Salemの積分方程式の条件を満たす解の存在

**Oruka** · 2020/11/22(日) 08:22:18.32

貼ってあるリンクから移れば分かるかもしれませんが、"Salemの積分方程式に条件を満たす解があるか"というリーマン予想と同値な命題があるんですけど、

これ、δ=2/3, y=1/2についての条件を満たす有界な解になっていると思うんです…

僕も、これを代入して、wolflam alphaで計算しましたが…確かに解でした。(面倒くさいかもしれませんが、皆さんも、以下の不定積分から極限をとって、計算してみてください)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%5Bcosh%28z%29+%2812+cosh%282+z%29+%2B+6+π+cot%5E%28-1%29%28e%5Ez%29+sinh%28z%29+-+48+sinh%5E2%28z%29+cosh%28z%29+coth%5E%28-1%29%28e%5Ez%29+-+3+π+-+4%29*z%5E%281%2F3%29*%28e%5E%28z%2F2%29%2B1%29%2F%28z%5E%281%2F3%29*%28e%5E%28z%2F2%29%2B1%29%29%5D&lang=ja

さらに下のリンク先にある解となる実数値関数φ(z)は、一応僕がフーリエ級数展開やメリン変換を使って、導き出したものです。

でしゃばってすみません…。
この時期で、相談できる人が皆無になってしまったもので…

詳しいことは、聞いてくださればお教えすることはできます。

よろしくお願いします。

https://www.dropbox.com/s/g1u6bivggbqrobh/RH.pdf?dl=0

**Oruka** · 2020/11/22(日) 08:23:41.34

解となる関数φ(z)は、一番下のリンク先に書いてあります。

**Oruka** · 2020/11/22(日) 08:25:09.49

書き忘れていましたが、zの定義域はz>0です。

**Oruka** · 2020/11/22(日) 08:38:09.74

投稿した後に気が付きましたが、wolflam alphaのリンクが途中で切れてしまっていて機能しなくなっているので、無視していただいて結構です。

計算する場合は、下の文字列をwolflam alphaにコピペすれば、不定積分は計算できます。

integral[cosh(z) (12 cosh(2 z) + 6 π cot^(-1)(e^z) sinh(z) - 48 sinh^2(z) cosh(z) coth^(-1)(e^z) - 3 π - 4)*z^(1/3)*(e^(z/2)+1)/(z^(1/3)*(e^(z/2)+1))]