Salemの積分方程式の条件を満たす解の存在
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貼ってあるリンクから移れば分かるかもしれませんが、"Salemの積分方程式に条件を満たす解があるか"というリーマン予想と同値な命題があるんですけど、
これ、δ=2/3, y=1/2についての条件を満たす有界な解になっていると思うんです…
僕も、これを代入して、wolflam alphaで計算しましたが…確かに解でした。(面倒くさいかもしれませんが、皆さんも、以下の不定積分から極限をとって、計算してみてください)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%5Bcosh%28z%29+%2812+cosh%282+z%29+%2B+6+π+cot%5E%28-1%29%28e%5Ez%29+sinh%28z%29+-+48+sinh%5E2%28z%29+cosh%28z%29+coth%5E%28-1%29%28e%5Ez%29+-+3+π+-+4%29*z%5E%281%2F3%29*%28e%5E%28z%2F2%29%2B1%29%2F%28z%5E%281%2F3%29*%28e%5E%28z%2F2%29%2B1%29%29%5D&lang=ja
さらに下のリンク先にある解となる実数値関数φ(z)は、一応僕がフーリエ級数展開やメリン変換を使って、導き出したものです。
でしゃばってすみません…。
この時期で、相談できる人が皆無になってしまったもので…
詳しいことは、聞いてくださればお教えすることはできます。
よろしくお願いします。
https://www.dropbox.com/s/g1u6bivggbqrobh/RH.pdf?dl=0 解となる関数φ(z)は、一番下のリンク先に書いてあります。 投稿した後に気が付きましたが、wolflam alphaのリンクが途中で切れてしまっていて機能しなくなっているので、無視していただいて結構です。
計算する場合は、下の文字列をwolflam alphaにコピペすれば、不定積分は計算できます。
integral[cosh(z) (12 cosh(2 z) + 6 π cot^(-1)(e^z) sinh(z) - 48 sinh^2(z) cosh(z) coth^(-1)(e^z) - 3 π - 4)*z^(1/3)*(e^(z/2)+1)/(z^(1/3)*(e^(z/2)+1))] >>5
コメントありがとうございます。
δについては、1/2<δ<1の範囲を動きます。
そして、「1/2<δ<1, y>0の範囲においては、積分方程式の条件を満たす解が存在しない」という命題が、リーマン予想と同値です。
δの符号は常に正なので、おそらく見間違いかと思います。 >>5
もしかして、Wikipediaで"Salemの積分方程式"を調べられたのでしょうか？
でしたら、僕が提示している積分方程式は、Wikipediaで示されている積分方程式を置換積分して変形したものです。
その過程で、δの符号が変化しているので、Wikipediaに示されているSalemの積分方程式と、僕が示している積分方程式の解の存在性は、同値です。 リーマン予想と同値なのは、Salemの積分方程式が任意のy>0について成り立つようなδ,φが存在する、ということではありませんか？ >>8
コメントありがとうございます。
確かに、そういった意味にも取られかねないですが、リーマン予想と同値なのは、
『任意の1/2<δ<1, y>0について、Salemの積分方程式を満たす有界関数φ(z)は存在しない』
という命題ですね。 >>8
『任意のy>0について、φが存在する』がリーマン予想と同値なのではなく、『任意のy>0について、φは存在しない』が同値命題です。 >>9
>>10
そうではなく、『あるδ、φが存在して、Salemの方程式が任意のyについて成り立つ（つまり、yの関数の等式として成り立つ』がリーマン予想の否定と同値なのではないかということです。
Wikipediaやhttps://arxiv.org/pdf/2003.00581.pdfを見ると、そういうことのように思えます。 それに、δとyを固定したときに方程式を満たすような有界なφが存在するのはほぼ自明だと思います。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
