) 07:17:01.74ID:AbZqwpelhttps://www.youtube.com/watch?v=x6qVgicEDMs
高校生にもわかる宇宙際タイヒミュラー理論２
4,612 回視聴 2018/01/18 宇宙際タイヒミュラー理論についてざっくり説明してみました。
数学探検Channel
0248１３２人目の素数さん
2022/06/07(火) 10:11:22.82ID:k4enzP+jhttps://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron.pdf
複素解析特論I
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平 友規
平成 23 年 6 月 14 日
講義の概要（コースデザインより）． タイヒミュラー空間論はリーマン面（1 次元複素多様体）の変形空間の理
論である．変形空間は抽象的に定義された「集合」だが，数学者はこれを幾何学的な議論が可能な「空間」と
みなす．この講義の目的は，大雑把に言って
? リーマン面の変形空間に幾何構造を与えるまでの（思考）過程を解説すること; そして
? （残った時間で）変形空間の幾何学的性質を複素力学系の理論に応用すること
である．
講義予定． 扱うトピックは以下のとおり：
? リーマン面の基礎（基本群，普遍被覆，一意化定理，フックス群）
? リーマン面上の微分・積分（ベルトラミ微分，正則 2 次微分，リーマン・ロッホの定理）
? 擬等角写像論・幾何学的関数論の概説
? 有限型リーマン面の変形空間（モジュライ空間とタイヒミュラー空間，ベアス埋め込み）
? 1 次元複素軌道体 (orbifold) の一意化と分類
? 球面上の分岐被覆力学系の剛性理論（文献 [4, 5]）
最後のトピックは，「球面の自己分岐被覆による力学系」の，有理関数による実現可能性と剛性に関する理論で
ある．80 年代にサーストンが確立したものだが，近年またじわじわと脚光を浴びている．
P3
等角性について. 等角 (conformal) な同相写像とは，定義域上で正則（すなわち複素微分可能）で
あり，かつ微分の値が 0 にならない同相写像である．2
2「等角」という語をあえて使うのは，微分が 0 にならないことを強調するためである．同相写像に限って言えば，等角
性，正則性，双正則性（逆写像も正則）はいずれも互いにシノニムである．したがって，「等角な同相写像」は「正則な同相写
像」とも「双正則写像 (biholomorhic map)」ともよばれる．
0249１３２人目の素数さん
2022/06/07(火) 10:11:54.66ID:k4enzP+j追加
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/
武藤研究室 東京工大
物理数学第一
平成１８年度 学部 ３学期
第６章 等角写像 127 KB 58 KB
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap06.pdf
第 6 章 等角写像
複素写像変換
導関数が 0 になる点を 臨界点 という。
定理 6.3 等角写像の原理
0250１３２人目の素数さん
2022/06/07(火) 13:26:57.87ID:Y0RvZ70I中卒ニホンザル 他人の目を盗んで
微分が0にならない、検索しまくりwww
ヤコビアンも逆関数定理も分からん奴には
一生無縁だってwwwwwww
0251１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 16:10:41.88ID:0Da5gZei追加
これいいね
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Tomoki Kawahira / Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf
複素解析特論I（つづき）
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平 友規
平成 24 年 9 月 21 日
7 リーマン面の基本群・普遍被覆面
今回と次回で，「リーマン面の一意化定理」を証明する．
一口に「リーマン面」といっても，さまざまな構成方法がある．いわゆる格子トーラス T(ω1, ω2)
のようなものはかなり具体的に構成されたリーマン面の部類に入るほうで，たとえば「ガウスの定
理」でみたような例は，曲面に複素構造を与える時点で「ベルトラミ方程式を解く」といういささか
超越的（？）なプロセスを経る分，素性がよくわからない．こうした抽象性を緩和するために，与え
られたリーマン面と「同等な」モデル（模型）を作るのが「一意化定理」(uniformization theorem)
の役割だといってよい．大まかにその主張を述べておきたいので，まずふたつのリーマン面が「同
等」であることを定義する：
つづく
0252１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 16:11:05.08ID:0Da5gZeiつづき
定義（等角同型）． ふたつのリーマン面 S と R が等角同型 (conformally isomorphic) または単に
同型 (isomorphic) であるとは，ある正則（等角）な同相写像 h : S → R が存在するときをいう．
定理 7.1 (一意化定理) 任意のリーマン面は，次のような形のリーマン面 R と等角同
型である：
R = X/Γ
ただし X = C?, C, もしくは D であり，Γ は P SL(2, C) のある離散部分群．
まだ P SL(2, C) が X がどのように作用するのかが説明されていないので，現時点ではかなりあいま
い主張であるが，この X/Γ がモデルに相当するリーマン面である．とりあえず，「任意のリーマン面
は，ごくごく簡単なリーマン面を，P SL(2, C) という比較的素性のよくわかっている群の部分群で
割ったものと同等だ」という部分に意味がある．1 以下ではその構成方法を概観するが，その手順は
はあたかも，地球から地球儀を構成するかのようである．地表をくまなく歩いて地図帳を作り，それ
を使い慣れた材質に写し取りながら模型を構成していく．
まずは準備段階として，定理の証明に必要な「基本群と被覆空間」の用語を復習しつつ，リーマン
面の普遍被覆空間を構成する．2
8 リーマン面の一意化定理
一意化定理の証明を終わらせよう．手順としては，
8.2 商リーマン面の構成
8.3 リーマン面の一意化
単連結リーマン面の一意化定理. まず次の定理は証明無しで用いよう：
定理 8.5 (ケーベ，ポアンカレ) 任意の単連結リーマン面 X は，C?, C，もしくは D と
等角同型である．
証明は簡単ではない．まずコンパクトな場合（C? ）とそうでないでない場合に分け，さらにグリーン
関数が構成できる（D）かできない（C）かで区別される．
つづく
0253１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 16:11:55.08ID:0Da5gZeiつづき
9 タイヒミュラー空間の定義
今回の目標はとにかく，タ空間を定義することにある．最初に前回の補足として例外型・双曲型
リーマン面について解説したあと，言葉の準備（写像の持ち上げ，リーマン面上の擬等角写像）をし
て，定義に取り掛かる．定義の意味については，次回に．
以下，S, R をリーマン面とする．
9.2 写像の持ち上げ
9.3 リーマン面間の擬等角写像の定義
9.5 タイヒミュラー空間の定義
いよいよ，「リーマン面 S のタイヒミュラー空間」を定義する．とりあえず，形式的に定義を済ま
せてしまおう．
S とそのアトラス A を固定する．つぎに，別のリーマン面 R で，S からの向きを保つ擬等角写像
f : S → R が存在するようなもの全体を考える．もう少し形式的に，そのような f と R のペアとし
て (R, f) の形のもの全体を考えるのである．この写像 f をマーキング (marking) と呼び，(R, f) を
マークされたリーマン面 (marked Riemann surface) と呼ぶ．
その全体の集合に，次の同値関係を考えよう：
このとき，同値類の集合
T(S) = {(R, f)}/^T
を S のタイヒミュラー空間 (Teichm¨uller space) と呼ぶ．
このように定義を与えられても，大概の人にとっては意味不明であろう．たとえば，次のような疑
問点が生じる：
つづく
0254１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 16:12:29.20ID:0Da5gZeiつづき
10 タイヒミュラー空間とモジュライ空間
今回の目標は次の 2 点である：
・ モジュライ空間を定義し，タイヒミュラー空間との関係を明らかにすること．
・ これらの空間の具体例として，トーラスのタ空間とモ空間について概説すること．
・ Se からさらに S と同型なモデル S/G e を作る．
・ Se は X = C?, C, もしくは D と同型なので，モデル S/G e の構成方法をそのまま X で再現でき
る．そうして得られるモデルが S の一意化．
10.1 モジュライ空間
10.2 モジュラー群，あるいは写像類群
10.3 アトラスの分類とタイヒミュラー空間
10.4 トーラスのタイヒミュラー空間
タ空間の具体例として，トーラスのそれが上半平面
H := {x + yi ∈ C : y > 0}
と同一視できることについて概説しよう．15
11.1 単位円板 vs. 上半平面.
12.3 タ空間の複素構造
(引用終り)
以上
0255１３２人目の素数さん
2022/06/10(金) 17:51:00.04ID:0Da5gZei追加
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/works/Kawahira12Teich_Pr.pdf
タイヒミュラー空間の基礎のキソ
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
川平 友規
第47回函数論サマーセミナー
2012年8月27日
0256１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 18:27:16.23ID:Vf6rE6Wr複素解析学ホームページ
https://www.cajpn.org/refs/thesis.html
修士・博士論文アーカイブ
http://www.cajpn.org/refs/thesis/14M-Fujino.pdf
名古屋大学大学院
多元数理科学研究科修士論文
C / Z との擬等角同値性について
著者氏名 藤野 弘基
指導教員 大沢 健夫
2014年2月
謝辞
川平友規先生には, 本研究の進展において重要となった “擬円板の性質
を用いる” というアイデアを頂きましたことを, 厚く御礼申し上げます.
第 1 章 擬等角写像 1
1.1 曲線族モジュラス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 極値的距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 擬等角写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第1章 擬等角写像
Ahlfors?Beurling [3]によって導入された極値的長さを考えることによっ
て, 擬等角写像が特徴付けられる. これは擬等角写像の幾何学的定義と呼
ばれ現在では一般的によく知られていることである. この章では極値的長
さの逆数として与えられる量, 曲線族モジュラスを用いて擬等角写像を定
義する. 曲線族モジュラスは曲線族全体の上で定義された外測度を定める
など, 極値的長さに比べ扱いやすい性質を多く持つ.
0257１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 20:46:33.75ID:Vf6rE6Wrhttps://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space
Teichmuller space
It can be viewed as a moduli space for marked hyperbolic structure on the surface, and this endows it with a natural topology for which it is homeomorphic to a ball of dimension 6g-6 for a surface of genus g >= 2. In this way Teichmuller space can be viewed as the universal covering orbifold of the Riemann moduli space.
Contents
1 History
2 Definitions
2.1 Teichmuller space from complex structures
2.2 The Teichmuller space of the torus and flat metrics
2.3 Finite type surfaces
2.4 Teichmuller spaces and hyperbolic metrics
2.5 The topology on Teichmuller space
2.6 More examples of small Teichmuller spaces
2.7 Teichmuller space and conformal structures
2.8 Teichmuller spaces as representation spaces
2.9 A remark on categories
2.10 Infinite-dimensional Teichmuller spaces
3 Action of the mapping class group and relation to moduli space
3.1 The map to moduli space
3.2 Action of the mapping class group
3.3 Fixed points
4 Coordinates
4.1 Fenchel?Nielsen coordinates
4.2 Shear coordinates
4.3 Earthquakes
5 Analytic theory
5.1 Quasiconformal mappings
5.2 Quadratic differentials and the Bers embedding
5.3 Teichmuller mappings
6 Metrics
6.1 The Teichmuller metric
6.2 The Weil?Petersson metric
7 Compactifications
7.1 Thurston compactification
7.2 Bers compactification
7.3 Teichmuller compactification
7.4 Gardiner?Masur compactification
8 Large-scale geometry
9 Complex geometry
9.1 Metrics coming from the complex structure
9.2 Kahler metrics on Teichmuller space
9.3 Equivalence of metrics
10 See also
11 References
12 Sources
13 Further reading
つづく
0258１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 20:47:04.31ID:Vf6rE6Wrつづき
History
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g >= 2. The early study of Teichmuller space, in the late nineteenth?early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincare, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
The main contribution of Teichmuller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmuller space (introduced by Bers).
The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
(引用終り)
以上
0259１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 23:01:59.33ID:Vf6rE6Wrhttps://en.wikipedia.org/wiki/Quasiconformal_mapping
Quasiconformal mapping
Contents
1 Definition
2 A few facts about quasiconformal mappings
3 Measurable Riemann mapping theorem
4 Computational quasi-conformal geometry
0260１３２人目の素数さん
2022/06/12(日) 23:11:50.47ID:Vf6rE6WrQuasiregular map：between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally,・・
https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiregular_map
Quasiregular map
In the mathematical field of analysis, quasiregular maps are a class of continuous maps between Euclidean spaces Rn of the same dimension or, more generally, between Riemannian manifolds of the same dimension, which share some of the basic properties with holomorphic functions of one complex variable.
Contents
1 Motivation
2 Definition
3 Properties
4 Rickman's theorem
5 Connection with potential theory
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